第五章 桿件的變形和位移

第五章

桿件的變形和位移材料力學(xué)1第五章

桿件的變形和位移本章內(nèi)容:5.1桿件的拉伸和壓縮變形5.2圓軸的扭轉(zhuǎn)變形5.3梁的彎曲變形2

第五章桿件的變形和位移彎曲變形的研究

1695年提出了梁彎曲的平截面假設(shè)；由此證明梁的曲率和彎矩成正比；但由于沒(méi)有采用曲率的簡(jiǎn)化式，且當(dāng)時(shí)尚無(wú)彈性模量的定量結(jié)果，致使該理論并沒(méi)有得到廣泛的應(yīng)用。

雅克布·伯努利JakobBernoulli（1654-1705)英國(guó)科學(xué)家Pxyρ3第五章

桿件的變形和位移歐拉（LeonhardEuler，1707-1783），1707年出生在瑞士的巴塞爾城。歐拉是18世紀(jì)科學(xué)界的代表人物，是那個(gè)時(shí)代的巨人。他是歷來(lái)最有才華、最博學(xué)的人物之一，也是歷史上最多產(chǎn)的一位數(shù)學(xué)家。得出懸臂梁自由端的撓度伯努利—

歐拉梁

4第五章

桿件的變形和位移法國(guó)科學(xué)家納維埃（Clande-Louis-Marie-HenriNavier）1826年納維埃在他的《材料力學(xué)》（第一版）中給出正確的結(jié)論：

梁彎曲時(shí)一側(cè)纖維伸長(zhǎng)；另一側(cè)纖維縮短；必然存在既不伸長(zhǎng)也不縮短的中性層；中性層過(guò)橫截面的形心。

5第五章桿件的變形和位移5.1桿件的拉伸和壓縮變形軸向變形（縱向變形）

在軸向外力作用下，桿件的內(nèi)力是軸力，使桿沿其軸線方向發(fā)生伸長(zhǎng)或縮短。橫向變形

在軸向外力作用下，桿沿其橫向相應(yīng)變小或增大。6第五章桿件的變形和位移5.1桿件的拉伸和壓縮變形軸向應(yīng)變

橫向應(yīng)變

軸向變形橫向變形7第五章桿件的變形和位移5.1桿件的拉伸和壓縮變形根據(jù)胡克定律即有軸向受力桿件的軸向位移為

E—材料的彈性模量，

由拉伸試驗(yàn)在彈性變形階段測(cè)定。EA—桿件的抗拉（壓）剛度。

上式表明：桿的軸向位移與軸力及桿長(zhǎng)成正比，與EA成反比。8第五章桿件的變形和位移5.1桿件的拉伸和壓縮變形

當(dāng)桿件受到多個(gè)軸向力作用，且每段的桿長(zhǎng)、彈性模量、截面尺寸都不是常量時(shí)，桿件兩端的總位移可分段計(jì)算，代數(shù)疊加而成，即泊松比

同一材料的橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比或

9第五章桿件的變形和位移5.1桿件的拉伸和壓縮變形例5.1

一木柱受力如圖所示，柱的橫截面為邊長(zhǎng)200mm的正方形，材料可認(rèn)為服從胡克定律，其彈性模量E＝10GPa，如不計(jì)柱的自重，試求木柱頂端A截面的位移。解：首先作立柱的軸力圖AB段：BC段：全桿的總變形為10第五章桿件的變形和位移5.1桿件的拉伸和壓縮變形

解：自重為體積力。對(duì)于均質(zhì)材料的等截面桿，可將桿的自重簡(jiǎn)化為沿軸線作用的均布荷載，其集度用截面法，求得離桿頂端距離為x的橫截面上的軸力為并作出桿的的軸力圖如圖d所示11第五章桿件的變形和位移5.1桿件的拉伸和壓縮變形

由于桿的各個(gè)橫截面上的內(nèi)力均不同。因此不能直接用式(5.1)計(jì)算變形。桿的總變形可沿桿長(zhǎng)l積分得到，即式中

為桿的總重。

由計(jì)算可知，直桿因自重引起的變形，在數(shù)值上等于將桿的總重的一半集中作用在桿端所產(chǎn)生的變形。

12第五章桿件的變形和位移5.1桿件的拉伸和壓縮變形例5.3圖所示結(jié)構(gòu)中ABC桿可視為剛性桿，BD桿的橫截面面積A＝400mm2，材料的彈性模量E＝2.0×105MPa。試求B點(diǎn)的豎直位移

。解：取剛性桿ABC為隔離體作受力分析kNkN桿BD的變形為對(duì)A點(diǎn)應(yīng)用力矩平衡方程可求得BD桿的軸力為13第五章桿件的變形和位移5.1桿件的拉伸和壓縮變形

桿BD與剛性桿AC在未受力之前B點(diǎn)鉸結(jié)在一起，變形后還應(yīng)鉸結(jié)在一起，即滿足變形的協(xié)調(diào)關(guān)系。根據(jù)小變形假設(shè)：以直代曲14第五章桿件的變形和位移5.1桿件的拉伸和壓縮變形通過(guò)本例說(shuō)明：（1）小變形條件是反映桿件實(shí)際變形情況的，它與原尺寸相比，的確是很小的變形，由此引起的角度變化也是很小的。（2）通常按桿件的原有幾何形狀、位置和尺寸計(jì)算約束支反力和內(nèi)力，用切線代替圓弧線的方法確定節(jié)點(diǎn)變形后的位移，是符合客觀實(shí)際的。155.2圓軸的扭轉(zhuǎn)變形第五章桿件的變形和位移

等直圓軸的扭轉(zhuǎn)變形，是用兩橫截面繞桿軸相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

度量的。

GIP—抗扭剛度

165.2圓軸的扭轉(zhuǎn)變形第五章桿件的變形和位移

或

當(dāng)圓軸沿軸長(zhǎng)受到多個(gè)外力偶矩作用時(shí)，與軸向拉壓變形相似，也可由疊加的方法得到兩端的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角，即

GIP

稱為圓桿的扭轉(zhuǎn)剛度，它表示圓桿抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力。

GIP

越大，則扭轉(zhuǎn)角越??；

GIP

越小，則扭轉(zhuǎn)角越大。扭轉(zhuǎn)角的單位為弧度（rad）。175.2圓軸的扭轉(zhuǎn)變形第五章桿件的變形和位移

扭轉(zhuǎn)角與扭矩和軸長(zhǎng)度成正比，與圓軸的抗扭剛度成反比。結(jié)論：18

5.2圓軸的扭轉(zhuǎn)變形第五章桿件的變形和位移例5.4

一圓軸AC受力如圖所示。AB段為實(shí)心，直徑為50mm；BC段為空心，外徑為50mm，內(nèi)徑為35mm。試求C截面的扭轉(zhuǎn)角。設(shè)G＝80GPa。解：作圓桿的扭矩圖，如圖所示。AB、BC段扭矩及極慣性矩不同，求C截面的扭轉(zhuǎn)角，應(yīng)分段考慮。195.2圓軸的扭轉(zhuǎn)變形第五章桿件的變形和位移解：

計(jì)算空心軸和實(shí)心軸的極慣性矩分別為205.2圓軸的扭轉(zhuǎn)變形第五章桿件的變形和位移根據(jù)題意，(a)(b)兩軸材料和自重相等，即兩軸橫截面面積應(yīng)相等，即A(a)=A(b)：得

215.2圓軸的扭轉(zhuǎn)變形第五章桿件的變形和位移兩軸所能承受的最大轉(zhuǎn)矩分別為

225.2圓軸的扭轉(zhuǎn)變形第五章桿件的變形和位移

在自重相同的條件下，實(shí)心軸與空心軸的剛度比為說(shuō)明：在材料和自重相同的條件下，空心軸比實(shí)心軸優(yōu)越。235.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移5.3.1概述

梁彎曲時(shí)，梁軸線變彎、橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，因此既有線位移，又有角位移。一般情況下，撓曲線是一條光滑而連續(xù)的曲線。在平面彎曲條件下，梁軸線在形心主慣性軸平面（縱向?qū)ΨQ平面）內(nèi)彎成一條平面曲線,稱為梁的撓曲線。當(dāng)材料在彈性范圍時(shí)，也稱為彈性曲線。

245.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移撓度

轉(zhuǎn)角

稱轉(zhuǎn)角方程

稱撓曲線方程或撓度方程。255.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移注意：撓度和轉(zhuǎn)角的正負(fù)號(hào)與所取坐標(biāo)系有關(guān)。在圖示的坐標(biāo)系中，正值的撓度向上，負(fù)值的撓度向下；正值的轉(zhuǎn)角為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，負(fù)值的轉(zhuǎn)角為順時(shí)針轉(zhuǎn)向。265.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移

5.3.2撓曲線近似微分方程

由第四章知

平面曲線上任一點(diǎn)x處的曲率為275.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移

在小變形前提下，撓曲線的斜率很小，平方后與1比較更小，可忽略不計(jì)，于是可寫成近似式為

285.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移可見(jiàn)，彎矩的正負(fù)號(hào)與曲率符號(hào)一致，故上式即為梁撓曲線近似微分方程，經(jīng)逐次積分即可得到轉(zhuǎn)角和撓度。29

撓曲線的曲率與彎矩的正負(fù)號(hào)之間關(guān)系5.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移

5.3.3積分法求彎曲變形等截面梁抗彎剛度EI為常量，撓曲線近似微分方程積分一次得轉(zhuǎn)角方程再積分一次得撓度方程C和D為積分常數(shù)。利用梁彎曲變形時(shí)的邊界條件來(lái)確定。305.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移

撓曲線除了在有中間鉸處，應(yīng)該是一條光滑連續(xù)曲線，不可能出現(xiàn)圖示的不連續(xù)和不光滑的現(xiàn)象。在有中間鉸處，轉(zhuǎn)角可以出現(xiàn)不光滑，但撓度還是連續(xù)的。光滑連續(xù)條件

邊界條件

（1）鉸支座處的撓度為零；（2）固定端處的撓度和轉(zhuǎn)角均為零；（3）在撓曲線的對(duì)稱點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角為零等。315.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移例5.6鋁合金矩形管梁，尺寸和受力如圖。已知鋁合金的比例極限

σp=150MPa，管梁允許承受的最大應(yīng)力

σmax=100MPa，彈性模量E=70Gpa，求：1）該梁能承受的最大外力偶矩Me；

2）管彎曲變形后的曲率半徑以及管梁底邊彎曲變形后的長(zhǎng)度及伸長(zhǎng)量。解：

σmax<

σp,仍在彈性變形范圍

325.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移由得梁彎曲變形后的曲率半徑為

管梁底邊σmax=100MPa，在純彎條件下，底邊的應(yīng)變?yōu)槌Ａ?/p>

則管梁底邊的彎曲長(zhǎng)度為伸長(zhǎng)量為0.00143m，為原長(zhǎng)的1.43/1000。335.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移例5.7一懸臂梁在自由端受集中力作用，如圖所示，試求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大的轉(zhuǎn)角和撓度。已知梁的抗彎剛度為EI。解：（1）建立如圖所示坐標(biāo)系。列出彎矩方程為（2）求轉(zhuǎn)角及撓度方程(a)(b)345.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移(c)(d)將懸臂梁的邊界條件

和

，代入(a)、(b)兩式，得到積分常數(shù)

和

，再回代入(a)、(b)兩式得到該梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程為（3）求最大的轉(zhuǎn)角和撓度以

代入（c）、（d）兩式得到為負(fù)值，表明B截面順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)；為負(fù)值，表明B點(diǎn)向下位移。355.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移解：

列彎矩方程

撓曲線近似微分方程為積分36例5.8

受均布載荷q的簡(jiǎn)支梁，已知EIz、l、q，求梁的最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角θmax。

5.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移由邊界條件確定積分常數(shù)轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為

本例梁的受力和邊界條件都與梁跨度中點(diǎn)對(duì)稱，故梁的撓曲線必然也是對(duì)稱的，最大撓度發(fā)生在中點(diǎn)（x=l/2）375.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移

故

385.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移解：

求約束反力AD段

（0≤x1≤a）

DB段

（a≤x2≤l）分段列出彎矩方程

39例5.9

作用有集中力F的簡(jiǎn)支梁，坐標(biāo)系選擇如圖所示。已知F、a、b、l、EIz,試求該梁的最大轉(zhuǎn)角和最大撓度。5.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移

由于彎矩方程分段不同，所以撓曲線近似微分方程也應(yīng)分段列出，并分別積分，結(jié)果如下：AD段

（0≤x1≤a）

DB段

（a≤x2≤l）

405.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移

在CB段內(nèi)，在含有（x2-a）的各項(xiàng)積分時(shí)，以（x2-a）為自變量，這樣可使確定積分常數(shù)的運(yùn)算得到簡(jiǎn)化。兩個(gè)近似微分方程，出現(xiàn)四個(gè)積分常數(shù)，因此需建立四個(gè)條件才能確定。由于梁彎曲變形時(shí)撓曲線必然是一條光滑連續(xù)的曲線，在AC和CB兩段交界截面C處，應(yīng)具有相同的轉(zhuǎn)角和撓度（光滑連續(xù)條件），即在x1=x2=a處有

求得

415.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移再利用梁的邊界約束條件，在A、B支座處的撓度均為零，即最后得轉(zhuǎn)角方程和撓度方程為AD段（0≤x1≤a）DB段（a≤x2≤l）425.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移

若a>b，最大撓度位于AD段之間。設(shè)x1=x0時(shí)轉(zhuǎn)角為零，得43即

得梁的最大撓度為5.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移

當(dāng)

b→0時(shí)，即集中力靠近梁的右端時(shí)，，即最大撓度距梁的中點(diǎn)僅0.077l。

445.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移

通過(guò)本例可以看出，當(dāng)梁受載較復(fù)雜時(shí)，分段寫出的彎矩方程就增多，當(dāng)有n個(gè)分段，就有n個(gè)撓曲線方程，存在2n個(gè)積分常數(shù)。若在列彎矩方程和積分時(shí)注意自變量的選取，可使2n個(gè)積分常數(shù)歸結(jié)為2個(gè)。梁中間位置x=l/2處，當(dāng)

b→0時(shí)

455.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移5.3.4疊加法求梁的位移

在小變形和梁始終處于彈性變形階段，梁的位移與載荷之間成線性齊次關(guān)系。當(dāng)?shù)诙€(gè)載荷Ⅱ單獨(dú)作用時(shí)，撓曲線方程同樣可寫成46當(dāng)?shù)谝粋€(gè)載荷I單獨(dú)作用時(shí)，其撓曲線方程可寫成5.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移當(dāng)兩個(gè)載荷同時(shí)作用時(shí)，有可見(jiàn)，wI+wII就是兩個(gè)載荷共同作用下的撓度。用疊加法求梁的位移時(shí)，可表達(dá)為47顯然，可以推廣到有n個(gè)載荷同時(shí)作用的情況。5.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移485.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移495.3梁的彎曲變形第五章桿件的變形和位移解：50先分別求出集中載荷和均布載荷作用所引起的變形（圖b，c），然后疊加，即得