課題學習最短路徑問題課件數(shù)學人教版八年級上冊

課題學習

1.通過對最短路徑的探索，進一步理解和掌握兩點之間線段最短和垂線段最短的性質(zhì).2.讓學生經(jīng)歷運用所學知識解決問題的過程，培養(yǎng)學生解決問題的能力，掌握探索最短路徑的思想方法.3.在數(shù)學學習活動中，獲得成功的體驗，樹立自信心.

如圖，連接A，B兩點的所有連線中，哪條最短？為什么？AB①②③②最短，因為兩點之間，線段最短

如圖，點P是直線l外一點，點P與該直線l上各點連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短，因為垂線段最短.“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題.本節(jié)將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史的著名的“牧馬人飲馬問題”及“造橋選址問題”.深入學習最短路徑問題.如圖，牧馬人從點A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？C抽象成ABl數(shù)學問題作圖問題：在直線l上求作一點C,使AC+BC最短問題.實際問題ABl探究1：現(xiàn)在假設(shè)點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？AlBC根據(jù)是“兩點之間，線段最短”，可知這個交點即為所求.連接AB，與直線l相交于一點C.探究2：如果點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點，如何將點B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？ABl利用軸對稱，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B′.作法：（1）作點B

關(guān)于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l

相交于點C．則點C即為所求．ABlB′C結(jié)論探究3：你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？

證明：如圖，在直線l上任取一點C′(與點C

不重合)，連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

∴

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即

AC+BC

最短．ABlB′CC′例1：如圖，已知點D，點E分別是等邊三角形ABC中BC，AB邊的中點，AD=5，點F是AD邊上的動點，求BF+EF的最小值.

結(jié)論求線段和的最小值問題:找準對稱點是關(guān)鍵，而后將求線段長的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長，而再根據(jù)已知條件求解.如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？BAABNMBA●●

?NMNMNM折移思考：如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？

當點N在直線b的什么位置時，AM+MN+NB最小？

由于河岸寬度是固定的，因此當AM+NB最小時，AM+MN+NB最小.探究：將AM沿與河岸垂直的方向平移，點M移到點N，點A移到點A′，則AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.這樣問題就轉(zhuǎn)化為：當點N在直線b的什么位置時，

A′N+NB最小？連接A′B與b相交于N，N點即為所求.

試說明橋建在M′N′上時，從A到B的路徑AMNB增大.

例2：如圖，荊州古城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到B處，須經(jīng)兩座橋：DD′，EE′（橋?qū)挷挥嫞?，設(shè)護城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，怎樣架橋可使ADD′E′EB的路程最短？ADD′CC′EE′B解：作AF⊥CD，且AF=河寬，作BG⊥CE，且BG=河寬，連接GF，與河岸相交于E′，D′.作DD′，EE′即為橋.理由：由作圖法可知，AF//DD′，AF=DD′，則四邊形AFD′D為平行四邊形，于是AD=FD′,同理，BE=GE′，由兩點之間線段最短可知，GF最小.AD′CC′EE′BFGD結(jié)論在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把未知問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.1.牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請畫出最短路徑.A′B′PQ....解：如圖所示，AP+PQ+BQ最短.2.（1）如圖①，在AB直線一側(cè)C，D兩點，在AB上找一點P，使C，D，P三點組成的三角形的周長最短，找出此點并說明理由．（2）如圖②，在∠AOB內(nèi)部有一點P，是否在OA，OB上分別存在點E、F，使得E，F(xiàn)，P三點組成的三角形的周長最短，找出E，F(xiàn)兩點，并說明理由．（3）如圖③，在∠AOB內(nèi)部有兩點M，N，是否在OA，OB上分別存在點E，F(xiàn)，使得E，F(xiàn)，M，N，四點組成的四邊形的周長最短，找出E，F(xiàn)兩點，并說明理由．ABC

D

P

O

A

B

N

O

A

B

M

圖①圖②圖③P

O

A

B

N

O

A

B

M

ABC

D

C'P

P'P''

EF

M'

N'

EF

圖①圖②圖③原理線段公理和垂線段最短牧馬人飲馬問題解題方法造橋選址問題關(guān)鍵是將固定線段“橋”平移最短路徑問題軸對稱知識+線段公理解題方法1.如圖，在直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（1，4）和（3