高斯方程建模的數(shù)值模擬分析

高斯方程建模的數(shù)值模擬分析

近年來的研究結(jié)果表明，梯度、梯度和彎曲只是彎曲剖面線的決定因素。根據(jù)曲面論基本定律，曲面由第一類基本量和第二類基本量決定。據(jù)此我們建立了高精度曲面建模方法（HASM）。按照HASM的發(fā)展階段，我們將其區(qū)分為HASM1,HASM2,HASM3和HASM4。HASM1精度較TIN提高了5倍，HASM2精度較TIN提高了15倍HASM3精度較TIN提高了300多倍。雖然HASM1,HASM2和HASM3從根本上解決了長期以來困擾CAD系統(tǒng)和GIS的誤差問題及其應(yīng)用中的多尺度問題，但是由于整個模擬過程需要求解偏微分方程組，隨著計算域柵格總數(shù)的增加，計算量成幾何級數(shù)增長。為了解決HASM速度和超大計算量問題，我們對HASM3的迭代模擬過程進行了改進，并將改進后的HASM命名為HASM4。HASM4不但計算速度有了很大的提高，而且在迭代足夠次數(shù)后模擬精度與TIN相比可提高47470倍以上。由于HASM3和HASM4的主方程完全相同，HASM4只在HASM3的基礎(chǔ)上對其迭代模擬過程進行了技術(shù)改進，因此本文主要分析HASM1、HASM2和HASM4精度和運算速度提高的理論根源。1插值模擬結(jié)果的描述雖然HASM的理論基礎(chǔ)是高斯方程組，但由于有限差分所帶來的數(shù)值困難，完全照搬高斯方程并不能達到所期望的計算模擬結(jié)果，需要通過數(shù)值模擬實驗對其改造處理。對曲面z=f(x,y)，高斯方程組高斯方程組的迭代差分方程為若Fn+1=(fn+11,1,…,fn+11,N,fn+12,1,fn+12,N,……fn+1N-1,1,fn+1N,1,…,fn+1N,N)T,歸一化模擬區(qū)域為[0,1]×[0,1],n≥0,計算步長為,F0為插值模擬得到的結(jié)果,則第一個方程可以表達為其中，A為第一個方程的系數(shù)矩陣；Dn+1=[D1n+1,D2n+1,…,DN-1n+1,DNn+1]T1×N2為第一個方程的右端項矩陣。第二個方程可以表達為其中，B為第二個方程的系數(shù)矩陣；En+1=[E1n+1,E2n+1,…,EN-1n+1,ENn+1]T1×N2為為第二個方程的右端項矩陣。第三個方程可以表達為其中，C為第三個方程的系數(shù)矩陣；Hn+1=[H1n+1,H2n+1,…,HN-1n+1,HNn+1]T1×N2為第三個方程的右端項矩陣。2等式約束的最小二乘HASM1,HASM2和HASM4是高斯方程組三個方程的不同方程或不同方程的組合。如果將高斯方程組三個方程依先后順序依次標記為a、b和c，則基于高斯方程組第一個方程的高精度曲面建模方法HASM1a可表達為等式約束的最小二乘問題：其中，J和K分別為采樣點和采樣值。如果為第t個采樣點的坐標和采樣值，則對充分大的λ，HASM1a可表達為類似地，基于高斯方程組第二個方程的高精度曲面建模方法HASM1b可表達為基于高斯方程組第三個方程（交叉項方程）的高精度曲面建模方法HASMc可表達為基于高斯方程組第一個方程和第二個方程的高精度曲面建模方法HASM4可表達為基于高斯方程組第一個方程和第三個方程（交叉項方程）的高精度曲面建模方法HASMac可表達為基于高斯方程組第二個方程和第三個方程（交叉項方程）的高精度曲面建模方法HASMbc可表達為基于高斯方程組三個方程的高精度曲面建模方法HASM2可表達為3基于高斯方程的模型檢驗數(shù)值實驗結(jié)果表明（表1），基于高斯方程組第一個方程的高精度曲面建模方法HASM1a和基于高斯方程組第二個方程的高精度曲面建模方法HASM1b，模擬誤差相似，但隨著迭代的進行，計算誤差緩慢增長，不能達到收斂。由于系數(shù)矩陣不可逆，基于高斯方程組第三個方程（交叉項方程）的高精度曲面建模方法HASMc的計算無法進行，導致數(shù)值缺失；對兩個方程結(jié)合產(chǎn)生的HASMac,HASMbc和HASM4，無論是第一個方程還是第二個方程，只要是與第三個方程結(jié)合產(chǎn)生的模型，數(shù)值模擬結(jié)果就會出現(xiàn)溢出現(xiàn)象，而第一個方程和第二個方程的結(jié)合則得到了最好的收斂結(jié)果；基于高斯方程組三個方程的高精度曲面建模方法HASM2與HASM1a和HASM1b相比，其模擬誤差較小、誤差的增長速度較慢，但其模擬誤差遠大于HASM4的模擬誤差、所需的CPU時間較HASM4長的多。即除了HASM4之外，HASM1a,HASM1b,HASMc,HASMac,HASMbc和HASM2的模擬誤差都隨著迭代次數(shù)的增加而增大。第三個方程（交叉項方程）的引入，嚴重地影響了HASM的模擬結(jié)果（圖1）。4交叉項方程的引入數(shù)值實驗分析結(jié)果表明，HASM1a和HASM1b本身的系數(shù)矩陣結(jié)構(gòu)非常好，只進行一個方向的迭代，計算量小，所需CPU時間最少；其次是HASM4，系數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)仍然很好，由于需要進行兩個方向的模擬計算，所以所耗費的時間比單個方向的多一些，但其模擬精度較單方向模擬精度提高了多個數(shù)量級；由于第三個方程（交叉項方程）的引入，對系數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)有一定程度的破壞，矩陣求逆需要耗費更多的時間，所以HASM2比HASM4所耗費的時間多、誤差大；盡管HASMac和HASMbc數(shù)據(jù)存儲比HASM2小，但由于單個的第一個方程或第二個方程不如第一個方程和第二個方程結(jié)合更能抵消第三個方程（交