考研數(shù)學(xué)二(矩陣的特征值和特征向量)-試卷5

考研數(shù)學(xué)二（矩陣的特征值和特征向量）-試卷5(總分：66.00，做題時間：90分鐘)一、選擇題(總題數(shù)：6，分數(shù)：12.00)1.選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.設(shè)A是三階矩陣，其特征值是1，3，一2，相應(yīng)的特征向量依次是α1,α2,α3，若P=(α1，2α3，一α2)，則P一1AP=()

（分數(shù)：2.00）

A.

√

B.

C.

D.解析：解析：由Aα2=3α3，有A(一α2)=3(一α2)，即當α2是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量時，一α2仍是矩陣A屬于特征值λ=3的特征向量。同理，2α3仍是矩陣A屬于特征值λ=一2的特征向量。當P一1AP=A時，P由A的特征向量構(gòu)成，A由A的特征值構(gòu)成，且P與A的位置是對應(yīng)一致的，已知矩陣A的特征值是1，3，一2，故對角矩陣A應(yīng)當由1，3，一2構(gòu)成，因此排除選項B、C。由于2α3是屬于λ=一2的特征向量，所以一2在對角矩陣A中應(yīng)當是第二列，所以應(yīng)選A。3.已知α1是矩陣A屬于特征值A(chǔ)=1的特征向量，α2與α3是矩陣A屬于特征值λ=5的特征向量，那么矩陣P不能是()

（分數(shù)：2.00）

A.(α1，一α2，α3)。

B.(α1，α2+α3，α2一2α3)。

C.(α1，α3，α2)。

D.(α1+α2，α1一α2，α3)。

√解析：解析：若P=(α1,α2,α3)，則有AP=PA，即(Aα1,Aα2,Aα3)=(λ1α1，λ2α2，λ3α3)，可見αi是矩陣A屬于特征值λi(i=1，2，3)的特征向量，又因矩陣P可逆，因此α1,α2,α3線性無關(guān)。若α是屬于特征值λ的特征向量，則一α仍是屬于特征值λ的特征向量，故選項A正確。若α，β是屬于特征值λ的特征向量，則α與β的線性組合仍是屬于特征值A(chǔ)的特征向量。本題中，α2，α3是屬于λ=5的線性無關(guān)的特征向量，故α2+α3，α2一2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2一2α3線性無關(guān)，故選項B正確。對于選項C，因為α2，α3均是λ=5的特征向量，所以α2與α3誰在前誰在后均正確。故選項C正確。由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1一α2不再是矩陣A的特征向量，故選項D錯誤。所以應(yīng)選D。4.已知α1是矩陣A的屬于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩陣A的屬于特征值λ=6的特征向量，則矩陣P不可能是()

（分數(shù)：2.00）

A.(α1，一α2，α3)。

B.(α1，α2+α3，α2一2α3)。

C.(α1，α3，α2)。

D.(α1+α2，α1一α2，α3)。

√解析：解析：由題意可得Aα1=2α1，Aα2=6α2，Aα3=6α3。因α2是屬于特征值λ=6的特征向量，所以一α2也是屬于特征值λ=6的特征向量，故選項A正確。同理，選項B，C也正確。由于α1，α2是屬于不同特征值的特征向量，所以α1+α2，α1一α2均不是矩陣A的特征向量，故選項D一定錯誤。5.已知三階矩陣A的特征值為0，1，2。設(shè)B=A3一2A2，則r(B)=()

（分數(shù)：2.00）

A.1。

√

B.2。

C.3。

D.不能確定。解析：解析：因為矩陣A有三個不同的特征值，所以A必能相似對角化，即存在可逆矩陣P，使得于是P一1BP=P一1(A3一2A2)P=P一1A3P一2P一1A2P=(P一1AP)3一2(P一1AP)2則矩陣B的三個特征值分別為0，0，一1，故r(B)=1。所以選A。6.設(shè)A為n階實對稱矩陣，則()

（分數(shù)：2.00）

A.A的n個特征向量兩兩正交。

B.A的n個特征向量組成單位正交向量組。

C.對于A的k重特征值λ0，有r(λ0E一A)=n-k。

√

D.對于A的k重特征值λ0，有r(λ0E—A)=k。解析：解析：實對稱矩陣A必可相似對角化，A的屬于k重特征值λ0的線性無關(guān)的特征向量必有k個，故r(λ0E一A)=n一k。選項C正確。需要注意的是：實對稱矩陣A的特征向量不一定兩兩正交，但屬于不同特征值的特征向量一定正交；n個特征向量不一定是單位正交向量組。二、填空題(總題數(shù)：6，分數(shù)：12.00)7.已知有三個線性無關(guān)的特征向量，則x=1。

（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________

（正確答案：正確答案：0）解析：解析：由A的特征方程可得A的特征值是λ=1(二重)，λ=一1。因為A有三個線性無關(guān)的特征向量，所以λ=1必有兩個線性無關(guān)的特征向量，因此r(E一A)=3—2=1，根據(jù)8.已知矩陣和對角矩陣相似，則a=1。

（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________

（正確答案：正確答案：一2）解析：解析：因為所以矩陣A的特征值分別為2，3，3。因為矩陣A和對角矩陣相似，所以對應(yīng)于特征值3有兩個線性無關(guān)的特征向量，即(3E一A)x=0有兩個線性無關(guān)的解，因此矩陣3E一A的秩為1?？梢奱=一2。9.設(shè)三階方陣A的特征值是1，2，3，它們所對應(yīng)的特征向量依次為α1,α2,α3，令P=(3α3,α1,α2)，則P一1AP=1。

（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________

（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：因為3α3，α1，2α2分別為A的對應(yīng)特征值3，1，2的特征向量，所以10.已知Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中α1=(1，2，2)T，α2=(2，一2，1)T，α3=(一2，一1，2)T，則A=1。

（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________

（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：由Aαi=iαi(i=1，2，3)可知A的特征值為1，2，3。令11.設(shè)A是三階實對稱矩陣，特征值分別為0，1，2，如果特征值0和1對應(yīng)的特征向量分別為α1=(1，2，1)T，α2=(1，一1，1)T，則特征值2對應(yīng)的特征向量是1。

（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________

（正確答案：正確答案：t(一1，0，1)T，t≠0）解析：解析：設(shè)所求的特征向量為α=(x1，x2，x3)T，因為實對稱矩陣不同的特征值對應(yīng)的特征向量是正交的，故有所以對應(yīng)于特征值2的特征向量是t(一1，0，1)T，t≠0。12.設(shè)二階實對稱矩陣A的一個特征值為λ1=1，屬于λ1的特征向量為(1，一1)T，若｜A｜=一2，則A=1。

（分數(shù)：2.00）填空項1:__________________

（正確答案：正確答案：[*]）解析：解析：設(shè)矩陣A的特征值λ1=1和λ2對應(yīng)的特征向量分別為α1=(1，一1)T和α2=(x1，x2)T。實對稱矩陣必可相似對角化，即存在可逆矩陣Q，使得，而相似矩陣的行列式相等，所以即λ2=一2。又實對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量正交，所以α1Tα2=0，即x1一x2=0.方程組x1一x2=0的基礎(chǔ)解系為α2=(1，1)T。令則三、解答題(總題數(shù)：14，分數(shù)：42.00)13.解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。__________________________________________________________________________________________解析：某試驗性生產(chǎn)線每年1月份進行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計，然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補齊。新、老非熟練工經(jīng)過培訓(xùn)及實踐至年終考核有成為熟練工。設(shè)第n年1月份統(tǒng)計的熟練工與非熟練工所占百分比分別為xn和yn，記成向量。（分數(shù)：6.00）(1).求的關(guān)系式并寫成矩陣形式：；（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由題意得化成矩陣形式為可見)解析：(2).驗證是A的兩個線性無關(guān)的特征向量，并求出相應(yīng)的特征值；（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：因為行列式所以η1，η2線性無關(guān)。又故η1為A的特征向量，且相應(yīng)的特征值λ1=1。，故η2為A的特征向量，且相應(yīng)的特征值)解析：(3).當（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：)解析：14.在某國，每年有比例為P的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn)，有比例為q的城鎮(zhèn)居民移居農(nóng)村。假設(shè)該國總?cè)丝跀?shù)不變，且上述人口遷移的規(guī)律也不變。把n年后農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋壤来斡洖閤n和yn(xn+yn=1)。(I)求關(guān)系式中的矩陣A；(Ⅱ)設(shè)目前農(nóng)村人口與城鎮(zhèn)人口相等，即。

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由題意，人口遷移的規(guī)律不變xn+1=xn+qyn一pxn=(1一p)xn+qyn，yn+1=yn+pxn一qyn=pxn+(1一q)yn，用矩陣表示為得A的特征值為λ1=1，λ2=r，其中r=1一P—q。當λ1=1時，解方程(A—E)x=0，得特征向量當λ2=r時，解方程(A—rE)x=0，得特征向量令P=(P1，P2)=，則于是)解析：設(shè)三階矩陣A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3對應(yīng)的特征向量依次為α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，4)T，α3=(1，3，9)T。（分數(shù)：4.00）(1).將向量β=(1，1，3)T用α1,α2,α3線性表示；（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：設(shè)x1α1+x2α2+x3α3=β，即解得x1=2，x2=一2，x3=1，故β=2α1一2α2+α3。)解析：(2).求Anβ。（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：Aβ=2Aα1—2Aα2+Aα3，則由題設(shè)條件可得Anβ=2Anα1—2Anα2+Anα3=2α1—2×2nα2+3nα3=)解析：15.已知A是三階實對稱矩陣，滿足A4+2A3+A2+2A=O，且秩r(A)=2，求矩陣A的全部特征值，并求秩r(A+E)。

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：設(shè)λ是矩陣A的任一特征值，α(α≠0)是屬于特征值λ的特征向量，則Aα=λα，于是Anα=λnα。用α右乘A4+2A3+A2+2A=O，得(λ4+2λ3+λ2+2λ)α=0。因為特征向量α≠0，故λ4+2λ3+λ2+2λ=λ(λ+2)(λ2+1)=O。由于實對稱矩陣的特征值必是實數(shù)，從而矩陣A的特征值是0或一2。由于實對稱矩陣必可相似對角化，且秩r(A)=r(A)=2，所以A的特征值是0，一2，一2。因A—A，則有所以r(A+E)=r(A+E)=3。)解析：設(shè)A，B為同階方陣。（分數(shù)：6.00）(1).若A，B相似，證明A，B的特征多項式相等；（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：若A，B相似，那么存在可逆矩陣P，使P一1AP=B，則｜λE—B｜=｜λE—P一1AP｜=｜P一1λEP—P一1AP｜=｜P一1(λE一A)P｜=｜P一1｜｜λE—A｜｜P｜=｜λE一A｜。所以A、B的特征多項式相等。)解析：(2).舉一個二階方陣的例子說明的逆命題不成立；（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：令，那么｜λE一A｜=λ2=｜λE一B｜。但是A，B不相似。否則，存在可逆矩陣P，使P一1AP=B=O，從而A=POP-1=O與已知矛盾。也可從r(A)=1，r(B)=0，知A與B不相似。)解析：(3).當A，B均為實對稱矩陣時，證明(1)的逆命題成立。（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由A，B均為實對稱矩陣知，A，B均相似于對角陣，若A，B的特征多項式相等，記特征多項式的根為λ1，…，λn，則有所以存在可逆矩陣P，Q，使因此有(PQ一1)一1A(PQ一1)=B，矩陣A與B相似。)解析：A為三階實對稱矩陣，A的秩為2，且（分數(shù)：4.00）(1).求A的所有特征值與特征向量；（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由得即特征值λ1=一1，λ2=1對應(yīng)的特征向量為又由r(A)=2＜3可知，A有一個特征值為0。設(shè)λ3=0對應(yīng)的特征向量為與是特征值0對應(yīng)的特征向量。因此k1α1，k2α2，k3η是依次對應(yīng)于特征值一1，1，0的特征向量，其中k1，k2，k3為任意非零常數(shù)。)解析：(2).求矩陣A。（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：)解析：設(shè)三階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是線性方程組Ax=0的兩個解。（分數(shù)：4.00）(1).求A的特征值與特征向量；（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：因為矩陣A的各行元素之和均為3，所以有則λ=3是矩陣A的特征值，α=(1，1，1)T是對應(yīng)的特征向量。對應(yīng)λ=3的全部特征向量為kα=k(1，1，1)T，其中k是不為零的常數(shù)。又由題設(shè)知Aα1=0，Aα2=0，即Aα1=0.α1，Aα2=0.α2，而且α1，α2線性無關(guān)，所以λ=0是矩陣A的二重特征值，α1，α2是其對應(yīng)的特征向量，因此對應(yīng)λ=0的全部特征向量為k1α1+k2α2=k1(一1，2，一1)T+k2(0，一1，1)T，其中k1，k2是不全為零的常數(shù)。)解析：(2).求正交矩陣Q和對角矩陣A，使得QTAQ=A。（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：因為A是實對稱矩陣，所以α與α1，α2正交，只需將α1與α2正交化。由施密特正交化法，取)解析：16.設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值為λ1=一1，λ2=λ3=1，對應(yīng)于λ1的特征向量為ξ1=(0，1，1)T，求A。

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：設(shè)矩陣A的屬于特征值λ=1的特征向量為x=(x1，x2，x3)T。實對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量正交，所以ξ1Tx=0，即x2+x3=0。方程組x2+x3=0的基礎(chǔ)解系為ξ2=(1，0，0)T，ξ3=(0，一1，1)T。)解析：17.設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=一1，λ3=0；對應(yīng)λ1，λ2的特征向量依次為p1=(1，2，2)T，p2=(2，1，一2)T，求A。

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：因為A為實對稱矩陣，故必存在正交矩陣Q=(q1，q2，q3)，使將對應(yīng)于特征值λ1、λ2的特征向量單位化，得由正交矩陣的性質(zhì)，q3可取為的單位解向量，則由可知因此)解析：18.設(shè)三階實對稱矩陣A的秩為2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(一1，2，一3)T都是A屬于λ=6的特征向量，求矩陣A。

（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由r(A)=2知，｜A｜=0，所以λ=0是A的另一特征值。因為λ1=λ2=6是實對稱矩陣的二重特征值，故A屬于λ=6的線性無關(guān)的特征向量有兩個，因此α1,α2,α3必線性相關(guān)，顯然α1,α2線性無關(guān)。設(shè)矩陣A屬于λ=0的特征向量α=(x1，x2，x3)T，由于實對稱矩陣不同特征值的特征向量相互正交，故有解得此方程組的基礎(chǔ)解系α=(一1，1，1)T。根據(jù)A(α1，α2，α)=(6α1，6α2，0)得A=(6α1，6α2，0)(α1，α2，0)-1)解析：設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一1，1)T是A的屬于特征值λ1的一個特征向量，記B=A5一4A3+E，其中E為三階單位矩陣。（分數(shù)：4.00）(1).驗證α1是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；（分數(shù)：2.00）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次遞推，則有A3α1=α1，A3α1=α1，故Bα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=一2α1，即α1是矩陣B的屬于特征值一2的特征向量。由關(guān)系式B=A5一4A3+E及A的三個特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2得B的三個特征值為μ1=一2，μ2=1，μ3=1。設(shè)α2,α3為B的屬于μ2=