專題09三角函數(shù)與三角恒等變換（練）【解析版】

第一篇熱點、難點突破篇專題09三角函數(shù)與三角恒等變換（練）【對點演練】一、單選題1．（2022·河南·民權(quán)縣第一高級模擬預(yù)測（文））若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】由，可得，進而可得，代入中即可得答案.【詳解】解：因為，所以，所以.故選：C.2．（2022·貴州·鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣文德民族中高三階段練習(xí)（文））若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是，則（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【分析】把函數(shù)化為的二次函數(shù),根據(jù)求出函數(shù)的最大值,由此求得的值.【詳解】函數(shù)由,得,所以時,函數(shù)在區(qū)間上取得最大值,解得故選:3．（2022·安徽·阜陽師范大學(xué)附屬高三階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得，，可得出A、B項錯誤；根據(jù)，可得出D項錯誤.【詳解】由已知可得，定義域為R，且，所以A、B項錯誤；又，所以為偶函數(shù).又，所以D項錯誤，C項正確.故選：C.4．（2023·全國·高三階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡已知等式可求得，結(jié)合二倍角公式，由正余弦齊次式的求法可求得結(jié)果.【詳解】由得：，即，，.故選：B.二、多選題5．（2022·安徽·阜陽師范大學(xué)附屬高三階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，將的圖像向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，則（

）A．的最小正周期為B．C．圖像的一個對稱中心為D．【答案】BC【分析】由單調(diào)性得函數(shù)的半個周期不小于區(qū)間的長度，從而確定的可能取值，然后代入檢驗的單調(diào)性從而確定的值，得函數(shù)解析式，可判斷D，然后求出周期判斷A，利用誘導(dǎo)公式變形判斷B，代入檢驗確定對稱中心判斷C．【詳解】由題意的周期，所以，又，則，時，，時，，在此區(qū)間上不遞減，時，，在此區(qū)間上遞減，時，，在此區(qū)間上不遞減，時，，在此區(qū)間上不遞減，所以，，，D錯誤；的最小正周期是，A錯；，B正確；，，所以是的圖像的一個對稱中心，C正確；故選：BC．6．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江第一高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列各選項正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．函數(shù)在上恰有4個極值點【答案】ABD【分析】利用整體代入法求對稱軸和對稱中心即可判斷AB選項；利用代入檢驗法判斷C選項；利用正弦函數(shù)的圖象確定極值點的個數(shù)，即可判斷D選項.【詳解】A選項：令，整理得，令得，所以是的一條對稱軸，故A正確；B選項：令，整理得，令得，所以是一個對稱中心，故B正確；C選項：當(dāng)時，，因為在上單調(diào)遞增，所以在時單調(diào)遞增，故C錯；D選項：當(dāng)時，，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可得在上有4個極值點，所以在上恰有4個極值點，故D正確.故選：ABD.三、填空題7．（2022·對外經(jīng)濟貿(mào)易大學(xué)附屬（北京市第九十四）高三階段練習(xí)）若函數(shù)，滿足對任意實數(shù)，有，則的單調(diào)遞減區(qū)間是______.【答案】，【分析】根據(jù)得到關(guān)于對稱，從而求出，求出解析式，得到遞減區(qū)間.【詳解】因為，所以關(guān)于對稱，，因為，所以故，故，令，，故，，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，.故答案為：，.8．（2022·山東臨沂·高三期中）已知，則___________.【答案】【分析】由誘導(dǎo)公式及萬能公式進行求解.【詳解】由誘導(dǎo)公式及二倍角公式得：，分子分母同除以得：，由誘導(dǎo)公式可得：，所以.故答案為：.四、解答題9．（2023·全國·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的值域．【答案】(1)最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間是(2)【分析】（1）先由三角函數(shù)的恒等變換化簡得，即可得周期，解可得單調(diào)減區(qū)間；（2）先求出的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象即可求解【詳解】（1），所以最小正周期為，由，得單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）當(dāng)時，，則，即時，有最小值為，，即時，有最大值為，所以此時的值域為．10．（2022·陜西·禮泉縣第二高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合圖象和，求得ω的值，再根據(jù)求得，即可得的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)圖象的變換求出的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象運算求解.【詳解】（1）由圖可得：，即，則，故，∵，即，則，∴，則，又∵，則，故.（2）根據(jù)題意：將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到，再將圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)，∵，則，由題意可得：直線與函數(shù)有兩個不同的交點，又∵，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，故，則可得：，即，故的取值范圍為.【沖刺提升】2023三角函數(shù)恒等變換一、單選題1．（2022·河南·安陽模擬預(yù)測（文））函數(shù)圖像大致為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和極限的思想，即可得出答案.【詳解】解：易得函數(shù)定義域為，已知函數(shù)，，函數(shù)為奇函數(shù)，排除A選項；當(dāng)時，，，，則，所以，排除C選項；當(dāng)時，，，，則，所以，排除D選項；故選：B.2．（2022·陜西·漢陰縣第二高級一模（文））設(shè)函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，則的一個最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正切函數(shù)的對稱中心得到，，再對各選項逐一檢驗分析即可.【詳解】根據(jù)題意得，，則，又，則，，對于A，若是的最小正周期，則，得，與矛盾，故A錯誤；對于B，由得，滿足條件，故B正確；對于C，由得，與矛盾，故C錯誤；對于D，由得，與矛盾，故D錯誤.故選：B.3．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江第一高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的終邊與以原點為圓心的單位圓相交于點，角滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)角終邊上點的坐標(biāo)得到，根據(jù)和差公式和得到，最后利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡得到即可求值.【詳解】因為角的終邊與以原點為圓心的單位圓相交于點，所以，又，所以，整理得，所以，.故選：C.4．（2022·陜西·禮泉縣第二高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，下列說法錯誤的是（

）A．的圖象的一個對稱中心為B．的圖象的一條對稱軸為直線C．在上單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的是一個奇函數(shù)的圖象【答案】A【分析】代入法驗證A、B的正誤；應(yīng)用整體法求的遞增區(qū)間判斷C；根據(jù)圖象平移及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷D.【詳解】對A：∵，∴不是的圖象的對稱中心，A錯誤；對B：∵為最小值，∴直線是的圖象的對稱軸，B正確；對C：令，則，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，C正確；對D：函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到，是奇函數(shù)，D正確；故選：A.5．（2022·天津市第二耀華高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，給出以下四個命題：①的最小正周期為；②在上的值域為；③的圖象關(guān)于點中心對稱；④的圖象關(guān)于直線對稱.其中正確命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先利用二倍角公式、輔助角公式得到，再利用周期公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行判定.【詳解】對于①：因為，所以周期為，即①正確；對于②：因為，所以，所以，，則的值域為，即②錯誤；對于③：因為，所以的圖象不關(guān)于點中心對稱，即③錯誤；對于④：因為為的最大值，所以的圖象關(guān)于直線對稱，即④正確；所以正確命題為①④，共2個正確命題.故選：B.6．（2022·山東臨沂·高三期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對變形后，只需比較與的大小，從而構(gòu)造，，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性，從而得到，即，；在利用對數(shù)運算得到，先構(gòu)造，，求導(dǎo)后得到單調(diào)性，求出，，再構(gòu)造，，求導(dǎo)后得到單調(diào)性，從而求出，求出，得到.【詳解】要比較的大小，只需比較與的大小，即與的大小，故可比較與，當(dāng)?shù)拇笮。?，，則，因為，所以恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，令，則，即，故，，，所以，，令，，在上恒成立，故，所以，，則，構(gòu)造，，在上恒成立，故在單調(diào)遞減，所以，故，故，即，綜上：.故選：D【點睛】構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點和難點，結(jié)合代數(shù)式的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小，本題中，對變形后，構(gòu)造，比較的大小，對變形，先得到，再構(gòu)造，，比較出，得到答案.二、多選題7．（2022·廣東·肇慶市第一高三階段練習(xí)）已知向量，函數(shù)，則（

）A．的最大值為2B．直線是圖象的一條對稱軸C．點是圖象的一個對稱中心D．在上單調(diào)遞減【答案】ACD【分析】根據(jù)向量數(shù)量積求出解析式，再根據(jù)三角函數(shù)正弦函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可.【詳解】因為，所以的最大值為2，A正確；因為，，所以B錯誤，C正確；令，，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，，所以D正確.故選：ACD三、填空題8．（2022·湖南·慈利縣第一高三階段練習(xí)）若曲線在在，兩點處的切線互相垂直，則的最小值為________．【答案】##【分析】化簡可得，求出導(dǎo)數(shù)可得切線斜率在范圍內(nèi)，即可得出切線斜率必須一個是1，一個是，即可求出.【詳解】，曲線的切線斜率在范圍內(nèi)，又曲線在兩點處的切線互相垂直，故在，兩點處的切線斜率必須一個是1，一個是.不妨設(shè)在A點處切線的斜率為1，則有，，則可得，所以.故答案為：.9.（2022·廣西貴港·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個極值點，給出下列四個結(jié)論，正確的序號是_______________.①在區(qū)間上有且僅有3個不同的零點；②的最小正周期可能是；③的取值范圍是；④在區(qū)間上單調(diào)遞增.【答案】②④【分析】由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個極值點,，即,可求出判斷出,再利用三角函數(shù)的性質(zhì)依次可判斷.【詳解】由題意可知，要使得函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個極值點，只需，解得，故③錯誤；又，故的最小正周期可能是，故②正確；當(dāng)，即時，在區(qū)間上有且僅有2個不同的零點，故①錯誤；由得，由可知，故在上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，故④正確.故答案為:②④.四、解答題10．（2022·河北張家口·高三期中）已知函數(shù)的最小正周期為．(1)求的值，并在上面提供的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象；(2)函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？【答案】(1),圖象見解析(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式可得，由最小正周期為可計算的值；根據(jù)解析式利用五點作圖法可畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象平移變換規(guī)律即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意可知，即，所以此時，函數(shù)的最小正周期為，所以，即函數(shù)的解析式為.根據(jù)五點作圖法列表如下：畫出圖像如圖所示：（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象伸縮變換規(guī)律可知，第一步：首先將函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；第二步：再將所得到的函數(shù)圖象上的所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），可得到函數(shù)的圖象.11．（2022·湖南·慈利縣第一高三階段練習(xí)）已知．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角恒等變換公式化簡，再結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解，（2）轉(zhuǎn)化為與圖象有兩個交點，數(shù)