9.2 雙因素方差分析

概率論

與數(shù)理統(tǒng)計(jì)理學(xué)院數(shù)學(xué)系“悟道詩(shī)---嚴(yán)加安”隨機(jī)非隨意，概率破玄機(jī)；無(wú)序隱有序，統(tǒng)計(jì)解迷離．第九章方差分析第二節(jié)雙因素方差分析二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型四、小結(jié)一、單因素方差分析的基本原理三、統(tǒng)計(jì)分析如果在例9.1.1中,不只考慮家庭因素對(duì)成年孩子身高的影響,還考慮地域因素的影響,這就是一個(gè)雙因素方差分析.一、雙因素方差分析的基本原理如果和對(duì)的影響是相互獨(dú)立的，此時(shí)的雙因素方差分析稱為無(wú)交互作用的雙因素方差分析；

如果除了和對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的單獨(dú)影響外，因素

和因素的搭配還會(huì)對(duì)產(chǎn)生一種新的影響，這時(shí)的雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因素方差分析．假設(shè)試驗(yàn)指標(biāo)同時(shí)受到因素和的影響，對(duì)于無(wú)交互作用的雙因素方差分析一、單因素方差分析的基本原理樣本觀測(cè)值—總均值

=因素的效應(yīng)+因素的效應(yīng)+隨機(jī)誤差一、雙因素方差分析的基本原理無(wú)交互作用的雙因素方差分析就是將樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和分解為三部分：系統(tǒng)因素所造成的離差平方和，系統(tǒng)因素所造成的離差平方和，以及隨機(jī)因素所造成的離差平方和，然后根據(jù)這三個(gè)平方和構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，推導(dǎo)統(tǒng)計(jì)量所服從的分布，最后確定檢驗(yàn)的拒絕域．對(duì)于有交互作用的雙因素方差分析一、雙因素方差分析的基本原理樣本觀測(cè)值—總均值=

的效應(yīng)+的效應(yīng)+的交互作用+隨機(jī)誤差一、雙因素方差分析的基本原理有交互作用的雙因素方差分析就是將樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和分解為四部分：系統(tǒng)因素所造成的離差平方和，系統(tǒng)因素所造成的離差平方和，

的交互作用所造成的離差平方和，以及隨機(jī)因素所造成的離差平方和，然后根據(jù)這四個(gè)平方和構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，推導(dǎo)統(tǒng)計(jì)量所服從的分布，最后確定檢驗(yàn)的拒絕域．二、雙因素方差分析的數(shù)學(xué)模型設(shè)因素有個(gè)不同的水平，因素有

個(gè)不同的水平,每種水平組合

下的試驗(yàn)結(jié)果看作是取自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，各水平組合與總體分布如下二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型令則表示因素的第個(gè)水平的效應(yīng)，表示因素的第個(gè)水平的效應(yīng)，它們滿足二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型1.無(wú)交互作用的雙因素方差分析模型若，即每種水平組合下的總體均值可看作是總平均與各因素水平效應(yīng)

的簡(jiǎn)單迭加，此時(shí)不考慮的交互作用．為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)每種水平組合下只做一次獨(dú)立試驗(yàn)（無(wú)重復(fù)試驗(yàn)），結(jié)果記為，試驗(yàn)誤差為，則無(wú)交互作用的雙因素方差分析模型為二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型1.無(wú)交互作用的雙因素方差分析模型二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型

2.有交互作用的雙因素方差分析模型若，記

其中表示和對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的某種聯(lián)合影響，稱為和的交互作用的效應(yīng)，簡(jiǎn)稱交互效應(yīng)，它們滿足為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)在每種水平組合下均做次試驗(yàn)（等重復(fù)試驗(yàn)），并假設(shè)所有的試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，所得試驗(yàn)結(jié)果記為每次試驗(yàn)誤差記為，則有交互作用的雙因素方差分析模型為二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型

2.有交互作用的雙因素方差分析模型為研究交互作用的影響是否顯著，在兩因素的各種水平組合下需要做重復(fù)試驗(yàn)．二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型

2.有交互作用的雙因素方差分析模型(9.15)二、單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型

2.有交互作用的雙因素方差分析模型注9.2.1對(duì)于雙因素方差分析，若不考慮交互作用，在因素A,B的每種水平組合下只需做一次試驗(yàn)，即可進(jìn)行后續(xù)的統(tǒng)計(jì)分析，當(dāng)然也可以做重復(fù)試驗(yàn)．若考慮交互作用，在各水平組合下需要做重復(fù)試驗(yàn)，才可進(jìn)行后續(xù)的統(tǒng)計(jì)分析．三、統(tǒng)計(jì)分析1．無(wú)交互作用的雙因素方差分析檢驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響是否顯著，等價(jià)于檢驗(yàn)假設(shè)

原假設(shè)成立表示因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)無(wú)顯著影響．類似地，檢驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響是否顯著，等價(jià)于檢驗(yàn)假設(shè)

原假設(shè)成立表示因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)無(wú)顯著影響.(1)平方和分解三、統(tǒng)計(jì)分析1．無(wú)交互作用的雙因素方差分析假設(shè)每種水平組合下只做一次獨(dú)立試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果如下(1)平方和分解三、統(tǒng)計(jì)分析1．無(wú)交互作用的雙因素方差分析其中(1)平方和分解三、統(tǒng)計(jì)分析1．無(wú)交互作用的雙因素方差分析由式(9.14)可知

用作為的估計(jì)，作為的估計(jì)，作為的估計(jì)，則有(1)平方和分解三、統(tǒng)計(jì)分析1．無(wú)交互作用的雙因素方差分析記為樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和，即

將分解如下：(1)平方和分解三、統(tǒng)計(jì)分析1．無(wú)交互作用的雙因素方差分析可以證明，在上述平方和分解式中，所有交叉乘積的和項(xiàng)均為0．為因素所造成的離差平方和;為因素所造成的離差平方和;為隨機(jī)因素所造成的離差平方和.(1)平方和分解三、統(tǒng)計(jì)分析1．無(wú)交互作用的雙因素方差分析定理9.2.1在以上記號(hào)下，對(duì)于模型(9.14)，有以下結(jié)論成立：·，且、和相互獨(dú)立；·成立時(shí)，；·成立時(shí)，；·和都成立時(shí)，．(2)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量和拒絕域三、統(tǒng)計(jì)分析1．無(wú)交互作用的雙因素方差分析構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量其中(2)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量和拒絕域三、統(tǒng)計(jì)分析1．無(wú)交互作用的雙因素方差分析由定理9.2.1，在原假設(shè)和分別成立時(shí)，有對(duì)于給定的顯著性水平，和對(duì)應(yīng)的拒絕域分別為(3)無(wú)交互作用的雙因素方差分析表三、統(tǒng)計(jì)分析1．無(wú)交互作用的雙因素方差分析三、統(tǒng)計(jì)分析1．無(wú)交互作用的雙因素方差分析當(dāng)時(shí)，應(yīng)拒絕原假設(shè)

，認(rèn)為因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響．(3)無(wú)交互作用的雙因素方差分析表當(dāng)時(shí)，應(yīng)拒絕原假設(shè)

，認(rèn)為因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響．表中臨界值可以分別替換為檢驗(yàn)的值，其定義為

對(duì)于給定的顯著性水平，當(dāng)時(shí)，應(yīng)拒絕原假設(shè)；當(dāng)時(shí)，應(yīng)拒絕原假設(shè)．三、統(tǒng)計(jì)分析1．無(wú)交互作用的雙因素方差分析例9.2.1某飲料生產(chǎn)企業(yè)研制出一種新型飲料．飲料的顏色共有四種，分別為橘黃色、粉色、綠色和無(wú)色透明．隨機(jī)從五家超市收集了前一時(shí)期該飲料的銷售量數(shù)據(jù)，見下表假設(shè)在超市和顏色的各種搭配下，銷售量總體服從同方差的正態(tài)分布．試分析超市和飲料的顏色對(duì)飲料的銷售量是否有顯著影響．（取顯著性水平）顏色B超市A橘黃色粉色綠色無(wú)色126.531.227.930.8228.728.325.129.6325.130.828.532.4429.127.924.231.7527.229.626.532.8三、統(tǒng)計(jì)分析1．無(wú)交互作用的雙因素方差分析解:計(jì)算各行、各列的樣本均值及總均值得于是、、和的自由度分別為4、3、12和19，從而可得各均方分別為三、統(tǒng)計(jì)分析1．無(wú)交互作用的雙因素方差分析計(jì)算得于是可得雙因素方差分析表三、統(tǒng)計(jì)分析1．無(wú)交互作用的雙因素方差分析由方差分析表可知，

,故認(rèn)為超市對(duì)飲料的銷售量無(wú)顯著影響，而飲料的顏色對(duì)飲料的銷售量有顯著影響．三、統(tǒng)計(jì)分析2.有交互作用的雙因素方差分析對(duì)于有交互作用的雙因素方差分析，除了要檢驗(yàn)無(wú)交互作用的雙因素方差分析中的假設(shè)外，還要檢驗(yàn)假設(shè)原假設(shè)成立表示因素和的交互作用對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)無(wú)顯著影響．三、統(tǒng)計(jì)分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解假設(shè)在每種水平組合下均做次試驗(yàn)，并假設(shè)所有的試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，試驗(yàn)結(jié)果如下三、統(tǒng)計(jì)分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解其中三、統(tǒng)計(jì)分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解由其中三、統(tǒng)計(jì)分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解用作為的估計(jì)，作為的估計(jì)，作為的估計(jì)，作為的估計(jì)，則有記為樣本數(shù)據(jù)的總離差平方和，即三、統(tǒng)計(jì)分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解可以證明，上式中所有交叉乘積的和項(xiàng)均為0．三、統(tǒng)計(jì)分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解其中為因素所造成的離差平方和，為因素所造成的離差平方和，為因素的交互作用所造成的離差平方和，為隨機(jī)因素所造成的離差平方和．三、統(tǒng)計(jì)分析2.有交互作用的雙因素方差分析(1)平方和分解定理9.2.2在以上記號(hào)下，對(duì)于模型(9.15)，有以下結(jié)論成立．·，且、、和相互獨(dú)立；·成立時(shí)，；·、和都成立時(shí)，．·成立時(shí)，；·成立時(shí)，；(2)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量和拒絕域三、統(tǒng)計(jì)分析2.有交互作用的雙因素方差分析構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量其中(2)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量和拒絕域三、統(tǒng)計(jì)分析2.有交互作用的雙因素方差分析由定理9.2.2，在原假設(shè)、和分別成立時(shí)，有對(duì)于給定的顯著性水平，、和對(duì)應(yīng)的拒絕域分別為(3)有交互作用的雙因素方差分析表三、統(tǒng)計(jì)分析2.有交互作用的雙因素方差分析三、統(tǒng)計(jì)分析2.有交互作用的雙因素方差分析當(dāng)時(shí)，應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響．(3)無(wú)交互作用的雙因素方差分析表當(dāng)時(shí)，應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響．當(dāng)時(shí)，應(yīng)拒絕原假設(shè)，認(rèn)為因素的交互作用對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響．三、統(tǒng)計(jì)分析2.有交互作用的雙因素方差分析(3)無(wú)交互作用的雙因素方差分析表表中臨界值可以分別替換為檢驗(yàn)的值，其定義為

對(duì)于給定的顯著性水平，當(dāng)時(shí)，應(yīng)拒絕原假設(shè)；當(dāng)時(shí)，應(yīng)拒絕原假設(shè)；當(dāng)

時(shí)，應(yīng)拒絕原假設(shè)．三、統(tǒng)計(jì)分析2．有交互作用的雙因素方差分析例9.2.2考察合成纖維中對(duì)纖維彈性有影響的兩個(gè)因素：收縮率和總拉伸倍數(shù)，它們各取4種水平，在各水平組合下均做2次試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果如表中所列假設(shè)在各水平組合下，纖維彈性總體服從同方差的正態(tài)分布．試分析收縮率、總拉伸倍數(shù)及其交互作用分別對(duì)纖維彈性有無(wú)顯著影響.(取顯著性水平）

總拉伸倍數(shù)B收縮率AB