2023-2024學(xué)年吉林省吉林市第四中學(xué)高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat18頁2023-2024學(xué)年吉林省吉林市第四中學(xué)高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線斜率和傾斜角關(guān)系可直接求得結(jié)果.【詳解】直線的斜率不存在，直線的傾斜角為.故選：D.2．已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘以及減法運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】,故選:D．3．已知直線過，且，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用，求出直線斜率，利用可得斜率乘積為，即可求解.【詳解】設(shè)直線斜率為，直線斜率為，因?yàn)橹本€過，，所以斜率為，因?yàn)?，所以，所以，即直線的斜率為.故選：B.4．如圖，在正方體中，點(diǎn)E是上底面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角求解.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B5．已知點(diǎn)，，若過的直線與線段相交，則直線斜率k的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求出直線，的斜率，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】根據(jù)題意，，，，則，，結(jié)合圖象可得直線的斜率k的取值范圍是.故選：D.

6．在下列命題中：①若向量共線，則向量所在的直線平行；②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；③若三個(gè)向量?jī)蓛晒裁?，則向量共面；④已知空間的三個(gè)向量，則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量總存在實(shí)數(shù)使得其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)向量共線，共面的性質(zhì)逐一分析每個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于①，若向量共線，則向量所在的直線平行，也可能共線，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由于向量可以平移，兩個(gè)向量一定共面，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，任意兩個(gè)向量自然是兩兩共面，三個(gè)向量則不一定共面，例如空間直角坐標(biāo)系軸所在的向量?jī)蓛晒裁妫秋@然軸不共面，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若共線時(shí)，顯然共面，于是只能表示和共面的向量，對(duì)于空間中的任意向量則不一定成立，故④錯(cuò)誤.于是四個(gè)選項(xiàng)都是錯(cuò)的.故選：A7．如圖，平行六面體的底面是矩形，，，，且，則線段的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由，轉(zhuǎn)化為向量的模長(zhǎng)，然后結(jié)合空間向量數(shù)量積運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由，可得，因?yàn)榈酌鏋榫匦?，，，，所以，，又，所以，則.故選：B8．如圖，ABCD－EFGH是棱長(zhǎng)為1的正方體，若P在正方體內(nèi)部且滿足，則P到AB的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出和的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量法求點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以，，，，，所以點(diǎn)P到AB的距離．故選：C.9．如圖，，分別是圓臺(tái)上、下底面的兩條直徑，且，，是弧靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則在上的投影向量是（

）.

A． B． C． D．【答案】C【分析】作出在上的投影向量，從而求得正確答案.【詳解】如圖，取在下底面的投影C，作，垂足為D.連接，，，則，在上的投影向量是.設(shè)上底面的半徑為r，則，.故在上的投影向量是.故選：C

二、多選題10．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)是B．點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)是C．點(diǎn)關(guān)于平面，對(duì)稱的點(diǎn)是D．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)是【答案】AC【分析】利用點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)可判斷A的正誤；根據(jù)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)可判斷B的正誤；利用點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)可判斷C的正誤；利用點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的特點(diǎn)可判斷D.【詳解】空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn).對(duì)于A，點(diǎn)關(guān)于于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，A正確；對(duì)于B，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，C正確；對(duì)于D，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，D錯(cuò)誤；綜上知，正確的選項(xiàng)是AC.故選：AC.11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（

）A． B．直線平面C．直線與平面所成角的正切值為 D．點(diǎn)到平面的距離是【答案】ABD【分析】依題意可得到為等邊三角形，又為的中點(diǎn)，即可判斷A；利用線面平行的判定定理證明B；用線面角的定義可知為所求角，進(jìn)而求得其正切值，即可判斷C；利用等體積法判斷D．【詳解】解：對(duì)于A，，，，為等邊三角形，又為的中點(diǎn)，所以，故A正確；對(duì)于B，取中點(diǎn)，連接，，，可知且，又且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面，故B正確；對(duì)于C，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫妫云矫?，所以與平面所成的角為，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用等體積法知，即，解得，故D正確；故選：ABD12．已知點(diǎn)，點(diǎn)在平面上，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)的坐標(biāo)可以為（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)列方程，從而求得正確答案.【詳解】依題意，點(diǎn)在平面上，設(shè)，由于，，，整理得，通過驗(yàn)證可知，、符合，所以BC選項(xiàng)正確.故選：BC13．下列利用方向向量?法向量判斷線?面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（）A．兩條不重合直線的方向向量分別是，則B．直線的方向向量，平面的法向量是，則C．兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，則D．直線的方向向量，平面的法向量是，則【答案】AC【分析】對(duì)于，由不重合兩直線方向向量平行可判斷直線相互平行；對(duì)于B，要考慮直線可能在面內(nèi)；對(duì)于C，由兩法向量垂直可得兩平面垂直；對(duì)于D，直線方向向量與法向量平行，則直線與面垂直.【詳解】對(duì)于，兩條不重合直線，的方向向量分別是，則，所以，即，故正確；對(duì)于B，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，兩個(gè)不同的平面，的法向量分別是，則，所以，故C正確；對(duì)于D，直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，即，故D錯(cuò)誤．故選：AC．14．布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則（

）

A．B．直線與平面所成角的正弦值為C．點(diǎn)到直線的距離是D．異面直線與所成角的余弦值為【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到；B選項(xiàng)，求出平面的法向量，利用線面角的夾角公式求出答案；C選項(xiàng)，利用空間向量點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，利用異面直線夾角公式進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，平面的法向量為，，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，B正確；C選項(xiàng)，，點(diǎn)到直線的距離為，C正確；D選項(xiàng)，，設(shè)異面直線與所成角大小為，則，D正確.

故選：BCD三、填空題15．設(shè)直線l的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，．若直線l//平面，則實(shí)數(shù)z的值為．【答案】-4【分析】根據(jù)直線l//平面，則直線l的方向向量與平面的一個(gè)法向量垂直，即兩向量點(diǎn)乘為0.【詳解】若直線l//平面，則直線l的方向向量與平面的一個(gè)法向量垂直，由此可得，解得.故答案為：16．設(shè)，向量，，，且，，則.【答案】【分析】先根據(jù)空間向量的垂直和平行，列方程求出，然后再求模長(zhǎng)即可.【詳解】根據(jù)可得，故，此時(shí)，由可得，故，此時(shí)，于是故.故答案為：17．已知為空間中一點(diǎn)，四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，若，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)向量共面列方程，結(jié)合已知條件求得的值.【詳解】依題意，四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，所以，所以，，，所以，解得.故答案為：18．已知，，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是.【答案】【分析】由求解，再排除與共線時(shí)的值即可得答案.【詳解】因?yàn)榕c的夾角為鈍角，，解得，由題意得與不共線，則，解得，的取值范圍是.故答案為：四、解答題19．已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)，問：當(dāng)取何值時(shí)：(1)直線與軸平行?(2)直線的方向向量的坐標(biāo)為．(3)直線的傾斜角為?【答案】(1)(2)(3)【分析】利用斜率公式及直線的方向向量的概念求解．【詳解】（1）若直線與軸平行，則直線的斜率，所以．（2）直線的方向向量的坐標(biāo)為，故，即，解得．（3）由題意可知，直線的斜率，即，解得．20．已知，.(1)若，求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)k的值；(3)若，求實(shí)數(shù)k的值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量夾角公式即得；（2）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可得，，然后根據(jù)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系即得；（3）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即得.【詳解】（1）由已知可得，，所以；（2）因?yàn)?，，又，存在?shí)數(shù)m使得，，，，解得；（3）因?yàn)?，所以，即，解?21．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，E是的中點(diǎn)，已知，．

(1)求證：；(2)求證：平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明．（2）運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)定理可證得，進(jìn)而運(yùn)用線面垂直的判定定理可證得平面PAC，進(jìn)而可證得面面垂直.【詳解】（1）以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，，，所以，，所以，所以．（2）連接，，如圖所示，

因?yàn)槊?，面，所以，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，又因?yàn)?，、面，所以面，又因?yàn)槊?，所以平面平面?2．如圖，已知四棱錐的底面是菱形，對(duì)角線，交于點(diǎn)，，，，底面，設(shè)點(diǎn)滿足．

(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和的坐標(biāo)，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解；（2）求出與平面所成角的正弦值，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)槠矫媸橇庑?，所以，又因?yàn)榈酌妫颐?，所以，，所以，，兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，以，，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)?，，，則所以，又因?yàn)?，所以，設(shè)平面的法向量，則，取，可得，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.（2）解：由（1）中的空間直角坐標(biāo)系，可得，可得，所以與平面所成角的正弦值為，則到平面的距離.

23．如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為．(1)若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置并給以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在點(diǎn)，位于靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處滿足題意.【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，得到，然后利用線面平行的判定定理得到平面；（2）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿足題意，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)平面與平面的夾角的余弦值為，則兩平面法向量所成