二次函數(shù)中考經(jīng)典題

...wd......wd......wd...二次函數(shù)評卷人得分一．解答題〔共50小題〕1．如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A〔1，0〕和點B，與y軸交于點C〔0，3〕，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．〔1〕求二次函數(shù)的表達式；〔2〕在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形假設(shè)存在．請求出點P的坐標；〔3〕有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當(dāng)點M到達點B時，點M、N同時停頓運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．2．：如圖，直線y=kx+2與x軸正半軸相交于A〔t，0〕，與y軸相交于點B，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A和點B，點C在第三象象限內(nèi)，且AC⊥AB，tan∠ACB=．〔1〕當(dāng)t=1時，求拋物線的表達式；〔2〕試用含t的代數(shù)式表示點C的坐標；〔3〕如果點C在這條拋物線的對稱軸上，求t的值．3．如圖，Rt△OAB如以下圖放置在平面直角坐標系中，直角邊OA與x軸重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點B旋轉(zhuǎn)到點C的位置，一條拋物線正好經(jīng)過點O，C，A三點．〔1〕求該拋物線的解析式；〔2〕在x軸上方的拋物線上有一動點P，過點P作x軸的平行線交拋物線于點M，分別過點P，點M作x軸的垂線，交x軸于E，F(xiàn)兩點，問：四邊形PEFM的周長是否有最大值如果有，請求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請說明理由．〔3〕如果x軸上有一動點H，在拋物線上是否存在點N，使O〔原點〕、C、H、N四點構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形假設(shè)存在，求出N點的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．4．如圖，拋物線經(jīng)過A〔﹣2，0〕，B〔﹣3，3〕及原點O，頂點為C．〔1〕求拋物線的函數(shù)解析式．〔2〕設(shè)點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，假設(shè)四邊形AODE是平行四邊形，求點D的坐標．〔3〕P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足是M，是否存在點p，使得以P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似假設(shè)存在，求出點P的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．5．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a的圖象經(jīng)過點C〔0，2〕，交x軸于點A、B〔A點在B點左側(cè)〕，頂點為D．〔1〕求拋物線的解析式及點A、B的坐標；〔2〕將△ABC沿直線BC對折，點A的對稱點為A′，試求A′的坐標；〔3〕拋物線的對稱軸上是否存在點P，使∠BPC=∠BAC假設(shè)存在，求出點P的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．6．：如圖1，拋物線的頂點為M，平行于x軸的直線與該拋物線交于點A，B〔點A在點B左側(cè)〕，根據(jù)對稱性△AMB恒為等腰三角形，我們規(guī)定：當(dāng)△AMB為直角三角形時，就稱△AMB為該拋物線的“完美三角形〞．〔1〕①如圖2，求出拋物線y=x2的“完美三角形〞斜邊AB的長；②拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形〞的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是；〔2〕假設(shè)拋物線y=ax2+4的“完美三角形〞的斜邊長為4，求a的值；〔3〕假設(shè)拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形〞斜邊長為n，且y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1，求m，n的值．7．如圖，拋物線y=k〔x+2〕〔x﹣4〕〔k為常數(shù)，且k＞0〕與x軸的交點為A、B，與y軸的交點為C，經(jīng)過點B的直線y=﹣x+b與拋物線的另一個交點為D．〔1〕假設(shè)點D的橫坐標為x=﹣4，求這個一次函數(shù)與拋物線的解析式；〔2〕在〔1〕問的條件下，假設(shè)直線m平行于該拋物線的對稱軸，并且可以在線段AB間左右移動，它與直線BD和拋物線分別交于點E、F，求當(dāng)m移動到什么位置時，EF的值最大，最大值是多少〔3〕問原拋物線在第一象限是否存在點P，使得△APB∽△ABC假設(shè)存在，請直接寫出這時k的值；假設(shè)不存在，請說明理由．8．如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過A〔﹣1，0〕、C〔0，﹣3〕兩點，與x軸交于另一點B．〔1〕求此拋物線的解析式；〔2〕點D〔m，﹣m﹣1〕在第四象限的拋物線上，求點D關(guān)于直線BC對稱的點D'的坐標．〔3〕在〔2〕的條件下，連接BD，問在x軸上是否存在點P，使∠PCB=∠CBD假設(shè)存在，請求出P點的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．9．如圖，A，B兩點在x軸的正半軸上運動，四邊形ABCD是矩形，C，D兩點在拋物線y=﹣x2+8x上．〔1〕假設(shè)OA=1，求矩形ABCD的周長；〔2〕設(shè)OA=m〔0＜m＜4〕，求出四邊形ABCD的周長L關(guān)于m的函數(shù)表達式；〔3〕在〔2〕的條件下求L的最大值．10．如圖，拋物線經(jīng)過原點O和點A，點B〔2，3〕是該拋物線對稱軸上一點，過點B作BC∥x軸交拋物線于點C，連接BO、CA，假設(shè)四邊形OACB是平行四邊形．〔1〕①直接寫出A、C兩點的坐標；②求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕設(shè)該拋物線的頂點為M，試在線段AC上找出這樣的點P，使得△PBM是以BM為底邊的等腰三角形，并求出此時點P的坐標；〔3〕經(jīng)過點M的直線把?OACB的面積分為1：3兩局部，求這條直線的函數(shù)關(guān)系式．11．如圖，拋物線y=﹣x﹣4與坐標軸相交于A、B、C三點，P是線段AB上一動點〔端點除外〕，過P作PD∥AC，交BC于點D，連接CP．〔1〕直接寫出A、B、C的坐標；〔2〕求拋物線y=﹣x﹣4的對稱軸和頂點坐標；〔3〕求△PCD面積的最大值，并判斷當(dāng)△PCD的面積取最大值時，以PA、PD為鄰邊的平行四邊形是否為菱形．12．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+4經(jīng)過A〔﹣3，0〕、B〔4，0〕兩點，且與y軸交于點C，D〔4﹣4，0〕．動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點A移動．〔1〕求該拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)經(jīng)過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時t的值；〔3〕在第一象限的拋物線上取一點G，使得S△GCB=S△GCA，再在拋物線上找點E〔不與點A、B、C重合〕，使得∠GBE=45°，求E點的坐標．13．如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A〔﹣1，0〕，C〔2，﹣3〕兩點，與y軸交于點D，與x軸交于另一點B．〔1〕求此拋物線的解析式及頂點坐標；〔2〕假設(shè)將此拋物線平移，使其頂點為點D，需如何平移寫出平移后拋物線的解析式；〔3〕過點P〔m，0〕作x軸的垂線〔1≤m≤2〕，分別交平移前后的拋物線于點E，F(xiàn)，交直線OC于點G，求證：PF=EG．14．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點，點A〔﹣3，0〕，B〔0，3〕，C〔1，0〕．〔1〕求此拋物線的解析式．〔2〕點P是直線AB上方的拋物線上一動點，〔不與點A、B重合〕，過點P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點E，作PD⊥AB于點D．動點P在什么位置時，△PDE的周長最大，求出此時P點的坐標．15．如圖，在直角坐標系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A〔1，0〕，B〔0，2〕，拋物線y=x2+bx﹣2的圖象經(jīng)過C點．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕平移該拋物線的對稱軸所在直線l．當(dāng)l移動到何處時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩局部〔3〕點P是拋物線上一動點，是否存在點P，使四邊形PACB為平行四邊形假設(shè)存在，求出P點坐標；假設(shè)不存在，說明理由．16．如以下圖，二次函數(shù)y=﹣2x2+4x+m的圖象與x軸的一個交點為A〔3，0〕，另一個交點為B，且與y軸交于點C．〔1〕求m的值及點B的坐標；〔2〕求△ABC的面積；〔3〕該二次函數(shù)圖象上有一點D〔x，y〕，使S△ABD=S△ABC，請求出D點的坐標．17．在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=mx2﹣〔m+n〕x+n〔m＜0〕的圖象與y軸正半軸交于A點．〔1〕求證：該二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點；〔2〕設(shè)該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點中右側(cè)的交點為點B，假設(shè)∠ABO=45°，將直線AB向下平移2個單位得到直線l，求直線l的解析式；〔3〕在〔2〕的條件下，設(shè)M〔p，q〕為二次函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)﹣3＜p＜0時，點M關(guān)于x軸的對稱點都在直線l的下方，求m的取值范圍．18．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點A〔﹣3，0〕、C〔1，0〕，與y軸交于點B．〔1〕求此拋物線的解析式；〔2〕點P是直線AB上方的拋物線上一動點〔不與點A、B重合〕，過點P作x軸的垂線，垂足為點F，交直線AB于點E，作PD⊥AB于點D．①過點P在什么位置時，△PDE的周長最大，求出此時P點的坐標；②連接PA，以PA為邊作正方形APMN，當(dāng)頂點M或N恰好落在拋物線對稱軸上時，求出對應(yīng)的P點的坐標．19．如圖，拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，A〔﹣1，0〕，C〔0，2〕．〔1〕求拋物線的表達式；〔2〕在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；〔3〕點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當(dāng)點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標．20．如圖1，拋物線y=﹣x2+x+與x軸交于A，B兩點〔點A在點B的左側(cè)〕，與y軸交于點C，點D是點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接CD，過點D作DH⊥x軸于點H，過點A作AE⊥AC交DH的延長線于點E．〔1〕求線段DE的長度；〔2〕如圖2，試在線段AE上找一點F，在線段DE上找一點P，且點M為直線PF上方拋物線上的一點，求當(dāng)△CPF的周長最小時，△MPF面積的最大值是多少；〔3〕在〔2〕問的條件下，將得到的△CFP沿直線AE平移得到△C′F′P′，將△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，記在平移過稱中，直線F′P′與x軸交于點K，則是否存在這樣的點K，使得△F′F″K為等腰三角形假設(shè)存在求出OK的值；假設(shè)不存在，說明理由．21．在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=﹣x2+〔m﹣1〕x+4m的圖象與x軸負半軸交于點A，與y軸交于點B〔0，4〕，點E〔0，1〕．〔1〕求m的值及點A的坐標；〔2〕如圖，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連結(jié)A′B、BE′．①當(dāng)點E′落在該二次函數(shù)的圖象上時，求AA′的長；②設(shè)AA′=n，其中0＜n＜2，試用含n的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值時點E′的坐標；③當(dāng)A′B+BE′取得最小值時，求點E′的坐標．22．二次函數(shù)y=ax2+4amx〔m＞0〕的對稱軸與x軸交于點B，與直線l：y=交于點C，點A是該二次函數(shù)圖象與直線l在第二象限的交點，點D是拋物線的頂點，AC：CO=1：2，∠DOB=45°，△ACD的面積為2．〔1〕求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕假設(shè)點P為拋物線對稱軸上的一個點，且∠POC=45°，求點P坐標．23．如圖1，在平面直角坐標系中，直線y=﹣x+1與拋物線y=ax2+bx+c〔a≠0〕相交于點A〔1，0〕和點D〔﹣4，5〕，并與y軸交于點C，拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，且拋物線與x軸交于另一點B．〔1〕求該拋物線的函數(shù)表達式；〔2〕假設(shè)點E是直線下方拋物線上的一個動點，求出△ACE面積的最大值；〔3〕如圖2，假設(shè)點M是直線x=﹣1的一點，點N在拋物線上，以點A，D，M，N為頂點的四邊形能否成為平行四邊形假設(shè)能，請直接寫出點M的坐標；假設(shè)不能，請說明理由．24．如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0〕與x軸交于A、B兩點，其中點A在點B的左側(cè)，A為〔﹣1，0〕，拋物線與y軸交于點C〔0，4〕，對稱軸為x=1，連接BC．〔1〕計算a、b、c的值；〔2〕假設(shè)點G為直線BC上方的拋物線上的一動點，試計算以A、B、G、C為頂點的四邊形的面積的最大值；〔3〕假設(shè)點H為對稱軸上的一個動點，點P為拋物線上的一個動點，當(dāng)以H、P、B、C四點為頂點的四邊形為平行四邊形時，求出點H的坐標25．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A〔﹣1，0〕，點C〔0，2〕〔1〕求拋物線的函數(shù)解析式；〔2〕假設(shè)D是拋物線位于第一象限上的動點，求△BCD面積的最大值及此時點D的坐標．26．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+4與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，假設(shè)B點的坐標為B〔8，0〕〔1〕求拋物線的解析式及其對稱軸．〔2〕連接AC、BC，試判斷△AOC與△COB是否相似并說明理由．〔3〕M為拋物線上BC之間的一點，N為線段BC上的一點，假設(shè)MN∥y軸，求MN的最大值；〔4〕在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形假設(shè)存在，求出符合條件的Q點坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．27．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線AB交于A〔﹣4，﹣4〕，B〔0，4〕兩點，直線AC：y=﹣x﹣6交y軸于點C．點E是直線AB上的動點，過點E作EF⊥x軸交AC于點F，交拋物線于點G．〔1〕求拋物線y=﹣x2+bx+c的表達式；〔2〕連接GB，EO，當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；〔3〕在〔2〕的前提下，y軸上是否存在一點H，使∠AHF=∠AEF如果存在，求出此時點H的坐標，如果不存在，請說明理由．28．如圖，拋物線y=ax2+bx+6與x軸交于點A〔6，0〕，B〔﹣1，0〕，與y軸交于點C．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)點P為該拋物線上一個動點；①動點P作y軸的垂線交直線AC于點D，點P的坐標是多少時，以O(shè)為圓心，OD的長為半徑的⊙O與AC相切②是否存在點P，使△ACP為直角三角形假設(shè)存在，有幾個寫出所有符合條件的點P的坐標；假設(shè)不存在，說明理由．29．拋物線y1=ax2+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點P在拋物線上，過P〔1，﹣3〕，B〔4，0〕兩點作直線y2=kx+b．〔1〕求a、c的值；〔2〕根據(jù)圖象直接寫出y1＞y2時，x的取值范圍；〔3〕在拋物線上是否存在點M，使得S△ABP=5S△ABM，假設(shè)存在，求出點M的坐標，假設(shè)不存在，請說明理由．30．如圖，拋物線y=ax2+x+c過A〔﹣1，0〕，B〔0，2〕兩點．〔1〕求拋物線的解析式．〔2〕M為拋物線對稱軸與x軸的交點，N為x軸上對稱軸上任意一點，假設(shè)tan∠ANM=，求M到AN的距離．〔3〕在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PAB為等腰三角形假設(shè)存在，請求出點P的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．31．，如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx﹣6的圖象分別與x軸與y軸相交于點A〔﹣6，0〕、點B，點C〔6，6〕也在函數(shù)圖象上．〔1〕求該二次函數(shù)的解析式．〔2〕動點P從點B出發(fā)，沿著y軸的正方向運動，是否存在某一位置使得∠OAP+∠OAC=45°假設(shè)存在，請求出點P的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．〔3〕點Q為直線AC下方拋物線上一點，當(dāng)以點A、B、C、Q為頂點的四邊形的面積最大時，求出點Q的坐標．32．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx﹣5與x軸交于A〔﹣1，0〕，B〔5，0〕兩點，與y軸交于點C．〔1〕求拋物線的函數(shù)表達式；〔2〕如圖2，CE∥x軸與拋物線相交于點E，點H是直線CE下方拋物線上的動點，過點H且與y軸平行的直線與BC，CE分別相交于點F，G，試探究當(dāng)點H運動到何處時，四邊形CHEF的面積最大，求點H的坐標；〔3〕假設(shè)點K為拋物線的頂點，點M〔4，m〕是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上分別找點P，Q，使四邊形PQKM的周長最小，求出點P，Q的坐標．33．如圖，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，點D為邊AB上一點，將△BCD沿直線CD折疊，使點B恰好落在OA邊上的點E處，分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸建設(shè)平面直角坐標系．〔1〕求點E坐標及經(jīng)過O，D，C三點的拋物線的解析式；〔2〕一動點P從點C出發(fā)，沿CB以每秒2個單位長的速度向點B運動，同時動點Q從E點出發(fā)，沿EC以每秒1個單位長的速度向點C運動，當(dāng)點P到達點B時，兩點同時停頓運動．設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，DP=DQ；〔3〕假設(shè)點N在〔2〕中的拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使得以M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形假設(shè)存在，請求出M點的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．34．如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左邊，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，且A〔﹣6，0〕，D〔﹣2，﹣8〕．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕點P是直線AC下方的拋物線上一動點，不與點A、C重合，求過點P作x軸的垂線交于AC于點E，求線段PE的最大值及P點坐標；〔3〕在拋物線的對稱軸上足否存在點M，使得△ACM為直角三角形假設(shè)存在，求出點M的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．35．求二次函數(shù)y=﹣2x2﹣4x+1的頂點坐標，并在以下坐標系內(nèi)畫出函數(shù)的大致圖象．說出此函數(shù)的三條性質(zhì)．36．拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A〔﹣3，0〕，B〔1，0〕兩點，與y軸交于點C．〔1〕求該拋物線的解析式；〔2〕在拋物線上求一點P，使S△PAB=S△ABC，寫出P點的坐標；〔3〕在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QBC的周長最小假設(shè)存在，求出點Q的坐標，假設(shè)不存在，請說明理由．37．如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，且點A在點B的左側(cè)，直線y=﹣x﹣1與拋物線交于A，C兩點，其中點C的橫坐標為2．〔1〕求二次函數(shù)的解析式；〔2〕P是線段AC上的一個動點，過點P作y軸的平行線交拋物線于點E，求線段PE長度的最大值．38．二次函數(shù)y=x2+bx﹣3〔b是常數(shù)〕〔1〕假設(shè)拋物線經(jīng)過點A〔﹣1，0〕，求該拋物線的解析式和頂點坐標；〔2〕P〔m，n〕為拋物線上的一個動點，P關(guān)于原點的對稱點為P′，當(dāng)點P′落在該拋物線上時，求m的值；〔3〕在﹣1≤x≤2范圍內(nèi)，二次函數(shù)有最小值是﹣6，求b的值．39．在平面直角坐標系xOy中，點C是二次函數(shù)y=mx2+4mx+4m+1的圖象的頂點，一次函數(shù)y=x+4的圖象與x軸、y軸分別交于點A、B．〔1〕請你求出點A、B、C的坐標；〔2〕假設(shè)二次函數(shù)y=mx2+4mx+4m+1與線段AB恰有一個公共點，求m的取值范圍．40．如圖1，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A〔﹣1，0〕，B〔5，0〕兩點，點P為拋物線的頂點．〔1〕求該拋物線的解析式；〔2〕求∠PAB的正弦值；〔3〕如圖2，四邊形MCDN為矩形，頂點C、D在x軸上，M、N在x軸上方的拋物線上，假設(shè)MC=8，求線段MN的長度．41．如圖，經(jīng)過原點的拋物線y=﹣x2+2mx〔m＞0〕與x軸的另一個交點為A，過點P〔1，m〕作直線PA⊥x軸于點M，交拋物線于點B．記點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C〔點B、C不重合〕，連接CB、CP．〔I〕當(dāng)m=3時，求點A的坐標及BC的長；〔II〕當(dāng)m＞1時，連接CA，假設(shè)CA⊥CP，求m的值；〔III〕過點P作PE⊥PC，且PE=PC，當(dāng)點E落在坐標軸上時，求m的值，并確定相對應(yīng)的點E的坐標．42．如圖，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A〔﹣1，0〕和點B〔3，0〕，點C為拋物線與y軸的交點．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)點E為直線BC上方拋物線上的一點，請求出△BCE面積的最大值．〔3〕在〔2〕條件下，是否存在這樣的點D〔0，m〕，使得△BDE為等腰三角形如果有，請直接寫出點D的坐標；如果沒有，請說明理由．43．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c〔b，c都是常數(shù)〕的圖象經(jīng)過點〔1，0〕和〔0，2〕．〔1〕當(dāng)﹣2≤x≤2時，求y的取值范圍．〔2〕點P〔m，n〕在該函數(shù)的圖象上，且m+n=1，求點P的坐標．44．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c過原點O和B〔﹣4，4〕，且對稱軸為直線x=．〔1〕求拋物線的函數(shù)表達式；〔2〕D是直線OB下方拋物線上的一動點，連接OD，BD，在點D運動過程中，當(dāng)△OBD面積最大時，求點D的坐標和△OBD的最大面積；〔3〕如圖2，假設(shè)點P為平面內(nèi)一點，點N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在〔2〕的條件下，直接寫出滿足△POD∽△NOB的點P坐標．45．如圖，拋物線y=ax2﹣x﹣2〔a≠0〕的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，B點坐標為〔4，0〕．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標；〔3〕假設(shè)點M是線段BC下方的拋物線上一點，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標．46．在平面直角坐標系xOy中，點B〔8，0〕和點C〔9，﹣3〕．拋物線y=ax2﹣8ax+c〔a，c是常數(shù)，a≠0〕經(jīng)過點B、C，且與x軸的另一交點為A．對稱軸上有一點M，滿足MA=MC．〔1〕求這條拋物線的表達式；〔2〕求四邊形ABCM的面積；〔3〕如果坐標系內(nèi)有一點D，滿足四邊形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，求點D的坐標．47．如圖，直線y=kx﹣3與x軸正半軸交于點A，與y軸交于點B，經(jīng)過A，B兩點的拋物線y軸交于點B，經(jīng)過A，B兩點的拋物線y=〔x﹣1〕2+m與x軸負半軸交于點C．〔1〕求m和k的值；〔2〕過點B作BD∥x軸交該拋物線于點D，連接CD交y軸于點E，連結(jié)CB．①求∠BCD+∠OBC的度數(shù)；②在x軸上有一動點F，直線BF交拋物線于P點，假設(shè)∠ABP=∠BCD時，求此時點P的坐標．48．如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點〔點A在點B的左邊〕，與y軸交于點C，點D為二次函數(shù)的頂點，點〔﹣1，0〕，點C〔0，﹣3〕，直線DE為二次函數(shù)的對稱軸，交BC于點E，交x軸于點F．〔1〕求拋物線的解析式和點D的坐標；〔2〕直線DE上是否存在點M，使點M到x軸的距離于到BD的距離相等假設(shè)存在，求出點M的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由；〔3〕點Q是線段BD上的動點，點D關(guān)于EQ的對稱點是點D′，是否存在點Q使得△EQD′與△EQB的重疊局部圖象為直角三角形假設(shè)存在，請求出DQ的長；假設(shè)不存在，請說明理由．49．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A〔﹣3，0〕和B〔1，0〕兩點，交y軸于點C〔0，3〕，點C、D是二次函數(shù)圖象上的一對對稱點，一次函數(shù)的圖象過點B、D．〔1〕求二次函數(shù)的解析式；〔2〕根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍；〔3〕假設(shè)直線與y軸的交點為E，連結(jié)AD、AE，求△ADE的面積．50．如圖，?ABCD與拋物線y=﹣x2+bx+c相交于點A，B，D，點C在拋物線的對稱軸上，點B〔﹣1，0〕，BC=4．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕求BD的函數(shù)表達式．二次函數(shù)參考答案與試題解析一．解答題〔共50小題〕1．如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點A〔1，0〕和點B，與y軸交于點C〔0，3〕，拋物線的對稱軸與x軸交于點D．〔1〕求二次函數(shù)的表達式；〔2〕在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形假設(shè)存在．請求出點P的坐標；〔3〕有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當(dāng)點M到達點B時，點M、N同時停頓運動，問點M、N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．【分析】〔1〕代入A〔1，0〕和C〔0，3〕，解方程組即可；〔2〕求出點B的坐標，再根據(jù)勾股定理得到BC，當(dāng)△PBC為等腰三角形時分三種情況進展討論：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；〔3〕設(shè)AM=t則DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×〔2﹣t〕×2t=﹣t2+2t，運用二次函數(shù)的頂點坐標解決問題；此時點M在D點，點N在對稱軸上x軸上方2個單位處或點N在對稱軸上x軸下方2個單位處．【解答】解：〔1〕把A〔1，0〕和C〔0，3〕代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函數(shù)的表達式為：y=x2﹣4x+3；〔2〕令y=0，則x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B〔3，0〕，∴BC=3，點P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時分三種情況進展討論：如圖1，①當(dāng)CP=CB時，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1〔0，3+3〕，P2〔0，3﹣3〕；②當(dāng)BP=BC時，OP=OB=3，∴P3〔0，﹣3〕；③當(dāng)PB=PC時，∵OC=OB=3∴此時P與O重合，∴P4〔0，0〕；綜上所述，點P的坐標為：〔0，3+3〕或〔0，3﹣3〕或〔0，﹣3〕或〔0，0〕；〔3〕如圖2，設(shè)A運動時間為t，由AB=2，得BM=2﹣t，則DN=2t，∴S△MNB=×〔2﹣t〕×2t=﹣t2+2t=﹣〔t﹣1〕2+1，即當(dāng)M〔2，0〕、N〔2，2〕或〔2，﹣2〕時△MNB面積最大，最大面積是1．【點評】此題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等知識，運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．2．：如圖，直線y=kx+2與x軸正半軸相交于A〔t，0〕，與y軸相交于點B，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A和點B，點C在第三象象限內(nèi)，且AC⊥AB，tan∠ACB=．〔1〕當(dāng)t=1時，求拋物線的表達式；〔2〕試用含t的代數(shù)式表示點C的坐標；〔3〕如果點C在這條拋物線的對稱軸上，求t的值．【分析】〔1〕把點A〔1，0〕，B〔0，2〕分別代入拋物線的表達式，解方程組即可；〔2〕如圖：作CH⊥x軸，垂足為點H，根據(jù)△AOB∽△CHA，得到==，根據(jù)tan∠ACB==，得到==，根據(jù)OA=t，得到點C的坐標為〔t﹣4，﹣2t〕．〔3〕根據(jù)點C〔t﹣4，﹣2t〕在拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸上，得到t﹣4=，即b=2t﹣8，把點A〔t，0〕、B〔0，2〕代入拋物線的表達式，得﹣t2+bt+2=0，可知t2+〔2t﹣8〕t+2=0，即t2﹣8t+2=0，據(jù)此即可求出t的值．【解答】解：〔1〕∵t=1，y=kx+2，∴A〔1，0〕，B〔0，2〕，把點A〔1，0〕，B〔0，2〕分別代入拋物線的表達式，得，解得，，∴所求拋物線的表達式為y=﹣x2﹣x+2．〔2〕如圖：作CH⊥x軸，垂足為點H，得∠AHC=∠AOB=90°，∵AC⊥AB，∴∠OAB+∠CAH=90°，又∵∠CAH+∠ACH=90°，∴∠OAB=∠ACH，∴△AOB∽△CHA，∴==，∵tan∠ACB==，∴==，∵OA=t，OB=2，∴CH=2t，AH=4，∴點C的坐標為〔t﹣4，﹣2t〕．〔3〕∵點C〔t﹣4，﹣2t〕在拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸上，∴t﹣4=，即b=2t﹣8，把點A〔t，0〕、B〔0，2〕代入拋物線的表達式，得﹣t2+bt+2=0，∴﹣t2+〔2t﹣8〕t+2=0，即t2﹣8t+2=0，解得t=4±，∵點C〔t﹣4，﹣2t〕在第三象限，∴t=4+不符合題意，舍去，∴t=4﹣．【點評】此題考察了二次函數(shù)綜合題，涉及三角函數(shù)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的性質(zhì)等知識，難度較大．3．如圖，Rt△OAB如以下圖放置在平面直角坐標系中，直角邊OA與x軸重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點B旋轉(zhuǎn)到點C的位置，一條拋物線正好經(jīng)過點O，C，A三點．〔1〕求該拋物線的解析式；〔2〕在x軸上方的拋物線上有一動點P，過點P作x軸的平行線交拋物線于點M，分別過點P，點M作x軸的垂線，交x軸于E，F(xiàn)兩點，問：四邊形PEFM的周長是否有最大值如果有，請求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請說明理由．〔3〕如果x軸上有一動點H，在拋物線上是否存在點N，使O〔原點〕、C、H、N四點構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形假設(shè)存在，求出N點的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．【分析】〔1〕根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出C的坐標和A的坐標，又因為拋物線經(jīng)過原點，故設(shè)y=ax2+bx把〔2，4〕，〔4，0〕代入，求出a和b的值即可求出該拋物線的解析式；〔2〕四邊形PEFM的周長有最大值，設(shè)點P的坐標為P〔a，﹣a2+4a〕則由拋物線的對稱性知OE=AF，所以EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，則矩形PEFM的周長L=2[4﹣2a+〔﹣a2+4a〕]=﹣2〔a﹣1〕2+10，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形PEFM的周長的最大值；〔3〕在拋物線上存在點N，使O〔原點〕、C、H、N四點構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形，由〔1〕可求出拋物線的頂點坐標，過點C作x軸的平行線，與x軸沒有其它交點，過y=﹣4作x軸的平行線，與拋物線有兩個交點，這兩個交點為所求的N點坐標所以有﹣x2+4x=﹣4，解方程即可求出交點坐標．【解答】解：〔1〕因為OA=4，AB=2，把△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，可以確定點C的坐標為〔2，4〕；由圖可知點A的坐標為〔4，0〕，又因為拋物線經(jīng)過原點，故設(shè)y=ax2+bx把〔2，4〕，〔4，0〕代入，得，解得所以拋物線的解析式為y=﹣x2+4x；〔2〕四邊形PEFM的周長有最大值，理由如下：由題意，如以下圖，設(shè)點P的坐標為P〔a，﹣a2+4a〕則由拋物線的對稱性知OE=AF，∴EF=PM=4﹣2a，PE=MF=﹣a2+4a，則矩形PEFM的周長L=2[4﹣2a+〔﹣a2+4a〕]=﹣2〔a﹣1〕2+10，∴當(dāng)a=1時，矩形PEFM的周長有最大值，Lmax=10；〔3〕在拋物線上存在點N，使O〔原點〕、C、H、N四點構(gòu)成以O(shè)C為一邊的平行四邊形，理由如下：∵y=﹣x2+4x=﹣〔x﹣2〕2+4可知頂點坐標〔2，4〕，∴知道C點正好是頂點坐標，知道C點到x軸的距離為4個單位長度，過點C作x軸的平行線，與x軸沒有其它交點，過y=﹣4作x軸的平行線，與拋物線有兩個交點，這兩個交點為所求的N點坐標所以有﹣x2+4x=﹣4解得x1=2+，x2=2﹣∴N點坐標為N1〔2+，﹣4〕，N2〔2﹣，﹣4〕．【點評】此題考察了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最大值問題和函數(shù)圖象的交點問題，題目的綜合性很強，對學(xué)生的綜合解題能力要求很高．4．如圖，拋物線經(jīng)過A〔﹣2，0〕，B〔﹣3，3〕及原點O，頂點為C．〔1〕求拋物線的函數(shù)解析式．〔2〕設(shè)點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，假設(shè)四邊形AODE是平行四邊形，求點D的坐標．〔3〕P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足是M，是否存在點p，使得以P、M、A為頂點的三角形與△BOC相似假設(shè)存在，求出點P的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．【分析】〔1〕設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c〔a≠0〕，把點A〔﹣2，0〕，B〔﹣3，3〕，O〔0，0〕，代入求出a，b，c的值即可；〔2〕首先由A的坐標可求出OA的長，再根據(jù)四邊形AODE是平行四邊形，D在對稱軸直線x=﹣1右側(cè)，進而可求出D橫坐標為：﹣1+2=1，代入拋物線解析式即可求出其橫坐標；〔3〕分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，從而表示出點P的坐標，代入求得的拋物線的解析式即可求得t的值，從而確定點P的坐標．【解答】解：〔1〕設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c〔a≠0〕，將點A〔﹣2，0〕，B〔﹣3，3〕，O〔0，0〕，代入可得：，解得：，所以函數(shù)解析式為：y=x2+2x；〔2〕∵AO為平行四邊形的一邊，∴DE∥AO，DE=AO，∵A〔﹣2，0〕，∴DE=AO=2，∵四邊形AODE是平行四邊形，∴D在對稱軸直線x=﹣1右側(cè)，∴D橫坐標為：﹣1+2=1，代入拋物線解析式得y=3，∴D的坐標為〔1，3〕；〔3〕假設(shè)存在點P，使以P，M，A為頂點的三角形與△BOC相似，設(shè)P〔x，y〕，由題意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，由題意，△BOC為直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，①假設(shè)△PMA∽△COB，則=，即x+2=3〔x2+2x〕，得x1=，x2=﹣2〔舍去〕②假設(shè)△PMA∽△BOC，=，即：x2+2x=3〔x+2〕，得：x1=3，x2=﹣2〔舍去〕當(dāng)x=3時，y=15，即P〔3，15〕．故符合條件的點P有兩個，分別〔，〕或〔3，15〕．【點評】此題著重考察了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，綜合性強，同時也考察了學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．5．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a的圖象經(jīng)過點C〔0，2〕，交x軸于點A、B〔A點在B點左側(cè)〕，頂點為D．〔1〕求拋物線的解析式及點A、B的坐標；〔2〕將△ABC沿直線BC對折，點A的對稱點為A′，試求A′的坐標；〔3〕拋物線的對稱軸上是否存在點P，使∠BPC=∠BAC假設(shè)存在，求出點P的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．【分析】〔1〕將〔0，2〕代入拋物線解析式求得a的值，從而得出拋物線的解析式，再令y=0，得出x的值，即可求得點A、B的坐標；〔2〕如圖2，作A'H⊥x軸于H，可證明△AOC∽△COB，得出∠ACO=∠CBO，由A'H∥OC，即可得出A′H的長，即可求得A′的坐標；〔3〕分兩種情況：①如圖3，以AB為直徑作⊙M，⊙M交拋物線的對稱軸于P〔BC的下方〕，由圓周角定理得出點P坐標；②如圖4，類比第〔2〕小題的背景將△ABC沿直線BC對折，點A的對稱點為A'，以A'B為直徑作⊙M'，⊙M'交拋物線的對稱軸于P'〔BC的上方〕，作M'E⊥A'H于E，交對稱軸于F，求得M'F，在Rt△M'P'F中，由勾股定理得出P'F得的長，從而得出點P的坐標即可．【解答】解：〔1〕把C〔0，2〕代入y=ax2﹣3ax﹣4a得﹣4a=2，解得．所以拋物線的解析式為．令，可得：x1=﹣1，x2=4．所以A〔﹣1，0〕，B〔4，0〕．〔2〕如圖2，作A'H⊥x軸于H，因為，且∠AOC=∠COB=90°，所以△AOC∽△COB，所以∠ACO=∠CBO，可得∠ACB=∠OBC+∠BCO=90°，由A'H∥OC，AC=A'C得OH=OA=1，A'H=2OC=4；所以A'〔1，4〕；〔3〕分兩種情況：①如圖3，以AB為直徑作⊙M，⊙M交拋物線的對稱軸于P〔BC的下方〕，由圓周角定理得∠CPB=∠CAB，易得：MP=AB．所以P〔，〕．②如圖4，類比第〔2〕小題的背景將△ABC沿直線BC對折，點A的對稱點為A'，以A'B為直徑作⊙M'，⊙M'交拋物線的對稱軸于P'〔BC的上方〕，則∠CP2B=∠CA'B=∠CAB．作M'E⊥A'H于E，交對稱軸于F．則M'E=BH=，EF==．所以M'F==1．在Rt△M'P'F中，P'F=，所以P'M=2+．所以P'〔，2+〕．綜上所述，P的坐標為〔，〕或〔，2+〕．【點評】此題考察了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、一次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、一元二次方程的解法以及二次根式的運算、勾股定理等．此題解題技巧要求高，而且運算復(fù)雜，因此對考生的綜合能力提出了很高的要求．6．：如圖1，拋物線的頂點為M，平行于x軸的直線與該拋物線交于點A，B〔點A在點B左側(cè)〕，根據(jù)對稱性△AMB恒為等腰三角形，我們規(guī)定：當(dāng)△AMB為直角三角形時，就稱△AMB為該拋物線的“完美三角形〞．〔1〕①如圖2，求出拋物線y=x2的“完美三角形〞斜邊AB的長；②拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形〞的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是相等；〔2〕假設(shè)拋物線y=ax2+4的“完美三角形〞的斜邊長為4，求a的值；〔3〕假設(shè)拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形〞斜邊長為n，且y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1，求m，n的值．【分析】〔1〕①①過點B作BN⊥x軸于N，根據(jù)△AMB為等腰直角三角形，AB∥x軸，所以∠BMN=∠ABM=45°，所以∠BMN=∠MBN，得到MN=BN，設(shè)B點坐標為〔n，n〕，代入拋物線y=x2，得n=n2，解得n=1，n=0〔舍去〕，所以B〔1，1〕，求出BM的長度，利用勾股定理，即可解答；②因為拋物線y=x2+1與y=x2的形狀一樣，所以拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形〞的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是相等；〔2〕根據(jù)拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的形狀一樣，所以拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的“完美三角形〞全等，所以拋物線y=ax2+4的“完美三角形〞斜邊的長為4，所以拋物線y=ax2的“完美三角形〞斜邊的長為4，從而確定B點坐標為〔2，2〕或〔2，﹣2〕，把點B代入y=ax2中，得到．〔3〕〕根據(jù)y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1，得到，化簡得mn﹣4m﹣1=0，拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形〞斜邊長為n，所以拋物線y=mx2的“完美三角形〞斜邊長為n，所以B點坐標為，代入拋物線y=mx2，得，mn=﹣2或n=0〔不合題意舍去〕，所以，所以．【解答】解：〔1〕①過點B作BN⊥x軸于N，如圖2，∵△AMB為等腰直角三角形，∴∠ABM=45°，∵AB∥x軸，∴∠BMN=∠ABM=45°，∴∠MBN=90°﹣45°=45°，∴∠BMN=∠MBN，∴MN=BN，設(shè)B點坐標為〔n，n〕，代入拋物線y=x2，得n=n2，∴n=1，n=0〔舍去〕，∴B〔1，1〕∴MN=BN=1，∴MB==，∴MA=MB=，在Rt△AMB中，AB==2，∴拋物線y=x2的“完美三角形〞的斜邊AB=2．②∵拋物線y=x2+1與y=x2的形狀一樣，∴拋物線y=x2+1與y=x2的“完美三角形〞的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是相等；故答案為：相等．〔2〕∵拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的形狀一樣，∴拋物線y=ax2與拋物線y=ax2+4的“完美三角形〞全等，∵拋物線y=ax2+4的“完美三角形〞斜邊的長為4，∴拋物線y=ax2的“完美三角形〞斜邊的長為4，∴B點坐標為〔2，2〕或〔2，﹣2〕，把點B代入y=ax2中，∴．〔3〕∵y=mx2+2x+n﹣5的最大值為﹣1，∴，∴mn﹣4m﹣1=0，∵拋物線y=mx2+2x+n﹣5的“完美三角形〞斜邊長為n，∴拋物線y=mx2的“完美三角形〞斜邊長為n，∴B點坐標為，∴代入拋物線y=mx2，得，∴mn=﹣2或n=0〔不合題意舍去〕，∴，∴．【點評】此題考察了二次函數(shù)，解決此題的關(guān)鍵是理解“完美三角形〞的定義，利用勾股定理，求出點B的坐標．7．如圖，拋物線y=k〔x+2〕〔x﹣4〕〔k為常數(shù)，且k＞0〕與x軸的交點為A、B，與y軸的交點為C，經(jīng)過點B的直線y=﹣x+b與拋物線的另一個交點為D．〔1〕假設(shè)點D的橫坐標為x=﹣4，求這個一次函數(shù)與拋物線的解析式；〔2〕在〔1〕問的條件下，假設(shè)直線m平行于該拋物線的對稱軸，并且可以在線段AB間左右移動，它與直線BD和拋物線分別交于點E、F，求當(dāng)m移動到什么位置時，EF的值最大，最大值是多少〔3〕問原拋物線在第一象限是否存在點P，使得△APB∽△ABC假設(shè)存在，請直接寫出這時k的值；假設(shè)不存在，請說明理由．【分析】〔1〕先解方程k〔x+2〕〔x﹣4〕=0可得A〔﹣2，0〕，B〔4，0〕，再把B點坐標代入y=﹣x+b中求出得b=2，則可得到一次函數(shù)解析式為y=﹣x+2，接著利用一次函數(shù)解析式確定D點坐標，然后把D點坐標代入代入y=k〔x+2〕〔x﹣4〕中求出k的值即可得到得拋物線解析式；〔2〕利用二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，可設(shè)F〔t，t2﹣t﹣2〕，則E〔t，﹣t+2〕，﹣2≤t≤4，于是得到EF=﹣t+2﹣〔t2﹣t﹣2〕=﹣t2+4，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；〔3〕作PH⊥x軸于H，如圖，先表示出C點坐標為〔0，﹣8k〕，設(shè)P[n，k〔n+2〕〔n﹣4〕]，根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)∠PAB=∠CAB，AP：AB=AB：AC時，△APB∽△ABC；再根據(jù)正切定義，在Rt△APH中有tan∠PAH=，在Rt△OAC中有tan∠OAC==4k，則=4k，解得n=8，于是得到P〔8，40k〕，接著利用勾股定理計算出AP=10，AC=2，然后利用AP：AB=AB：AC得到10?2=62，解得k1=，k2=﹣〔舍去〕，于是可確定P點坐標．【解答】解：〔1〕當(dāng)y=0時，k〔x+2〕〔x﹣4〕=0，解得x1=﹣2，x2=4，則A〔﹣2，0〕，B〔4，0〕，把B〔4，0〕代入y=﹣x+b得﹣2+b=0，解得b=2，所以一次函數(shù)解析式為y=﹣x+2，當(dāng)x=﹣4時，y=﹣x+2=4，則D點坐標為〔4，4〕，把D〔﹣4，4〕代入y=k〔x+2〕〔x﹣4〕得k?〔﹣2〕?〔﹣8〕=4，解得k=，所以拋物線解析式為y=〔x+2〕〔x﹣4〕，即y=x2﹣x﹣2；〔2〕設(shè)F〔t，t2﹣t﹣2〕，則E〔t，﹣t+2〕，﹣2≤t≤4，所以EF=﹣t+2﹣〔t2﹣t﹣2〕=﹣t2+4，所以當(dāng)t=0時，EF最大，最大值為4，即當(dāng)直線m移動到與y軸重合的位置時，EF的值最大，最大值是4；〔3〕存在．作PH⊥x軸于H，如圖，當(dāng)x=0時，y=k〔x+2〕〔x﹣4〕=﹣8k，則C〔0，﹣8k〕，設(shè)P[n，k〔n+2〕〔n﹣4〕]，當(dāng)∠PAB=∠CAB，AP：AB=AB：AC時，△APB∽△ABC；在Rt△APH中，tan∠PAH=，在Rt△OAC中，tan∠OAC==4k，∴=4k，解得n=8，則P〔8，40k〕，∴AP===10，而AC===2，∵AP：AB=AB：AC，∴AP?AC=AB2，即10?2=62，∴5〔16k2+1〕=9，解得k1=，k2=﹣〔舍去〕，∴k=，P點坐標為〔8，4〕．【點評】此題考察了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；靈活應(yīng)用相似比和勾股定理計算相應(yīng)線段的長；理解坐標與圖形性質(zhì)．8．如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過A〔﹣1，0〕、C〔0，﹣3〕兩點，與x軸交于另一點B．〔1〕求此拋物線的解析式；〔2〕點D〔m，﹣m﹣1〕在第四象限的拋物線上，求點D關(guān)于直線BC對稱的點D'的坐標．〔3〕在〔2〕的條件下，連接BD，問在x軸上是否存在點P，使∠PCB=∠CBD假設(shè)存在，請求出P點的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由．【分析】〔1〕將A〔﹣1，0〕、C〔0，﹣3〕兩點坐標代入拋物線y=ax2+bx﹣3a中，列方程組求a、b的值即可；〔2〕將點D〔m，﹣m﹣1〕代入〔1〕中的拋物線解析式，求m的值，再根據(jù)對稱性求點D關(guān)于直線BC對稱的點D'的坐標；〔3〕分兩種情形①過點C作CP∥BD，交x軸于P，則∠PCB=∠CBD，②連接BD′，過點C作CP′∥BD′，交x軸于P′，分別求出直線CP和直線CP′的解析式即可解決問題．【解答】解：〔1〕將A〔﹣1，0〕、C〔0，﹣3〕代入拋物線y=ax2+bx﹣3a中，得，解得，∴y=x2﹣2x﹣3；〔2〕將點D〔m，﹣m﹣1〕代入y=x2﹣2x﹣3中，得m2﹣2m﹣3=﹣m﹣1，解得m=2或﹣1，∵點D〔m，﹣m﹣1〕在第四象限，∴D〔2，﹣3〕，∵直線BC解析式為y=x﹣3，∴∠BCD=∠BCO=45°，CD′=CD=2，OD′=3﹣2=1，∴點D關(guān)于直線BC對稱的點D'〔0，﹣1〕；〔3〕存在．滿足條件的點P有兩個．①過點C作CP∥BD，交x軸于P，則∠PCB=∠CBD，∵直線BD解析式為y=3x﹣9，∵直線CP過點C，∴直線CP的解析式為y=3x﹣3，∴點P坐標〔1，0〕，②連接BD′，過點C作CP′∥BD′，交x軸于P′，∴∠P′CB=∠D′BC，根據(jù)對稱性可知∠D′BC=∠CBD，∴∠P′CB=∠CBD，∵直線BD′的解析式為y=x﹣1，∵直線CP′過點C，∴直線CP′解析式為y=x﹣3，∴P′坐標為〔9，0〕，綜上所述，滿足條件的點P坐標為〔1，0〕或〔9，0〕．【點評】此題考察了二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是由條件求拋物線解析式，根據(jù)拋物線的對稱性，直線BC的特殊性求點的坐標，學(xué)會分類討論，不能漏解．9．如圖，A，B兩點在x軸的正半軸上運動，四邊形ABCD是矩形，C，D兩點在拋物線y=﹣x2+8x上．〔1〕假設(shè)OA=1，求矩形ABCD的周長；〔2〕設(shè)OA=m〔0＜m＜4〕，求出四邊形ABCD的周長L關(guān)于m的函數(shù)表達式；〔3〕在〔2〕的條件下求L的最大值．【分析】〔1〕根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得D點坐標，根據(jù)矩形的周長公式，可得答案〔2〕求L與m的函數(shù)解析式就是把m當(dāng)作量，求L，先求AD，它的長就是D點的縱坐標，再把D點縱坐標代入函數(shù)解析式求C點橫坐標，C點橫坐標與D點橫坐標的差就是線段CD的長，用L=2〔AD+CD〕，建設(shè)函數(shù)關(guān)系式．〔3〕根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：〔1〕當(dāng)x=1時，y=﹣1+8=7，即AD=7，D點坐標為〔1，7〕．當(dāng)y=7時，﹣x2+8x=7，解得x1=1，x2=7，即AB=7﹣1=6，矩形ABCD的周長=2〔AD+AB〕=2〔7+6〕=26；〔2〕把x=m代入拋物線y=﹣x2+8x中，得AD=﹣m2+8m把y=﹣m2+8m代入拋物線y=﹣m2+8m中，得﹣m2+8m=﹣x2+8x解得x1=m，x2=8﹣m∴C的橫坐標是8﹣m，故AB=8﹣m﹣m=8﹣2m∴矩形的周長是L=2〔﹣m2+8m〕+2〔8﹣2m〕即L=﹣2m2+12m+16．〔3〕L=﹣2m2+12m+16化為頂點式，得L=﹣2〔m﹣3〕2+34〔0＜m＜4〕，當(dāng)m=3時，L最大=34，在〔2〕的條件下求L的最大值是34．【點評】此題考察了二次函數(shù)綜合題，解〔1〕的關(guān)鍵是利用自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系得出AD，AB的長；解〔2〕的關(guān)鍵是利用自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系得出得出C點的橫坐標；解〔3〕的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)．10．如圖，拋物線經(jīng)過原點O和點A，點B〔2，3〕是該拋物線對稱軸上一點，過點B作BC∥x軸交拋物線于點C，連接BO、CA，假設(shè)四邊形OACB是平行四邊形．〔1〕①直接寫出A、C兩點的坐標；②求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕設(shè)該拋物線的頂點為M，試在線段AC上找出這樣的點P，使得△PBM是以BM為底邊的等腰三角形，并求出此時點P的坐標；〔3〕經(jīng)過點M的直線把?OACB的面積分為1：3兩局部，求這條直線的函數(shù)關(guān)系式．【分析】〔1〕①根據(jù)點B〔2，3〕是該拋物線對稱軸上一點，得出A點坐標為〔4，0〕，進而得出AO的長，即可得出BC=AO，求出C點坐標即可；②根據(jù)O，A，C三點坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式即可；〔2〕首先求出AC所在解析式，進而得出符合條件的等腰△PBM頂角的頂點P在線段BM的垂直平分線與線段AC的交點上，求出即可；〔3〕由條件可知經(jīng)過點M且把?OACB的面積分為1：3兩局部的直線有兩條，分別得出即可．【解答】解：〔1〕①∵點B〔2，3〕是該拋物線對稱軸上一點，∴A點坐標為〔4，0〕，∵四邊形OACB是平行四邊形，∴BC=AO，∴C點坐標為：〔6，3〕，②設(shè)所求的拋物線為y=ax2+bx+c，則依題意，得，解得：，∴所求的拋物線函數(shù)關(guān)系式為：y=x2﹣x．〔2〕設(shè)線段AC所在的直線的函數(shù)關(guān)系式為y=k1x+b1，根據(jù)題意，得，解得：．∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為：y=x﹣6．∵y=x2﹣x=〔x2﹣4x〕，=〔x2﹣4x+4﹣4〕，=〔x﹣2〕2﹣1，∴拋物線的頂點坐標M為〔2，﹣1〕，∴符合條件的等腰△PBM頂角的頂點P在線段BM的垂直平分線與線段AC的交點上，而BM=4，所以P點的縱坐標為1，把y=1代入y=x﹣6中，得x=．∴點P的坐標為〔，1〕．〔3〕平行四邊形的中心對稱性可以得到經(jīng)過點M且把?OACB的面積分為1：3兩局部的直線有兩條．〔ⅰ〕∵?OACB=OA?BD=4×3=12，△OBD的面積=OD?BD=×2×3=3，∴直線x=2為所求．〔ⅱ〕設(shè)符合條件的另一直線分別與x軸、BC交于點E〔x1，0〕、F〔x2，3〕，則AE=4﹣x1，CF=6﹣x2∴四邊形ACFE的面積=〔4﹣x1+6﹣x2〕×3=×12．即x1+x2=8．∵BC∥x軸，∴△MDE∽△MBF，∴=，∴=，即4x1﹣x2=6．∴x1=，x2=，∴E〔，0〕、F〔，3〕，設(shè)直線ME的函數(shù)關(guān)系式為y=k2x+b2，則，解得：，∴直線ME的函數(shù)關(guān)系式為y=x﹣．綜合〔ⅰ〕〔ⅱ〕得，所求直線為：x=2或y=x﹣．〔注：用其它方法求解參照以上標準給分．〕【點評】此題主要考察了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形的性質(zhì)和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，利用平行四邊形的面積以及相似三角形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．11．如圖，拋物線y=﹣x﹣4與坐標軸相交于A、B、C三點，P是線段AB上一動點〔端點除外〕，過P作PD∥AC，交BC于點D，連接CP．〔1〕直接寫出A、B、C的坐標；〔2〕求拋物線y=﹣x﹣4的對稱軸和頂點坐標；〔3〕求△PCD面積的最大值，并判斷當(dāng)△PCD的面積取最大值時，以PA、PD為鄰邊的平行四邊形是否為菱形．【分析】〔1〕設(shè)y=0，解一元二次方程即可求出A和B的坐標，設(shè)x=0，則可求出C的坐標．〔2〕拋物線：，所以拋物線的對稱軸是直線x=1，頂點坐標是〔1，﹣〕．〔3〕設(shè)P〔x，0〕〔﹣2＜x＜4〕，由PD∥AC，可得到關(guān)于PD的比例式，由此得到PD和x的關(guān)系，再求出C到PD的距離〔即P到AC的距離〕，利用三角形的面積公式可得到S和x的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求出三角形面積的最大值，進而得到x的值，所以PD可求，而PA≠PD，所以PA、PD為鄰邊的平行四邊形不是菱形．【解答】解：〔1〕A〔4，0〕、B〔﹣2，0〕、C〔0，﹣4〕．〔2〕拋物線：，∴拋物線的對稱軸是直線x=1，頂點坐標是〔1，﹣〕．〔3〕設(shè)P〔x，0〕〔﹣2＜x＜4〕，∵PD∥AC，∴，解得：，∵C到PD的距離〔即P到AC的距離〕：，∴△PCD的面積，∴，∴△PCD面積的最大值為3，當(dāng)△PCD的面積取最大值時，x=1，PA=4﹣x=3，，因為PA≠PD，所以以PA、PD為鄰邊的平行四邊形不是菱形．【點評】此題考察了二次函數(shù)和坐標軸的交點問題、平行線分線段成比例定理、特殊角的銳角三角形函數(shù)值、二次函數(shù)的最值問題以及菱形的判定，題目的綜合性較強，難度中等．12．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+4經(jīng)過A〔﹣3，0〕、B〔4，0〕兩點，且與y軸交于點C，D〔4﹣4，0〕．動點P從點A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點A移動．〔1〕求該拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)經(jīng)過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時t的值；〔3〕在第一象限的拋物線上取一點G，使得S△GCB=S△GCA，再在拋物線上找點E〔不與點A、B、C重合〕，使得∠GBE=45°，求E點的坐標．【分析】〔1〕直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式得出即可；〔2〕首先求出△AQD∽△ACB，則，得出DQ=DP的長，進而得出答案；〔3〕首先得出G點坐標，進而得出△BGM∽△BEN，進而假設(shè)出E點坐標，利用相似三角形的性質(zhì)得出E點坐標．【解答】解：〔1〕將A〔﹣3，0〕、B〔4，0〕代入y=ax2+bx+4得：，解得：，故拋物線的解析式為：；〔2〕如圖，連接QD，由B〔4，0〕和D〔，0〕，可得BD=，∵，∴CO=4，∴BC=4，則BC=BD，∴∠BDC=∠BCD=∠QDC，∴DQ∥BC，∴△AQD∽△ACB，∴，∴，∴DQ==DP，=；〔3〕如圖，過點G作GM⊥BC于點M，過點E作EN⊥AB于點N，∵S△GCB=S△GCA，∴只有CG∥AB時，G點才符合題意，∵C〔0，4〕，∴4=﹣x2+x+4，解得：x1=1，x2=0，∴G〔1，4〕，∵∠GBE=∠OBC=45°，∴∠GBC=∠ABE，∴△BGM∽△BEN，∴，設(shè)E〔x，〕∴=解得，x2=4〔舍去〕，則E〔，〕．【點評】此題主要考察了相似三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出△BGM∽△BEN是解題關(guān)鍵．13．如圖，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A〔﹣1，0〕，C〔2，﹣3〕兩點，與y軸交于點D，與x軸交于另一點B．〔1〕求此拋物線的解析式及頂點坐標；〔2〕假設(shè)將此拋物線平移，使其頂點為點D，需如何平移寫出平移后拋物線的解析式；〔3〕過點P〔m，0〕作x軸的垂線〔1≤m≤2〕，分別交平移前后的拋物線于點E，F(xiàn)，交直線OC于點G，求證：PF=EG．【分析】〔1〕把A〔﹣1，0〕，C〔2，﹣3〕代入y=x2+bx+c，得到關(guān)于b、c的二元一次方程組，解方程組求出b、c的值，即可求出拋物線的解析式，再利用配方法將一般式化為頂點式，即可求出頂點坐標；〔2〕先求出拋物線y=x2﹣x﹣2與y軸交點D的坐標為〔0，﹣2〕，再根據(jù)平移規(guī)律可知將點〔，〕向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，可得到點D，然后利用頂點式即可寫出平移后的拋物線解析式為：y=x2﹣2；〔3〕先用待定系數(shù)法求直線OC的解析式為y=﹣x，再將x=m代入，求出yG=，yF=m2﹣2，yE=m2﹣m﹣2，再分別計算得出PF=﹣〔m2﹣2〕=2﹣m2，EG=yG﹣yE=2﹣，由此證明PF=EG．【解答】〔1〕解：把A〔﹣1，0〕，C〔2，﹣3〕代入y=x2+bx+c，得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2，∵y=x2﹣x﹣2=〔x﹣〕2﹣，∴其頂點坐標為：〔，〕；〔2〕解：∵y=x2﹣x﹣2，∴當(dāng)x=0時，y=﹣2，∴D點坐標為〔0，﹣2〕．∵將點〔，〕向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，可得到點D，∴將y=x2﹣x﹣2向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，頂點為點D，此時平移后的拋物線解析式為：y=x2﹣2；〔3〕證明：設(shè)直線OC的解析式為y=kx，∵C〔2，﹣3〕，∴2k=﹣3，解得k=﹣，∴直線OC的解析式為y=﹣x．當(dāng)x=m時，yF=m2﹣2，則PF=﹣〔m2﹣2〕=2﹣m2，當(dāng)x=m時，yE=m2﹣m﹣2，yG=，則EG=yG﹣yE=2﹣，∴PF=EG．【點評】此題考察了運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、正比例函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象與幾何變換，拋物線頂點坐標的求法等知識，難度適中．14．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點，點A〔﹣3，0〕，B〔0，3〕，C〔1，0〕．〔1〕求此拋物線的解析式．〔2〕點P是直線AB上方的拋物線上一動點，〔不與點A、B重合〕，過點P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點E，作PD⊥AB于點D．動點P在什么位置時，△PDE的周長最大，求出此時P點的坐標．【分析】〔1〕將A〔﹣3，0〕，B〔0，3〕，C〔1，0〕三點的坐標代入y=ax2+bx+c，運用待定系數(shù)法即可求出此拋物線的解析式；〔2〕先證明△AOB是等腰直角三角形，得出∠BAO=45°，再證明△PDE是等腰直角三角形，則PE越大，△PDE的周長越大，再運用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=x+3，則可設(shè)P點的坐標為〔x，﹣x2﹣2x+3〕，E點的坐標為〔x，x+3〕，那么PE=〔﹣x2﹣2x+3〕﹣〔x+3〕=﹣〔x+〕2+，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)x=﹣時，PE最大，△PDE的周長也最大．將x=﹣代入﹣x2﹣2x+3，進而得到P點的坐標．【解答】解：〔1〕∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A〔﹣3，0〕，B〔0，3〕，C〔1，0〕，∴，解得，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3；〔2〕∵A〔﹣3，0〕，B〔0，3〕，∴OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°．∵PF⊥x軸，∴∠AEF=90°﹣45°=45°，又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PE越大，△PDE的周長越大．設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則，解得，即直線AB的解析式為y=x+3．設(shè)P點的坐標為〔x，﹣x2﹣2x+3〕，E點的坐標為〔x，x+3〕，則PE=〔﹣x2﹣2x+3〕﹣〔x+3〕=﹣x2﹣3x=﹣〔x+〕2+，所以當(dāng)x=﹣時，PE最大，△PDE的周長也最大．當(dāng)x=﹣時，﹣x2﹣2x+3=﹣〔﹣〕2﹣2×〔﹣〕+3=，即點P坐標為〔﹣，〕時，△PDE的周長最大．【點評】此題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的周長，綜合性較強，難度適中．15．如圖，在直角坐標系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A〔1，0〕，B〔0，2〕，拋物線y=x2+bx﹣2的圖象經(jīng)過C點．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕平移該拋物線的對稱軸所在直線l．當(dāng)l移動到何處時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩局部〔3〕點P是拋物線上一動點，是否存在點P，使四邊形PACB為平行四邊形假設(shè)存在，求出P點坐標；假設(shè)不存在，說明理由．【分析】〔1〕首先構(gòu)造全等三角形△AOB≌△CDA，求出點C的坐標；然后利用點C的坐標求出拋物線的解析式；〔2〕首先求出直線BC與AC的解析式，設(shè)直線l與BC、AC交于點E、F，則可求出EF的表達式；根據(jù)S△CEF=S△ABC，列出方程求出直線l的解析式；〔3〕首先作出?PACB，然后證明點P在拋物線上即可．【解答】解：〔1〕如答圖1所示，過點C作CD⊥x軸于點D，則∠CAD+∠ACD=90°．∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．∵在△AOB與△CDA中，∴△AOB≌△CDA〔ASA〕．∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C〔3，1〕．∵點C〔3，1〕在拋物線y=x2+bx﹣2上，∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2，；〔2〕在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．∴S△ABC=AB2=．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∵B〔0，2〕，C〔3，1〕，∴，解得k=﹣，b=2，∴y=﹣x+2．同理求得直線AC的解析式為：y=x﹣．如答圖1所示，設(shè)直線l與BC、AC分別交于點E、F，則EF=〔﹣x+2〕﹣〔x﹣〕=﹣x．△CEF中，EF邊上的高h=OD﹣x=3﹣x．由題意得：S△CEF=S△ABC，即：EF?h=S△ABC，∴×〔﹣x〕?〔3﹣x〕=×，整理得：〔3﹣x〕2=3，解得x=3﹣或x=3+〔不合題意，舍去〕，∴當(dāng)直線l解析式為x=3﹣時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩局部．〔3〕存在．如答圖2所示，過點C作CG⊥y軸于點G，則CG=OD=3，OG=1，BG=OB﹣OG=1．過點A作AP∥BC交y軸于點W，∵四邊形ACBP是平行四邊形，∴AP=BC，連接BP，則四邊形PACB為平行四邊形．過點P作PH⊥x軸于點H，∵BC∥AP，∴∠CBO=∠AWO，∵PH∥WO，∴∠APH=∠AWO，∴∠CBG=∠APH，在△PAH和△BCG中，∴△PAH≌△BCG〔AAS〕，∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH﹣OA=2，∴P〔﹣2，1〕．拋物線解析式為：y=x2﹣x﹣2，當(dāng)x=﹣2時，y=1，即點P在拋物線上．∴存在符合條件的點P，點P的坐標為〔﹣2，1〕．【點評】此題考察了二次函數(shù)綜合題型以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、全等三角形、平行四邊形、等腰直角三角形等知識點．試題難度不大，但需要仔細分析，認真計算．16．如以下圖，二次函數(shù)y=﹣2x2+4x+m的圖象與x軸的一個交點為A〔3，0〕，另一個交點為B，且與y軸交于點C．〔1〕求m的值及點B的坐標；〔2〕求△ABC的面積；〔3〕該二次函數(shù)圖象上有一點D〔x，y〕，使S△ABD=S△ABC，請求出D點的坐標．【分析】〔1〕先把點A坐標代入解析式，求出m的值，進而求出點B的坐標；〔2〕根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出點C的坐標，進而求出△ABC的面積；〔3〕根據(jù)S△ABD=S△ABC求出點D縱坐標的絕對值，然后分類討論，求出點D的坐標．【解答】解：〔1〕∵函數(shù)過A〔3，0〕，∴﹣18+12+m=0，∴m=6，∴該函數(shù)解析式為：y=﹣2x2+4x+6，∴當(dāng)﹣2x2+4x+6=0時，x1=﹣1，x2=3，∴點B的坐標為〔﹣1，0〕；〔2〕C點坐標為〔0，6〕，；〔3〕∵S△ABD=S△ABC=12，∴S△ABD==12，∴|h|=6，①當(dāng)h=6時：﹣2x2+4x+6=6，解得：x1=0，x2=2∴D點坐標為〔0，6〕或〔2，6〕，②當(dāng)h=﹣6時：﹣2x2+4x+6=﹣6，解得：x1=1+，x2=1﹣∴D點坐標為〔1+，﹣6〕、〔1﹣，﹣6〕∴D點坐標為〔0，6〕、〔2，6〕、〔1+，﹣6〕、〔1﹣，﹣6〕．【點評】此題主要考察了拋物線與x軸交點的知識，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，解答〔3〕問需要分類討論，此題難度一般．17．在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=mx2﹣〔m+n〕x+n〔m＜0〕的圖象與y軸正半軸交于A點．〔1〕求證：該二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點；〔2〕設(shè)該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點中右側(cè)的交點為點B，假設(shè)∠ABO=45°，將直線AB向下平移2個單位得到直線l，求直線l的解析式；〔3〕在〔2〕的條件下，設(shè)M〔p，q〕為二次函數(shù)圖象上的一個動點，當(dāng)﹣3＜p＜0時，點M關(guān)于x軸的對稱點都在直線l的下方，求m的取值范圍．【分析】〔1〕直接利用根的判別式，結(jié)合完全平方公式求出△的符號進而得出答案；〔2〕首先求出B，A點坐標，進而求出直線AB的解析式，再利用平移規(guī)律得出答案；〔3〕根據(jù)當(dāng)﹣3＜p＜0時，點M關(guān)于x軸的對稱點都在直線l的下方，當(dāng)p=0時，q=1；當(dāng)p=﹣3時，q=12m+4；結(jié)合圖象可知：﹣〔12m+4〕≤2，即可得出m的取值范圍．【解答】解：〔1〕令mx2﹣〔m+n〕x+n=0，則△=〔m+n〕2﹣4mn=〔m﹣n〕2，∵二次函數(shù)圖象與y軸正半軸交于A點，∴A〔0，n〕，且n＞0，又∵m＜0，∴m﹣n＜0，∴△=〔m﹣n〕2＞0，∴該二次函數(shù)的圖象與軸必有兩個交點；〔2〕令mx2﹣〔m+n〕x+n=0，解得：x1=1，x2=，由〔1〕得＜0，故B的坐標為〔1，0〕，又因為∠ABO=45°，所以A〔0，1〕，即n=1，則可求得直線AB的解析式為：y=﹣x+1．再向下平移2個單位可得到直線l：y=﹣x﹣1；〔3〕由〔2〕得二次函數(shù)的解析式為：y=mx2﹣〔m+1〕x+1．∵M〔p，q〕為二次函數(shù)圖象上的一個動點，∴q=mp2﹣〔m+1〕p+1．∴點M關(guān)于軸的對稱點M′的坐標為〔p，﹣q〕．∴M′點在二次函數(shù)y=﹣m2+〔m+1〕x﹣1上．∵當(dāng)﹣3＜p＜0時，點M關(guān)于x軸的對稱點都在直線l的下方，當(dāng)p=0時，q=1；當(dāng)p=﹣3時，q=12m+4；結(jié)合圖象可知：﹣〔12m+4〕≤2，解得：m≥﹣．∴m的取值范圍為：﹣≤m＜0．【點評】此題主要考察了二次函數(shù)綜合以及根的判別式和一次函數(shù)圖象的平移等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．18．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點A〔﹣3，0〕、C〔1，0〕，與y軸交于點B．〔1〕求此拋物線的解析式；〔2〕點P是直線AB上方的拋物線上一動點〔不與點A、B重合〕，過點P作x軸的垂線，垂足為點F，交直線AB于點E，作PD⊥AB于點D．①過點P在什么位置時，△PDE的周長最大，求出此時P點的坐標；②連接PA，以PA為邊作正方形APMN，當(dāng)頂點M或N恰好落在拋物線對稱軸上時，求出對應(yīng)的P點的坐標．【分析】〔1〕把點A、C的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；〔2〕①根據(jù)點A、B的坐標求出OA=OB，從而得到△AOB是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，PD越大，△PDE的周長最大，再判斷出當(dāng)與直線AB平行的直線與拋物線只有一個交點時，PD最大，再求出直線AB的解析式為y=x+3，設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，與拋物線解析式聯(lián)立消掉y，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，從而得到點P的坐標；②先確定出拋物線的對稱軸，然后〔i〕分點M在對稱軸上時，過點P作PQ⊥對稱軸于Q，根據(jù)同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角邊〞證明△APF和△MPQ全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PF=PQ，設(shè)點P的橫坐標為n，表示出PQ的長，即PF，然后代入拋物線解析式計算即可得解；〔ii〕點N在對稱軸上時，同理求出△APF和△ANQ全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PF=AQ，根據(jù)點A的坐標求出點P的縱坐標，再代入拋物線解析式求出橫坐標，即可得到點P的坐標．【解答】解：〔1〕∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A〔﹣3，0〕，C〔1，0〕，∴，解得，所以，拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3；〔2〕①∵A〔﹣3，0〕，B〔0，3〕，∴OA=O