復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)和圖象

復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)與圖象深圳中學(xué)許蘇華中學(xué)數(shù)學(xué)教材中會(huì)系統(tǒng)介紹一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，但不會(huì)系統(tǒng)講述形如的圖象與性質(zhì)，其中和是基本初等函數(shù)，我們稱或?yàn)閺?fù)合函數(shù).對(duì)于復(fù)合函數(shù)，我們稱對(duì)應(yīng)的為外函數(shù)，為內(nèi)函數(shù).此文中的外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)也有非基本初等函數(shù)的，即不是中學(xué)數(shù)學(xué)教材中系統(tǒng)介紹的基本初等函數(shù).由基本初等函數(shù)通過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算得到的函數(shù)，與基本初等函數(shù)一起，統(tǒng)稱為初等函數(shù).與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)題會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)在我們面前，并且難度較大，為了使得我們不再畏懼，也使得我們解題能力、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都得以提高，因此把復(fù)合函數(shù)及其有關(guān)難點(diǎn)加以研究，是非常必要的，也是非常有價(jià)值的.類比于教材研究基本初等函數(shù)的過程，我們嘗試?yán)砬鍙?fù)合函數(shù)的圖象與性質(zhì).當(dāng)一種函數(shù)圖象是我們見過的或者容易用描點(diǎn)法畫出來的時(shí)候，我們能夠先研究函數(shù)圖象，再研究函數(shù)性質(zhì).當(dāng)一種函數(shù)圖象沒有見過時(shí)，或者很難通過幾個(gè)點(diǎn)完整畫出來時(shí)，其實(shí)我們能夠先研究函數(shù)性質(zhì)，通過其性質(zhì)還原其圖象，再根據(jù)圖象，猜想并證明新的性質(zhì).研究復(fù)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)，我們可采用第二種途徑.選擇幾個(gè)最簡(jiǎn)的最美的基本初等函數(shù)，如、、，用于復(fù)合，以期以點(diǎn)帶面.，兩個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合居然是一種更簡(jiǎn)樸的基本初等函數(shù)，因此背面我們只研究、、和這四個(gè)及其類似的復(fù)合函數(shù).函數(shù)的性質(zhì)與圖象定義域和值域內(nèi)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?外函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?要使復(fù)合函數(shù)的解析式故意義，則，從而求得復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?如果內(nèi)函數(shù)為，定義域是，值域則為，可見此時(shí)值域是外函數(shù)定義域的真子集，因此復(fù)合函數(shù)始終故意義，則復(fù)合函數(shù)的定義域仍然是，值域?yàn)?如果內(nèi)函數(shù)為，定義域?yàn)椋涤蚺c外函數(shù)定義域是相等集合，因此復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?通過上述三個(gè)例子，能夠發(fā)現(xiàn)內(nèi)函數(shù)的定義域決定了內(nèi)函數(shù)的值域，內(nèi)函數(shù)的值域與外函數(shù)的定義域決定了復(fù)合函數(shù)的定義域，再由復(fù)合函數(shù)的定義域決定復(fù)合函數(shù)的值域.奇偶性復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域沒有有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱，因此該復(fù)合函數(shù)為非奇非偶函數(shù).復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?，也是非奇非偶函?shù).即使復(fù)合函數(shù)的定義域是，記，則，則不是奇函數(shù)，，舉特殊值能夠發(fā)現(xiàn)并不恒成立，因此也不是偶函數(shù)，因此復(fù)合函數(shù)亦是非奇非偶函數(shù).難道就沒有外函數(shù)是的復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)或者偶函數(shù)嗎？形如的復(fù)合函數(shù)，其中，或者，易證此復(fù)合函數(shù)為偶函數(shù).形如的復(fù)合函數(shù)，運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)，并記為，易證，因此復(fù)合函數(shù)為奇函數(shù).證明一種函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，首先要闡明定義域是有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱，再證明在定義域內(nèi)，對(duì)于任意，都有或，則是偶函數(shù)或奇函數(shù).如果證明一種函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，則首先判斷定義域與否有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱，如果不是，則為非奇非偶函數(shù).如果定義域有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱，則能夠舉反例，闡明并不恒成立，或者直接證明.單調(diào)性我們?cè)賮硌芯繌?fù)合函數(shù)的單調(diào)性，它的定義域?yàn)椋瑑?nèi)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而外函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)眾所周知的“同增異減”，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.為什么“異減”？令，由在上單調(diào)遞減可知，又由在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增可知，因此在上單調(diào)遞減.內(nèi)函數(shù)遞減時(shí)，外函數(shù)遞增，復(fù)合函數(shù)遞減，因此“異減”.為什么“同增”？令，由在上單調(diào)遞增可知，又由在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增可知，因此在上單調(diào)遞增.內(nèi)函數(shù)遞增時(shí)，外函數(shù)遞增，復(fù)合函數(shù)遞增，因此“同增”.判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的“同增異減”法，其實(shí)都能夠用定義法解釋.如果能夠用定義法證明復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，并能用“同增異減”法直接闡明復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，這樣才是知其然知其因此然.圖象通過上述研究發(fā)現(xiàn)，復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，非奇非偶函?shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.再根據(jù)幾個(gè)特殊值、1的正負(fù)性，以及當(dāng)自變量由大到小靠近于0時(shí)，或者當(dāng)由小到大靠近于時(shí)，函數(shù)值都趨于，由此能夠判斷出函數(shù)圖象大致以下圖圖1所示：圖1至此，復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)與圖象，我們基本理清晰.并且我們還發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖象有關(guān)直線自對(duì)稱.函數(shù)的性質(zhì)與圖象定義域和值域內(nèi)函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?外函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?因此復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也?如果內(nèi)函數(shù)為，相稱于的圖象在平面直角坐標(biāo)系中向下平移了100個(gè)單位得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)，可見的定義域仍然為，值域仍然為.那么復(fù)合的定義域仍然為，值域仍然是.如果內(nèi)函數(shù)為，相稱于的圖象在平面直角坐標(biāo)系中向左平移了2個(gè)單位得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)，易得的定義域?yàn)?，值域則仍然為.那么復(fù)合的定義域?yàn)?，值域則仍然是.綜上，能夠發(fā)現(xiàn)，只要內(nèi)函數(shù)的值域?yàn)椋敲丛擃悘?fù)合函數(shù)的值域就是，定義域則與內(nèi)函數(shù)的定義域相似.奇偶性由于復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?，所覺得非奇非偶函數(shù).對(duì)于任何一種非奇非偶函數(shù)，其實(shí)我們都很容易把它改造成偶函數(shù)，例如對(duì)解析式中的全部加絕對(duì)值符號(hào)，即此時(shí)函數(shù)為.其實(shí)，我們也很容易把它改造成奇函數(shù)，例如這個(gè)分段函數(shù)單調(diào)性內(nèi)函數(shù)整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)遞增，外函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)根據(jù)“同增異減”，你或許一頭霧水.令（內(nèi)函數(shù)因變量等于外函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分界值），解得，其實(shí)我們能夠考慮和這兩個(gè)區(qū)間.當(dāng)時(shí)，則，則，因此復(fù)合函數(shù)在上單調(diào)遞減.此時(shí)內(nèi)函數(shù)為增函數(shù)，外函數(shù)為減函數(shù)，則“異減”.當(dāng)時(shí)，則，則，復(fù)合函數(shù)在上單調(diào)遞減.內(nèi)函數(shù)為增函數(shù)，外函數(shù)為增函數(shù)時(shí)，則“同增”.用“同增異減”法判斷這類復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，需要注意復(fù)合函數(shù)的定義域，以及內(nèi)函數(shù)的值域與外函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的對(duì)應(yīng).圖象復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?，值域是，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.并根據(jù)幾個(gè)特殊值，1對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，以及當(dāng)自變量由大到小靠近于0時(shí)，函數(shù)值趨于，由此擬定復(fù)合函數(shù)的圖象以下圖圖2所示：圖2能夠發(fā)現(xiàn)復(fù)合函數(shù)的圖象是個(gè)非常美麗的“V”字.函數(shù)的性質(zhì)與圖象定義域和值域內(nèi)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?外函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?如果內(nèi)函數(shù)改為，定義域仍然為，值域?yàn)?復(fù)合函數(shù)的定義域仍為，值域?yàn)?如果內(nèi)函數(shù)為，定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?，值域則為.綜上，外函數(shù)為的復(fù)合函數(shù)的定義域，和內(nèi)函數(shù)的定義域相似，并由內(nèi)函數(shù)的值域決定復(fù)合函數(shù)的值域.奇偶性復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?，現(xiàn)在還不能擬定與否為非奇非偶函數(shù).但是根據(jù)上述值域的擬定過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，復(fù)合函數(shù)獲得最小值，可見復(fù)合函數(shù)的圖象不可能有關(guān)軸對(duì)稱，也易發(fā)現(xiàn)沒有有關(guān)原點(diǎn)中心對(duì)稱，因此它為非奇非偶函數(shù).對(duì)于復(fù)合函數(shù)，由于定義域?yàn)椋?，所覺得偶函數(shù).對(duì)于復(fù)合函數(shù)，由可知，為非奇非偶函數(shù).綜上，外函數(shù)為的復(fù)合函數(shù)的奇偶性，和內(nèi)函數(shù)的奇偶性存在關(guān)聯(lián)，如果內(nèi)函數(shù)是偶函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)是偶函數(shù)，如果內(nèi)函數(shù)不是偶函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)則為非奇非偶函數(shù).單調(diào)性外函數(shù)是增函數(shù)，而內(nèi)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上遞增.對(duì)于復(fù)合函數(shù)，我們討論和兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性.令，則，則，因此在上單調(diào)遞減.這里外函數(shù)是增函數(shù)，內(nèi)函數(shù)是減函數(shù)，根據(jù)“異減”，則復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).令，則，則，因此在上單調(diào)遞增.這里外函數(shù)是增函數(shù)，內(nèi)函數(shù)是增函數(shù)，根據(jù)“同增”，則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù).圖象由上述分析知復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋軌虬l(fā)現(xiàn)圖象與軸沒有交點(diǎn).在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.同時(shí)當(dāng)時(shí)，.能夠擬定圖象以下圖圖3所示.圖3根據(jù)復(fù)合函數(shù)的圖象，我們還能猜想并證明直線是其圖象的對(duì)稱軸.該圖象并且很像一種“U”字.函數(shù)的性質(zhì)與圖象定義域和值域內(nèi)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?外函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?奇偶性，因此復(fù)合函數(shù)為非奇非偶函數(shù).單調(diào)性內(nèi)函數(shù)是增函數(shù)，外函數(shù)在上單調(diào)遞增，那么在固然也單調(diào)遞增，根據(jù)“同增”，從而復(fù)合函數(shù)為增函數(shù).圖象根據(jù)前面的性質(zhì)分析，能夠得到以下圖圖4所示的圖象：圖4研究復(fù)合函數(shù)的值域，也就是研究它的最大值和最小值，如果最大值不存在，或最小值不存在，那么值域?qū)?yīng)著開區(qū)間或者無窮大.求得復(fù)合函數(shù)的定義域和值域，要考慮內(nèi)外函數(shù)的定義域和值域.擬定奇偶性要根據(jù)函數(shù)的定義域與否有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱，以及在定義域有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱的狀況下，對(duì)于定義域中任意都有或者，來判斷與否偶函數(shù)、奇函數(shù)還是非奇非偶函數(shù).