第九章數(shù)學(xué)物理方程定解問題

想要探索自然界的奧秘就得解微分方程下篇數(shù)學(xué)物理方程參考書：R.Haberman著，郇中丹等譯，《實用偏微分方程》（原書第四版），機械工業(yè)出版社，2007第九章數(shù)學(xué)物理方程的定解問題2023/11/141牛頓是英國偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家。牛頓于1642年生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近的沃爾索普村。1661年入英國劍橋大學(xué)圣三一學(xué)院，1665年獲文學(xué)士學(xué)位。隨后兩年在家鄉(xiāng)躲避瘟疫，他在此間制定了一生大多數(shù)重要科學(xué)創(chuàng)造的藍圖。1667年牛頓回劍橋后當(dāng)選為劍橋大學(xué)三一學(xué)院院委，次年獲碩士學(xué)位。1669年任劍橋大學(xué)盧卡斯數(shù)學(xué)教授席位直到1701年。1696年任皇家造幣廠監(jiān)督，并移居倫敦。1703年任英國皇家學(xué)會會長。1706年受英國女王安娜封爵。在晚年，牛頓潛心于自然哲學(xué)與神學(xué)。1727年3月20日，牛頓在倫敦病逝，享年84歲(Isaac

Newton，2023/11/142一、數(shù)學(xué)物理方程(泛定方程):物理問題規(guī)律性描述

物理現(xiàn)象物理量u

在空間和時間中的變化規(guī)律，即物理量u在各個地點和各個時刻所取的值之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)語言描述泛定方程反映的是同一類物理現(xiàn)象的共性，和具體條件無關(guān)。數(shù)學(xué)物理方程：從物理問題中導(dǎo)出的函數(shù)方程，特別是偏微分方程和積分方程。重點討論：二階線性偏微分方程。例：牛頓第二定律反映的是力學(xué)現(xiàn)象的普遍規(guī)律，跟具體條件無關(guān)。2023/11/14341邊界問題---邊界條件體現(xiàn)邊界狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱為邊界條件2歷史問題---初始條件體現(xiàn)歷史狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱為初始條件例：一個物體做豎直上拋，一個物體斜拋。不同的初始條件→不同的運動狀態(tài)，但都服從牛頓第二定律。三、定解問題

在給定的邊界條件和初始條件下，根據(jù)已知的物理規(guī)律，在給定的區(qū)域里解出某個物理量u，即求u(x,y,z,t)。定解條件：邊界條件和初始條件的總體。它反映了問題的特殊性，即個性。泛定方程：不帶有邊界和初始條件的方程稱為泛定方程。它反映了問題的共性。二、定解條件:物理問題特殊性描述2023/11/145具體問題求解的一般過程：1、根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律列出泛定方程——客觀規(guī)律．2、根據(jù)已知系統(tǒng)的邊界狀況和初始狀況列出邊界條件和初始條件——求解所必須的已知條件．3、求解方法——

行波法、分離變量法、積分變換法、格林函數(shù)法和變分法2023/11/14§

9.1數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出建模步驟：（1）明確要研究的物理量是什么？從所研究的系統(tǒng)中劃出任一微元，分析鄰近部分與它的相互作用。（2）研究物理量遵循哪些物理規(guī)律？（3）按物理定律寫出數(shù)理方程（泛定方程）。2023/11/146

1弦的橫振動方程

現(xiàn)象描述（如圖）

：沿x軸繃緊的均勻柔軟的細(xì)弦，在平衡位置(x軸)附近產(chǎn)生振幅極小的橫向振動

目的：建立與細(xì)弦上各點的振動規(guī)律相應(yīng)的方程

設(shè)定:

(1)弦不振動時靜止于x軸;

(2)用u(x,t)表示t時刻弦上任一點x在垂直于x軸方向上的橫向位移（偏離）情況弦的橫振動FT2023/11/147

選取不包括端點的一微元[x,x+dx]弧B段作為研究對象.研究對象:(4)設(shè)單位長度上弦受力F(x,t)，線力密度為：假設(shè)與近似：(1)弦是柔軟的(不抵抗彎曲),張力沿弦的切線方向(2)振幅極小,

張力與水平方向的夾角

1和

2

很小，僅考慮

1和

2的一階小量，略去二階小量(3)弦的重量與張力相比很小，可以忽略質(zhì)量線密度

，u(x)u+duu0

1

2FT2FT1xx+dxFB2023/11/148B段弦的原長近似為dx.振動拉伸后：B段的質(zhì)量：弦長dx

，質(zhì)量線密度

，則B段質(zhì)量

m=

dxu(x)u+duu0

1

2FT2FT1xx+dxBF物理規(guī)律：用牛頓運動定律分析B段弦的受力及運動狀態(tài)：牛頓運動定律：2023/11/149①沿x-方向：弦橫向振動不出現(xiàn)x方向平移，得力平衡方程②沿垂直于x-軸方向：由牛頓運動定律得運動方程在微小振動近似下：由（1）式，弦中各點的張力相等（1）（2）u(x)u+duu0

1

2FT2FT1xx+dxBF2023/11/1410波動方程：波速a受迫振動方程單位質(zhì)量弦所受外力，線力密度令………一維波動方程2023/11/1411………一維波動方程------非齊次方程------齊次方程忽略重力和外力作用：如考慮弦的重量：u(x)u+

uu0

1

2FT2FT1xx+

xBF沿x-方向，不出現(xiàn)平移沿垂直于x-軸方向（1）（2）因為：所以有：討論：2023/11/14122熱傳導(dǎo)方程和穩(wěn)定溫度場方程，擴散方程所要研究的物理量：溫度物理規(guī)律：采用傅里葉實驗定律熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點的溫度分布不均勻時，有熱量從高溫處流向低溫處。數(shù)學(xué)建模：傅里葉定律：溫度不均勻:用溫度梯度表示；傳熱的強弱即熱流強度：用單位時間內(nèi)通過單位面積的熱量表示；設(shè)定：沿曲面法向流出熱量：介質(zhì)的熱傳導(dǎo)系數(shù)（1）

熱傳導(dǎo)方程2023/11/1413②有限時間內(nèi)即時刻t1到t2通過閉曲面S流入V的熱量為

高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量對包圍該體積的面積分）熱場處理方法：在溫度不均勻的無源空間，劃出任一封閉曲面S包圍的體積元V（如圖）。①在S

上選取任一足夠小的微面元dS，在此面元范圍內(nèi)熱流強度近似為常量。

那么在dt時間內(nèi)從dS流入V的熱量為(向為正)：2023/11/1414③流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化

流入的熱量：

④溫度發(fā)生變化需要的熱量(c比熱容，ρ質(zhì)量密度)：熱傳導(dǎo)方程熱場如果物體內(nèi)有熱源，則溫度滿足非齊次熱傳導(dǎo)方程總結(jié)：熱傳導(dǎo)：熱量的傳遞；擴散：粒子的運動，兩者本質(zhì)不同，但滿足同一微分方程2023/11/1415有熱源時，則溫度滿足非齊次熱傳導(dǎo)方程穩(wěn)定狀態(tài)：如果熱源f(x,y,z,t)=f(x,y,z)

不隨時間變化，則泊松方程無熱源：

f=0拉普拉斯方程（2）穩(wěn)定溫度場方程2023/11/14163靜電場方程其中:高斯定理（真空）:環(huán)路定理:

物理規(guī)律：由電磁學(xué)可知，靜電場始于正電荷終于負(fù)電荷所以靜電場是有源無旋場，即滿足環(huán)路和高斯定理數(shù)學(xué)建模：建立電勢u(x,y,z)與電荷密度ρ(x,y,z)的關(guān)系。

物理問題：在介電常數(shù)為ε的介質(zhì)空間，存在電荷分布ρ(x,y,z)?激發(fā)電場?形成電勢分布u(x,y,z)。2023/11/1417若空間無電荷，即電荷密度，上式成為

稱這個方程為拉普拉斯方程.由電場的環(huán)路定理，可知靜電場是一個保守場.由保守場的性質(zhì)，引入電勢u,且電場是電勢梯度的負(fù)值，即：進一步對電場取散度，有：泊松方程設(shè)電勢為:u(x,y,z)。2023/11/1418例1輸動問題--擴散問題擴散現(xiàn)象：系統(tǒng)的濃度

不均勻時，將出現(xiàn)物質(zhì)從高濃度處向低濃度處轉(zhuǎn)移的現(xiàn)象，稱之為擴散。①擴散定律即裴克定律：這是一條實驗定律數(shù)學(xué)建模：建立空間各點濃度u(x,y,z,t)的方程

物理規(guī)律：以擴散定律和粒子數(shù)守恒定律為研究基礎(chǔ)②粒子數(shù)守恒定律：單位時間內(nèi)流入某一體積的粒子數(shù)與流出這一體積的粒子數(shù)之差等于此體積內(nèi)的單位時間內(nèi)粒子數(shù)的增加量處理方法：在濃度不均勻的無源空間，劃出任一小立方體V為研究對象，分析濃度變化規(guī)律。

2023/11/1419濃度不均勻:用濃度梯度

表示；擴散流強弱（強度）：用單位時間通過單位面積的物質(zhì)的量表示；擴散（裴克）實驗定律：擴散系數(shù)設(shè)定：處理方法：在濃度不均勻的無源空間，劃出任一小立方體V為研究對象，分析濃度變化規(guī)律。

擴散流強度與濃度梯度間關(guān)系：采用裴克實驗定律確定體元Ｖ內(nèi)粒子數(shù)：2023/11/1420考察沿x-方向擴散流情況：單位時間沿x-方向凈流入量同理沿y和沿z方向凈流入量由粒子數(shù)守恒定律，有負(fù)號表示擴散方向與濃度梯度方向相反單位時間內(nèi)向V的凈流入量下面由粒子數(shù)守恒定律建立V內(nèi)粒子數(shù)變化規(guī)律。單位時間內(nèi)V內(nèi)粒子數(shù)的增加量2023/11/1421如果擴散是均勻的,即D是一常數(shù)，則可以令D=a2，則有代入擴散定律三維擴散方程

如果所研究的空間存在擴散源，源強度與u(x,y,z,t)無關(guān)，且為F(x,y,z),這時擴散方程修改為如果所研究的空間存在源，源強度與u(x,y,z,t)成正比，即F(x,y,z)=b2u(x,y,z)這時擴散方程修改為討論：2023/11/14229.1本講作業(yè)2023/11/1423§

9.3定解條件

數(shù)學(xué)物理方程的定解

在給定的邊界條件和初始條件下，根據(jù)已知的物理規(guī)律，在給定的區(qū)域里解出某個物理量u，即求u(x,y,z,t)。1數(shù)學(xué)物理方程：不帶有邊界和初始條件的方程也稱為泛定方程。它反映了問題的共性。2定解條件：邊界條件和初始條件的總稱。它反映了問題的特殊性(個性)。2023/11/1424初始時刻的溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件A、

波動方程的初始條件——描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點的初位移系統(tǒng)各點的初速度（一）初始條件波動方程含有時間的二階導(dǎo)數(shù)，所以需二個初始條件熱傳導(dǎo)方程含有時間的一階導(dǎo)數(shù)，所以需一個初始條件此類導(dǎo)方程不含時間的導(dǎo)數(shù)，所以不需要有初始條件2023/11/1425和

是空間坐標(biāo)的函數(shù)注意：初始條件給出系統(tǒng)在初始狀態(tài)下物理量的分布，而不是某一位置處的情況。例１：一根長為l的弦，兩端固定于0和l。在中點位置將弦沿著橫向拉開距離h

，如圖所示，然后放手任其振動，試寫出位置u(x,t)初始條件。

l

x

l/2h解：初始時刻就是放手的那一瞬間，弦的形狀如圖所示,且弦處于靜止?fàn)顟B(tài)，即有方程初始位移··初始速度2023/11/1426（二）邊界條件

——系統(tǒng)物理量在邊界處的情況。

A.第一類（狄利克雷）邊界條件直接給出未知函數(shù)在邊界處的函數(shù)值。例2：兩端固定的弦振動時的邊界條件：和常見的線性邊界條件分為三類：2023/11/1427例3：細(xì)桿熱傳導(dǎo)細(xì)桿在x=l端的溫度隨時間變化,設(shè)溫度變化規(guī)律為f(t),邊界的數(shù)理方程細(xì)桿x=l端的溫度處于恒溫狀態(tài),邊界的數(shù)理方程第一類邊界條件的基本形式：2023/11/1428B.第二類（諾伊曼）邊界條件例4：-維細(xì)桿熱傳導(dǎo)

傅里葉實驗定律:單位時間內(nèi),通過單位面積的熱量q為

第二類邊界條件的基本形式：細(xì)桿x=a端點絕熱(q(t)=0)的邊界條件：設(shè)細(xì)桿沿x軸方向,則一維傅里葉實驗定律改寫為其中u是所研究位置處物體的溫度，k是傳熱系數(shù)（“-”表示熱量由溫度高處流向溫度低處）。細(xì)桿x=a端點有熱量q(t)流出的邊界條件：給出未知函數(shù)在邊界處的法線方向的導(dǎo)數(shù)之值。三維熱傳導(dǎo)問題中，端面S有熱流q(t)流出的邊界條件：2023/11/1429（3）.第三類（混合）邊界條件１牛頓冷卻定律：

單位時間內(nèi)，通過物體單位表面流入周圍介質(zhì)的熱量與物體表面的溫度和周圍介質(zhì)的溫度差成正比式中u是物體表面的溫度，u0是周圍介質(zhì)的溫度，h是熱交換系數(shù)。在沿x軸的一維情況下，牛頓冷卻定律簡化為２一維傅里葉實驗定律先引入兩個基本物理定律：給出邊界處場量本身和場量的法向?qū)?shù)的線性組合。2023/11/1430例5：寫出導(dǎo)熱細(xì)桿l端“自由”冷卻的邊界條件。根據(jù)傅里葉實驗定律，在

x=l

處：流出熱量q由牛頓冷卻定律，此流出熱量與細(xì)桿和外界的溫度差成正比，即即：x這些是最常見的線性邊界條件，還有其它形式。第三類邊界條件的基本形式：2023/11/1431（三）銜接條件

系統(tǒng)中可能出現(xiàn)物理性質(zhì)急劇變化的點(躍變點)。如兩節(jié)具有不同的楊氏模量的細(xì)桿在

x=0

處連接，這一點就是躍變點。躍變點兩邊的物理過程因此不同。但在躍變點，某些物理量仍然可以是連續(xù)的，這就構(gòu)成銜接條件。

1

2例6橫向力F(t)集中作用于弦上x