高三大一輪復(fù)習講義數(shù)學(xué)（文）課時作業(yè)32：數(shù)列的綜合應(yīng)用（北師大版）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時作業(yè)(三十二）數(shù)列的綜合應(yīng)用A級1．（2012·聊城模擬）已知數(shù)列{an｝的前n項和為Sn，過點P（n,Sn)和Q（n＋1，Sn＋1）（n∈N＋）的直線的斜率為3n－2，則a2＋a4＋a5＋a9的值等于()A．52 B．40C．26 D．202．已知數(shù)列{an}，{bn}都是公差為1的等差數(shù)列，其首項分別為a1,b1，且a1＋b1＝5,a1＞b1,a1，b1∈N＋（n∈N＋),則數(shù)列｛abn｝的前10項的和等于（）A．65 B．75C．85 D．953．已知數(shù)列｛an｝，｛bn}滿足a1＝1且an，an＋1是函數(shù)f（x)＝x2－bnx＋2n的兩個零點，則b10等于（)A．24 B．32C．48 D．644．（2011·上海卷）設(shè)｛an｝是各項為正數(shù)的無窮數(shù)列，Ai是邊長為ai，ai＋1的矩形的面積（i＝1,2，…），則{An｝為等比數(shù)列的充要條件為（)A．｛an｝是等比數(shù)列B．a(chǎn)1，a3，…,a2n－1,…或a2，a4,…，a2n,…是等比數(shù)列C．a(chǎn)1，a3，…，a2n－1，…和a2,a4，…，a2n，…均是等比數(shù)列D．a(chǎn)1,a3，…，a2n－1，…和a2，a4,…，a2n，…均是等比數(shù)列,且公比相同5．小王每月除去所有日常開支,大約結(jié)余a元．小王決定采用零存整取的方式把余錢積蓄起來，每月初存入銀行a元，存期1年（存12次），到期取出本金和利息．假設(shè)一年期零存整取的月利率為r，每期存款按單利計息．那么，小王存款到期利息為________元．6．（2012·濟南模擬)若數(shù)列{an｝滿足eq\f(1，an＋1)－eq\f（1，an)＝d(n∈N＋，d為常數(shù)），則稱數(shù)列{an｝為“調(diào)和數(shù)列"．已知數(shù)列eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（\f(1,xn)))為“調(diào)和數(shù)列”，且x1＋x2＋…＋x20＝200，則x3x18的最大值是________．7．在等比數(shù)列{an}中，an〉0（n∈N＋），公比q∈(0,1），且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a(1）求數(shù)列｛an}的通項公式；（2）設(shè)bn＝log2an，數(shù)列｛bn}的前n項和為Sn，當eq\f（S1，1）＋eq\f(S2,2)＋…＋eq\f(Sn,n）取最大值時，求n的值．8．(2012·湛江模擬）已知數(shù)列{an｝滿足a1＝1，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）an＋nn為奇數(shù)，n∈N＋，an－2nn為偶數(shù)，n∈N＋))。(1）求a2，a3；（2）設(shè)bn＝a2n－2，n∈N＋，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求其通項公式；（3)已知cn＝logeq\f(1，2）|bn｜，求證：eq\f（1,c1c2)＋eq\f（1,c2c3)＋…＋eq\f(1，cn－1cn）＜1.B級1．祖國大陸允許臺灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來,在11個省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗區(qū)和臺灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園,臺灣農(nóng)民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務(wù)，某臺商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠,第一年各種經(jīng)費12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬美元，設(shè)f（n)表示前n年的純收入．(f（n)＝前n年的總收入－前n年的總支出－投資額)（1）從第幾年開始獲取純利潤？(2)若干年后，該臺商為開發(fā)新項目，有兩種處理方案：①年平均利潤最大時以48萬美元出售該廠；②純利潤總和最大時，以16萬美元出售該廠，問哪種方案最合算？2．(2012·廣州市調(diào)研)已知數(shù)列{an｝中,a1＝1，a2＝3，且an＋1＝an＋2an－1(n≥2)．(1）設(shè)bn＝an＋1＋λan，是否存在實數(shù)λ，使數(shù)列{bn｝為等比數(shù)列．若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由；（2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn。

答案課時作業(yè)（三十二)A級1．B由題意，知eq\f（Sn＋1－Sn，n＋1－n)＝3n－2，∴Sn＋1－Sn＝3n－2，即an＋1＝3n－2，∴an＝3n－5,因此數(shù)列｛an}是等差數(shù)列,a5＝10，∴a2＋a4＋a5＋a9＝2(a3＋a7）＝4a52．C應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式得an＝a1＋n－1，bn＝b1＋n－1，∴abn＝a1＋bn－1＝a1＋(b1＋n－1)－1＝a1＋b1＋n－2＝5＋n－2＝n＋3，∴數(shù)列{abn}也是等差數(shù)列，且前10項和為eq\f（10×4＋13，2)＝85.3．D依題意有anan＋1＝2n,所以an＋1an＋2＝2n＋1，兩式相除得eq\f(an＋2,an)＝2。所以a1,a3，a5，…成等比數(shù)列，a2，a4,a6，…也成等比數(shù)列，而a1＝1,a2＝2.所以a10＝2·24＝32,a11＝1·25＝32.又因為an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64。4．D∵Ai＝aiai＋1，若｛An｝為等比數(shù)列，則eq\f（An＋1，An)＝eq\f（an＋1an＋2，anan＋1）＝eq\f（an＋2，an)為常數(shù),即eq\f（A2,A1）＝eq\f（a3,a1)，eq\f(A3,A2)＝eq\f（a4,a2)，…?！郺1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n,…成等比數(shù)列，且公比相等．反之，若奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等比數(shù)列,且公比相等,設(shè)為q，則eq\f（An＋1，An)＝eq\f(an＋2,an）＝q，從而{An｝為等比數(shù)列．5．解析：由題意知，小王存款到期利息為12ar＋11ar＋10ar＋…＋2ar＋ar＝eq\f(1212＋1,2)ar＝78ar。答案：78ar6．解析：因為數(shù)列eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1(\f(1，xn）)）為“調(diào)和數(shù)列”,所以xn＋1－xn＝d(n∈N＋，d為常數(shù))，即數(shù)列{xn｝為等差數(shù)列，由x1＋x2＋…＋x20＝200得eq\f（20x1＋x20,2)＝eq\f（20x3＋x18,2)＝200,即x3＋x18＝20，易知x3，x18都為正數(shù)時，x3x18取得最大值，所以x3x18≤eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3＋x18,2）)）2＝100，即x3x18的最大值為100.答案：1007．解析：(1）因為a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，所以aeq\o\al（2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2，5又an〉0，所以a3＋a5＝5.又a3與a5的等比中項為2，所以a3a5而q∈(0,1），所以a3>a5，所以a3＝4，a5＝1，所以q＝eq\f（1，2）,a1＝16,所以an＝16×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2）))n－1＝25－n。（2)bn＝log2an＝5－n，所以bn＋1－bn＝－1，故{bn}是以b1＝4為首項，－1為公差的等差數(shù)列,所以Sn＝eq\f(n9－n，2)，所以eq\f(Sn，n)＝eq\f（9－n，2).當n≤8時，eq\f(Sn,n）〉0;當n＝9時，eq\f（Sn，n)＝0；當n〉9時,eq\f（Sn,n)〈0；所以當n＝8或9時，eq\f（S1,1）＋eq\f(S2,2）＋eq\f(S3，3）＋…＋eq\f(Sn,n)取最大值．8．解析：(1)由數(shù)列｛an}的遞推關(guān)系易知：a2＝eq\f（3,2)，a3＝－eq\f(5，2).(2)證明:bn＋1＝a2n＋2－2＝eq\f(1，2）a2n＋1＋(2n＋1）－2＝eq\f（1,2)a2n＋1＋（2n－1)＝eq\f（1，2）(a2n－4n）＋(2n－1)＝eq\f（1,2)a2n－1＝eq\f(1，2）(a2n－2）＝eq\f（1,2)bn.又b1＝a2－2＝－eq\f(1,2)，∴bn≠0，∴eq\f（bn＋1,bn）＝eq\f（1，2),即數(shù)列｛bn｝是公比為eq\f(1，2）,首項為－eq\f（1,2)的等比數(shù)列，bn＝－eq\f(1，2)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）））n－1＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)）)n.(3)證明：由(2）有cn＝logeq\f(1，2）|bn｜＝logeq\f(1,2）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)）)n＝n?！遝q\f（1,n－1n)＝eq\f（1,n－1）－eq\f(1,n)（n≥2)．∴eq\f(1,c1c2)＋eq\f(1,c2c3)＋…＋eq\f(1,cn－1cn）＝eq\f（1,1×2)＋eq\f(1，2×3)＋…＋eq\f(1,n－1n）＝1－eq\f(1,2）＋eq\f(1，2)－eq\f（1,3)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1，n）＝1－eq\f（1,n)＜1。B級1．解析：由題意，知每年的經(jīng)費是以12為首項，4為公差的等差數(shù)列．設(shè)純利潤與年數(shù)的關(guān)系為f（n),則f(n）＝50n－eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（12n＋\f（nn－1,2)×4）)－72＝－2n2＋40n－72.(1)獲取純利潤就是要求f(n)＞0，故有－2n2＋40n－72＞0,解得2＜n＜18。又n∈N＋，知從第三年開始獲利．(2)①平均利潤為eq\f(fn,n）＝40－2eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（n＋\f(36,n）)）≤16,當且僅當n＝6時取等號．故此方案獲利6×16＋48＝144(萬美元），此時n＝6.②f（n)＝－2n2＋40n－72＝－2（n－10)2＋128,當n＝10時，f(n)max＝128.故此方案共獲利128＋16＝144（萬美元)．比較兩種方案，第①種方案只需6年，第②種方案需要10年，故選擇第①種方案．2．解析:(1)假設(shè)存在實數(shù)λ，使數(shù)列｛bn｝為等比數(shù)列，設(shè)eq\f（bn,bn－1)＝q（n≥2）．即an＋1＋λan＝q(an＋λan－1)，得an＋1＝(q－λ)an＋qλan－1.與已知an＋1＝an＋2an－1比較,令eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(q－λ＝1,qλ＝2）)，解得λ＝1或λ＝－2.所以存在實數(shù)λ，使數(shù)列｛bn｝為等比數(shù)列．當λ＝1時，q＝2,b1＝4，則數(shù)列｛bn｝是首項為4，公比為2的等比數(shù)列;當λ＝－2時，q＝－1，b1＝1，則數(shù)列{bn}是首項為1，公比為－1的等比數(shù)列．(2）由已知an＋1＝an＋2an－1得an＋1－2an＝－an＋2an－1∴eq\f(an＋1－2an，an－2an－1）＝－1，∴an＋1－2an＝（－1）n＋1(n≥1)，所以eq\f(an＋1，2n＋1）－eq\f（an，2n)＝eq\f（－1n＋1,2n＋1）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1，2)))n＋1(n≥1)，當n≥2時，eq\f（an,2n)＝eq\f(a1，21）＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a2，22)－\f(a1，21))）＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(a3，23）－\f（a2,22）））＋…＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(an,2n)－\f（an－1，2n－1）））＝eq\f（1，2)＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1,2)））2＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(1，2)））3＋…＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(1，2）)）n＝eq\f（1，2)＋eq\f（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1,2)））2\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（1－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1，2)）)n－1)）,1－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（1，2）））)＝eq\f（1，2）＋eq\f（1,6)eq\b\lc\[\rc\］（