【中考數(shù)學】題庫：線段最值問題總復習

線段最值問題類型一線段的最大、最小值1.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，M是BC的中點，P是A′B′的中點，連接PM.若BC＝2，∠BAC＝30°，則線段PM的最大值是()A.4B.3C.2D.1第1題圖B【解析】∵在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，∴AB＝4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得A′B′＝4，如解圖，連接CP，∵P是A′B′的中點，∴CP＝2，又∵M是BC的中點，∴CM＝1，由三角形的三邊關(guān)系，得CM＋CP＞PM，∴當M、C、P三點共線時，PM最大，此時，PM＝MC＋CP＝1＋2＝3.第1題解圖2.如圖，點C在以AB為直徑的半圓上，AB＝8，∠CBA＝30°，點D在線段AB上運動，點E與點D關(guān)于AC對稱，DF⊥DE于點D并交EC的延長線于點F.則線段EF的最小值為()A.4eq\r(3)B.2eq\r(3)C.12D.2eq\r(6)第2題圖A【解析】∵點E與點D關(guān)于AC對稱，∴∠E＝∠CDE，又∵DF⊥DE，∴∠E＋∠F＝90°，∠CDE＋∠CDF＝90°，∴∠F＝∠CDF,∴CD＝CF＝CE,∴EF＝2CD，當CD最小時，EF最小，這時CD⊥AB,∵AB＝8,∠CBA＝30°，∴AC＝4，BC＝4eq\r(3)，用面積法得CD＝eq\f(AC·CB,AB)＝eq\f(4×4\r(3),8)＝2eq\r(3)，∴EF的最小值為EF＝2CD＝4eq\r(3).3.如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為正方形外一個動點，∠AED＝45°，P為AB中點，線段PE的最小值是()A.eq\r(2)－2B.eq\r(2)＋1C.2eq\r(2)－1D.2eq\r(2)－2第3題圖D【解析】如解圖，連接AC，BD交于點O,當E、P、O共線時，PE＝OE－OP最小，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝4，∠ACD＝45°，∴AC＝4eq\r(2)，AB⊥BC,∵PE⊥AB,∴PE∥BC,∵P為AB中點，∴O為AC的中點，∴OP＝eq\f(1,2)BC＝2，OC＝eq\f(1,2)AC＝2eq\r(2)，∵∠AED＝45°＝∠ACD,∴A、C、E、D四點共圓，∵∠ADC＝90°，∴AC為直徑，O為圓心，∴OE＝OC＝2eq\r(2)，∴PE＝OE－OP＝2eq\r(2)－2,即線段PE的最小值是2eq\r(2)－2.第3題解圖如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點F在邊AC上，并且CF＝2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是________．第4題圖eq\f(6,5)【解析】如解圖，當點E在BC上運動時，PF的長固定不變，即PF＝CF＝2.∴點P在以點F為圓心，以2為半徑的圓上運動．過點F作FH⊥AB交⊙F于點P，垂足為點H，此時PH最短．則△AFH∽△ABC，∴eq\f(FH,BC)＝eq\f(AF,AB).由已知得AF＝4，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝10，∴eq\f(FH,8)＝eq\f(4,10)，即FH＝eq\f(16,5).∴P到AB距離的最小值PH＝FH－FP＝eq\f(16,5)－2＝eq\f(6,5).第4題解圖類型二線段和的最小值5.如圖所示，正方形ABCD的面積為18，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD＋PE的和最小，則這個最小值為()A.3B.9eq\r(2)C.6D.3eq\r(2)第5題圖D【解析】設(shè)BE與AC交于點P′，如解圖，連接BD、P′D.∵點B與D關(guān)于AC對稱，∴P′D＝P′B，∴P′D＋P′E＝P′B＋P′E＝BE時最?。哒叫蜛BCD的面積為18，∴AB＝3eq\r(2).又∵△ABE是等邊三角形，∴BE＝AB＝3eq\r(2).故所求最小值為3eq\r(2).第5題解圖如圖，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，點E，F(xiàn)，G，H分別在矩形ABCD各邊上，且AE＝CG，BF＝DH，則四邊形EFGH周長的最小值為()A.5eq\r(5)B.10eq\r(5)C.10eq\r(3)D.15eq\r(3)第6題圖B【解析】作點E關(guān)于BC的對稱點E′，連接E′G交BC于點F，此時四邊形EFGH周長取最小值，過點G作GG′⊥AB于點G′，如解圖．∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝10，∵GG′＝AD＝5，∴E′G＝eq\r(E′G′2＋GG′2)＝5eq\r(5)，∴C四邊形EFGH＝2E′G＝10eq\r(5).第6題解圖如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝6，點M在⊙O上，∠MBA＝20°，N是eq\o(MA,\s\up8(︵))的中點，P是直徑AB上的一動點，若AN＝1，則△PMN周長的最小值為() A.3B.4C.5D.6第7題圖B【解析】如解圖，過N作NN′⊥AB，交AB于G，交⊙O于N′，連接MN′交AB于P′，連接NN′，ON′，ON，MN′，OM，∴NG＝N′G，∴N、N′關(guān)于AB對稱，∴MN′與AB的交點P′即為△PMN周長最小時的點，∵N是弧MA的中點，∴∠AON′＝∠NOA＝∠MON＝20°，∴∠MON′＝60°，∴△MON′為等邊三角形，∴MN′＝OM＝eq\f(1,2)AB＝3，∴△PMN周長的最小值為3＋1＝4.第7題解圖8.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB交BC于D點，E，F(xiàn)分別是AD，AC上的動點，則CE＋EF的最小值為() A.eq\f(40,3)B.eq\f(15,4)C.eq\f(24,5)D.6第8題圖 C【解析】如解圖，過C作CG⊥AD交AB于G，過G作GF′⊥AC于F′，交AD于E′，∵AD平分∠CAB，∴點C與點G關(guān)于AD對稱，∴E′C＝E′G，∴E′C＋E′F′≥FG即GF′為CE＋EF的最小值．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6