九宮格的解題過程

./九宮格的解題過程第1步首先計算每行數(shù)字之和。1－9九個數(shù)字之和：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45九宮格共有三行,并且每行的數(shù)字之和相等,因此45/3＝15,即每行數(shù)字之和為15。第2步計算中間格的數(shù)字?？紤]第2行,第2列,和2條對角線的數(shù)字之和。它們的總和為15/4＝60。在它們的總和中,中間格子的數(shù)字出現(xiàn)了4次,其它位置格子的數(shù)字都出現(xiàn)了而且僅出現(xiàn)了1次。所以,它們的總和＝〔4×中間格子的數(shù)字＋〔其它8個數(shù)字＝〔3×中間格子的數(shù)字＋〔1－9九個數(shù)字之和因此,60＝3×中間格子的數(shù)字＋45,中間格子的數(shù)字等于5第3步,奇數(shù)不能出現(xiàn)在4個角上的格子里。比如,如果數(shù)字9出現(xiàn)在角上的格子里,那么為了保證9所在行或所在列的數(shù)字和為15,必須需要4個數(shù)字,兩兩之和必須為6。1,2,3,4,6,7,8中,只有2和4組成和為6的數(shù)字對,找到第2個和為6的數(shù)字對是不可能的。因此,數(shù)字9不能出現(xiàn)在4個角上的格子里。同樣道理,1,3,7也不能出現(xiàn)在4個角上的格子里。第4步,2,4,6,8必須填在4個角上的格子里,并且保證對角線數(shù)字和為15。第5步,將1,3,7,9填入相應(yīng)的格子里就完成了九宮格填數(shù)字任務(wù),注意和為15的條件。完成了填九宮格的任務(wù)后,我們進(jìn)一步考慮,如果上面九宮格所有數(shù)字都加數(shù)字1會發(fā)生什么呢？即可不可以用數(shù)字2,3,4,5,6,7,8,9,10填九宮格,得到每一行,每一列,每一對角線的三個數(shù)字之和都相等的新九宮格呢。顯而易見,上面九宮格每行每列每對角線數(shù)字之和為18,奇數(shù)3,5,7,9處在4個角上的格子里,中間數(shù)6處在中間的格子里。從1－9和2－10各九個數(shù)字所填充的九宮格可以得出下列規(guī)律：1九個數(shù)字是由9個相連的整數(shù)構(gòu)成的。2九個數(shù)字中正中間的數(shù)字填在九宮格的中間格子里。1－9中的5,2-10中的6等。3每行每列的數(shù)字和等于中間數(shù)字的三倍。比如15＝5′3和18=6′3。4第2,4,6,8位的數(shù)字填充到4個角上的格子里。如2,3,4,5,6,7,8,9,10中的3,5,7,9和1,2,3,4,5,6,7,8,9中的2,4,6,8。問題1：已知9個相連的整數(shù)填充的九宮格其每行數(shù)字和為45,求這九個數(shù)字。中間格數(shù)字為45?3＝15,15為正中間的數(shù)字,因此九個數(shù)字為11,12,13,14,15,16,17,18,19。問題2：已知9個相連的整數(shù)填充的九宮格其每行數(shù)字和為96,求九宮格4個角上格子里的數(shù)。96?3＝32,得到九個數(shù)字為28,29,30,31,32,33,34,35,36。4個角上的數(shù)字為29,31,33,35,其中35和29為對角關(guān)系,31和33為對角關(guān)系。問題3：成公差為d〔d!=0的等差數(shù)列是否也填九宮格？比如公差為3的等差數(shù)列,1,4,7,10,13,16,19,22,25,如何填九宮格呢？5,15,25,35,45,55,65,75,85又怎樣填？古人說,"學(xué)貴有疑。小疑則小進(jìn),大疑則大進(jìn)"。在學(xué)習(xí)中,我們要注意歸納和演繹能力的培養(yǎng),總結(jié)一些規(guī)律,不但增加了學(xué)習(xí)的有效性和趣味性,對理解和掌握有關(guān)問題也很有益處。培育創(chuàng)新型人才既是學(xué)校和老師的責(zé)任,也是我們學(xué)生要刻意磨練的目標(biāo)。本文通過詳解九宮格問題,得到了一些有意義的結(jié)論和規(guī)律,而這些規(guī)律的獲得使我們對九宮格問題也有了更加深入的認(rèn)識。幻方的求解三階幻方的解法第一種：輝法：九子斜排,上下對易,左右相更,四維挺出。124357689294753618第二種：九宮圖也是幻方的別稱,三階幻方就是著名的洛書,他的排列是：："戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,五居中央〔9在上中,1在下中。3在左中,7在右中,2在左上,4在右上,6在左下,8在右下第三種：羅伯法：最小的數(shù)據(jù)上行中央,依次向右上方斜填,上出框往下寫,右出框往左填,排重便在下格填,右上排重一個樣816

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492四階幻方的解法1、先把這16個數(shù)字按順序從小到到排成一個4乘4的方陣2、外四個角對角上互補(bǔ)的數(shù)相易,〔方陣分為兩個正方形,外大小,然后把大正方形的四個對角上的數(shù)字對換,小正方形四個對角上的數(shù)字對換即〔1,16〔4,13互換〔6,11〔7,10互換16231351110897612414151另：對于n=4k階幻方,我們先把數(shù)字按順序填寫。寫好后,按4*4把它劃分成k*k個方陣。因?yàn)閚是4的倍數(shù),一定能用4*4的小方陣分割。然后把每個小方陣的對角線,象制作4階幻方的方法一樣,對角線上的數(shù)字換成互補(bǔ)的數(shù)字,就構(gòu)成幻方。五階幻方的解法：羅伯法：最小的數(shù)據(jù)上行中央,依次向右上方斜填,上出框往下寫,右出框往左填,排重便在下格填,右上排重一個樣。17241815

23571416

46132022

101219213

11182529〔在最上一行的中間填1,接著在1的右上方填2,由于1在最上一行,

所以1的右上方應(yīng)該是第五行的第四個,

接下來在2的右上方填3,3的右上方應(yīng)該是第三行第一個,所以在此填4,在4的右上方填5,

在5的下方填6,接著按前面五個數(shù)的填法依次填7,8,9,10;

在10的下方填11,然后按上面的方法填,

每次填五個數(shù),直到完成.

無論從上到下還是從左到右都是五排,

所以每排的五個數(shù)之和為<1+2+3+4+…+25>÷5=65,

因此,你可以驗(yàn)算一下是否每個和都是65.

此法適合于一切奇階幻方.數(shù)獨(dú)游戲數(shù)獨(dú),據(jù)說最先是在瑞典,后來到美國,然后到日本被發(fā)揚(yáng)光大。這個游戲,進(jìn)入了今年交大的自主招生試題——最后一道大題就是數(shù)獨(dú)題。上面的圖片中,紅色是在玩游戲前給出的數(shù)字,藍(lán)色的數(shù)字就是后填的。游戲的規(guī)則很簡單,每一行填入1—9九個數(shù)字,每一列也填入1—9九個數(shù)字,但同時要滿足每一個九宮格中也包含1—9九個數(shù)字,也就是說每一個九宮格中也填入1—9九個數(shù)字。此圖的特別之處就是橫行縱列加上兩條對角線上的三個數(shù)字之和均為15。類似于這樣的問題,也稱之為幻方,像上面的九宮格,可稱為3階幻方〔因每行,每列,兩條對角線上數(shù)字個數(shù)是3,還有4階、5階、6階等。此外還可分為奇階幻方和偶階幻方。九宮格就屬于奇階幻方。下面是個五階幻方?；梅降奶顚懯怯幸?guī)律的,我想通過上面兩個兩個幻方可以找到一些規(guī)律。偶階幻方的填寫規(guī)律比奇階幻方要稍微復(fù)雜——小聲點(diǎn)說,我還不是太明白,還在繼續(xù)學(xué)習(xí)中。練習(xí)1：.完成一道數(shù)獨(dú)游戲題吧,說不定下回哪個考試也會有這樣的題呢！練習(xí)2：3階幻方三個數(shù)的和是15,5階幻方五個數(shù)的和是65,你能說出7階幻方中七個數(shù)的和是多少嗎？進(jìn)一步,你能說出奇階幻方中n個數(shù)字的和是多少嗎？練習(xí)3：完成一個7階幻方。比如說三階幻方,先向外翻折擴(kuò)展,然后按上圖左二的規(guī)律,按順序?qū)懮?-9的數(shù)字,接下來幻方之外的數(shù),按左往右仍,右往左仍,上往下扔,下往上扔的規(guī)律填進(jìn)幻方,將其余的刪去,就得到一個橫豎斜都等于15的幻方了！下圖是五階幻方的解法,方法相同,只是規(guī)模大了點(diǎn)。七階幻方如下：〔唉,上面那種做圖太累,后面的圖就來自于互聯(lián)網(wǎng)了。。只要按照這個方法,無論多少階,只要是個奇數(shù),都可以畫得出來,至少一個！你可以奸詐一點(diǎn),比如說畫好菱形后,1的起始位置是可以換的,寫的方向也是可以換的,但是最后出來的幻方本質(zhì)上是一樣的。。對于偶數(shù)呢,最小是4階的,四階的幻方老師也講了一個解法,就是大對角線換,小對角線也換。步驟如下：先按順序?qū)懗?-16的數(shù)在4階幻方里面,如下：接下來所謂的大對角線換,小對角線換就是1和16換,4和13換,6和11,7和10,換完就出來了：橫豎斜都是34。然后問題就來了,有沒有辦法可以解出任意高偶數(shù)階的幻方的方法呢？我曾經(jīng)很傻很天真的試圖把4階這種換對角線的方法推廣到6階,但是怎么弄都未果,估計這種方法對于4階只是種巧合吧。后來大學(xué)玩matlab后,發(fā)現(xiàn)matlab里面函數(shù)magic可以輸出任意階的幻方,哦,soga,原來真的有的啊。后來我就對著matlab里面magic的源文件寫出了這個C++版本,只是為了鞏固自己對四階的理解罷了。然后下面整理一下一般的偶數(shù)階幻方的解法,解法來源于互聯(lián)網(wǎng)。首先一般的偶數(shù)階解法都是把偶數(shù)分成兩種,4,8,12,16這種4m的雙偶數(shù)和6,10,14這種4m+2的單偶數(shù),一般的解法都是分開來兩類的,包括matlab里面的magic函數(shù),不過查了一下也有很多大牛研究出了統(tǒng)一解法,更有大神把奇偶階全部同意了,膜拜ing。。。雙偶數(shù)解法：偶數(shù)階下面先講簡單的雙偶數(shù)解法,看了很多解法,但是最后發(fā)現(xiàn)了一個通解,網(wǎng)上看到的大部分解法都是這個通解的特例。首先呢,如下圖所示,先把n階幻方分成4個小塊,對于左上角那個你任意的把一半放個填成灰色,但是有一個約束條件,就是左上角這個小塊中每一行每一列都要只有n/4個灰色的。然后呢,右上的那個小塊的填色方案就是左上填色方案的左右鏡像對稱,左下的就是左上天色方案的上下鏡像對稱,自然,右下就是左上的中心對稱了。如下圖所示：然后呢,你把1-n2這么多個數(shù)按順序填進(jìn)白色的格子里去,灰色的部分要留著。如下面左圖所示：之后呢,把剩下的沒填的數(shù)反過來填進(jìn)去,也就是從右下到左上的順序,填完雙偶數(shù)階幻方就出來了。

現(xiàn)在我們來討論一下這種方法,首先看我們原本的四階幻方的解法,有沒有發(fā)現(xiàn)其實(shí)和這種方法是一個東西。然后再看看雙偶數(shù)階的另一種解法,比如說下面這個8階幻方：這里的解法呢,就是把整個幻方分成2×2個4×4的小塊,按順序填好1-64個數(shù),然后每個4×4小塊的對角線上的數(shù)不變,其余的數(shù)做中心對稱。再看看下面這個：12階,分成3×3個4×4的小塊,和之前一樣,按順序填好數(shù),然后每個4×4小塊的對角線上的數(shù)不變,其余的數(shù)做中心對稱。雖然和我最開始的那種分法不一樣,但是你仔細(xì)一想,其實(shí)是完全一樣的,只是他的填色方案是固定的一種模式而已。還有一種說法是每個小塊對角線上的數(shù)換成互補(bǔ)的那個數(shù),其實(shí)本質(zhì)還是一樣嘛。下面是一個雙偶數(shù)的matlab程序,我填色方案用時是國際象棋棋盤那種黑白相間。functiona=hf_4m<n>flag=zeros<n/2,n/2>;flag<1:2:n/2,1:2:n/2>=1;flag<2:2:n/2,2:2:n/2>=1;flag=[flagfliplr<flag>;flipud<flag>flipud<fliplr<flag>>];a=reshape<1:n^2,n,n>';a=a.*flag;a=reshape<a',1,n^2>;blank_idx=find<a==0>;number_left=<1:n^2>.*<a==0>;number_left=fliplr<setdiff<number_left,0>>;a<blank_idx>=number_left;a=reshape<a,n,n>';單偶數(shù)解法：下面來看看單偶數(shù)的解法,這種現(xiàn)在主要有兩種方法,分區(qū)法和易位法。其中呢,分區(qū)法也有兩種。先說分區(qū)法,首先呢就是把方陣劃分成下面A,B,C,D四塊,因?yàn)槭菃闻紨?shù),所以每一塊必然是個奇數(shù)幻方。然后把1~n2/4這些數(shù)組成的奇數(shù)階幻方算出來,填進(jìn)A里面,然后接下來的n2/4的幻方填進(jìn)D里面,〔其實(shí)有個很簡單的方法,就是把A里面的每個數(shù)加上n2/4就可以了,再把D里面的加上n2/4放到B里面,最后那些放到C里面。下面是10階幻方的一個例子：然后下面的東西有點(diǎn)拗口,但是細(xì)細(xì)讀就會明白了：先假設(shè)階數(shù)是4k+2,那么k=<n-2>/4,然后下面是第一種方法：從A小塊的中間行中間格開始〔上圖中的13,向右找k個數(shù)〔包括中間行中間格那個,和C小塊的相應(yīng)位置的數(shù)換位。A小塊的其他行〔也就是除了最中間那一行從最左開始數(shù)出k個數(shù),和C中相應(yīng)位置的數(shù)換。B小塊中間列開始,向左數(shù)K-1列出來〔當(dāng)然也包括B小塊中間那一列,然后這些列和D小塊中相應(yīng)未知的數(shù)換位?！?階k-1=0,就不用了然后就完成了。14階幻方的換位方式如下：這種方法的matlab函數(shù)如下：functiona=hf_4m_2<n>a=zeros<n,n>;a<1:n/2,1:n/2>=magic<n/2>;a<n/2+1:n,n/2+1:n>=a<1:n/2,1:n/2>+n^2/4;a<1:n/2,n/2+1:n>=a<1:n/2,1:n/2>+n^2/4*2;a<n/2+1:n,1:n/2>=a<1:n/2,1:n/2>+n^2/4*3;m=<n/2-1>/2;temp=a<<n/2+1>/2,<n/2+1>/2:<n/2+1>/2+m-1>;a<<n/2+1>/2,<n/2+1>/2:<n/2+1>/2+m-1>=a<<n/2+1>/2+n/2,<n/2+1>/2:<n/2+1>/2+m-1>;a<<n/2+1>/2+n/2,<n/2+1>/2:<n/2+1>/2+m-1>=temp;temp=a<setdiff<1:n/2,<n/2+1>/2>,1:1+m-1>;a<setdiff<1:n/2,<n/2+1>/2>,1:1+m-1>=a<setdiff<1:n/2,<n/2+1>/2>+n/2,1:1+m-1>;a<setdiff<1:n/2,<n/2+1>/2>+n/2,1:1+m-1>=temp;if<m>1>temp=a<1:n/2,n*3/4+1/2-m+2:n*3/4+1/2>;a<1:n/2,n*3/4+1/2-m+2:n*3/4+1/2>=a<1+n/2:n,n*3/4+1/2-m+2:n*3/4+1/2>;a<1+n/2:n,n*3/4+1/2-m+2:n*3/4+1/2>=temp;end然后還有一種換位方法,A小塊中間那一行第2列開始往右數(shù)k個數(shù),和C小塊中相應(yīng)位置的數(shù)換位,A小塊中其余行都從最左開始向右數(shù)k列,這些數(shù)也和C小塊的做交換。B小塊中,從最右開始向左數(shù)k-1個列,與D中相應(yīng)位置的數(shù)換位,結(jié)果也是一樣的。這種方法matlab代碼如下：functiona=hf_4m_2<n>a=zeros<n,n>;a<1:n/2,1:n/2>=magic<n/2>;a<n/2+1:n,n/2+1:n>=a<1:n/2,1:n/2>+n^2/4;a<1:n/2,n/2+1:n>=a<1:n/2,1:n/2>+n^2/4*2;a<n/2+1:n,1:n/2>=a<1:n/2,1:n/2>+n^2/4*3;m=<n/2-1>/2;temp=a<<n/2+1>/2,2:2+m-1>;a<<n/2+1>/2,2:2+m-1>=a<<n/2+1>/2+n/2,2:2+m-1>;a<<n/2+1>/2+n/2,2:2+m-1>=temp;temp=a<setdiff<1:n/2,<n/2+1>/2>,1:1+m-1>;a<setdiff<1:n/2,<n/2+1>/2>,1:1+m-1>=a<setdiff<1:n/2,<n/2+1>/2>+n/2,1:1+m-1>;a<setdiff<1:n/2,<n/2+1>/2>+n/2,1:1+m-1>=temp;if<m>1>temp=a<1:n/2,n:-1:n-m+2>;a<1:n/2,n:-1:n-m+2>=a<<1:n/2>+n/2,n:-1:n-m+2>;a<<1:n/2>+n/2,n:-1:n-m+2>=temp;end這兩中方法為什么可行我還沒仔細(xì)研究,但是剛剛編程發(fā)現(xiàn)一個很神奇的現(xiàn)象,就是第一種方法的BD小塊交換規(guī)則配上第二種方法的AC小塊交換規(guī)則,也是可以的。。囧。。對于單偶數(shù)的幻方,還有一種輝創(chuàng)造的二階方陣易位法〔我發(fā)現(xiàn)輝老兄很喜歡玩數(shù)陣。。對于n=4m+2階幻方,先用奇數(shù)階的方法做出一個2m+1階幻方來,然后把1~n2那么多個數(shù)4個一組,分成<2m+1>2個組,{1,2,3,4}{5,6,7,8}{9,10,11,12}…分別稱為第1組,第2組,第3組…第<2m+1>2組。接下來那每一組四個數(shù)按下面的方法放入2×2的方陣中：然后把之前那個2m+1階幻方,每個位置上的數(shù)如果是i,那么就換成第i組2×2方陣,這樣就有了一個n×n的方陣了,但是這個方陣還不是幻方,需要再修正。我們繼續(xù)討論剛才那一個2m+1階幻方,假設(shè)我們n=14,那么2m+1=7,對于下圖中這個7階的方陣,我們把倒數(shù)第二行染綠,然后從中間那一行開始向下知道倒數(shù)第三行為止全部染藍(lán),如果中間那一行就是倒數(shù)第二行,那么不染藍(lán)。接下來在把最左和最右兩列的染色向下拉一格。如下圖：我們知道對應(yīng)于剛剛做出來的那個n×n的方陣,每2×2方陣,四個數(shù)對應(yīng)于上圖的一個格。我們現(xiàn)在做如下操作,如果是綠色的格子,那么2×2方陣的最下面兩個數(shù)交換,如果是藍(lán)色格子的話,2×2方陣不僅下面兩個數(shù)交換,而且上面兩個數(shù)也要交換。下面舉個例子：對于14階幻方,先生成一個7階幻方然后把相應(yīng)位置填上相應(yīng)的2階方陣：填好色：綠色格子下面兩個數(shù)換位,藍(lán)色的上下都換,就得到結(jié)果啦~~~輝易位法代碼如下：functiona=hf_4m_2_yiwei<n>h=magic<n/2>;a=zeros<n,n>;fori=1:n/2forj=1:n/2a<i*2-1:i*2,j*2-1:j*2>=[23;41]+<h<i,j>-1>*4;endendflag=zeros<n/2,n/2>;flag<n/2-1,:>=1;%%下面兩個互換if<n>6>flag<<n/2+1>/2:n/2-2,:>=2;%%上面下面都要換endflag<2:n/2,[1n/2]>=flag<1:n/2-1,[1n/2]>;fori=1:n/2forj=1:n/2if<flag<i,j>>0>temp=a<i*2,j*2-1>;a<i*2,j*2-1>=a<i*2,j*2>;a<i*2,j*2>=temp;endif<flag<i,j>==2>temp=a<i*2-1,j*2-1>;a<i*2-1,j*2-1>=a<i*2-1,j*2>;a<i*2-1,j*2>=temp;endendend喲西,好了,終于寫的差不多了。自個研究了一下,收獲頗多。不過幻方可不僅僅是構(gòu)造那么簡單,以前看的一本書里面有各種變態(tài)的幻方,什么切尾幻方什么的。。還有很多數(shù)學(xué)上的東西,下面提問,請證明：偶數(shù)階幻方行列式值一定是0！下面附上一個很多年前改寫matlab的magic函數(shù)的C++代碼：#include<iostream.h>#include<iomanip.h>classmagic{public:int**m;

magic<>;

magic<intn>;

magic<magic&c>;voidshow<>;intsize;};magic::magic<magic&c>{intn=c.size;

size=n;

m=newint*[n];for<intl=0;l<n;l++>

{

m[l]=newint[n];for<intk=0;k<n;k++>

{

m[l][k]=c.m[l][k];

}

}}magic::magic<intn>{

size=n;

m=newint*[n];for<intl=0;l<n;l++>

{

m[l]=newint[n];for<intk=0;k<n;k++>

m[l][k]=0;

}}voidmagic::show<>{for<intl=0;l<size;l++>

{for<intk=0;k<size;k++>

cout<<setw<3><<m[l][k]<<"";

cout<<endl;

}

cout<<endl;}magiccreatmagic<intn>{intl,k;if<n%2==1>

{

magici<n>,j<n>,m<n>,a<n>,b<n>;for<l=0;l<n;l++>for<k=0;k<n;k++>

{

j.m[l][k]=k+1;

i.m[l][k]=l+1;

}for<l=0;l<n;l++>for<k=0;k<n;k++>

{

a.m[l][k]=<i.m[l][k]+j.m[l][k]-<n+3>/2>%n;if<a.m[l][k]<0>a.m[l][k]+=n;

b.m[l][k]=<i.m[l][k]+j.m[l][k]*2-2>%n;if<b.m[l][k]<0>b.m[l][k]+=n;

m.m[l][k]=n*a.m[l][k]+b.m[l][k]+1;

}returnm;

}elseif<n%4==0>

{

magici<n>,j<n>,d<n>,m<n>;for<l=0;l<n;l++>for<k=0;k<n;k++>

{

j.m[l][k]=k+1;

i.m[l][k]=l+1;

d.m[l][k]=<

<<i.m[l][k]%4>/2>

==

<<j.m[l][k]%4>/2>

>;

m.m[l][k]=l*n+k+1;if<d.m[l][k]==1>m.m[l][k]=n*n+1-m.m[l][k];

}returnm;

}else

{intp=n/2;

magict<creatmagic<p>>,m<n>;for<l=0;l<n;l++>for<k=0;k<n;k++>

{if<l<n/2&&k<n/2>

m.m[l][k]=t.m[l][k];elseif<l<n/2&&k>=n/2>

m.m[l][k]=t.m[l][k-n/2]+2*p*p;elseif<l>=n/2&&k<n/2>

m.m[l][k]=t.m[l-n/2][k]+3*p*p;else

m.m[l][k]=t.m[l-n/2][k-n/2]+p*p;

}inte=<n-2>/4;//cout<<e;for<l=0;l<n;l++>

{if<<l>=0&&l<=<e-1>>

||

<

l>=<n+1-e>

>>

{for<k=0;k<n/2;k++>

{inttemp=m.m[k][l];

m.m[k][l]=m.m[k+n/2][l];

m.m[k+n/2][l]=temp;

}

}

}inttemp=m.m[e][0];

m.m[e][0]=m.m[e+n/2][0];

m.m[e+n/2][0]=temp;

temp=m.m[e][e];

m.m[e][e]=m.m[e+n/2][e];

m.m[e+n/2][e]=temp;returnm;

}}voidmain<>{floatm;intn;while<1>

{

cout<<"inputthesize:";