上海南洋模范2023年高二數(shù)學第一學期期末考試試題含解析

上海南洋模范2023年高二數(shù)學第一學期期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點在拋物線：上，則的焦點到其準線的距離為（）A. B.C.1 D.22．已知甲、乙、丙三名同學同時獨立地解答一道導數(shù)試題，每人均有的概率解答正確，且三個人解答正確與否相互獨立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的概率A. B.C. D.3．正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為，AB，的中點，則直線ED與FG所成角的余弦值為（）A. B.C. D.4．過拋物線的焦點引斜率為1的直線，交拋物線于，兩點，則（）A.4 B.6C.8 D.105．若等差數(shù)列的前項和為，首項，，，則滿足成立的最大正整數(shù)是（）A. B.C. D.6．在中，若，，則外接圓半徑為（）A. B.C. D.7．在等差數(shù)列中，，則（）A.6 B.3C.2 D.18．已知函數(shù)，其中e是自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是A. B.C. D.9．若圓與圓相切，則實數(shù)a的值為（）A.或0 B.0C. D.或10．已知，為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足，那么點P到x軸的距離為（）A. B.C. D.11．俗話說“好貨不便宜，便宜沒好貨”，依此判斷，“不便宜”是“好貨”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知，，，其中，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點在圓上，點在圓上，則的最小值是__________14．已知直線與直線垂直，則實數(shù)的值為___________.15．已知函數(shù)，則______16．已知，，若，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.18．（12分）已知O為坐標原點，點P在拋物線C：上，點F為拋物線C的焦點，記P到直線的距離為d，且.（1）求拋物線C的標準方程；（2）若過點的直線l與拋物線C相切，求直線l的方程.19．（12分）已知數(shù)列的前項和滿足，數(shù)列滿足（1）求，的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項和20．（12分）已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若有兩個零點，求實數(shù)a取值范圍.21．（12分）在數(shù)列中，，，且對任意的，都有.（1）數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列，求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，證明

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由點在拋物線上，求得參數(shù)，焦點到其準線的距離即為.【詳解】由點在拋物線上，易知，，故焦點到其準線的距離為.故選：B.2、C【解析】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件，利用二項分布的知識計算出，再計算出，結合條件概率公式求得結果.【詳解】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件則；本題正確選項：【點睛】本題考查條件概率的求解問題，涉及到利用二項分布公式求解概率的問題.3、B【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量坐標運算即可求解.【詳解】如圖所示建立適當空間直角坐標系，故選：B4、C【解析】由題意可得，的方程為，設、，聯(lián)立直線與拋物線方程可求，利用拋物線的定義計算即可求解.【詳解】由上可得：焦點，直線的方程為，設，，由，可得，則有，由拋物線的定義可得：，故選：C.5、B【解析】由等差數(shù)列的，及得數(shù)列是遞減的數(shù)列，因此可確定，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)求前項和，確定和的正負【詳解】∵，∴和異號，又數(shù)列是等差數(shù)列，首項，∴是遞減的數(shù)列，，由，所以，，∴滿足的最大自然數(shù)為4040故選：B【點睛】關鍵點睛：本題求滿足的最大正整數(shù)的值，關鍵就是求出，時成立的的值，解題時應充分利用等差數(shù)列下標和的性質(zhì)求解,屬于中檔題.6、A【解析】根據(jù)三角形面積公式求出c，再由余弦定理求出a，根據(jù)正弦定理即可求外接圓半徑.【詳解】,,,解得由正弦定理可得：，所以故選：A7、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列下標性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為是等差數(shù)列，所以，故選：B8、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性將函數(shù)轉化為f（M）≤f（N）的形式，再利用單調(diào)性脫去對應法則f，轉化為一般的二次不等式求解即可【詳解】由于，，則f（﹣x）＝﹣x3+e﹣x﹣ex＝﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)故原不等式f（a﹣1）+f（2a2）≤0，可轉化為f（2a2）≤﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），即f（2a2）≤f（1﹣a）；又f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x，由于ex+e﹣x≥2，故ex+e﹣x﹣cosx>0，所以f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x≥0恒成立，故函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，則由f（2a2）≤f（1﹣a）可得，2a2≤1﹣a，即2a2+a﹣1≤0，解得，故選B【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定及應用，考查了不等式的解法，屬于中檔題9、D【解析】根據(jù)給定條件求出兩圓圓心距，再借助兩圓相切的充要條件列式計算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，而，即點不可能在圓內(nèi)，則兩圓必外切，于是得，即，解得，所以實數(shù)a的值為或.故選：D10、D【解析】設，由雙曲線的性質(zhì)可得的值，再由，根據(jù)勾股定理可得的值，進而求得，最后利用等面積法，即可求解【詳解】設，，為雙曲線的兩個焦點，設焦距為，，點P在雙曲線上，，，，，，的面積為，利用等面積法，設的高為，則為點P到x軸的距離，則，故選：D【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，難度不大.11、A【解析】將“好貨”與“不便宜”進行相互推理即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意，“好貨”一定“不便宜”，但是“不便宜”不一定是“好貨”，所以“不便宜”是“好貨”的必要不充分條件.故選：A.12、C【解析】先令函數(shù)，求導判斷函數(shù)的單調(diào)性，并作出函數(shù)的圖像，由函數(shù)的單調(diào)性判斷，再由對稱性可得.【詳解】由，則，同理，，令，則，當；當，∴在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，即可得，又，，由圖的對稱性可知，.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3－5【解析】因為點在圓上，點在圓上，故兩圓的圓心分別為半徑分別為和兩圓的圓心距為，故兩圓相離，則最小值為，故答案為.考點：1、圓的方程及圓的幾何性質(zhì)；2、兩點間的距離公式及最值問題.【方法點晴】本題主要考查圓的方程及幾何性質(zhì)、兩點間的距離公式及最值問題的應用，屬于難題.解決解析幾何的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將解析幾何中最值問題轉化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題就是利用圓的幾何性質(zhì)，將的最小值轉化兩圓心的距離減半徑解答的.14、【解析】由直線垂直的充要條件列式計算即可得答案.【詳解】解：因為直線與直線垂直，所以，解得故答案為：15、【解析】根據(jù)導數(shù)的定義求解即可【詳解】由，得，所以，故答案為：16、【解析】根據(jù)空間向量垂直得到等量關系，求出答案.【詳解】由題意得：，解得：故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)得到，再結合為等比數(shù)列求出首項，進而求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）求得數(shù)列的通項公式，進而利用公式法即可求出【小問1詳解】解：（1），，當時，，即，又，為等比數(shù)列，所以，，數(shù)列的通項公式為【小問2詳解】（2）由（1）知，則，數(shù)列的前項和18、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義進行求解即可；（2）根據(jù)直線l是否存在斜率分類討論，結合一元二次方程根的判別式進行求解即可.【小問1詳解】因為，所以P到直線的距離等于，所以拋物線C的準線為，所以，，所以拋物線C的標準方程為；【小問2詳解】當直線l的斜率不存在時，方程為，此時直線l恰與拋物線C相切當直線l的斜率存在時，設其方程為，聯(lián)立方程，得若，顯然不合題意；若，則，解得此時直線l的方程為綜上，直線l與拋物線C相切時，l的方程為或.19、（1），；（2）.【解析】（1）由求得的遞推關系，結合可得其為等比數(shù)列，從而得通項公式，代入計算得；（2）求出，由錯位相減法求和【詳解】（1）由可得，，即，易知，故..（2）由（1）可知，①，②，①－②得，.【點睛】方法點睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式及錯位相減法求和．數(shù)列求和的常用方法：公式法、錯位相減法、裂項相消法、分組（并項）求和法，倒序相加法20、（1）極小值為，無極大值（2）【解析】(1)利用導數(shù)求出，分別令、，進而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出極值；(2)利用導數(shù)討論、0時函數(shù)的單調(diào)性，進而得出函數(shù)的最小值小于0，解不等式即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，時，.令，解得，∵在上，，在上，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的極小值為，無極大值.【小問2詳解】，當時，，∴在上單調(diào)遞增，此時不可能有2個零點.當0時.令，得，∵在上，，在上，），∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最小值為.∵有兩個零點，∴，即，∴.經(jīng)驗證，若，則，且，又，∴有兩個零點.綜上，a的取值范圍是.21、（1）；（2）.【解析】（1）由遞推式可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義寫出通項公式，再由累加法求的通項公式；（2）由（1）可得，再應用裂項相消法求前項和【小問1詳解】由可得：，又，，∴，則數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴.∴.【小問2詳解】∵，∴∴.22、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）求導得，進而分和兩種情況討論求解即可；（2）根據(jù)題意證明，進而令，再結合（1）