常微分方程求解

第九章常微分方程數(shù)值解法常微分方程(ODEs

未知函數(shù)是一元函數(shù))

偏微分方程(

PDEs

未知函數(shù)是多元函數(shù))

微分方程常微分方程一階方程：如二階方程

：如

同一個微分方程,具有不同的初始條件(1)用差商近似導數(shù)差分方程初值問題Euler方法微分方程離散化的方法若用向后差商近似導數(shù)，即向后Euler方法（2）用數(shù)值積分方法若對積分用梯形公式，則得梯形公式（3）用Taylor多項式近似Euler方法§1

Euler方法的解作為微分方程初值問題的數(shù)值解，即以差分方程初值問題1.Euler方法x0x1x2x3y0hhh用分段折線逼近曲線解：Euler公式為當h=0.5時當h=0.25時00.50.751.010.25h=0.5h=0.251.2

Euler方法的誤差估計yhhh對Euler方法，局部截斷誤差Euler方法的整體截斷誤差§2改進Euler方法2.1梯形公式

求解公式或用梯形公式的誤差2.2改進Euler法稱為Euler公式與梯形公式的預測—校正系統(tǒng)。實際計算時，常改寫成以下形式predictorcorrector§3Runge—Kutta法1.RK方法的構造RK公式的一般形式為K1K2xn+a2hxn+1=xn+h加權平均斜率c1K1+c2K2xn這就是改進Euler公式，故其為二階方法。K1K2xnxn+1/2xn+1經(jīng)典三階RK公式（右端類似Simpson公式）經(jīng)典四階RK公式xnxn

+h/2xn

+hK1K2K3K4經(jīng)典四階RK公式的幾何意義說明：4階Runge-Kutta方法EulerEuler_modmidpoint

RK4n=10EulerEuler_modmidpoint

RK4n=20§4線性多步法單步法的一般形式：

xn-2xn-1xn+1=xn+hxn4.1線性多步公式的導出利用Taylor展開結論：

4.2常用的線性多步公式四階Adams顯式公式四階Adams隱式公式1.Adams公式（二）Milne公式（三）Hamming公式2.一般地，同階隱式公式比顯式公式精確，但隱式公式計算復雜，需用迭代法求解。線性多步公式不能自啟動，一般需用同階單步法求得初值后再用線性多步公式計算；說明4.3預測—校正系統(tǒng)Milne—Hamming預測—校正公式：Adams預測—校正公式：§5相容性、收斂性與穩(wěn)定性5.1相容性與收斂性問題：單步法離散方程：原方程：相容性:

則稱單步法與問題（*）相容，也稱問題（**）與（*）相容。注

對形式簡單的方程，可以由差分方程解的表達式取極限導出收斂性。用Euler法得近似解表達式例如對初值問題：0.00.10.20.30.40.5改進歐拉法

歐拉隱式歐拉顯式

節(jié)點

xi

1.0000

2.00004.0000

8.00001.6000101

3.2000101

1.00002.5000101

6.25001021.56251023.90631039.76561041.00002.50006.25001.56261013.90631019.76561011.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.05901075.2穩(wěn)定性故Euler法的絕對穩(wěn)定區(qū)域為：

0-1-2注：一般來說，隱式歐拉法的絕對穩(wěn)定性比同階的顯式法的好。故隱式Euler法的絕對穩(wěn)定區(qū)域為：

210將改進Euler法用于試驗方程，則有故改進Euler法的絕對穩(wěn)定區(qū)域為：梯形公式用于模型方程則為故其絕對穩(wěn)定區(qū)域為

因此梯形公式是A―穩(wěn)定的。