第17課一元一次不等式（教師版）八年級數(shù)學(xué)上冊《考點(diǎn)題型技巧》精講與精練高分突破（浙教版）

第17課一元一次不等式目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解一元一次不等式、一元一次不等式的解的概念.2.掌握解一元一次不等式的一般步驟，會(huì)解一元一次不等式3.會(huì)在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解.4.會(huì)用一元一次不等式解決簡單的實(shí)際問題.知識精講知識精講知識點(diǎn)01一元一次不等式的概念1.一元一次不等式：不等號的兩邊都是整式，而且只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是一次的不等式叫做一元一次不等式.2.不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值的全體叫做不等式的解集，簡稱為不等式的解.知識點(diǎn)02解一元一次不等式解一元一次不等式的一般步驟與依據(jù)：步驟依據(jù)1去分母不等式的基本性質(zhì)32去括號多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則3移項(xiàng)不等式的基本性質(zhì)24合并同類項(xiàng)，得或（）合并同類項(xiàng)法則5兩邊同除以（或乘以）不等式的基本性質(zhì)3知識點(diǎn)03由實(shí)際問題列一元一次不等式1.用一元一次不等式可以刻畫實(shí)際生活中的有關(guān)數(shù)量不等關(guān)系的問題.2.由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式，關(guān)鍵是要抓住題目中的關(guān)鍵詞，如“大于（小于）、不超過（不低于）、是正數(shù)（負(fù)數(shù)）”“至少”、“最多”等等，正確選擇不等號．3.列一元一次不等式，讀懂題意，抓住關(guān)鍵詞語，弄清運(yùn)算的先后順序和不等關(guān)系，才能把文字語言的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)符號表示的不等式．知識點(diǎn)04一元一次不等式的應(yīng)用利用列不等式(組)解決實(shí)際問題，其關(guān)鍵是根據(jù)題中的“超過”“不足”“大于”“小于”“不低于”“不少于”等反映數(shù)量關(guān)系的詞語，列出不等式(組)，問題便迎刃而解．問題的答案要根據(jù)解和題意兩方面(隱含條件，實(shí)際問題取整數(shù)等)來確定，要使實(shí)際問題有意義．能力拓展考點(diǎn)01一元一次不等式的概念能力拓展【典例1】下列式子中，一元一次不等式有（）①x+2x2＞1；②2x﹣y＞0；③﹣1＞0；④2x﹣3＞5；⑤＞1；⑥3x﹣＞2﹣x．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元一次不等式的定義解答即可．【解析】解：一元一次不等式有：④2x﹣3＞5；⑤＞1；⑥3x﹣＞2﹣x．一元一次不等式有3個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次不等式的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次不等式的定義．一元一次不等式的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．【即學(xué)即練1】已知（k﹣3）x|k|﹣2+2k＞0為關(guān)于x的一元一次不等式，則k＝﹣3．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元一次不等式的定義進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵（k﹣3）x|k|﹣2+2k＞0為關(guān)于x的一元一次不等式，∴，∴k＝﹣3，故答案為：﹣3．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的定義，掌握一元一次不等式的未知數(shù)x的次數(shù)等于1，系數(shù)不等于0是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)02解一元一次不等式【典例2】解下列不等式，并將解集表示在數(shù)軸上．（1）3x﹣2≤4；（2）．【思路點(diǎn)撥】（1）先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出解集即可；（2）先求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出解集即可．【解析】解：（1）3x﹣2≤4，移項(xiàng)，合并得：3x≤6，系數(shù)化1，得：x≤2；其解集在數(shù)軸上表示如圖：（2），去分母，得：3（x+1）﹣6＞6x﹣2（2x+3），去括號，得：3x+3﹣6＞6x﹣4x﹣6，移項(xiàng)，合并得：x＞﹣3；其解集在數(shù)軸上表示如圖：．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示出解集即可．熟練掌握解不等式的步驟，正確的進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】解不等式，并將解集在數(shù)軸上表示出來．①5（x﹣2）﹣2（x+1）＜3；②﹣≤1．【思路點(diǎn)撥】①按照解一元一次不等式的步驟進(jìn)行計(jì)算，即可解答；②按照解一元一次不等式的步驟進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解析】解：①5（x﹣2）﹣2（x+1）＜3，5x﹣10﹣2x﹣2＜3，5x﹣2x＜3+10+2，3x＜15，x＜5，∴該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：②﹣≤1，2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≤6，4x﹣2﹣15x﹣3≤6，4x﹣15x≤6+2+3，﹣11x≤11，x≥﹣1，∴該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)03一元一次不等式的特殊解【典例3】解一元一次不等式，并請寫出該不等式的非正整數(shù)解．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1可得．【解析】解：∵，∴2（2x﹣1）﹣6≤3（5x+1），4x﹣2﹣6≤15x+3，4x﹣15x≤3+2+6，﹣11x≤11，∴x≥﹣1，則不等式的非正整數(shù)解為﹣1、0．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號方向要改變．【即學(xué)即練3】已知關(guān)于x的方程2x﹣a＝3，若該方程的解是不等式3（x﹣2）+5＜4（x﹣1）的最小整數(shù)解，求a的值．【思路點(diǎn)撥】首先解不等式求得不等式的解集，然后確定解集中的最小整數(shù)值，代入方程求得a的值即可．【解析】解：解不等式3（x﹣2）+5＜4（x﹣1），去括號，得：3x﹣6+5＜4x﹣4，移項(xiàng)，得3x﹣4x＜﹣4+6﹣5，合并同類項(xiàng)，得﹣x＜﹣3，系數(shù)化成1得：x＞3．則最小的整數(shù)解是4．把x＝4代入2x﹣a＝3得：8﹣a＝3，解得：a＝5．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的解法以及方程的解的定義，正確解不等式求得x的值是關(guān)鍵．考點(diǎn)04一元一次不等式的應(yīng)用【典例4】某古鎮(zhèn)為發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，吸引更多的游客前往游覽，助力鄉(xiāng)村振興，決定在“五一”期間對團(tuán)隊(duì)*旅游實(shí)行門票特價(jià)優(yōu)惠活動(dòng)，價(jià)格如下表：購票人數(shù)m（人）10≤m≤5051≤m≤100m＞100每人門票價(jià)（元）605040*題中的團(tuán)隊(duì)人數(shù)均不少于10人．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)團(tuán)隊(duì)共102人，計(jì)劃利用“五一”假期到該古鎮(zhèn)旅游，其中甲團(tuán)隊(duì)不足50人，乙團(tuán)隊(duì)多于50人．（1）如果兩個(gè)團(tuán)隊(duì)分別購票，一共應(yīng)付5580元，問甲、乙團(tuán)隊(duì)各有多少人？（2）如果兩個(gè)團(tuán)隊(duì)聯(lián)合起來作為一個(gè)“大團(tuán)隊(duì)”購票，比兩個(gè)團(tuán)隊(duì)各自購票節(jié)省的費(fèi)用不少于1200元，問甲團(tuán)隊(duì)最少多少人？【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)甲團(tuán)隊(duì)有x人，乙團(tuán)隊(duì)（102﹣x）人，但需要考慮乙團(tuán)隊(duì)人數(shù)是否大于100，所以分類討論即可．甲團(tuán)隊(duì)按票價(jià)是每人80元，乙團(tuán)隊(duì)按票價(jià)是每人60元，如果乙超過100人，大概需要繳納4000多元，但是5580元減去4000多元，剩下的錢不足以構(gòu)成甲的人數(shù)，因?yàn)榇藭r(shí)甲的人數(shù)只能是1人，所以這種情況省略；所以甲人數(shù)在50以下，乙人數(shù)在51到100之間，聯(lián)列方程即可；（2）兩個(gè)團(tuán)隊(duì)要合起來購票的話，每人40元，列出一共購票的錢和各自購票的錢之和，然后建立不等式即可求解；【解析】解：（1）設(shè)甲人數(shù)x人，乙人數(shù)（102﹣x）人；∵當(dāng)乙大于100人時(shí)，此時(shí)甲人數(shù)只能是1人，共花的價(jià)格不夠5580元；∴乙人數(shù)在51到100之間，甲人數(shù)在10到50之間；∴列方程得：60x+（102﹣x）50＝5580；解之得：x＝48，102﹣x＝54；∴甲48人，乙54人；答：甲團(tuán)隊(duì)48人，乙團(tuán)隊(duì)54人．（2）設(shè)甲人數(shù)x人，乙人數(shù)（102﹣x）人；甲乙一起買價(jià)格：102×40＝4080（元）；甲乙分開買價(jià)格：60x+（102﹣x）50；∴60x+（102﹣x）50﹣4080≥1200；解之得：x≥18．∴甲最少18人；答：甲團(tuán)隊(duì)最少18人．【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生不等式的基本應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．【即學(xué)即練4】某學(xué)校期末需要表彰優(yōu)秀學(xué)生，計(jì)劃購買一部分筆記本和證書，已知購買50個(gè)筆記本和60張證書需要324元，購買40個(gè)筆記本和200張證書需要320元．（1）求一個(gè)筆記本和一個(gè)證書的價(jià)錢；（2）某文具用品商店給出兩種優(yōu)惠方案：甲：買一個(gè)筆記本，贈(zèng)送一張證書；乙：購買200張證書以上，超過200張的證書按原價(jià)的打八折，筆記本不打折．學(xué)校準(zhǔn)備購買80本筆記本，證書若干張（超過200張），請你判斷哪種方案更合算，并說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)筆記本的單價(jià)為x元，證書的單價(jià)為y元，由題意得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買證書m（m＞200）張．由題意可得出關(guān)于m的一元一次不等式或一元一次方程可得出答案．【解析】解：（1）設(shè)筆記本的單價(jià)為x元，證書的單價(jià)為y元，由題意得：，解得：．答：筆記本的單價(jià)為6元，證書的單價(jià)為0.4元．（2）設(shè)購買證書m（m＞200）張．選擇方案甲所需費(fèi)用為80××（m﹣m+448（元）；選擇方案乙所需費(fèi)用為80××××（m﹣m+496．mm+496時(shí)，解得：m＜600，∴當(dāng)200＜m＜600時(shí)，選擇方案甲更劃算；mm+496時(shí)，解得：m＝600，∴當(dāng)m＝600時(shí)，選擇方案甲和方案乙所需費(fèi)用一樣；mm+496時(shí)，解得：m＞600，∴當(dāng)m＞600時(shí)，選擇方案乙更劃算．答：當(dāng)購買的證書數(shù)量超過200張不足600張時(shí)，選擇方案甲更劃算；當(dāng)購買的證書數(shù)量等于600張時(shí)，選擇兩方案所需費(fèi)用相同；當(dāng)購買的證書數(shù)量超過600張時(shí)，選擇方案乙更劃算．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式或一元一次方程．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列式子①x＞0；②；③2x＜﹣2+x；④x+y＞﹣3；⑤x＝﹣1．其中是一元一次不等式的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元一次不等式的定義，只要含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式就可以．【解析】解：是一元一次不等式的有：x＞0，2x＜﹣2+x，共有2個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的定義中的未知數(shù)的最高次數(shù)為1次，還要注意未知數(shù)的系數(shù)不能是0．2．在數(shù)軸上表示不等式﹣x+4≥3的解集，正確的是（）A．B．C．D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1可得．【解析】解：移項(xiàng)，得﹣x≥3﹣4，合并同類項(xiàng)，得：﹣x≥﹣1，系數(shù)化為1，得x≤1，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號方向要改變．3．不等式的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路點(diǎn)撥】解不等式求出x的范圍，從而可求出x的正整數(shù)解．【解析】解：，27﹣3x＞3x+2，﹣3x﹣3x＞2﹣27，﹣6x＞﹣25，，∴的正整數(shù)解為：4，3，2，1，共4個(gè)；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整數(shù)解的應(yīng)用，能根據(jù)不等式的基本性質(zhì)求出不等式的解集是解此題的關(guān)鍵．4．為有效開展“陽光體育”活動(dòng)，某校計(jì)劃購買籃球和足球共50個(gè)，購買資金不超過2000元．若每個(gè)籃球60元，每個(gè)足球30元，則籃球最多可購買（）個(gè)．A．14 B．15 C．16 D．17【思路點(diǎn)撥】設(shè)購買籃球x個(gè)，則購買足球（50﹣x）個(gè)，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×購買數(shù)量結(jié)合購買資金不超過2000元，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整數(shù)即可．【解析】解：設(shè)購買籃球x個(gè)，則購買足球（50﹣x）個(gè)，根據(jù)題意得：60x+30（50﹣x）≤2000，解得：．∵x為整數(shù)，∴x最大值為16．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確列出一元一次不等式．5．若代數(shù)式4x﹣1的值不大于3x+5的值，則x的最大整數(shù)值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)題意列出關(guān)于x的不等式，解不等式可得答案．【解析】解：由題意知，4x﹣1≤3x+5，∴4x﹣3x≤5+1，x≤6，則符合條件的x的最大整數(shù)值是6，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次不等式的整數(shù)解，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號方向要改變．6．不等式的解集為．【思路點(diǎn)撥】不等式去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，把x系數(shù)化為1，即可求出解集．【解析】解：去分母得：3x﹣1＞2（x+1），去括號得：3x﹣1＞2x+2，移項(xiàng)得：3x﹣2x＞2+1，合并同類項(xiàng)得：x＞3．故答案為：x＞3．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解本題的關(guān)鍵．7．不等式的正整數(shù)解有2個(gè)．【思路點(diǎn)撥】求出不等式的解集，即可得到滿足條件的正整數(shù)解．【解析】解：兩邊同時(shí)乘以6得：6﹣（x﹣3）＞2x，去括號得：6﹣x+3＞2x，移項(xiàng)得：﹣x﹣2x＞﹣6﹣3，合并同類項(xiàng)得：﹣3x＞﹣9，把未知數(shù)系數(shù)化為1得：x＜3，∴不等式的正整數(shù)解有1，2，共2個(gè)，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式和求滿足條件的正整數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次不等式的一般步驟．8．下面是小穎同學(xué)解一元一次不等式的解答過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解：去分母得2（2x+1）＜x+2+2…第①步去括號得4x+2＜x+4…第②步移項(xiàng)得4x﹣x＜4﹣2…第③步合并同類項(xiàng)得3x＜2…第④步兩邊都除以3，得…第⑤步任務(wù)一：填空：（1）以上運(yùn)算步驟中，第②步去括號依據(jù)的運(yùn)算律是乘法分配律；（2）第③步移項(xiàng)的依據(jù)是不等式的性質(zhì)；（3）第①步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是去分母時(shí)，每一項(xiàng)都要乘以最小公倍數(shù)，第①步中2沒有乘以最小公倍數(shù)6；任務(wù)二：請寫出正確的解答過程．【思路點(diǎn)撥】任務(wù)一：（1）①根據(jù)乘法分配律基本性質(zhì)，進(jìn)行作答；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)，進(jìn)行作答；（3）根據(jù)去分母法則求解；任務(wù)二：按照解一元一次不等式的步驟求解即可．【解析】解：任務(wù)一：（1）以上運(yùn)算步驟中，第②步去括號依據(jù)的運(yùn)算律是乘法分配律；故答案為：乘法分配律；（2）第③步移項(xiàng)的依據(jù)是不等式的性質(zhì)，故答案為：不等式的性質(zhì)；（3）第①步去分母開始出錯(cuò)，原因是去分母時(shí)，每一項(xiàng)都要乘以最小公倍數(shù)，第①步中2沒有乘以最小公倍數(shù)6；故答案為：①，去分母時(shí)，每一項(xiàng)都要乘以最小公倍數(shù)，第①步中2沒有乘以最小公倍數(shù)6；任務(wù)二：去分母，得：2（2x+1）＜x+2+12，去括號，得：4x+2＜x+14，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得3x＜12，將系數(shù)化為1，得x＜4．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式．熟練掌握解一元一次不等式的步驟，是解題的關(guān)鍵．9．解下列不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來．（1）．（2）5x﹣1≤3（x+1）．（3）3x+1≥﹣5．（4）．【思路點(diǎn)撥】（1）去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1即可；（2）去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1即可；（3）移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1即可；（4）去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1即可．【解析】解：（1），x+5﹣8＜4（3x+2），x+5﹣8＜12x+8，x﹣12x＜8+8﹣5，﹣11x＜11，x＞﹣1，解集在數(shù)軸上表示為：（2）去括號得，5x﹣1≤3x+3，移項(xiàng)得，5x﹣3x≤3+1，合并同類項(xiàng)得，2x≤4，系數(shù)化為1得，x≤2，解集在數(shù)軸上表示為：（3）3x+1≥﹣5，移項(xiàng)得，3x≥﹣5﹣1，合并同類項(xiàng)得，3x≥﹣6，系數(shù)化為1得，x≥﹣2，解集在數(shù)軸上表示為：（4），去分母得，，去括號得，6﹣16﹣2x≥3x，移項(xiàng)得，﹣2x﹣3x≥﹣6+16，合并同類項(xiàng)得，﹣5x≥10，系數(shù)化為1得，x≤﹣2．解集在數(shù)軸上表示為：【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．在表示解集時(shí)“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”要用空心圓點(diǎn)表示．10．解不等式，并寫出所有的非負(fù)整數(shù)解．【思路點(diǎn)撥】不等式去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，把x系數(shù)化為1，求出解集，確定出所有的非負(fù)整數(shù)解即可．【解析】解：去分母得：16+3x﹣2＜24﹣2（x﹣1），去括號得：16+3x﹣2＜24﹣2x+2，移項(xiàng)得：3x+2x＜24+2﹣16+2，合并同類項(xiàng)得：5x＜12，系數(shù)化為1得：x＜，則不等式的所有非負(fù)整數(shù)解為0，1，2．【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，以及解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解本題的關(guān)鍵．11．已知（m+2）x|m+3|﹣1＞2是關(guān)于x的一元一次不等式．（1）求m的值．（2）求出原一元一次不等式的解集．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)一元一次不等式的定義，|m+3|＝1且m+2≠0，分別進(jìn)行求解即可．（2）代入m的值，利用解一元一次不等式的一般步驟求解即可．【解析】解：（1）根據(jù)題意|m+3|＝1且m+2≠0，解得m+3＝±1且m≠﹣2，所以m＝﹣4．（2）原一元一次不等式為﹣2x﹣1＞2，移項(xiàng)得﹣2x＞2+1，合并同類項(xiàng)得﹣2x＞3，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的定義，解一元一次不等式，含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式．12．x取何正整數(shù)時(shí)，代數(shù)式1+的值不大于3﹣的值？【思路點(diǎn)撥】首先利用不等式的基本性質(zhì)解不等式，再從不等式的解集中找出適合條件的正整數(shù)即可．【解析】解：1+≤3﹣，解不等式得：x≤3，則不等式的正整數(shù)解為：1，2，3．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，正確解不等式，求出解集是解答本題的關(guān)鍵．解不等式應(yīng)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)．13.已知不等式3（2x+5）＞2（4x+3）的最大整數(shù)解是方程2x﹣ax＝16的解，求a的值．【思路點(diǎn)撥】先求出不等式3（2x+5）＞2（4x+3）的解集，即可得到不等式3（2x+5）＞2（4x+3）的最大整數(shù)解，然后代入方程2x﹣ax＝16，即可求得a的值【解析】解：由3（2x+5）＞2（4x+3），可得x＜4.5，∴不等式3（2x+5）＞2（4x+3）的最大整數(shù)解是x＝4，∵不等式3（2x+5）＞2（4x+3）的最大整數(shù)解是方程2x﹣ax＝16的解，∴2×4﹣4a＝16，解得a＝﹣2，即a的值是﹣2．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的整數(shù)解，一元一次方程的解，解答本題的關(guān)鍵是明確解不等式的方法和解一元一次方程的方法．14.2022年北京冬奧會(huì)，冬殘奧會(huì)已圓滿結(jié)束，活潑敦厚的“冰墩墩”喜慶祥和的“雪容融”引起廣大民眾的喜愛．某超市采購了兩種吉祥物作為本次冬奧會(huì)的紀(jì)念品進(jìn)行銷售，已知每個(gè)“冰墩墩”和“雪容融”進(jìn)價(jià)分別為200元，170元，表中是近兩周的銷售情況：銷售時(shí)段銷售數(shù)量銷售收入“冰墩墩”“雪容融”第一周3個(gè)5個(gè)1800元第二周4個(gè)10個(gè)3100元（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的銷售單價(jià)；（2）若超市準(zhǔn)備用不多于5400元的金額再采購“冰墩墩”和“雪容融”共30個(gè)，求“冰墩墩”最多能采購多少個(gè)？（3）在（2）的條件下，超市銷售完這30個(gè)吉祥物能否實(shí)現(xiàn)利潤為1400元的目標(biāo)？若能，請給出相應(yīng)的采購方案；若不能，請說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)“冰墩墩”和“雪容融”的銷售單價(jià)分別為x元、y元，根據(jù)表格數(shù)據(jù)列出方程組求解即可；（2）設(shè)采購“冰墩墩”a個(gè)，則采購“雪容融”（30﹣a）個(gè)，根據(jù)金額不多于5400元，列出不等式求解即可；（3）設(shè)利潤為1400元，列出方程求出a的值，不符合（2）的條件，可知不能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)；【解析】解：（1）設(shè)“冰墩墩”和“雪容融”的銷售單價(jià)分別為x元、y元，依題意得：，解得：，答：“冰墩墩”和“雪容融”的銷售單價(jià)為250元、210元；（2）設(shè)采購“冰墩墩”a個(gè)，則采購“雪容融”（30﹣a）個(gè)，依題意得200a+170（30﹣a≤5400，解得：a≤10．答：“冰墩墩”最多能采購10個(gè)時(shí)，采購金額不多于5400元；（3）不能，理由如下：依題意有：（250﹣200）a+（210﹣170）（30﹣a）＝1400，解得：a＝20，∵a≤10，故在（2）的條件下超市不能實(shí)現(xiàn)利潤1400元的目標(biāo)．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列出方程組和不等式．題組B能力提升練15．若關(guān)于x的方程的解是非負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是（）A．k＜﹣2 B．k≤﹣2 C．k＞2 D．k≥﹣2【思路點(diǎn)撥】根據(jù)解一元一次方程的基本步驟（去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、化系數(shù)為1）解得x＝﹣3k﹣6，由方程的解是非負(fù)數(shù)可得x＝﹣3k﹣6≥0，解該不等式即可．【解析】解：，去分母，得2x﹣6k＝3（x﹣k）+6，去括號，得2x﹣6k＝3x﹣3k+6，移項(xiàng)，得2x﹣3x＝﹣3k+6+6k，合并同類項(xiàng)，得﹣x＝3k+6，化系數(shù)為1，得x＝﹣3k﹣6，∵關(guān)于x的方程的解是非負(fù)數(shù)，∴﹣3k﹣6≥0，解得：k≤﹣2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次方程、解一元一次不等式，熟知解一元一次方程和一元一次不等式的基本步驟是解題關(guān)鍵．16．關(guān)于x的不等式2x﹣a≤1的解集如圖所示，則a的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【思路點(diǎn)撥】首先解不等式2x﹣a≤1可得x≤，根據(jù)數(shù)軸可得x≤﹣1，進(jìn)而得到＝﹣1，再解方程即可．【解析】解：2x﹣a≤1，2x≤a+1，x≤，∵x≤﹣1，∴＝﹣1，解得：a＝﹣3，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，關(guān)鍵是正確解出不等式的解集．17．某品牌自行車進(jìn)價(jià)為每輛800元，標(biāo)價(jià)為每輛1200元．店慶期間，商場為了答謝顧客，進(jìn)行打折促銷活動(dòng)，但是要保證利潤率不低于5%，則最多可打（）折．A．六 B．七 C．八 D．九【思路點(diǎn)撥】設(shè)該自行車能打x折，則根據(jù)利潤率不低于5%，可得出一元一次不等式，解出即可得出答案．【解析】解：設(shè)該自行車能打x折，由題意得，解得：x≥7，即最多可打7折．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用，將現(xiàn)實(shí)生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，讀懂題列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．18．對于任意實(shí)數(shù)m，n，定義一種新運(yùn)算，其運(yùn)算法則為m*n＝mn+2m﹣3n，例如：4*6＝4×6+2×4﹣3×6，請根據(jù)上述定義解決問題：求不等式x*4＜2*x的非負(fù)整數(shù)解0，1，2．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)定義的新運(yùn)算可得4x+2x﹣12＜2x+4﹣3x，然后按照解一元一次不等式的步驟進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解析】解：∵x*4＜2*x，∴4x+2x﹣12＜2x+4﹣3x，4x+2x﹣2x+3x＜4+12，7x＜16，x＜，∴該不等式的非負(fù)整數(shù)解為0，1，2，故答案為：0，1，2．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整數(shù)解，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，理解定義的新運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．19．某文具店一款筆記本的進(jìn)價(jià)為每本6元，售價(jià)為每本9元．該店老板“”準(zhǔn)備對這款筆記本打折銷售，為使得利潤率不低于5%，該筆記本最多可以打七折．【思路點(diǎn)撥】設(shè)該筆記本打x折銷售，利用利潤＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)，結(jié)合利潤率不低于5%，可列出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結(jié)論．【解析】解：設(shè)該筆記本打x折銷售，根據(jù)題意得：9×﹣6≥6×5%，解得：x≥7，∴x的最小值為7，∴該筆記本最多可以打七折．故答案為：七．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．20．已知關(guān)于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整數(shù)解為2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是4≤m＜7．【思路點(diǎn)撥】先解出不等式，然后根據(jù)最小整數(shù)解為2得出關(guān)于m的不等式組，解之即可求得m的取值范圍．【解析】解：解不等式3x﹣m+1＞0，得：x＞，∵不等式有最小整數(shù)解2，∴1≤＜2，解得：4≤m＜7，故答案為4≤m＜7．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，正確解不等式，求出解集是解答本題的關(guān)鍵．解不等式應(yīng)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)．21．解不等式：（1）；（2）．【思路點(diǎn)撥】（1）不等式去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，化系數(shù)為1即可；（2）不等式去分母，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，化系數(shù)為1即可．【解析】解：（1），去分母，得2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≤6，去括號，得4x﹣2﹣15x﹣3≤6，移項(xiàng)，得4x﹣15x≤6+2+3，合并同類項(xiàng)，得﹣11x≤11，化系數(shù)為1，得x≥﹣1；（2），去分母，得3（2﹣3x）﹣3（x﹣5）＞2（﹣4x+1）+8，去括號，得6﹣9x﹣3x+15＞﹣8x+2+8，移項(xiàng)，得8x﹣9x﹣3x＞2+8﹣6﹣15，合并同類項(xiàng)，得﹣4x＞﹣11，化系數(shù)為1，得x＜．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的基本步驟是解答本題的關(guān)鍵．22．若關(guān)于x的不等式（a﹣2）xa+2﹣1＜5是一元一次不等式．關(guān)于x的不等式（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0的解集是x，求a和b的值．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元一次不等式的定義得出a的值，將其代入后一個(gè)不等式，結(jié)合其解集列出關(guān)于b的方程，解之可得答案．【解析】解：∵關(guān)于x的不等式（a﹣2）xa+2﹣1＜5是一元一次不等式，∴a+2＝1，解得a＝﹣1，∵（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0，且a＝﹣1，∴（﹣2﹣b）x﹣3﹣4b＜0，則（﹣2﹣b）x＜3+4b，∵不等式的解集為x，∴＝，解得b＝﹣．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號方向要改變．23.（1）已知關(guān)于x方程3k﹣5x＝﹣9的解是非負(fù)數(shù)，求k的取值范圍．（2）若關(guān)于x、y的方程組的解滿足x﹣y≥5，求m的最小整數(shù)值．【思路點(diǎn)撥】（1）求出方程的解，根據(jù)題意得出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可；（2）首先解不等式利用m表示出x和y的值，然后根據(jù)x﹣y≥5列不等式求得m的范圍．【解析】解：（1）3k﹣5x＝﹣9，解得，∵關(guān)于x的方程3k﹣5x＝﹣9的解是非負(fù)數(shù)，∴，解得k≥﹣3，∴k的取值范圍是k≥﹣3；（2），②×2﹣①×3得：y＝4﹣m，把y＝4﹣m代入①得x＝2m﹣6，∵x﹣y≥5，∴2m﹣6﹣（4﹣m）≥5，解得m≥5，∴m的最小整數(shù)值是5．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的解和解一元一次不等式組，準(zhǔn)確熟練進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．24.某電器超市銷售每臺進(jìn)價(jià)分別為160元、120元的A、B兩種型號的電風(fēng)扇，如表是近兩周的銷售情況：銷售時(shí)段銷售數(shù)量銷售收入A種型號B種型號第一周3臺4臺1200元第二周5臺6臺1900元（進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變，利潤＝銷售收入﹣進(jìn)貨成本）（1）求A、B兩種型號的電風(fēng)扇的銷售單價(jià)；（2）超市準(zhǔn)備用不多于7500元的金額再采購這兩種型號的電風(fēng)扇共50臺．①求A種型號的電風(fēng)扇最多能采購多少臺？②若超市銷售完這50臺電風(fēng)扇能實(shí)現(xiàn)利潤超過1850元的目標(biāo)，有幾種采購方案？【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)A、B兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價(jià)分別為x元、y元，根據(jù)3臺A型號4臺B型號的電扇收入1200元，5臺A型號6臺B型號的電扇收入1900元，列方程組求解；（2）①設(shè)采購A種型號電風(fēng)扇a臺，則采購B種型號電風(fēng)扇（50﹣a）臺，根據(jù)金額不多余7500元，列不等式求解；②根據(jù)A種型號電風(fēng)扇的進(jìn)價(jià)和售價(jià)、B種型號電風(fēng)扇的進(jìn)價(jià)和售價(jià)以及總利潤＝一臺的利潤×總臺數(shù)，列出不等式，求出a的取值范圍，再根據(jù)a為整數(shù)，即可得出答案．【解析】解：（1）設(shè)A、B兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價(jià)分別為x元、y元，依題意得：，解得：，答：A、B兩種型號電風(fēng)扇的銷售單價(jià)分別為200元、150元．（2）①設(shè)采購A種型號電風(fēng)扇a臺，則采購B種型號電風(fēng)扇（50﹣a）臺．依題意得：160a+120（50﹣a）≤7500，解得：a≤37，∵a是整數(shù)，∴a最大是37，答：超市最多采購A種型號電風(fēng)扇37臺時(shí)，采購金額不多于7500元．②設(shè)采購A種型號電風(fēng)扇x臺，則采購B種型號電風(fēng)扇（50﹣x）臺，根據(jù)題意得：（200﹣160）x+（150﹣120）（50﹣x）＞1850，解得：x＞35，∵x≤37，且x應(yīng)為整數(shù)，∴超市能實(shí)現(xiàn)利潤超過1850元的目標(biāo)．相應(yīng)方案有兩種：當(dāng)x＝36時(shí)，采購A種型號的電風(fēng)扇36臺，B種型號的電風(fēng)扇14臺；當(dāng)x＝37時(shí)，采購A種型號的電風(fēng)扇37臺，B種型號的電風(fēng)扇13臺．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列方程組和不等式求解．題組C培優(yōu)拔尖練25．定義新運(yùn)算“⊕”如下：當(dāng)a＞b時(shí)，a⊕b＝ab+b；當(dāng)a＜b時(shí)，a⊕b＝ab﹣b，若3⊕（x+2）＞0，則x的取值范圍是（）A．﹣1＜x＜1或x＜﹣2B．x＜﹣2或1＜x＜2C．﹣2＜x＜1或x＞1D．x＜﹣2或x＞2【思路點(diǎn)撥】分當(dāng)3＞x+2，即x＜1時(shí)，當(dāng)3＜x+2，即x＞1時(shí)，兩種情況根據(jù)題目所給的新定義建立關(guān)于x的不等式進(jìn)行求解即可．【解析】解：當(dāng)3＞x+2，即x＜1時(shí)，∵3⊕（x+2）＞0，∴3（x+2）+（x+2）＞0，∴3x+6+x+2＞0，∴x＞﹣2，∴﹣2＜x＜1；當(dāng)3＜x+2，即x＞1時(shí)，∵3⊕（x+2）＞0，∴3（x+2）﹣（x+2）＞0，∴2x+4＞0，∴x＞﹣2，∴x＞1；綜上所述，﹣2＜x＜1或x＞1，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解一元一次不等式組，正確理解題意并利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．26．閱讀與理解若一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，則稱一元一次不等式②是一元一次不等式①的覆蓋不等式．例如：不等式x＞1的解都是不等式x≥﹣1的解，則x≥﹣1是x＞1的覆蓋不等式．根據(jù)以上信息，回答問題：（1）請你判斷：不等式x＜﹣1是不等式x＜﹣3的覆蓋不等式（填“是”或者“不是”）；（2）若關(guān)于x的不等式3x+a＜2是1﹣3x＞0的覆蓋不等式，且1﹣3x＞0也是關(guān)于x的不等式3x+a＜2的覆蓋不等式，求a的值；（3）若x＜﹣2是關(guān)于x的不等式ax﹣6＞0的覆蓋不等式，試確定a的取值范圍．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)覆蓋不等式的定義即可求解；（2）根據(jù)覆蓋不等式的定義可得＝，解方程即可求解；（3）先解不等式ax﹣6＞0可得x＜，再根據(jù)覆蓋不等式的定義可≥﹣2，解不等式即可求解．【解析】解：（1）不等式x＜﹣1是不等式x＜﹣3的覆蓋不等式．故答案為：是；（2）依題意有：＝，解得a＝1．（3）∵x＜﹣2是關(guān)于x的不等式ax﹣6＞0的覆蓋不等式，∴a＜0，不等式ax﹣6＞0的解集為x＜，∴≤﹣2，解得a≥﹣3．故a