微分方程數(shù)值解大作業(yè)

微分方程數(shù)值解大作業(yè)雙曲型方程求解如下雙曲型方程其中關(guān)于時(shí)間和空間的二階偏導(dǎo)數(shù)均采用二階中心差商逼近.1．，且初邊條件如下：存在精確解為：2．，且初邊條件如下：存在精確解為：第一題數(shù)值解的源程序?yàn)椋篺unctionu=hyperbolic(minx,maxx,mint,maxt,M,N,a)h=(maxx-minx)/M;%橫軸步長t=(maxt-mint)/N;%縱軸步長r=t/h;u=zeros(M+1,N+1);%先定義u為M+1*N+1維的矩陣u(1,:)=0;%左邊界為0u(M,:)=0;%右邊界為0u(:,1)=bottoma(h,M)';%下邊界由已知函數(shù)bottoma計(jì)算fori=1:M-1%對(duì)下邊界上的導(dǎo)數(shù)g1的差分格式進(jìn)行定義g1(i)=g(i*h);endforj=2:M%由導(dǎo)數(shù)的差分格式求第2行的u值u(j,2)=0.5*(a^2*r^2*(u(j+1,1)+u(j-1,1))+2*(1-a^2*r^2)*u(j,1)+t*g1(j-1));endfork=2:N%從第三行開始，一行一行地求u值forj=2:Mu(j,k+1)=a^2*r^2*(u(j+1,k)+u(j-1,k))+2*(1-a^2*r^2)*u(j,k)-u(j,k-1);endend下邊界的導(dǎo)數(shù)的定義functiong=g(x)g=0下邊界函數(shù)的定義functiona=bottoma(h,m)pi=3.1415926;a(1)=0;a(m+1)=0;fori=2:ma(i)=sin(pi*(i-1)*h);end精確解的源程序：functionu=hy(minx,maxx,mint,maxt,M,N)pi=3.1415926;x=minx+(maxx-minx)*(0:M)/M;t=mint+(maxt-mint)*(0:N)/N;forj=1:N+1fori=1:M+1u(i,j)=cos(pi*t(j))*sin(pi*x(i));endend穩(wěn)定時(shí)的誤差sum(sum(hyperbolic(0,1,0,2,4,8,1)-hy(0,1,0,2,4,8)))ans=2.587544328334521e-007誤差很小第二題數(shù)值解代碼functionu=hyperbolic(minx,maxx,mint,maxt,M,N,a)h=(maxx-minx)/M;%橫軸步長t=(maxt-mint)/N;%縱軸步長r=t/h;u=zeros(M+1,N+1);%先定義u為M+1*N+1維的矩陣u(1,:)=0;%左邊界為0u(M,:)=0;%右邊界為0u(:,1)=bottoma(h,M)';%下邊界由已知函數(shù)bottoma計(jì)算fori=1:M-1g1(i)=g(i*h);%對(duì)下邊界上的導(dǎo)數(shù)g1的差分格式進(jìn)行定義endforj=2:M%由導(dǎo)數(shù)的差分格式求第2行的u值u(j,2)=0.5*(a^2*r^2*(u(j+1,1)+u(j-1,1))+2*(1-a^2*r^2)*u(j,1)+t*g1(j-1));endfork=2:N%從第三行開始，一行一行地求u值forj=2:Mu(j,k+1)=a^2*r^2*(u(j+1,k)+u(j-1,k))+2*(1-a^2*r^2)*u(j,k)-u(j,k-1);endend下邊界函數(shù)的定義functiona=bottoma(h,m)a=0;下邊界的導(dǎo)數(shù)的定義functiong=g(x)pi=3.141592653589793;g=sin(4*pi*x);穩(wěn)定的精確解functionu=hy(minx,maxx,mint,maxt,M,N)pi=3.141592653589793;x=minx+(maxx-minx)*(0:M)/M;t=mint+(maxt-mint)*(0:N)/N;forj=1:N+1fori=1:M+1u(i,j)=sin(t(j))*sin(4*pi*x(i));endend穩(wěn)定性條件和Courant條件分析。我們采用分離變量的方法對(duì)格式進(jìn)行穩(wěn)定性分析，可得傳播矩陣：G而這個(gè)矩陣的特征方程為：λ他的根λ1,2按模不大于1的充要條件為2-ar≤1.亦即，當(dāng)上式成立時(shí)，vonNeuma