蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義第3章章末復(fù)習(xí)課Word版含答案

求值問題已知tanα＝4eq\r(3)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，α，β均為銳角，求cosβ的值．思路點(diǎn)撥：由tanα求sinα，由cos(α＋β)求sin(α＋β)，再利用cosβ＝cos[(α＋β)－α]展開求解．[解]因?yàn)棣?，β均為銳角，所以0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，所以eq\f(π,2)＜α＋β＜π，且sin(α＋β)＝eq\f(5\r(3),14).因?yàn)閠anα＝4eq\r(3)，所以sinα＝eq\f(4\r(3),7)，cosα＝eq\f(1,7).所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝eq\f(1,2).三角函數(shù)求值主要有三種類型，即1“給角求值”，一般給出的角都是非特殊角，觀察發(fā)現(xiàn)題中的角與特殊角都有著一定的關(guān)系，如和或差為特殊角，必要時(shí)運(yùn)用誘導(dǎo)公式.2“給值求值”，即給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些三角函數(shù)的值，這類求值問題關(guān)鍵在于結(jié)合條件和結(jié)論中的角，合理拆、配角，要注意角的范圍.3“給值求角”，本質(zhì)上還是“給值求值”，只不過往往求出的是特殊角的值，在求出角之前還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定角，必要時(shí)還要討論角的范圍.1．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1,6)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求eq\f(sin4α,1＋cos2α)的值．[解]∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1,6)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,6)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2α))＝eq\f(1,3)，即cos2α＝eq\f(1,3).又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，2α∈(π，2π)，∴sin2α＝－eq\r(1－cos22α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝－eq\f(2\r(2),3).∴eq\f(sin4α,1＋cos2α)＝eq\f(2sin2αcos2α,1＋\f(1＋cos2α,2))＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)))×\f(1,3),1＋\f(1＋\f(1,3),2))＝－eq\f(4\r(2),15).化簡(jiǎn)與證明求證：eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,2tanθ)＝eq\f(1＋sin4θ＋cos4θ,1－tan2θ).思路點(diǎn)撥：先對(duì)原式進(jìn)行等價(jià)變形，同時(shí)注意應(yīng)用“二倍角”的正弦、余弦、正切公式．[證明]證明原不等式成立，即證明1＋sin4θ－cos4θ＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)成立．∵tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)＝eq\f(sin2θ,cos2θ)(2cos22θ＋2sin2θcos2θ)＝2sin2θ(cos2θ＋sin2θ)＝2sin2θcos2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos4θ.∴eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,2tanθ)＝eq\f(1＋sin4θ＋cos4θ,1－tan2θ).三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明要遵循“三看”原則1一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式.2二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”.3三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向.2．化簡(jiǎn)：eq\f(2sin130°＋sin100°1＋\r(3)tan370°,\r(1＋cos10°)).[解]原式＝eq\f(2sin50°＋sin80°1＋\r(3)tan10°,\r(1＋cos10°))＝eq\f(2sin50°＋cos10°×\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°),\r(2cos25°))＝eq\f(2sin50°＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°＋\f(\r(3),2)sin10°)),\r(2)|cos5°|)＝eq\f(2sin50°＋2sin30°＋10°,\r(2)cos5°)＝eq\f(2\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin45°＋5°＋sin45°－5°)),\r(2)cos5°)＝eq\f(2sin45°cos5°＋cos45°sin5°＋sin45°cos5°－cos45°sin5°,\r(2)cos5°)＝eq\f(4sin45°·cos5°,\r(2)cos5°)＝2.三角恒等變換的綜合應(yīng)用設(shè)向量a＝(eq\r(3)sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．思路點(diǎn)撥：分別表示兩向量的模，利用相等求解x的值；利用數(shù)量積運(yùn)算及輔助角公式化為一個(gè)角的一種函數(shù)求解．[解](1)由|a|2＝(eq\r(3)sinx)2＋sin2x＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，從而sinx＝eq\f(1,2)，所以x＝eq\f(π,6).(2)f(x)＝a·b＝eq\r(3)sinxcosx＋sin2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，當(dāng)x＝eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))取最大值1.所以f(x)的最大值為eq\f(3,2).1．進(jìn)行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用．2．把形如y＝asinx＋bcosx化為y＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對(duì)稱性．3．已知函數(shù)f(x)＝cos2eq\f(x,2)－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)－eq\f(1,2).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域；(2)若f(α)＝eq\f(3\r(2),10)，求sin2α的值．[解](1)f(x)＝cos2eq\f(x,2)－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(1＋cosx)－eq\f(1,2)sinx－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).所以f(x)的最小正周期為2π，值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).(2)由(1)知f(α)＝eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(3\r(2),10)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5).所以sin2α＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2α))＝－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))))＝1－2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝1－eq\f(18,25)＝eq\f(7,25).轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角變換中的應(yīng)用【例4】已知tanα＝eq\f(1,3)，tanβ＝－eq\f(1,7)，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．思路點(diǎn)撥：先求tan(2α－β)的值，再結(jié)合2α－β的范圍求2α－β的值．[解]∵tanα＝eq\f(1,3)＞0，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，2α∈(0，π)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝eq\f(3,4)＞0，∴2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，又∵tanβ＝－eq\f(1,7)＜0，β∈(0，π)，∴β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴tan(2α－β)＝eq\f(tan2α－tanβ,1＋tan2αtanβ)＝eq\f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7))),1＋\f(3,4)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7))))＝1，又∵2α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－eq\f(3,4)π.在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值中，常常對(duì)條件和結(jié)論進(jìn)行合理的變換，通過轉(zhuǎn)化溝通已知與未知的關(guān)系，角的轉(zhuǎn)化、函數(shù)名稱的轉(zhuǎn)化、常數(shù)代換、冪的升降變換、結(jié)構(gòu)變化等技巧在解題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握.4．已知eq\f(π,4)＜α＜eq\f(3π,4)，0＜β＜eq\f(π,4)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＝eq\f(5,13)，求sin(α＋β)的值．[解]∵eq\f(π,4)＜α＜eq\f(3π,4)，0＜β＜eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)＜eq\f(π,4)－α＜0，eq\f(3π,4)＜eq\f(3π,4)＋β＜π，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝－eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝－eq\f(4,5)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β)))＝－eq\f(12,13)，∴sin(α＋β)＝－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α＋β))＝－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a