2023-2024學(xué)年廣西賀州市中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題含解析

2023-2024學(xué)年廣西賀州市中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓的長軸長，短軸長，焦距長成等比數(shù)列，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.2．下列說法：①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變；②從統(tǒng)計量中得知有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤；③回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線；④如果兩個變量的線性相關(guān)程度越高，則線性相關(guān)系數(shù)就越接近于；其中錯誤說法的個數(shù)是（）A. B.C. D.3．“”是“直線：與直線：平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．某次射擊比賽中,某選手射擊一次擊中10環(huán)的概率是,連續(xù)兩次均擊中10環(huán)的概率是,已知某次擊中10環(huán),則隨后一次擊中10環(huán)的概率是A. B.C. D.5．設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，若是方程的兩根，則（）A.32 B.30C.28 D.266．在公比為的等比數(shù)列中，前項(xiàng)和，則（）A.1 B.2C.3 D.47．甲乙兩個雷達(dá)獨(dú)立工作，它們發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別是0.9和0.8，飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率為（）A.0.72 B.0.26C.0.7 D.0.988．函數(shù)在（0，e]上的最大值為（）A.－1 B.1C.0 D.e9．已知空間向量，，則（）A. B.C. D.10．為了了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為50的樣本，則分段的間隔為（）A.20 B.25C.40 D.5011．已知兩直線與，則與間的距離為（）A. B.C. D.12．將點(diǎn)的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)是(

)A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，橢圓左頂點(diǎn)為軸上一點(diǎn)滿足，且線段與橢圓交于點(diǎn)是以為底邊的等腰三角形，則橢圓離心率為__________.14．與直線平行，且距離為的直線方程為______15．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：，驗(yàn)證時，等式左邊________16．經(jīng)過點(diǎn)，，的圓的方程為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知二次函數(shù).（1）若時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）解關(guān)于的不等式（其中）.18．（12分）如圖，四棱錐中，，且，（1）求證：平面平面；（2）若是等邊三角形，底面是邊長為3的正方形，是中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）如圖，四棱錐中，是邊長為2的正三角形，底面為菱形，且平面平面，，為上一點(diǎn)，滿足.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）阿基米德（公元前年—公元前年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸的乘積.已知平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，求面積的最大值.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，證明：函數(shù)圖象恒在函數(shù)的圖象的下方；（2）討論方程的根的個數(shù).22．（10分）兩個頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是、，邊、所在直線的斜率之積等于，頂點(diǎn)的軌跡記為.（1）求頂點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若過點(diǎn)作直線與軌跡相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)恰為弦中點(diǎn)，求直線的方程；（3）已知點(diǎn)為軌跡的下頂點(diǎn)，若動點(diǎn)在軌跡上，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由題意，，結(jié)合，求解即可【詳解】∵橢圓的長軸長，短軸長，焦距長成等比數(shù)列∴∴又∵∴∴，即∴e=又在橢圓e＞0∴e=故選：A2、C【解析】根據(jù)統(tǒng)計的概念逐一判斷即可.【詳解】對于①，方差反映一組數(shù)據(jù)的波動大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變，①正確；對于②從統(tǒng)計量中得知有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系，是指有的可能性使得推斷出現(xiàn)錯誤；故②正確；對于③，線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)，回歸直線不一定就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線，也可能不過任何一個點(diǎn)；③不正確；對于④，如果兩個變量的線性相關(guān)程度越高，則線性相關(guān)系數(shù)就越接近于，不正確，應(yīng)為相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于；綜上，其中錯誤的個數(shù)是；故選：C.3、C【解析】根據(jù)兩直線平行求得的值，由此確定充分、必要條件.【詳解】由于，所以，當(dāng)時，兩直線重合，不符合題意，所以.所以“”是“直線：與直線：平行”的充要條件.故選：C4、B【解析】根據(jù)條件概率的計算公式,得所求概率為，故選B.5、A【解析】根據(jù)給定條件利用韋達(dá)定理結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計算作答.【詳解】因是方程的兩根，則又是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，于是得，所以.故選：A6、C【解析】先利用和的關(guān)系求出和，再求其公比.【詳解】由，得，，所以，，則.故選：C.7、D【解析】利用對立事件的概率求法求飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率.【詳解】由題設(shè)，飛行目標(biāo)不被甲、乙發(fā)現(xiàn)的概率分別為、，所以飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率為.故選：D8、A【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，然后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最大值【詳解】由，得，當(dāng)時，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，故選：A9、C【解析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求解即可【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：C10、A【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣定義可求得結(jié)果【詳解】分段的間隔為故選：A11、B【解析】把直線的方程化簡，再利用平行線間距離公式直接計算得解.【詳解】直線的方程化為：，顯然，，所以與間的距離為.故選：B12、A【解析】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化由點(diǎn)M的極坐標(biāo)，知極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為，所以的直角坐標(biāo)為即故正確答案為A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)題設(shè)條件可得坐標(biāo)，代入橢圓方程后可求橢圓的離心率.【詳解】因?yàn)?，故，，且在軸的正半軸上，則在第二象限中，故，代入橢圓方程有：即，故，故答案為：.14、或【解析】由題意，設(shè)所求直線方程為，根據(jù)兩平行直線間的距離公式即可求解.【詳解】解：由題意，設(shè)所求直線方程為，因?yàn)橹本€與直線的距離為，所以，解得或，所以所求直線方程為或，故答案為：或.15、【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟即可解答.【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：，驗(yàn)證時，等式左邊=.故答案為：.16、【解析】設(shè)所求圓的方程為，然后將三個點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程中解方程組求出的值，可得圓的方程【詳解】設(shè)所求圓的方程為，則，解得，所以圓的方程為，即，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）答案見解析.【解析】（1）結(jié)合分離常數(shù)法、基本不等式求得的取值范圍.（2）將原不等式轉(zhuǎn)化為，對進(jìn)行分類討論，由此求得不等式的解集.【詳解】（1）不等式即為：，當(dāng)時，可變形為：，即.又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，，即.實(shí)數(shù)的取值范圍是：.（2）不等式，即，等價于，即，①當(dāng)時，不等式整理為，解得：；當(dāng)時，方程的兩根為：，.②當(dāng)時，可得，解不等式得：或；③當(dāng)時，因?yàn)?，解不等式得：；④?dāng)時，因?yàn)?，不等式的解集為；⑤?dāng)時，因?yàn)椋獠坏仁降茫?；綜上所述，不等式的解集為：①當(dāng)時，不等式解集為；②當(dāng)時，不等式解集為；③當(dāng)時，不等式解集為；④當(dāng)時，不等式解集為；⑤當(dāng)時，不等式解集為.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式，結(jié)合線面角定義進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】∵，∴，，又，∴，∵，面，∴面，平面ABCD,平面平面【小問2詳解】∵平面平面，交AD于點(diǎn)F，平面，平面平面，∴平面，以為原點(diǎn)，，的方向分別為軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，求得法向量為，由，所以直線與平面所成角的正弦值為.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)為中點(diǎn)，連接，根據(jù)，證明平面得到答案.（2）以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，計算各點(diǎn)坐標(biāo)，計算平面和平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式計算得到答案.【詳解】（1）設(shè)為中點(diǎn)，連接，，∵，∴，又∵底面四邊形為菱形，，∴為等邊三角形，∴，又∴，，平面，∴平面，而平面，∴.（2）∵平面平面，平面平面，，∴平面以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，由，，，即，∴，，，設(shè)為平面的法向量，則由，令，得，，∴，設(shè)為平面的法向量，則由，令，得，，∴，設(shè)二面角的平面角為，則，∴二面角的的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力，建立空間直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵.20、(1)；(2).【解析】（1）根據(jù)題意計算得到，得到橢圓方程.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，，表示出，解得答案.【詳解】(1)依題意有解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(2)由題意直線的斜率不能為，設(shè)直線的方程為，由方程組得，設(shè)，，所以，，所以，所以，令（），則，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)，即時，面積取得最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，橢圓內(nèi)三角形面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.21、（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，并求出函數(shù)的最大值小于零，即，即可得證；（2）將方程根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與交點(diǎn)的問題，大致畫出函數(shù)的圖象，即可求解.【小問1詳解】設(shè)，其中，則，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，又∵，即時，，∴，∴在區(qū)間上函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的下方.【小問2詳解】由得，即，令，則，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，∴在處取得最小值，∴，又∵當(dāng)時，，當(dāng)時，，有零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，∴的大致圖象如圖所示，∴當(dāng)時，方程的根的個數(shù)為0；當(dāng)或時，方程的根的個數(shù)為1；當(dāng)時，方程的根的個數(shù)為2.22、（1）（2）（3）【解析】（1）先表示出邊、所在直線的斜率，然后根據(jù)兩條直線的斜率關(guān)系建立方程即可