2024版新教材高考數(shù)學全程一輪總復習課時作業(yè)二十八正弦余弦定理應用舉例

課時作業(yè)(二十八)正弦、余弦定理應用舉例一、單項選擇題1．在相距2千米的A、B兩點處測量目標C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A，C兩點之間的距離是()千米．A．eq\f(\r(6),2)B．eq\r(6)C．6D．2eq\r(3)2．[2023·河南駐馬店模擬]如圖，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于30km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()A．30kmB．30eq\r(2)kmC．30eq\r(3)kmD．15eq\r(5)km3．[2023·遼寧營口期末]如圖，有一古塔，在A點測得塔底位于北偏東60°方向上的點D處，塔頂C的仰角為30°，在A的正東方向且距D點60m的B點測得塔底位于北偏西45°方向上(A，B，D在同一水平面)，則塔的高度CD約為()(參考數(shù)據(jù)：eq\r(6)≈2.4)A．38mB．44mC．40mD．48m4．如圖，A，B兩地相距45km，甲欲駕車從A地去B地，由于山體滑坡造成道路AB堵塞，甲沿著與AB方向成18°角的方向前行，中途到達C點，再沿與AC方向成153°角的方向繼續(xù)前行到達終點B，則這樣的駕車路程比原來的路程約多了()(參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，sin27°≈0.45，eq\r(2)≈1.41)A．45.5kmB．51.5kmC．56.5kmD．60.5km5．[2023·河北承德期末]一艘海輪從A地出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行80海里后到達海島B，然后從B地出發(fā)，沿北偏東15°的方向航行40海里后到達海島C.如果下次航行直接從A地出發(fā)到達C地，那么這艘船需要航行的距離是()A．40海里B．40eq\r(3)海里C．40eq\r(5)海里D．40eq\r(7)海里6．某中學校園內的紅豆樹已有百年歷史．百年紅豆樹，十年樹一花．時光流轉，紅豆花開，讀書愛國的氣息隨著花開風起．如圖，小明為了測量紅豆樹高度，他在正西方向選取與紅豆樹根部C在同一水平面的A、B兩點，在點A測得紅豆樹根部C在西偏北30°的方向上，步行40米到B處，測得樹根部C在西偏北75°的方向上，樹梢D的仰角為30°，則紅豆樹的高度為()A．10eq\r(6)米B．20eq\r(3)米C．eq\f(20\r(3),3)米D．eq\f(20\r(6),3)米7．(能力題)[2023·河南南陽月考]如圖，在一場足球比賽中，甲同學從點A處開始做勻速直線運動，到達點B時，發(fā)現(xiàn)乙同學踢著足球在點C處正以自己速度的eq\f(1,2)向A做勻速直線運動，已知cos∠BAC＝eq\f(3,5)，AB＝3m，AC＝7m．若忽略甲同學轉身所需的時間，甲同學最快攔截乙同學的點是線段AC上的點D，則CD＝()A．2mB．2.5mC．3mD．3.5m8．(能力題)某校學生參加課外實踐活動“測量一土坡的傾斜程度”，在坡腳A處測得∠PAC＝15°，沿土坡向坡頂前進25m后到達D處，測得∠PDC＝45°.已知旗桿CP＝10m，PB⊥AB，土坡對于地平面的坡角為θ，則cosθ＝()A．eq\r(2)－1B．eq\r(3)－1C．eq\f(5\r(2)－5,4)D．eq\f(5\r(3)－5,4)9．[2021·全國甲卷]2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86(單位：m)，三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B,C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′滿足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C點測得B點的仰角為15°，BB′與CC′的差為100；由B點測得A點的仰角為45°，則A，C兩點到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′約為(eq\r(3)≈1.732)()A．346B．373C．446D．473二、多項選擇題10．[2023·安徽池州期末]如圖所示，為了測量A，B處島嶼的距離，小明在D處觀測，A，B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛30海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則下列結論正確的是()A.∠CAD＝60°B．A、D之間的距離為15eq\r(2)海里C．A、B兩處島嶼間的距離為15eq\r(6)海里D．B、D之間的距離為30eq\r(3)海里三、填空題11．如圖，一輪船從A點沿北偏東70°的方向行駛10海里至海島B，又從B沿北偏東10°的方向行駛10海里至海島C，若此輪船從A點直接沿直線行駛至海島C，則此船沿________方向行駛________海里至海島C.12．[2023·河北師大附中模擬]如圖所示，為了測量山高MN，分別選擇山下平地的A處和另一座山的山頂C處為測量觀測點．從A點測得M點的仰角∠NAM＝45°，C點的仰角∠BAC＝30°以及∠MAC＝75°，從C點測得∠ACM＝60°，已知山高BC＝50米，則山高MN＝______米．13．(能力題)[2023·遼寧東北育才中學期末]如圖，要計算某湖泊岸邊兩景點B與C的距離，由于受地形的限制，需要在岸上選取A和D兩點，現(xiàn)測得AB＝5km，AD＝7km，∠ABD＝60°，∠CBD＝15°，∠BCD＝120°，則兩景點B與C的距離為________km.四、解答題14．[2023·河北保定期末]如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選取與塔底B在同一水平面內的兩個測量基點C與D.現(xiàn)測得∠BCD＝α＝35°，∠BDC＝β＝100°，CD＝400m．在點C測得塔頂A的仰角為50.5°.(1)求B與D兩點間的距離(結果精確到1m)；(2)求塔高AB(結果精確到1m).參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)sin35°＝0.811，eq\r(2)sin80°＝1.393，tan50.5°＝1.2.優(yōu)生選做題15．[2023·山東泰安期末]在某海域A處的巡邏船發(fā)現(xiàn)南偏東60°方向，相距a海里的B處有一可疑船只，此可疑船只正沿射線y＝eq\f(\r(3),3)x(x≥0)(以B點為坐標原點，正東，正北方向分別為x軸，y軸正方向，1海里為單位長度，建立平面直角坐標系)方向勻速航行．巡邏船立即開始沿直線勻速追擊攔截，巡邏船出發(fā)t小時后，可疑船只所在位置的橫坐標為bt.若巡邏船以30海里/小時的速度向正東方向追擊，則恰好1小時與可疑船只相遇．(1)求a，b的值；(2)若巡邏船以5eq\r(21)海里/小時的速度進行追擊攔截，能否攔截成功？若能，求出攔截時間，若不能，請說明理由．課時作業(yè)（二十八）正弦、余弦定理應用舉例1．解析：∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝45°，由正弦定理eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，即eq\f(2,sin45°)＝eq\f(AC,sin60°)，解得AC＝eq\f(2×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝eq\r(6).故選B.答案：B2．解析：依題意知∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，在△ABC中，由余弦定理知AB＝eq\r(AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°)＝eq\r(302＋302＋2×30×30×\f(1,2))＝30eq\r(3).即燈塔A與燈塔B的距離為30eq\r(3)km.故選C.答案：C3．解析：如圖，根據(jù)題意，CD⊥平面ABD，∠CAD＝30°，∠BAD＝30°，∠ABD＝45°，BD＝60.在△ABD中，因為eq\f(BD,sin∠BAD)＝eq\f(AD,sin∠ABD)，所以eq\f(60,sin30°)＝eq\f(AD,sin45°)，所以AD＝60eq\r(2).在Rt△ACD中，CD＝AD·tan30°＝60eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)＝20eq\r(6)≈48m.故A，B，C錯誤．故選D.答案：D4．解析：在△ABC中，由A＝18°，C＝27°，所以B＝180°－A－C＝135°，由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，即eq\f(45,sin27°)＝eq\f(BC,sin18°)＝eq\f(AC,sin135°)，所以AC≈70.5km，BC≈31km，所以AC＋BC－AB＝56.5km.故選C.答案：C5．解析：如圖，由題意AB＝80海里，BC＝40海里，B＝180°－75°＋15°＝120°，所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝11200，得AC＝40eq\r(7)海里．故選D.答案：D6．解析：設紅豆樹的高為h（m），則BC＝eq\r(3)h，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠CBA＝105°，∠BCA＝45°，AB＝40.根據(jù)正弦定理得eq\f(\r(3)h,sin30°)＝eq\f(40,sin45°)，解得h＝eq\f(20\r(6),3)（m）.故選D.答案：D7．解析：如圖，連接BD，設CD＝xm，則BD＝2xm，AD＝（7－x）m，在△ABD中，由余弦定理得，cosA＝eq\f(AB2＋AD2－BD2,2AB·AD)＝eq\f(3,5)，代入整理可得15x2＋52x－164＝0，即（15x＋82）（x－2）＝0，解得x＝2或x＝－eq\f(82,15)（舍去）.所以CD＝2m.故選A.答案：A8．解析：在△ADP中，由正弦定理可得AP＝eq\f(ADsin135°,sin30°)＝25eq\r(2).在Rt△ABP中，易知AB＝25eq\r(2)cos（θ＋15°），PB＝25eq\r(2)sin（θ＋15°），則tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(25\r(2)sin（θ＋15°）－10,25\r(2)cos（θ＋15°）)，整理可得cosθ＝eq\f(5\r(2),2)sin15°＝eq\f(5\r(2),2)×eq\f(\r(6)－\r(2),4)＝eq\f(5\r(3)－5,4).故選D.答案：D9.解析：如圖所示，根據(jù)題意過C作CE∥C′B′，交BB′于E，過B作BD∥A′B′，交AA′于D，則BE＝100，C′B′＝CE＝eq\f(100,tan15°).在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝75°，則BD＝A′B′＝eq\f(C′B′×sin45°,sin75°).又因為在B點處測得A點的仰角為45°，所以AD＝BD＝eq\f(C′B′×sin45°,sin75°)，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE＝eq\f(C′B′×sin45°,sin75°)＋100＝eq\f(\f(100,tan15°)×sin45°,sin75°)＋100＝eq\f(100sin45°,sin15°)＋100＝eq\f(100×\f(\r(2),2),\f(\r(2),2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2))))＋100＝100（eq\r(3)＋1）＋100≈373.故選B.答案：B10．解析：由題意可知CD＝30，∠ADC＝90°＋15°＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝90°－∠BCA＝90°－60°＝30°，所以∠CAD＝180°－∠ADC－∠ACD＝180°－105°－30°＝45°≠60°，故A錯誤；∠ADB＝15°＋45°＝60°，在△ACD中，由正弦定理得eq\f(AD,sin30°)＝eq\f(30,sin45°)，得AD＝eq\f(30×sin30°,sin45°)＝15eq\r(2)（海里），故B正確；在Rt△BCD中，因為∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，所以BD＝eq\r(2)CD＝30eq\r(2)≠30eq\r(3)（海里），故D錯誤；在△ABD中，由余弦定理得，AB＝eq\r(AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB)＝eq\r(450＋1800－2×15\r(2)×30\r(2)×\f(1,2))＝15eq\r(6)（海里），故C正確．故選BC.答案：BC11．解析：由題意得：∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°，AB＝BC＝10，故∠BAC＝30°，所以從A到C的航向為北偏東70°－30°＝40°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝102＋102－200×（－eq\f(1,2)）＝300，故AC＝10eq\r(3).答案：北偏東40°10eq\r(3)12．解析：在△ABC中，BC⊥AB，∠BAC＝30°，BC＝50，所以AC＝100，因為∠MAC＝75°，∠ACM＝60°，所以∠AMC＝45°，在△ACM中，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠AMC)＝eq\f(AM,sin∠ACM)，即eq\f(100,sin45°)＝eq\f(AM,sin60°)，解得AM＝50eq\r(6)，因為∠NAM＝45°，MN⊥AN，則MN＝AMsin45°＝eq\f(\r(2),2)×50eq\r(6)＝50eq\r(3)（米）.答案：50eq\r(3)13．解析：在△ABD中，因為AB＝5km，AD＝7km，∠ABD＝60°，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD，整理得49＝25＋BD2－5BD，解得BD＝8或BD＝－3（舍去），在△BCD中，因為∠CBD＝15°，∠BCD＝120°，所以∠BDC＝45°，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，所以BC＝eq\f(BD·sin45°,sin120°)＝eq\f(8\r(6),3).答案：eq\f(8\r(6),3)14．解析：（1）在△BCD中，∠CBD＝180°－α－β＝45°，由正弦定理得eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BD,sinα)，則BD＝eq\f(CDsinα,sin∠CBD)＝eq\f(400sin35°,sin45°)＝400eq\r(2)sin35°＝400×0.811＝324.4≈324m.