（5年高考真題備考題庫）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 第4節(jié) 基本不等式 文 湘教版

2009~2013年高考真題備選題庫第6章不等式、推理與證明第4節(jié)基本不等式考點(diǎn)一基本不等式及其應(yīng)用1．（2013福建，5分）若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是()A．[0,2] B．[－2,0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]解析：本題主要考查基本不等式，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運(yùn)算求解能力．∵2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2x＋y)(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2y時等號成立)，∴eq\r(2x＋y)≤eq\f(1,2)，∴2x＋y≤eq\f(1,4)，得x＋y≤－2，故選D.答案：D2．（2013山東，5分）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當(dāng)eq\f(z,xy)取得最小值時，x＋2y－z的最大值為()A．0 B.eq\f(9,8)C．2 D.eq\f(9,4)解析：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力和轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)和方程思想．eq\f(z,xy)＝eq\f(x2－3xy＋4y2,xy)＝eq\f(x,y)＋eq\f(4y,x)－3≥2eq\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時等號成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.答案：C3．（2013四川，5分）已知函數(shù)f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x＞0，a＞0)在x＝3時取得最小值，則a＝________.解析：本題主要考查基本不等式，意在考查考生對基礎(chǔ)知識的掌握．f(x)＝4x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(4x·\f(a,x))＝4eq\r(a)，當(dāng)且僅當(dāng)4x＝eq\f(a,x)，即a＝4x2時取等號，則由題意知a＝4×32＝36.答案：364．（2012浙江，5分）若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是()A.eq\f(24,5) B.eq\f(28,5)C．5 D．6解析：∵x＋3y＝5xy，∴eq\f(1,y)＋eq\f(3,x)＝5，∵x>0，y>0，∴(3x＋4y)(eq\f(1,y)＋eq\f(3,x))＝eq\f(3x,y)＋eq\f(12y,x)＋9＋4≥2eq\r(\f(3x,y)·\f(12y,x))＋13＝25，∴5(3x＋4y)≥25，∴3x＋4y≥5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時取等號．∴3x＋4y的最小值是5.答案：C5．（2011浙江，4分）若實(shí)數(shù)x、y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是________．解析：∵xy≤eq\f(1,4)(x＋y)2，∴1＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－eq\f(1,4)(x＋y)2＝eq\f(3,4)(x＋y)2，∴(x＋y)2≤eq\f(4,3).∴－eq\f(2\r(3),3)≤x＋y≤eq\f(2\r(3),3).當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(\r(3),3)時，x＋y取得最大值eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)6．（2010浙江，4分）若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是________．解析：由基本不等式得xy≥2eq\r(2)eq\r(xy)＋6，令eq\r(xy)＝t得不等式t2－2eq\r(2)t－6≥0，解得t≤－eq\r(2)(舍去)或者t≥3eq\r(2)，故xy的最小值為18.答案：187．（2010天津，4分）設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－1，對任意x∈[eq\f(3,2)，＋∞]，f(eq\f(x,m))－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：由題意得：(eq\f(x,m))2－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)恒成立，即(eq\f(1,m2)－4m2－1)x2＋2x＋3≤0恒成立，即eq\f(1,m2)－4m2－1≤eq\f(－2x－3,x2)恒成立，g(x)＝eq\f(－2x－3,x2)＝－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)在[eq\f(3,2)，＋∞)上是增函數(shù)，故當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,m2)－4m2－1≤g(eq\f(3,2))即可．解得m≤－eq\f(\r(3),2)或m≥eq\f(\r(3),2)，即m的取值范圍是(－∞，－eq\f(\r(3),2)]∪[eq\f(\r(3),2)，＋∞)．答案：(－∞，－eq\f(\r(3),2)]∪[eq\f(\r(3),2)，＋∞)考點(diǎn)二不等式的實(shí)際應(yīng)用1．（2011陜西，5分）植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米．開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊．現(xiàn)將樹坑從1到20依次編號，為使各位同學(xué)從各自樹坑前來領(lǐng)取樹苗所走的路程總和最小，樹苗可以放置的兩個最佳坑位的編號為()A．①和? B．⑨和⑩C．⑨和? D．⑩和?解析：當(dāng)放在最左側(cè)坑時，路程和為0＋10＋20＋…＋190；當(dāng)放在左側(cè)第2個坑時，路程和為10＋0＋10＋20＋…＋180(減少了180米)；當(dāng)放在左側(cè)第3個坑時，路程和為20＋10＋0＋10＋20＋…＋170(減少了160米)；依次進(jìn)行，顯然當(dāng)放在中間的第10或11個坑時，路程和最小，為90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100＝1000米．答案：D2．（2010江蘇，5分）將邊長為1m的正三角形薄鐵皮，沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s＝eq\f(梯形的周長2,梯形的面積)，則s的最小值是________．解析：如圖，設(shè)AD＝x(0<x<1)，則DE＝AD＝x，∴梯形的周長為x＋2(1－x)＋1＝3－x，又S△ADE＝eq\f(\r(3),4)x2，∴梯形的面積為eq\f(\r(3),4)－eq\f(\r(3),4)x2，∴s＝eq\f(4\r(3),3)×eq\f(x2－6x＋9,1－x2)(0<x<1)，∴s′＝eq\f(－8\r(3),3)×eq\f(3x－1x－3,1－x22)，令s′＝0得x＝eq\f(1,3)或3(舍去)，當(dāng)x∈(0，eq\f(1,3))時，s′<0，s遞減；當(dāng)x∈(eq\f(1,3)，1)時，s′>0，s遞增；故當(dāng)x＝eq\f(1,3)時，s的最小值是eq\f(32\r(3),3).答案：eq\f(32\r(3),3)3．（2010浙江，4分）某商家一月份至五月份累計銷售額達(dá)3860萬元，預(yù)測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等．若一月份至十月份銷售總額至少達(dá)7000萬元，則x的最小值是________．解析：七月份的銷售額為500(1＋x%)，八月份的銷售額為500(1＋x%)2，則一月份到十月份的銷售總額是3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根據(jù)題意有3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000，即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t＝1＋x%，則25t2＋25t－66≥0，解得t≥eq\f(6,5)或者t≤－eq\f(11,5)(舍去)，故1＋x%≥eq\f(6,5)，解得x≥20.答案：204．（2012江蘇，14分）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx－eq\f(1,20)(1＋k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．解：(1)令y＝0，得kx－eq\f(1,20)(1＋k2)x2＝0，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0，k>0，故x＝eq\f(20k,1＋k2)＝eq\f(20,k＋\