高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修一）：第18講 3.2.2奇偶性（學(xué)生版）

第04講3.2.2奇偶性課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解函數(shù)奇偶性的含義，掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法，了解奇偶性與函數(shù)圖象對稱性之間的關(guān)系.②利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式，利用函數(shù)的奇偶性解有關(guān)函數(shù)不等式，利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)范圍.③能解決與函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性有關(guān)的綜合問題.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法，會求與奇偶函數(shù)有關(guān)的函數(shù)解析式，能處理與函數(shù)單調(diào)性、周期性相關(guān)的綜合問題.知識點(diǎn)01：函數(shù)的奇偶性1、定義：1.1偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果，都有，且，那么函?shù)就叫做偶函數(shù).1.2奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果，都有，且，那么函?shù)就叫做奇函數(shù).2、函數(shù)奇偶性的判斷2.1定義法：（1）先求函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱.（2）求，根據(jù)與的關(guān)系，判斷的奇偶性：①若是奇函數(shù)②若是偶函數(shù)③若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)④若既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)2.2圖象法：（1）先求函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱.（2）若的圖象關(guān)于軸對稱是偶函數(shù)（3）若的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱是奇函數(shù)2.3性質(zhì)法：，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)【即學(xué)即練1】（2023春·青海西寧·高二?？奸_學(xué)考試）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】對于A，為增函數(shù)，不符合題意；對于B，為奇函數(shù)，但是該函數(shù)在定義域內(nèi)不符合單調(diào)遞減的定義，錯誤；對于C，，故為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，故C符合題意；對于D，為偶函數(shù)，且在定義域內(nèi)不單調(diào).故選：C知識點(diǎn)02：奇函數(shù)，偶函數(shù)的性質(zhì)1、奇函數(shù)，偶函數(shù)的圖象特征設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?）是偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；（2）是奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；（3）若是奇函數(shù)且，則2、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系（1）是偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；（2）是奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；3、函數(shù)的奇偶性與函數(shù)值及最值的關(guān)系設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄆ渲校?）是偶函數(shù)，且在上單調(diào)，則在上有相反的單調(diào)性，此時(shí)函數(shù)的最大（?。┲迪嗤?；（2）是奇函數(shù)，且在上單調(diào)，則在上有相同的單調(diào)性，此時(shí)函數(shù)的最值互為相反數(shù)；【即學(xué)即練2】（2023·全國·高三對口高考）設(shè)奇函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且，則不等式，的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題意可得，奇函數(shù)在和上都為單調(diào)遞增函數(shù)，且，函數(shù)圖像示意圖如圖所示：

故不等式，即，即，結(jié)合的示意圖可得它的解集為或故選：D．知識點(diǎn)03：對稱性1、軸對稱：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且是的對稱軸，則有：①；②③2、點(diǎn)對稱設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋沂堑膶ΨQ中心，則有：①；②③3、拓展：①若，則關(guān)于對稱；②若，則關(guān)于對稱；【即學(xué)即練3】（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎瘮?shù)，的定義域均為，且，，若為偶函數(shù)，且，則（

）A．5 B．4 C．3 D．0【答案】B【詳解】∵，∴以為對稱中心，且；∵即，∴為偶函數(shù)，以軸為對稱軸；∴，即，由知，，∴，，從而，即，∴的周期為4，∴的周期為4；故．故選：B.題型01函數(shù)奇偶性定義與判斷【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的奇偶性是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．既奇又偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)【典例3】（2022秋·河北保定·高一河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)滿足(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)，試判斷的奇偶性，并證明.【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【變式2】（2022秋·北京·高一北京師大附中?？计谥校┮阎瘮?shù)，（）.(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；題型02由奇偶性求解析式【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·云南曲靖·宣威市第七中學(xué)校考模擬預(yù)測）函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)在的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，若，求實(shí)數(shù)的值．【典例3】（2023春·云南文山·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）確定函數(shù)的解析式；（2）試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義法證明.【變式1】（2023春·河北石家莊·高二正定中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式2】（2023秋·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求在上的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求的值域.題型03由奇偶性求參數(shù)【典例1】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是偶函數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．2【典例2】（2023秋·高一單元測試）設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，則A．0 B．2 C． D．【典例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，其中為常數(shù).(1)求的值；(2)若時(shí)，均有，求的取值范圍.【變式1】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為偶函數(shù)，則a=（

）A． B． C．1 D．2【變式2】（2023秋·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則＝（

）A． B． C． D．【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是偶函數(shù)，則、的值是（

）A． B．不能確定，C．，不能確定 D．題型04由奇偶性解不等式【典例1】（2023春·四川自貢·高一?？茧A段練習(xí)）已知為定義在上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)，有，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末）若偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式解集是（

）A． B．C． D．【典例3】（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）定義在上的偶函數(shù)滿足：在上單調(diào)遞減，則滿足的解集________.【典例4】（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為上的偶函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為______.【變式1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）為定義在上的偶函數(shù)，對任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對任意，且，有，若，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【變式3】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．題型05抽象函數(shù)的奇偶性【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)對任意，恒有成立，且．(1)求證：是奇函數(shù)；(2)求的值；(3)若時(shí)，，試求在上的最大值和最小值．【典例2】（2023秋·高一單元測試）已知函數(shù)對一切實(shí)數(shù)都有成立，且.(1)分別求和的值；(2)判斷并證明函數(shù)的奇偶性．【變式1】（多選）（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是定義在上不恒為0的偶函數(shù)，是定義在上不恒為0的奇函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù) B．為奇函數(shù)C．為偶函數(shù) D．為偶函數(shù)【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，滿足：①；②任意的，，.（1）求的值；（2）判斷并證明函數(shù)的奇偶性.題型06函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【典例1】（2023春·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，時(shí)，，則（

）A．0 B． C． D．2【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則等于（

）A．8 B． C． D．10【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的最小值是（

）A． B． C．1 D．2【典例4】（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則_________.【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則它在區(qū)間上是（

）A．增函數(shù)且最大值是 B．增函數(shù)且最小值是C．減函數(shù)且最大值是 D．減函數(shù)且最小值是【變式2】（2023·全國·高三對口高考）函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，，則的最大值與最小值之和為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)且，則的值為__________題型07奇偶函數(shù)對稱性的應(yīng)用【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足：，且對于上的有：.則關(guān)于的不等式解集為______.【變式1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，是偶函?shù)，，則（

）A．0 B．1 C．-1 D．2【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意都有，若，則（

）A． B．0 C．1 D．題型08數(shù)學(xué)思想方法篇（數(shù)形結(jié)合）【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·北京·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，其部分圖像如圖所示．(1)求的值；(2)補(bǔ)全的圖像，并寫出不等式的解集．【變式1】（2023春·上海金山·高一上海市金山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意，有，若，則的解集為________．3.2.2奇偶性A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．1 B． C．2 D．2．（2023春·四川廣安·高一廣安二中?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C．y=|x| D．3．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則(

)A．－12 B．12 C．9 D．－94．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的奇偶性是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù) D．既奇又偶函數(shù)5．（2023春·北京昌平·高二北京市昌平區(qū)前鋒學(xué)校校考期中）設(shè)為定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．6．（2023春·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的解集是（

）A． B． C． D．7．（2023·陜西·統(tǒng)考一模）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．8．（2023春·湖南湘潭·高二統(tǒng)考期末）定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，有，則（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023春·云南普洱·高一校考階段練習(xí)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是在區(qū)間上單調(diào)遞增的函數(shù)為（

）A． B． C． D．10．（2023春·廣東韶關(guān)·高二?？茧A段練習(xí)）若定義在上的函數(shù)滿足：對任意的，，都有，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．是奇函數(shù)C．是偶函數(shù) D．在上是減函數(shù)三、填空題11．（2023·上海松江·?？寄M預(yù)測）已知定義在上的偶函數(shù)，若正實(shí)數(shù)a、b滿足，則的最小值為_____．12．（2023秋·貴州黔西·高一統(tǒng)考期末）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)且.若對于任意，不等式恒成立，則的取值范圍為_______.四、解答題13．（2023春·黑龍江佳木斯·高一富錦市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，．證明：函數(shù)是偶函數(shù)，并在給定的坐標(biāo)系中畫出此函數(shù)的圖像．B能力提升1．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，且對任意的，，滿足，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．2．（多選）（2023秋·廣東梅州·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C． D．3．（多選）（2023秋·浙江杭州·高一杭州市長河高級中學(xué)?？计谀┑依锟死资堑聡鴶?shù)學(xué)家，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，對數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，于1837年提出函數(shù)是x與y之間的一種對應(yīng)關(guān)系的現(xiàn)代觀點(diǎn)，用其名字命名的“狄里克雷函數(shù)”為，下列敘述中正確的是（

）A．是偶函數(shù) B． C． D．4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求的解析式：(2)若方程有3個(gè)不同的解，求k的取值范圍.5．（2023秋·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)對于，成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.C綜合素養(yǎng)1．（2023·吉林長春·東北師大附中模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，是偶函數(shù)，設(shè)函數(shù)．若對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2023·上海浦東新·華師大二附中?？既＃τ趦蓚€(gè)實(shí)數(shù)，設(shè)則“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱”的（

）