初中圓的基礎(chǔ)復(fù)習(xí)例題解析

...wd......wd......wd...理解圓的有關(guān)概念，了解弧、弦、圓心角的關(guān)系，了解圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對圓周角的特征探索圓的性質(zhì)，理解并會(huì)運(yùn)用垂徑定理及其推論探索并了解點(diǎn)和圓、直線和圓、圓和圓的位置關(guān)系；了解切線的概念，探索切線與過切點(diǎn)的半徑之間的關(guān)系；能判定一條直線是否為圓的切線會(huì)計(jì)算弧長弧長及扇形的面積，會(huì)計(jì)算圓錐的側(cè)面積和全面積A層次要求〔根本要求〕理解圓及其有關(guān)概念知道圓的對稱性，了解弧、弦、圓心角的關(guān)系了解圓周角與圓心角的關(guān)系；了解直徑所對的圓周角是直角會(huì)在相應(yīng)的圖形中確定垂徑定理的條件和結(jié)論會(huì)計(jì)算扇形面積會(huì)計(jì)算弧長會(huì)求圓錐的側(cè)面積和全面積了解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系了解直線與圓的位置關(guān)系；了解切線的概念，理解切線與過切點(diǎn)的半徑之間關(guān)系；會(huì)過圓上一點(diǎn)畫圓的切線；了解切線長的概念了解圓與圓的位置關(guān)系B層次要求〔略高要求〕會(huì)過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；能利用圓的有關(guān)概念解決簡單問題能用弧、弦、圓心角的關(guān)系解決簡單問題會(huì)求圓周角的度數(shù)，能用圓周角的知識(shí)解決與角有關(guān)的簡單問題能用垂徑定理解決有關(guān)問題能利用扇形面積解決有關(guān)問題能利用弧長解決有關(guān)問題能解決與圓錐有關(guān)的簡單實(shí)際問題能判定直線和圓的位置關(guān)系；能根據(jù)切線長的知識(shí)解決簡單的問題；能利用直線和圓的位置關(guān)系解決簡單問題能利用圓與圓的位置關(guān)系解決簡單問題C層次要求〔較高要求〕能運(yùn)用圓的性質(zhì)解決有關(guān)問題能綜合運(yùn)用幾何知識(shí)解決與圓周角有關(guān)的問題能解決與切線有關(guān)的問題1、圓的有關(guān)概念〔1〕圓：在一個(gè)平面內(nèi)，線段繞固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓。固定的端點(diǎn)叫做圓心，線段叫做半徑?！?〕弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦〔3〕直徑：經(jīng)過圓心的弦是直徑.〔4〕弧：圓上任意兩點(diǎn)間的局部叫做圓弧，簡稱弧?！?〕圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角?！?〕圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。2、圓有關(guān)的性質(zhì)〔1〕圓的對稱性：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸；圓也是中心對稱圖形，對稱中心是圓心。〔2〕垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧?！?〕弧、弦、圓心角之間的關(guān)系：①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦也相等②同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應(yīng)的其余各組量也相等〔4〕圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半推論：半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角。的圓周角所對的弦是直徑3、與圓有關(guān)的位置關(guān)系〔1〕點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)圓的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離，則有：①點(diǎn)在圓外；②點(diǎn)在圓上；③點(diǎn)在圓內(nèi)。〔2〕直線和圓的位置關(guān)系①直線和圓的三種位置關(guān)系：〔1〕〔2〕〔3〕如圖〔1〕，直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，我們說這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線，直線和圓相交；如圖〔2〕，直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)，我們說這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)，直線和圓相切；如圖〔3〕，直線和圓沒有公共點(diǎn)，我們說這條直線和圓相離，直線和圓相離。②切線的判定和性質(zhì)：切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。③切線長的概念及切線長定理：切線長：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長；切線長定理：從圓外可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。〔3〕圓和圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的半徑分別為，〔〕,圓心距〔兩圓圓心的距離〕為,則①兩圓外離；②兩圓內(nèi)含；③兩圓相交；④兩圓內(nèi)切；⑤兩圓外切。4、圓與多邊形〔1〕三角形的外接圓與內(nèi)切圓①不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。②三角形的外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)。③三角形的內(nèi)切圓：與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)?！?〕圓與多邊形①經(jīng)過多邊形各個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做多邊形的外接圓，這個(gè)多邊形叫做圓的內(nèi)接多邊形；②和多邊形各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個(gè)多邊形叫做圓的外切多邊形；③圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，一個(gè)內(nèi)角的外角等于它的內(nèi)對角?！?〕圓和正多邊形正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。5、與圓有關(guān)的計(jì)算〔1〕弧長的計(jì)算在半徑為的圓中，的圓心角所對的弧長為〔2〕扇形①由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形②扇形的周長：扇形的面積：，其中為半徑，為扇形的弧長，為扇形圓心角的度數(shù)值?！?〕圓錐①連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線。②圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，圓錐的母線扇形半徑；圓錐底面圓周長扇形弧長。③圓錐的側(cè)面積：，其中為圓錐母線長，為底面半徑。④圓錐的全面積：?！惨弧硨A心角、圓周角的考察【例1】〔08海淀一?！常喝鐖D，圓心角，則圓周角的度數(shù)為〔〕講解：此題考察同弧所對的圓心角與圓周角之間的關(guān)系，讓學(xué)生自己總結(jié)相關(guān)的性質(zhì)，熟練掌握根基知識(shí)。解析：D【例2】〔09四川遂寧〕如圖，⊙的兩條弦，相交于點(diǎn),，，那么的值為〔〕講解：想要求就應(yīng)先求出的度數(shù)，根據(jù)條件，如果知道則利用三角形內(nèi)角和即可求出的度數(shù)，利用同弧所對的圓周角相等得知，因此，。解析：D【例3】〔09天津〕如圖，內(nèi)接于，假設(shè)，則的大小為〔〕CABOCABO講解：連接，所以為等腰三角形，那么，可知,在利用同弧所對的圓心角是圓周角的2倍得：。提示學(xué)生在有兩條半徑時(shí)會(huì)構(gòu)成以圓心為頂點(diǎn)的等腰三角形。解析：D【例4】〔09四川成都〕如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD為⊙O的直徑，AD＝6，那么BD＝_________．講解：根據(jù)條件可求出,弧所對的圓周角，此題還考察了直徑所對的圓周角為直角，最后在利用在直角三角形中，所對的邊為斜邊的一半求出，最后用勾股定理求出BD?！苍谌切沃欣娩J角三角函數(shù)值求BD長也可以，但是有一些同學(xué)不習(xí)慣應(yīng)用三角函數(shù)求邊長〕解析：〔二〕對圓的對稱性的考察【例5】〔08豐臺(tái)一?！橙鐖D，半徑為5的圓中，如果弦的長為8,那么圓心到的距離，即的長等于．講解：考察對垂徑定理的運(yùn)用，利用半徑和弦長求弦心距，連接，在三角形中利用勾股定理求出的長。解析：3【例6】〔08石景山一模〕如圖，⊙O的半徑為2，弦AB=，E為弧AB的中點(diǎn)，OE交AB于點(diǎn)F，則OF的長為〔〕．講解：考察對垂徑定理及其推論的運(yùn)用，點(diǎn)E為弧AB的中點(diǎn)，則半徑OE垂直平分弦AB，，在中求出OF=1。解析：1【例7】〔09北京〕如圖，為圓的直徑，弦，為弧上一點(diǎn)，假設(shè)，則．講解：考察對垂徑定理的掌握以及等弧所對的圓周角相等，因?yàn)橹睆剑渣c(diǎn)為弧的中點(diǎn)。解析：【例8】〔朝陽一?！车妊切蝺?nèi)接于半徑為的中，如果底邊的長為，那么底角的正切值是________．講解：利用垂徑定理可以求出弦的弦心距，再結(jié)合圖像在直角三角形中求銳角三角函數(shù)值。由于題目沒有圖形，此題易錯(cuò)的一點(diǎn)是漏掉一個(gè)答案，所以要提醒學(xué)生，針對這樣沒有給出圖形的幾何問題要自己畫圖，并且考慮周到。解析：或〔三〕對點(diǎn)和圓、直線和圓以及圓和圓的位置關(guān)系的考察【例9】〔08宣武一?！场训陌霃絚m，圓心到直線的距離cm，在直線上有一點(diǎn)且cm，則點(diǎn)〔〕在⊙內(nèi)在⊙上在⊙外可能在⊙內(nèi)也可能在⊙外講解：考察點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，判斷點(diǎn)的位置就要知道點(diǎn)到圓心的距離，根據(jù)題意，自己畫出圖像可求出點(diǎn)到圓心的距離為6，因此點(diǎn)在圓上。解析：【例10】〔08朝陽二?！常喝鐖D，從點(diǎn)P向⊙O引兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，BC為⊙O的直徑，假設(shè)∠P=60°，PA=3，則⊙O的直徑BC的長為()講解：考察切線長定理，連接,則，，又因?yàn)?，所以在中可以求出半?則直徑解析：【例11】〔09湖北荊門〕如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．則△ABC的內(nèi)切圓半徑r=______．講解：考察對三角形內(nèi)切圓的運(yùn)用和切線長定理，連接三個(gè)過切點(diǎn)的半徑，再根據(jù)切線長定理列等式，求出直角三角形內(nèi)切圓的半徑，最后可整理出直角三角形內(nèi)切圓的半徑的公式：，其中為兩條直角邊長，為斜邊長。解析：【例12】〔09四川瀘州〕⊙O1與⊙O2的半徑分別為5cm和3cm，圓心距0201=7cm，則兩圓的位置關(guān)系為〔〕外離外切相交內(nèi)切講解：考察圓和圓的位置關(guān)系，讓學(xué)生總結(jié)圓與圓的五種位置關(guān)系。解析：【例13】〔08石景山二?！橙鐖D，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B的平分線交AC于E，DE⊥BE.⑴試說明AC是△BED外接圓的切線；⑵假設(shè)CE=1，BC=2，求△ABC內(nèi)切圓的面積.講解：此題考察了證明切線的方法和圓與相似相結(jié)合的問題。問題〔1〕考察如何證明一條直線為圓的切線，這道題沒有給出圓心位置，因此根據(jù)DE⊥BE可取直徑BD的中點(diǎn)O，即為圓心，再連接OE，去證明OE⊥AC；問題〔2〕求直角三角形內(nèi)切圓面積就要從內(nèi)切圓半徑入手，直角三角形內(nèi)切圓半徑可以推導(dǎo)出公式：，其中為兩條直角邊長，為斜邊長。因此對于這道題開講求三邊長度是關(guān)鍵一點(diǎn)，根據(jù)題意∠B的平分線交AC于E，結(jié)合相似解題，利用相似和的兩個(gè)邊長求出未知的邊的長度。解析：〔1〕取BD的中點(diǎn)O，聯(lián)結(jié)OE.∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB.又∠0BE=∠CBE，∴∠CBE=∠OEB.∴BC∥OE.∴∠OEA=∠C=90°.∴AC⊥OE.∴AC是△BED外接圓的切線.〔2〕Rt△BCE中，BE==.∵∠OBE=∠OEB，∠C=∠BED=90°，∴△BCE∽△BED.∴.∴DE=，∴BD=.∴OE=OB=OD=∵BC∥OE,∴.∴AE=,AO=.∴△ABC的內(nèi)切圓半徑為r=〔BC+AC-AB〕=.∴△ABC的內(nèi)切圓面積為.【例14】〔08昌平一?！橙鐖D，AB是⊙O的直徑，AC是弦，點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，,垂足為點(diǎn)P.〔1〕求證：PD是⊙O的切線；〔2〕假設(shè)AC=6,cosA=，求PD的長。講解：此題考察了證明切線的問題以及與銳角三角函數(shù)相結(jié)合的綜合運(yùn)用。問題〔1〕證明切線，首先連接過切點(diǎn)的半徑，題中點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，則需要利用等弧所對的圓心角相等來繼續(xù)證明，接下來還會(huì)利用到三角形外角的性質(zhì)，最終證明出結(jié)論；問題〔2〕連接構(gòu)造直角三角形，根據(jù)的的長運(yùn)用給出的三角函數(shù)值可求出，之后將根據(jù)有三個(gè)角為直角的四邊形為矩形證明四邊形為矩形，所以等于，并且垂直平分此時(shí)，最終求出的長。解析：〔1〕證明：如圖：連接OD，AD∵D為弧BC的中點(diǎn)∴弧CD=弧BD∴∵∴∴PA∥DO∵DP⊥AP∴∠P=90°.∴∠ODP=∠P=90°即OD⊥PD.∵點(diǎn)D在⊙O上∴PD是⊙O的切線〔2〕連結(jié)CB交OD于點(diǎn)E.∵AB為⊙O直徑，∴∠ACB=∠ECP=90°.∵∠ODP=∠P=90°，∴四邊形PCED為矩形.∴PD=CE，∠CED=90°.∴OD⊥CB.∴EB=CE.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴cosA=.∵AC=6,cosA=，∴AB=10.∴BC=8.∴CE=PD=BC=4.〔四〕對與圓有關(guān)的計(jì)算的考察【例15】〔09浙江嘉興〕如圖，⊙P內(nèi)含于⊙，⊙的弦切⊙P于點(diǎn)，且．假設(shè)陰影局部的面積為，則弦的長為〔〕講解：考察了直線與圓相切、圓與圓內(nèi)含以及垂徑定理，因?yàn)榭芍c(diǎn)到的距離就是圓的半徑長，陰影部分的面積為大圓面積減去小圓面積，結(jié)合題意利用垂徑定理能夠求出弦一半的長度，進(jìn)而求出的長。解析：【例16】〔08朝陽一?！橙鐖D，中，，，以為圓心，為半徑的圓交于點(diǎn)，假設(shè)，則弧的長為________．講解：考察求弧長的計(jì)算，連接，根據(jù)條件可知為等邊三角形，由此得弧所對的圓心角為，帶入弧長公式可求出弧的長為。解析：【例17】〔09山東濟(jì)南〕在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小明同學(xué)用紙板制作了一個(gè)圓錐形漏斗模型．如以下圖，它的底面半徑高則這個(gè)圓錐漏斗的側(cè)面積是〔〕講解：考察計(jì)算圓錐的側(cè)面積，根據(jù)條件先求出圓錐的母線長，即展開扇形圖的半徑長，利用扇形面積公式代入求值。解析：【例18】〔豐臺(tái)一?！橙鐖D，如果將半徑為的圓形紙片剪去一個(gè)圓周的扇形，用剩下的扇形圍成一個(gè)圓錐〔接縫處不重疊〕，那么這個(gè)圓錐的底面圓半徑為〔〕講解：考察圓錐的展開圖為扇形以及弧長公式，由條件能夠知道剩下的扇形的圓心角為，帶入公式求出扇形的弧長為，即為圓錐的底面周長，所以可得圓錐的底面半徑為。解析：OBDAC1.〔09四川南充〕如圖，AB是的直徑，點(diǎn)C、D在上，，，則〔〕OBDACA．70° B．60° C．50° D．40°解析：D2.〔08通州一模〕如圖,AB是⊙的直徑,CD是弦,且CD⊥AB,假設(shè)BC=8,AC=6,則sin∠ABD的值為〔〕解析：D3.〔08密云一?！骋韵抡f法正確的有〔〕〔1〕如圖〔a〕，可以利用刻度尺和三角板測量圓形工件的直徑；〔2〕如圖〔b〕，可以利用直角曲尺檢查工件是否為半圓形；〔3〕如圖〔c〕，兩次使用丁字尺〔所在直線垂直平分線段〕可以找到圓形工件的圓心；〔4〕如圖〔d〕，測傾器零刻度線和鉛垂線的夾角，就是從點(diǎn)看點(diǎn)時(shí)仰角的度數(shù)．〔〔a〕〔b〕〔c〕〔d〕A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解析：D4.〔09黑龍江哈爾濱〕如圖，⊙O的直徑CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足為M，則DM的長為_____．解析：85.〔08石景山二?！橙鐖D，小明同學(xué)測量一個(gè)光盤的直徑，他只有一把直尺和一塊三角板，他將直尺、光盤和三角板如圖放置于桌面上，并量出AB=3cm，則此光盤的直徑是_____cm.解析：6.〔08門頭溝二?！橙鐖D，半圓的直徑AB=10，P為AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C，D為半圓的三等分點(diǎn)，則陰影局部的面積等于_______．解析：7.〔08昌平一?！橙鐖D，分別切圓于點(diǎn)A、B，圓的半徑為2，，則陰影局部的面積為．解析：8.〔08豐臺(tái)一?！常喝鐖D，以的邊為直徑的圓交邊于點(diǎn)，且過點(diǎn)的切線平分邊．⑴求證：是圓的切線；⑵當(dāng)滿足什么條件時(shí)，以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形請說明理由．解析：〔1〕證明：聯(lián)結(jié)、，切于，為直徑，∴，又平分，∴，∴．又，；∴，即．∴與相切．〔2〕滿足的條件是等腰直角三角形．理由：∵，，,∴．∴,∴四邊形是菱形．∵,∴四邊形是正方形．CBCBAO1.〔09湖南長沙〕如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)，，則的度數(shù)為．解析：22°°°O2.〔09福建龍巖°°O解析：15°3.〔08大興二?！橙鐖D，⊙O的直徑為26cm，弦長為24cm，且OP⊥AB于P點(diǎn)，則的值為．解析：4.〔08湖南邵陽〕如圖0，分是圓的直徑和弦，于點(diǎn)，連結(jié)、，，，則．解析：ABCDO5.〔09湖南邵陽〕如圖AB是⊙O的直徑，AC是⊙ABCDOAD=BCAD=ACAC＞ABAD＞DC解析：6.〔08密云一?！?，如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為〔2，1〕，分別以A、B為圓心的圓與x軸相切，則圖中兩個(gè)陰影局部面積的和為．解析：7.〔09湖北襄樊〕如圖，在中，分別以、為直徑畫半圓，則圖中陰影局部的面積為．〔結(jié)果保存〕解析：8.〔08朝陽一?！常喝鐖D，在中，弦垂直直徑，垂足為，，，點(diǎn)在的延長線上，且.⑴求證：是的切線；⑵將平移，平移后所得的三角形記為．求當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與重合局部的面積．解析：〔1〕證：連接OD．∵弦CD⊥直徑AB，AB=4，CD=，∴MD==．∴OD==2．在Rt△OMD中，∵sin∠DOM=，∴∠DOM=60°．在Rt△DME中，∵，∴∠E=30°．∴∠ODE=90°．又∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線．〔2〕解：∵∠ODE=90°，OD=2，∠E=30°，∴DE=．在Rt△ODM中，OM=1．又，∴AM=3．在Rt△ACM中，由勾股定理得，AC=，∴AC=DE=D′E′．∵點(diǎn)E′與點(diǎn)C重合，∴平移后的D′E′與AC重合．設(shè)交⊙O于點(diǎn)F，連接OF、OC、AF．由平移的性質(zhì)得△ODE≌△，∴∠O′CA=∠E=30°,∠AOF=2∠ACO′=60°．由平移的性質(zhì)可知FC∥AO．在Rt△FCD中，可求得FC=2，∠CFO=∠FOA=60°．∴△FOC為等邊三角形．∴FC=OA=2．∴．∴．三十句經(jīng)典勵(lì)志箴言1．擇善人而交，擇善書而讀，擇善言而聽，擇善行而從。2．一個(gè)人的快樂，不是因?yàn)樗麚碛?/p>