高三北師大版數(shù)學（理）一輪課時檢測 8.2 空間幾何體的表面積與體積 含解析

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精8。2空間幾何體的表面積與體積一、選擇題1．棱長為2的正四面體的表面積是（)．A。eq\r（3)B．4C．4eq\r(3)D．16解析每個面的面積為：eq\f(1,2)×2×2×eq\f（\r（3),2)＝eq\r（3）.∴正四面體的表面積為：4eq\r（3）.答案C2．把球的表面積擴大到原來的2倍，那么體積擴大到原來的()．A．2倍B．2eq\r（2）倍C。eq\r（2）倍D.eq\r（3，2）倍解析由題意知球的半徑擴大到原來的eq\r(2)倍,則體積V＝eq\f(4，3)πR3，知體積擴大到原來的2eq\r（2）倍．答案B3．如圖是一個長方體截去一個角后所得多面體的三視圖,則該多面體的體積為（)．（三視圖：主(正）試圖、左（側(cè)）視圖、俯視圖）A。eq\f（142,3）B。eq\f(284,3）C。eq\f(280,3)D.eq\f(140,3)解析根據(jù)三視圖的知識及特點，可畫出多面體的形狀，如圖所示．這個多面體是由長方體截去一個正三棱錐而得到的,所以所求多面體的體積V＝V長方體－V正三棱錐＝4×4×6－eq\f（1，3)×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)×2×2))×2＝eq\f（284,3).答案B4．某幾何體的三視圖如下，則它的體積是（)（三視圖：主（正）試圖、左(側(cè))視圖、俯視圖）A．8－eq\f（2π,3) B．8－eq\f（π,3）C．8－2π D.eq\f（2π，3）解析由三視圖可知該幾何體是一個邊長為2的正方體內(nèi)部挖去一個底面半徑為1，高為2的圓錐，所以V＝23－eq\f(1,3）×π×2＝8－eq\f（2π,3)。答案A5．已知某幾何體的三視圖如圖，其中主視圖中半圓的半徑為1,則該幾何體的體積為（)（三視圖：主（正）試圖、左（側(cè)）視圖、俯視圖）A．24－eq\f(3,2）πB．24－eq\f(π，3)C．24－πD．24－eq\f（π,2）解析據(jù)三視圖可得幾何體為一長方體內(nèi)挖去一個半圓柱，其中長方體的棱長分別為：2,3，4，半圓柱的底面半徑為1,母線長為3，故其體積V＝2×3×4－eq\f（1，2)×π×12×3＝24－eq\f（3π,2)。答案A6．某品牌香水瓶的三視圖如圖(單位:cm)，則該幾何體的表面積為()(三視圖:主（正）試圖、左（側(cè)）視圖、俯視圖）A.eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(95－\f（π，2)））cm2B。eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（94－\f(π，2））)cm2C.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(94＋\f（π,2)））cm2D。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（95＋\f(π，2)））cm2解析這個空間幾何體上面是一個四棱柱、中間部分是一個圓柱、下面是一個四棱柱．上面四棱柱的表面積為2×3×3＋12×1－eq\f(π，4）＝30－eq\f(π，4);中間部分的表面積為2π×eq\f(1，2)×1＝π，下面部分的表面積為2×4×4＋16×2－eq\f(π，4)＝64－eq\f（π,4).故其表面積是94＋eq\f（π，2）。答案C7．已知球的直徑SC＝4，A，B是該球球面上的兩點，AB＝eq\r(3)，∠ASC＝∠BSC＝30°，則棱錐S—ABC的體積為()．A．3eq\r（3）B．2eq\r(3)C。eq\r(3)D．1解析由題可知AB一定在與直徑SC垂直的小圓面上，作過AB的小圓交直徑SC于D,設SD＝x，則DC＝4－x，此時所求棱錐即分割成兩個棱錐S—ABD和C—ABD,在△SAD和△SBD中，由已知條件可得AD＝BD＝eq\f（\r(3）,3)x,又因為SC為直徑，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在△BDC中，BD＝eq\r（3）(4－x)，所以eq\f(\r（3），3)x＝eq\r(3）（4－x），所以x＝3,AD＝BD＝eq\r(3),所以三角形ABD為正三角形，所以V＝eq\f（1,3)S△ABD×4＝eq\r(3)。答案C二、填空題8．三棱錐PABC中，PA⊥底面ABC,PA＝3，底面ABC是邊長為2的正三角形，則三棱錐PABC的體積等于________．解析依題意有,三棱錐PABC的體積V＝eq\f(1，3)S△ABC·|PA|＝eq\f（1,3)×eq\f（\r（3），4）×22×3＝eq\r（3)。答案eq\r(3)9．一個圓柱的軸截面是正方形，其側(cè)面積與一個球的表面積相等,那么這個圓柱的體積與這個球的體積之比為________．解析設圓柱的底面半徑是r，則該圓柱的母線長是2r,圓柱的側(cè)面積是2πr·2r＝4πr2,設球的半徑是R，則球的表面積是4πR2，根據(jù)已知4πR2＝4πr2，所以R＝r。所以圓柱的體積是πr2·2r＝2πr3，球的體積是eq\f(4,3)πr3，所以圓柱的體積和球的體積的比是eq\f(2πr3,\f(4,3）πr3)＝3∶2。答案3∶210．如圖所示，已知一個多面體的平面展開圖由一個邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成,則該多面體的體積是________．解析由題知該多面體為正四棱錐，底面邊長為1，側(cè)棱長為1，斜高為eq\f（\r（3),2）,連接頂點和底面中心即為高,可求得高為eq\f（\r(2）,2)，所以體積V＝eq\f（1，3）×1×1×eq\f（\r(2),2）＝eq\f（\r（2),6）。答案eq\f（\r(2)，6)11．如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱．當圓柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是________．解析由球的半徑為R,可知球的表面積為4πR2。設內(nèi)接圓柱底面半徑為r，高為2h，則h2＋r2＝R2。而圓柱的側(cè)面積為2πr·2h＝4πrh≤4πeq\f(r2＋h2,2)＝2πR2(當且僅當r＝h時等號成立)，即內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大值為2πR2,此時球的表面積與內(nèi)接圓柱的側(cè)面積之差為2πR2。答案2πR212．如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為2cm,高為5cm,則一質(zhì)點自點A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達點A1解析根據(jù)題意,利用分割法將原三棱柱分割為兩個相同的三棱柱，然后將其展開為如圖所示的實線部分,則可知所求最短路線的長為eq\r（52＋122）＝13(cm)．答案13三、解答題13．某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖1所示,墩的上半部分是正四棱錐PEFGH，下半部分是長方體ABCDEFGH。圖2、圖3分別是該標識墩的主視圖和俯視圖．（1）請畫出該安全標識墩的左視圖；（2）求該安全標識墩的體積．解析（1)左視圖同主視圖,如圖所示：（2）該安全標識墩的體積為V＝VPEFGH＋VABCDEFGH＝eq\f（1，3)×402×60＋402×20＝64000(cm3)．14.一個幾何體的三視圖如圖所示．已知主視圖是底邊長為1的平行四邊形,左視圖是一個長為eq\r（3),寬為1的矩形，俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形．(1)求該幾何體的體積V;（2)求該幾何體的表面積S。（三視圖：主（正）試圖、左(側(cè))視圖、俯視圖)解析（1)由三視圖可知,該幾何體是一個平行六面體(如圖)，其底面是邊長為1的正方形，高為eq\r(3），所以V＝1×1×eq\r（3）＝eq\r(3）.(2)由三視圖可知，該平行六面體中,A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形，S＝2×（1×1＋1×eq\r（3）＋1×2)＝6＋2eq\r（3).15．已知某幾何體的俯視圖是如右圖所示的矩形，主視圖(或稱主視圖）是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形,左視圖(或稱左視圖)是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形．（1)求該幾何體的體積V；（2）求該幾何體的側(cè)面積S.解析由題設可知,幾何體是一個高為4的四棱錐,其底面是長、寬分別為8和6的矩形，正側(cè)面及其相對側(cè)面均為底邊長為8,高為h1的等腰三角形,左、右側(cè)面均為底邊長為6，高為h2的等腰三角形，如右圖所示．（1）幾何體的體積為：V＝eq\f（1,3）·S矩形·h＝eq\f(1,3）×6×8×4＝64.(2)正側(cè)面及相對側(cè)面底邊上的高為：h1＝eq\r(42＋32）＝5.左、右側(cè)面的底邊上的高為：h2＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)。故幾何體的側(cè)面面積為：S＝2×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)×8×5＋\f(1，2)×6×4\r(2)）)＝40＋24eq\r（2).16．四面體的六條棱中，有五條棱長都等于a.（1)求該四面體的體積的最大值;（2）當四面體的體積最大時，求其表面積．解析(1)如圖，在四面體ABCD中，設AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a,AD＝x，取AD的中點為P，BC的中點為E,連接BP、EP、CP。得到AD⊥平面BPC，∴VA—BCD＝VA-BPC＋VD—BPC＝eq\f(1,3)·S△BPC·AP＋eq\f(1,3）S△BPC·PD＝eq\f(1，3）·S△BPC·AD＝eq\f（1，3)·eq\f(1，2）·aeq\r（a2－\f（x2，4）－\f(a2,4））·x＝eq\f(a，12）eq\r（3a2－x2x2)≤eq\f（a,12)·eq\f（3a2，2)＝eq\f(1，8）a3（當且僅當x＝eq\f（\r（6),2）a時取等號)．∴該四面體的體積的最大值為eq\f（1，8)a3。（2）由（1）知，△ABC和△BCD都是邊長為a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形,其腰長為a