勾股定理及其逆定理復(fù)習(xí)典型例題

PAGE2每個(gè)學(xué)生都應(yīng)該用的“超級(jí)學(xué)習(xí)筆記”□小郎錄題每個(gè)學(xué)生都應(yīng)該用的“超級(jí)學(xué)習(xí)筆記”□小郎錄題PAGE1勾股定理及其逆定理復(fù)習(xí)典型例題勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2=c2）

勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理

聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。如果用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形

（1）首先確定最大邊（如：C，但不要認(rèn)為最大邊一定是C）

（2）驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2=a2+b2，則△ABC是以∠C為直角的三角形。（若c2>a2+b2則△ABC是以∠C為鈍角的三角形，若c2<a2+b2則△ABC是以∠C為銳角三角形）二、例題分析例1、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長(zhǎng)是20，求此直角三角形的面積。解：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x，4x，根據(jù)題意得：（3x）2+（4x）2=202化簡(jiǎn)得x2=16；∴直角三角形的面積=×3x×4x=6x2=96注：直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求解。例2、等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，求它的面積。解：如圖，等邊△ABC，作AD⊥BC于D則：BD=BC（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合）∵AB=AC=BC=2（等邊三角形各邊都相等）∴BD=1在直角三角形ABD中AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2－BD2=4－1=3∴AD=S△ABC=BC·AD=注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長(zhǎng)為a，則其面積為a例3、直角三角形周長(zhǎng)為12cm，斜邊長(zhǎng)為5cm，求直角三角形的面積。解：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是x，y，根據(jù)題意得：由（1）得：x+y=7，（x+y）2=49，x2+2xy+y2=49(3)(3)－(2)，得：xy=12∴直角三角形的面積是xy=×12=6（cm2）例4、在銳角△ABC中，已知其兩邊a=1，b=3，求第三邊的變化范圍。分析：顯然第三邊b－a<c<b+a，但這只是能保證三條邊能組成一個(gè)三角形，卻不能保證它一定是一個(gè)銳角三角形，為此，先求△ABC為直角三角形時(shí)第三邊的值。解：設(shè)第三邊為c，并設(shè)△ABC是直角三角形當(dāng)?shù)谌吺切边厱r(shí)，c2=b2+a2，∴c=當(dāng)?shù)谌叢皇切边厱r(shí)，則斜邊一定是b，b2=a2+c2，∴c=2（即）∵△ABC為銳角三角形所以點(diǎn)A應(yīng)當(dāng)繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使∠ABC成為銳角（如圖），但當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn)A2位置時(shí)∠ACB成為直角。故點(diǎn)A應(yīng)當(dāng)在A1和A2間移動(dòng)，此時(shí)2<AC<注：此題易忽視①或②中一種情況，因?yàn)榧僭O(shè)中并沒有明確第三邊是否直角邊，所以有兩種情況要考慮。例5、以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（）A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40此題可直接用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷，對(duì)數(shù)據(jù)較大的可以用c2=a2+b2的變形：b2=c2－a2=（c－a）（c+a）來判斷。例如：對(duì)于選擇支D，∵82≠（40+39）×（40－39），∴以8，39，40為邊長(zhǎng)不能組成直角三角形。答案：A例6、四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD7、解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為x,當(dāng)?shù)谌吺切边厱r(shí)：x2=32+42=25，即x=5當(dāng)?shù)谌叢皇切边厱r(shí)，則斜邊長(zhǎng)為4：x2=42－32，即x=8、此題類似于例3解：根據(jù)題意得：∴∴9、證明：作DE⊥AB于E∵AD=BD,DE⊥AB∴2AE=AB（等腰三角形底邊上的中線和底邊上的高互相重合）∠DEA=90°（垂直的定義）又∵AB=