《信息技術(shù)應(yīng)用收集數(shù)據(jù)并建立函數(shù)模型》教學(xué)設(shè)計(jì)(部級優(yōu)課)x-信息技術(shù)教案

3.2信息技術(shù)應(yīng)用收集數(shù)據(jù)并建立函數(shù)模型

杭州市艮山中學(xué)張勝黎教學(xué)內(nèi)容與核心素養(yǎng)分析地位和作用本節(jié)課是人教A版數(shù)學(xué)必修1第三章第二節(jié)<<函數(shù)模型及其應(yīng)用>>的拓展性內(nèi)容，結(jié)合信息技術(shù)的應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)是工具學(xué)科（思考和表達(dá)的工具），是進(jìn)行其他科學(xué)研究的基礎(chǔ)。從科學(xué)的情境入手，提出問題，分析問題，建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題。感知數(shù)學(xué)模型是借助數(shù)學(xué)語言講述現(xiàn)實(shí)和數(shù)量、圖形有關(guān)的故事，是連接兩者的橋梁，數(shù)學(xué)模型的價值不是數(shù)學(xué)本身而是對所描述學(xué)科起到實(shí)際作用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)是應(yīng)用的科學(xué)和科學(xué)的應(yīng)用，是其他學(xué)科共同的基礎(chǔ)和有力的工具。教學(xué)內(nèi)容解析通過適當(dāng)?shù)纳钋榫澈涂茖W(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，讓學(xué)生對收集的數(shù)據(jù)去分析，去抽象、去推理從經(jīng)驗(yàn)性邏輯思維向抽象性邏輯思維發(fā)展，經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象，體會數(shù)學(xué)建模的過程。本節(jié)課側(cè)重于讓學(xué)生對收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，留下對應(yīng)關(guān)系比較明確的數(shù)量關(guān)系，用形式化的數(shù)學(xué)語言確定變量并進(jìn)行定性定量分析，利用已有的數(shù)學(xué)知識對客觀實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象概括，利用函數(shù)的特性選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)進(jìn)行擬合，建立函數(shù)模型并檢驗(yàn)完善函數(shù)模型的過程。在函數(shù)模型的選擇和應(yīng)用上，力圖讓學(xué)生感受到生活中大多數(shù)變化現(xiàn)象是較難直接建立數(shù)學(xué)模型重在利用數(shù)學(xué)內(nèi)容內(nèi)在聯(lián)系科學(xué)分析數(shù)據(jù)，感受建立數(shù)學(xué)模型是實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題的橋梁。激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的興趣，積累應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的有效經(jīng)驗(yàn)。通過本課讓學(xué)生經(jīng)歷從具體科學(xué)情境中收集整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，進(jìn)行推斷，獲得結(jié)論，概括和形成知識的過程。培養(yǎng)學(xué)生能提升獲取有價值信息并進(jìn)行定量分析的意識和能力，形成通過數(shù)據(jù)認(rèn)識事物的思維品質(zhì)；積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)本節(jié)課圍繞數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模三大核心素養(yǎng)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)是有用的，是科學(xué)的語言，是一切科學(xué)和技術(shù)的基礎(chǔ)，是我們思考和解決問題的工具。數(shù)學(xué)的背景，形成過程，應(yīng)用，以及它和其他學(xué)科的概念和內(nèi)容的聯(lián)系是水到渠成，渾然天成的。數(shù)學(xué)是清楚的，對于數(shù)據(jù)的收集，處理和分析都是真實(shí)的，不是憑空編造的，數(shù)據(jù)處理是其他學(xué)科知識研究和發(fā)展的基石，使科學(xué)探究成為可能。教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析教學(xué)目標(biāo)根據(jù)收集的數(shù)據(jù)，分析問題所提供的數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，由數(shù)據(jù)特點(diǎn)抽象出函數(shù)模型，并選擇適合的函數(shù)模型進(jìn)行擬合注意實(shí)際變量的適用范圍，并檢驗(yàn)結(jié)果的合理性（是否真實(shí)存在）。目標(biāo)解析（1）從杭州文化龍井茶引入，給出測量得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表，通過畫圖，數(shù)學(xué)抽象聯(lián)想數(shù)形間的相互關(guān)系，函數(shù)模型去擬合感受數(shù)據(jù)科學(xué)的收集和處理的必要性。（2）實(shí)踐操作數(shù)據(jù)的處理和分析，運(yùn)用計(jì)算機(jī)，數(shù)據(jù)采集器，溫度傳感器等信息技術(shù)工具，收集水溫變化數(shù)據(jù)，建立時間與溫度的函數(shù)模型。（3）感受學(xué)科間知識點(diǎn)的相互交叉，學(xué)會科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那笾窈蛯W(xué)習(xí)態(tài)度。明白自然學(xué)科中數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科提供了強(qiáng)大的理論操作基石。教學(xué)問題診斷信息技術(shù)只是教學(xué)的輔助手段，學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和分析，運(yùn)用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識做出、判斷和解決問題才是關(guān)鍵，在過程中要積極根據(jù)學(xué)生的反應(yīng)創(chuàng)設(shè)能夠利用所學(xué)知識解決真實(shí)問題的機(jī)會。學(xué)會運(yùn)用信息技術(shù)嚴(yán)謹(jǐn)獲取實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和結(jié)合計(jì)算機(jī)建立函數(shù)模型。體會信息技術(shù)解決數(shù)學(xué)問題的簡單，方便作圖形象直觀，擺脫傳統(tǒng)手段的低效和大量的數(shù)據(jù)偏差。突出所用的物理化學(xué)實(shí)驗(yàn)中的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，感悟數(shù)據(jù)分析和處理的意義。教學(xué)條件支持借助計(jì)算機(jī)---數(shù)據(jù)采集器----溫度傳感器等信息技術(shù)工具收集數(shù)據(jù)。教學(xué)過程環(huán)節(jié)一：發(fā)現(xiàn)和提出問題創(chuàng)設(shè)生活情境視頻----清明谷雨龍井問茶。教師點(diǎn)明：好的茶藝師能很好的控制茶藝表演的時間和水溫的變化，做到心中有數(shù)，手中有度；將整個過程優(yōu)雅完美展現(xiàn)，時間和水溫都恰到好處。并提問：這里水溫隨著時間是怎么變化的呢?設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題。數(shù)據(jù)中有用的信息進(jìn)行分析和推斷課前準(zhǔn)備作業(yè)為了使得收集的每個數(shù)據(jù)彼此明顯些，觀測時間間隔為3至5分鐘，在50分鐘內(nèi)收集12個數(shù)據(jù)。列表觀察時間02510142025283238414550溫度99978679746864615955535150描點(diǎn)作圖11可以畫出大致圖象，發(fā)現(xiàn)隨著時間的增加水溫下降并最終趨于一個常量，我們能否用函數(shù)關(guān)系來表示這個規(guī)律呢？3、確定變量以時間為，水溫為，尋找變量間的對應(yīng)關(guān)系一一對應(yīng)。我們恰好完成了這個變化規(guī)律的兩種函數(shù)表達(dá)形式：列表法和圖象法?，F(xiàn)在來尋找一下這個變化規(guī)律的函數(shù)解析式，即水溫隨時間變化的函數(shù)模型。畫一畫，想一想在現(xiàn)有的數(shù)據(jù)下可以找出來的規(guī)律。設(shè)計(jì)意圖：研究兩個變量之間的關(guān)系（數(shù)學(xué)的角度），通常是令其中一個為自變量，另一個為因變量，兩者是一一對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，我們把時間作為軸，溫度作為軸。從函數(shù)的角度可以采用的表示方法：列表，圖象法，解析式。4、猜想函數(shù)模型（由圖到式）由已知的數(shù)據(jù)，觀察所畫的圖象是散點(diǎn)圖，一個時間對應(yīng)一個溫度，可以看出水溫和時間的關(guān)系是一條下滑的線。對應(yīng)這一特點(diǎn)的是在定義域范圍內(nèi)單調(diào)遞減的函數(shù)，觀察的取值范圍是x>0,0<y<100.嘗試用學(xué)過的函數(shù)進(jìn)行擬合，那么在已學(xué)過的函數(shù)關(guān)系式中，有哪些函數(shù)的圖象符合要求？生預(yù)設(shè)：：最簡單的關(guān)系是直線，函數(shù)關(guān)系是fx觀察圖象得到:k<0,b>0圖形演示：依據(jù)---兩點(diǎn)確定一條直線，那么多點(diǎn)（數(shù)據(jù)）可以確定很多條直線，但是可以清楚看到不可能有大多數(shù)點(diǎn)都屬于同一條直線由兩點(diǎn)確定一條直線可以畫出很多直線，哪一條直線是最貼近這些離散點(diǎn)的呢？找出所有點(diǎn)的大致趨勢，然后用一個標(biāo)準(zhǔn)去衡量這些直線中，哪一條直線使得那些散點(diǎn)分布從整體上看大致在這條直線附近。數(shù)學(xué)上用“最小二乘法”（播放PPT圖片）對這些點(diǎn)的到所選定直線的距離進(jìn)行測算，所得的數(shù)值越小，說明點(diǎn)越密集的圍繞在選定的直線附近，這個方法在必修3和選修2-3中會進(jìn)一步學(xué)習(xí)。通過圖形演示發(fā)現(xiàn)：選兩個點(diǎn)確定的直線去表達(dá)這些離散點(diǎn)時，游離在直線外的點(diǎn)還是相當(dāng)多，有沒有比一次函數(shù)更貼切的函數(shù)模型擬合得更好呢？比如仍然選擇兩點(diǎn)確定一條直線，但是只選取相鄰的時間間隔點(diǎn)用線段去連接，可以得到怎樣的圖象？折線圖，確實(shí)把所有點(diǎn)都串起來了，但是寫函數(shù)解析式時我們要寫成分很多段的函數(shù)，不夠簡潔，最關(guān)鍵的是它還取決手測數(shù)據(jù)時間間隔是否夠科學(xué)，跟實(shí)際情況是否完全一致。當(dāng)時間間隔足夠小，點(diǎn)足夠密集的時候，會有什么情況發(fā)生？只有圖上的手測數(shù)據(jù)是不夠的，利用信息技術(shù)讓時間間隔小一些數(shù)據(jù)足夠多，觀察效果可能更佳。設(shè)計(jì)意圖：對研究對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對數(shù)據(jù)中有用的信息進(jìn)行分析和推斷，形成知識的過程：收集、整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，對信息進(jìn)行分析，推斷獲得初步結(jié)論。環(huán)節(jié)二：分析和解決問題創(chuàng)設(shè)科學(xué)情境動手實(shí)踐（利用物理課上學(xué)過的實(shí)驗(yàn)方法）人工手測不能完成的情況下，選擇用信息技術(shù)去代替人工完成數(shù)據(jù)收集。（用物理實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)采集器）（PPT播放操作步驟，學(xué)生實(shí)踐）收集數(shù)據(jù)，畫圖提出假設(shè)用溫度傳感器(播放提前錄制的小視頻時段3：30)演示數(shù)據(jù)收集。關(guān)鍵步驟：確定橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的變量：軸為時間，軸為溫度。（確定變量）設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，從實(shí)例中抽象出研究的變量為時間與溫度之間的關(guān)系。大數(shù)據(jù)時代，要運(yùn)用信息技術(shù)提升數(shù)據(jù)分析的能力，從而依托數(shù)據(jù)獲得探索不同事物之間的聯(lián)系和規(guī)律，并對事物的變化做出預(yù)測。2、依托圖表，理順數(shù)量關(guān)系（由圖到式）=1\*GB3①收集數(shù)據(jù)=2\*GB3②作散點(diǎn)圖=3\*GB3③畫出圖象；發(fā)現(xiàn)當(dāng)用計(jì)算機(jī)作圖選擇圖像時，有多種函數(shù)模型可供選擇。都實(shí)驗(yàn)一下，看看效果如何？問題1：多個函數(shù)模型可以選擇時，依據(jù)什么進(jìn)行嘗試？回顧學(xué)過的幾種函數(shù)幾種不同增長的函數(shù)模型：（PPT）常數(shù)函數(shù)一次函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)沒有增長直線上升（下降）指數(shù)爆炸對數(shù)增長保持不變勻速增長先慢后快（a>1）（先快后慢先快后慢常見的增長函數(shù)模型線性函數(shù)模型：y=kx+b(k>0)二次函數(shù)模型：y=a指數(shù)函數(shù)型模型：y=m對數(shù)函數(shù)型模型：y=觀察離散點(diǎn)的分布，歸納圖形的變化趨勢，猜想可選擇的函數(shù)模型。3、抓住關(guān)鍵，建立函數(shù)模型（數(shù)學(xué)地思考）PPT對比展示做出的圖形，觀察分析圖形特征，多個函數(shù)圖象在所收集的點(diǎn)上的擬合情況相近如何選擇？學(xué)生思考，分小組討論，做出選擇，說明理由。常見的函數(shù)模型（1）直線模型：即一次函數(shù)模型y=kx+b(k≠0)增長特點(diǎn)直線上升或下降；（2）指數(shù)函數(shù)模型：指數(shù)函數(shù)增長特點(diǎn)隨著自變量的增長，函數(shù)值增長越來越快（a>1），（3）對數(shù)函數(shù)模型：對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)增長特點(diǎn)隨著自變量增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢（a>1（4）冪函數(shù)模型：y=xa(a∈R)最常用二次函數(shù)設(shè)計(jì)意圖：用數(shù)學(xué)的方法去思考世界，人腦做出選擇理論依據(jù)是：用函數(shù)的性質(zhì)去進(jìn)行函數(shù)模型的選擇，選定后讓系統(tǒng)自動生成圖象去擬合離散點(diǎn)。機(jī)器只是手段，選擇還在人，人運(yùn)用數(shù)學(xué)思想分析問題做出決斷。4、精確計(jì)算，求解數(shù)學(xué)問題（利用EXCEL）利用信息技術(shù)對所得模型進(jìn)行驗(yàn)證和完善對函數(shù)模型的結(jié)果進(jìn)行觀察（利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行檢驗(yàn)）發(fā)現(xiàn)1：對收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時，選擇同一個函數(shù)模型，前半段時間統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)擬合出來的關(guān)系式，和后半段時間擬合出來的關(guān)系式會不一樣，比如:選擇二次函數(shù)作為函數(shù)模型得到的結(jié)果：y=-0.0006xy=-0.0018x猜測用多項(xiàng)式去擬合溫度與時間變化，可能不適合整個溫度變化過程。發(fā)現(xiàn)2：多個函數(shù)曲線看起來都比較吻合那些離散點(diǎn)圖的時候，怎么辦？指數(shù)系列：y=93.287多項(xiàng)式系列：y=-0.0004y=0.179y=-0.0005x4-0.0022線性系列：y=-0.9668+91.977數(shù)學(xué)的理論依據(jù)：想想學(xué)過的函數(shù)有哪些表達(dá)方式（列表，圖象，解析式），函數(shù)有哪些（定義域，值域，對應(yīng)關(guān)系，奇偶性，周期性，單調(diào)性等）由式到圖問題2：能不能用上述這些函數(shù)特質(zhì)去判斷所得出的函數(shù)模型是否適合？在已給的圖中只有測得的50個時間點(diǎn)的數(shù)據(jù)，圖象不完整，可以利用計(jì)算機(jī)通過復(fù)雜的運(yùn)算和作圖，使圖象完整。以多項(xiàng)式函數(shù)為例，選取多項(xiàng)式去擬合的時候，對多項(xiàng)式的指數(shù)進(jìn)行變化，當(dāng)離散點(diǎn)較少看不出兩個圖形有明顯區(qū)別的時候，設(shè)置周期進(jìn)行趨勢預(yù)測。5、回歸實(shí)際，檢驗(yàn)問題結(jié)果由函數(shù)的圖象性質(zhì)馬上得出結(jié)論：一個函數(shù)模型都不符合教室里測得的水溫與時間的變化,客觀事實(shí)是常溫下熱水放置到一定時間，溫度趨于室溫。設(shè)計(jì)意圖：用已有的數(shù)學(xué)知識和方法去思考解決問題題，對所得的函數(shù)模型進(jìn)行檢驗(yàn)和完善。同時注意實(shí)際問題的具體生活背景----數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)地觀察和思考現(xiàn)實(shí)生活中的具體問題。讓學(xué)生體會--計(jì)算機(jī)只是工具和手段，輔助我們處理比較復(fù)雜的作圖和計(jì)算，我們做出思考和選擇的時候要依據(jù)數(shù)學(xué)的知識和思想方法。由此用圖象來說明指數(shù)型函數(shù)的圖象趨勢比較符合我們的生活常識，但也存在一些問題。前面利用計(jì)算機(jī)得到的是y=93.287e-0.014x教室里放置的水溫不會趨于0度。當(dāng)x趨于無窮時，y思考一下現(xiàn)實(shí)世界，水放在自然環(huán)境里溫度會趨于室溫，而不是，怎么處理我們的數(shù)據(jù)和函數(shù)模型可以解決這個問題,使得函數(shù)模型符合實(shí)際生活背景的檢驗(yàn)。常溫狀態(tài)下，水溫隨時間變化應(yīng)該趨于一個常量的。用數(shù)學(xué)語言來表示就是x?∞,y=室溫。由此觀察得到的幾個函數(shù)模型中最接近的就是指數(shù)怎么去完善這個函數(shù)模型，讓它符合我們的生活常識。觀察圖象中中離散點(diǎn)的位置，如果這些點(diǎn)做怎樣的變化，就恰好可以讓x?∞，從圖象的角度調(diào)整就是曲線的彎曲度不變，下降速度變化不變，然后整體下移多少，可以讓曲線趨勢貼近軸？只需每個離散點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)下降一個定值----即常溫。（PPT演示）所以用計(jì)算機(jī)重新處理數(shù)據(jù)，將所有的溫度值都減去常溫，所得的值為新的，重新做散點(diǎn)圖，進(jìn)行函數(shù)擬合，出來的表達(dá)式就比較接近現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)了。由此，得到了水溫與時間的變化關(guān)系的函數(shù)模型：y=y0+(yi室溫，為開始時刻的水溫，為隨時間變化的水溫。這個就是英國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓提出的常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型?，F(xiàn)實(shí)生活中這個模型可以用在很多地方，不光只是常溫下水溫隨時間的變化關(guān)系。環(huán)節(jié)三：模型的應(yīng)用動手處理剛才收集的數(shù)據(jù)，重新用計(jì)算機(jī)擬合出函數(shù)模型，并記錄小組所測得的數(shù)學(xué)模型。設(shè)計(jì)一個方案對冷卻模型驗(yàn)證，然后探究下列問題：早餐煮熟了一個雞蛋溫度有，我們著急要吃完出門去，媽媽會把它放在冷水里降溫，若水池里溫度，5分鐘后雞蛋溫度為，假定整個過程中不再繼續(xù)往池中加入冷水，問多久后雞蛋溫度達(dá)到？小結(jié)：就認(rèn)識世界而言，數(shù)學(xué)應(yīng)是一個思考工具，表達(dá)工具，而不是計(jì)算工具。馮?諾依曼說：“如果有人不相信數(shù)學(xué)是簡單的，那是因?yàn)樗麄儧]有意識到人生有多復(fù)雜”目標(biāo)達(dá)成函數(shù)模型：，其中為正的常數(shù)，室溫，為開始時刻的水溫，為隨時間變化的水溫。這個就是英國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家牛頓提出的常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型。請?jiān)O(shè)計(jì)一個方案對牛頓冷卻模型進(jìn)行驗(yàn)證。冷卻模型應(yīng)