廣東省廣州市荔灣區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

廣東省廣州市荔灣區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知(1+2i)z=4+3i，則復(fù)數(shù)z等于（）A．2?i B．2+i C．?2+i D．?2?i2．已知向量a=(2，0)，b=(1，?1)，若A．1 B．0 C．?1 D．?23．一個小商店從一家食品有限公司購進10袋白糖，每袋白糖的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量是500g，為了了解這些白糖的質(zhì)量情況，稱出各袋白糖的質(zhì)量（單位：g）如下：495，500，503，508，498，500，493，500，503，500，記10袋白糖的平均質(zhì)量為x，標(biāo)準(zhǔn)差為s，則質(zhì)量位于x?s與xA．6 B．7 C．8 D．94．已知事件A，B，且P(A)=0.7，A．若B?A，則P(A∪B)=0.7B．若A，B互斥，則P(A∪B)=0.9C．若A與B相互獨立，則P(A∪B)=0.9D．若A與B相互獨立，則P(AB5．已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個向量，則（）A．若a∥b，bB．若a是非零向量，b≠c，則a?C．若a=(1，?1)，b=(2，D．若a，b，c兩兩的夾角相等，且|a|=1，|b|=16．某小區(qū)從2000戶居民中隨機抽取100戶進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50~350kW·h之間，進行適當(dāng)?shù)姆纸M后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如圖所示．則（）A．小區(qū)用電量平均數(shù)為186.5，極差為300B．小區(qū)用電量中位數(shù)為171，眾數(shù)為175C．可以估計小區(qū)居民月用電量的85%分位數(shù)約為262.5D．小區(qū)用電量不小于250kW·h的約有380戶7．已知母線長為a的圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，在該圓錐內(nèi)放置一個圓柱，則當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，圓柱的體積為（）A．3128πa3 B．364π8．如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成θ角的兩條數(shù)軸，e1，e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量OP=xe1+ye2，則把有序數(shù)對A．(B．(C．(D．(二、多選題9．已知復(fù)數(shù)z1=x+yi(x，A．(B．復(fù)平面內(nèi)z2C．zD．復(fù)平面內(nèi)滿足|z10．在一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次底面朝下的數(shù)字，記事件A=“兩次記錄的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件B=“第一次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”；事件C=“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則（）A．P(A)=P(B)=P(C) B．P(AB)=P(BC)=P(AC)C．P(A)P(B)P(C)=116 11．已知函數(shù)f(x)=coA．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x=πB．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(?3πC．函數(shù)f(x)在區(qū)間[?πD．函數(shù)f(x)滿足f(x+12．已知正方體ABCD?A1B1C1DA．EF⊥CB．直線EF與BC1C．直線EF與平面ABC1D．直線B1D與平面A1三、填空題13．若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，且|z|=2，則z等于．（寫出一個即可）14．已知|a|=6，e=(0，1)，當(dāng)向量a，e的夾角θ等于30°15．如圖，長方體木塊ABCD?A1B1C1D1中，BC=BB1=1，AB=216．如圖，已知直線l1//l2，A是直線l1，l2之間的一定點，并且點A到l1，l2的距離分別為?1，?2，B，C分別為直線四、解答題17．將函數(shù)g(x)=tan(2x+π3)（1）解不等式g(x)≥?1，x∈[0，（2）證明：tan(18．如圖，A，B兩點都在河的對岸（不可到達），為了測量A，B兩點間的距離，在A，B兩點的對岸選定兩點C，D，測得CD=a，并且在C，（1）求A，（2）設(shè)AC與BD相交于點O，記△AOD與△BOC的面積分別為S1，S2，求19．如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=2，（1）證明PQ∥平面ABC；（2）求多面體B120．某品牌計算機售后保修期為1年，根據(jù)大量的維修記錄資料，這種品牌的計算機在使用一年內(nèi)維修次數(shù)最多的是3次，其中維修1次的占15%，維修2次的占6%，維修3次的占4%．（1）若某人購買1臺這種品牌的計算機，求下列事件的概率：A＝“在保修期內(nèi)需要維修”；B＝“在保修期內(nèi)維修不超過1次”；（2）若某人購買2臺這種品牌的計算機，2臺計算機在保修期內(nèi)是否需要維修互不影響，求這2臺計算機保修期內(nèi)維修次數(shù)總和不超過2次的概率．21．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，AC與BD相交于點O，E為CD的中點，PA=PB=2，∠PAD=∠PBC（1）證明：平面POE⊥平面ABCD；（2）當(dāng)點A到平面PCD的距離最大時，求側(cè)面PAB與底面ABCD所成二面角的大?。?2．某工藝品加工廠生產(chǎn)線一天能生產(chǎn)200件某款產(chǎn)品，該產(chǎn)品市場評級規(guī)定：工藝質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于10的為A等品，小于10的為B等品．廠家將A等品售價定為160元/件，B等品售價定為140元/件．下表是檢驗員在現(xiàn)有生產(chǎn)線上隨機抽取的16件產(chǎn)品的工藝質(zhì)量指標(biāo)值：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得x=116i=116xi為了提高產(chǎn)品質(zhì)量，該廠計劃通過增加生產(chǎn)工序來改進生產(chǎn)工藝，已知增加生產(chǎn)工序每年需花費30萬元，改進后該條生產(chǎn)線產(chǎn)能不變，但生產(chǎn)出的每件產(chǎn)品工藝質(zhì)量指標(biāo)值均提高0.05．（1）若將隨機抽取的16件產(chǎn)品中各等級產(chǎn)品的頻率視為概率，估計改進后該廠的年收益是否增加，并說明理由．（一年按365天計算）（2）根據(jù)隨機抽取的16件產(chǎn)品的工藝質(zhì)量指標(biāo)值，估計改進后該廠一天生產(chǎn)的所有產(chǎn)品的工藝質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和方差．

答案解析部分1．【答案】A【知識點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【解析】【解答】由題意可得：z=4+3i1+2i=4+3i1?2i2．【答案】C【知識點】平面向量的坐標(biāo)運算；平面向量垂直的坐標(biāo)表示【解析】【解答】由題意可知：a→+λb→=2+λ，?λ，

因為a+λb與b垂直，則2+λ+λ=0，解得3．【答案】B【知識點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差【解析】【解答】由題意可知：x=方差s2=110[(495?500)2所以質(zhì)量位于x?s與x+s之間的白糖袋數(shù)有故答案為：B

【分析】根據(jù)題意求平均數(shù)和方差，進而可得x?s=496，4．【答案】D【知識點】互斥事件與對立事件；互斥事件的概率加法公式；相互獨立事件的概率乘法公式；并（和）事件與交（積）事件【解析】【解答】對于A：若B?A，則P(A∪B)=PA=0.7，P(AB)=PB=0.2，故A錯誤；

對于B：若A，B互斥，即A∩B=?，則P(A∪B)=PA+PB=0.9，P(AB)=0，故B錯誤；

對于C：若A與B相互獨立，則P(AB)=PAPB=0.14，

所以P(A∪B)=PA+PB?PAB=0.5．【答案】B【知識點】共線（平行）向量；平面向量的基本定理；平面向量數(shù)量積定義與物理意義；平面向量的數(shù)量積運算；利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系【解析】【解答】對于A：若b→=0→，則對任意a→，c→，均有a∥b，b∥c，但不一定有a∥c，故A錯誤；

對于B：因為a?b=a?c，等價于a→·(b→?c→)=0，等價于a⊥(b?c)，

所以a?b=a?c是a⊥(b?c)的充要條件，故B正確；

對于C：因為a→6．【答案】C【知識點】頻率分布直方圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征；用樣本估計總體的百分位數(shù)【解析】【解答】有頻率分布直方圖可知每組的頻率分別為：0.12，0.18，0.3，0.22，0.12，0.06，

對于A：因為用電量最大為350，最小為50，所以極差為350?50=300，

小區(qū)用電量平均數(shù)為75×0.12+125×0.18+175×0.3+225×0.22+275×0.12+325×0.06=186，故A錯誤；對于B：因為第三組的頻率最大，小區(qū)用電量眾數(shù)為150+2002又因為0.12+0.18=0.3<0.5，0.12+0.18+0.3=0.6>0.5，可知小區(qū)用電量中位數(shù)在[150，200)，設(shè)為m，則0.3+(m?150)×0.0060=0.5，解得m=550對于C：因為0.12+0.18+0.3+0.22=0.82<0.85，0.12+0.18+0.3+0.22+0.12=0.94>0.85，則估計小區(qū)居民月用電量的85%分位數(shù)在[250，300)，設(shè)為x，則0.82+(x?250)×0.0024=0.85，解得x=262.5，故C正確；對于D：樣本中小區(qū)用電量不小于250kW·h的頻率為0.12+0.06=0.18，所以小區(qū)用電量不小于250kW·h的約有2000×0.18=360戶，故D錯誤.故答案為：C．

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖求各組的頻率，進而結(jié)合眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、極差和百分位數(shù)的概念逐項分析判斷.7．【答案】B【知識點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱/圓錐/圓臺/球）的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺的體積【解析】【解答】設(shè)圓錐底面半徑為R，高為H，因為圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，則2πR=12×2πa，解得R=12a設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，如圖所示，

因為?H=R?rR則圓柱的側(cè)面積S=2πr?=3當(dāng)且僅當(dāng)2r=a?2r，即r=a4時，等號成立，可得?=32(a?2×14

【分析】設(shè)圓錐底面半徑為R，高為H，根據(jù)題意結(jié)合側(cè)面展開圖為半圓可得R=12a，設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，再結(jié)合圓錐的結(jié)構(gòu)特征可得?=8．【答案】D【知識點】平面向量減法運算；平面向量的基本定理；平面向量數(shù)量積定義與物理意義；平面向量的數(shù)量積運算【解析】【解答】由題意可知：OM→=x1e1→可得MN→=x1?所以坐標(biāo)系中M(x1，(x故答案為：D.

【分析】根據(jù)題意可得OM→=x9．【答案】B,C【知識點】復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的表示；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算；復(fù)數(shù)的模；共軛復(fù)數(shù)【解析】【解答】對于A：取x=0，y=1，θ=0，則z1=i，z2=1，可知：z1+顯然(z對于B：因為z22=(cosθ+isinθ所以復(fù)平面內(nèi)z22對應(yīng)的點的集合是標(biāo)準(zhǔn)的單位圓，故B正確；

對于C：因為z1+z2=x+cosθ所以z1對于D：因為在復(fù)平面內(nèi)z1，i對應(yīng)的點為Px，y，C0，1，

由|故答案為：BC.

【分析】對于A：取特值檢驗；對于B：根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法可得z210．【答案】A,B,D【知識點】古典概型及其概率計算公式【解析】【解答】設(shè)a，b為連續(xù)連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次的結(jié)果，其中a為第一次的結(jié)果，b第二次的結(jié)果，

可知拋擲這個正四面體木塊兩次，所得總的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，

共16個基本事件，事件A=”(1，1)，(1，3)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(4，2)，(4，4)“，共8個基本事件，事件B=”(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)“，共8個基本事件，事件C=”(1，2)，(1，4)，(2，2)，(2，4)，(3，2)，(3，4)，(4，2)，(4，4)“，共8個基本事件，事件AB=”(2，2)，(2，4)，(4，2)，(4，4)“，共4個基本事件，事件BC=”(2，2)，(2，4)，(4，2)，(4，4)“，共4個基本事件，事件AC=”(2，2)，(2，4)，(4，2)，(4，4)“，共4個基本事件，事件ABC=”(2，2)，(2，4)，(4，2)，(4，4)“，共4個基本事件，可知P(A)=P(B)=P(C)=8且P(A)P(B)P(C)=1故答案為：ABD.

【分析】根據(jù)題意列舉所有基本事件，以及事件A，B，C，AB，BC，AC，ABC包含的基本事件，結(jié)合古典概型運算求解，逐項分析判斷.11．【答案】B,C【知識點】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)；輔助角公式【解析】【解答】由題意可得：f(x)==cos對于A：因為fπ4=2cos3π對于B：因為f?3π8=2cos對于C：因為[?π8，3π8]，則2x+π4∈[0，π]對于D：令x=0，則f(x+π2)=f(所以f(x+π故答案為：BC.

【分析】根據(jù)三角恒等變換整理得fx=212．【答案】C,D【知識點】平行公理；異面直線及其所成的角；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)【解析】【解答】對于A，取CD的中點為G，連接EG，設(shè)AC∩EG=O，連接D1因為O為EG，AC的中點，則EO∥AD，EO=1又因為F為A1D1可得EO∥FD1，EO=FD1，所以四邊形FD1OE是平行四邊形，則因為AD1=AC=CD1，可知△ACD1是正三角形，

且O是AC的中點，則∠OD1對于B：因為AB∥C所以四邊形ABC1D由選項A可知：EF∥D1O，所以直線EF與BC1所成的角為由選項A可知：△ACD1是正三角形，O是AC的中點，所以對于C：連接A1因為AB⊥平面AA1D又因為AD1⊥A1D，設(shè)AB=2，由F是A1D1的中點，所以F到平面AB所以直線EF與平面ABC1所成的角的正弦值為對于D，連接B1因為BB1⊥平面A1B1C1D1，則BB1⊥A1C1，

且A1C1⊥B1D1，BB1∩B1D1=所以直線B1D與平面A1故答案為：CD.

【分析】對于A：取CD的中點為G，連接EG，設(shè)AC∩EG=O，連接D1O，AD1，分析可知直線EF與CD1所成的角為∠OD1C（或其補角），進而分析求解；對于B：分析可知：直線EF與BC1所成的角為∠AD113．【答案】?1+3【知識點】復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的表示；復(fù)數(shù)的?！窘馕觥俊窘獯稹坑深}意可設(shè)：z=a+bi，a<0，b>0，因為|z|=a2+b2=2，所以故答案為：?1+3

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及模長公式分析求解.14．【答案】3【知識點】平面向量數(shù)量積定義與物理意義；平面向量的投影向量【解析】【解答】由題意可得：e→=1，即e為單位向量，則a→·e→=6×1×32=33，

所以向量a在向量e15．【答案】3【知識點】直線與平面平行的判定；平面與平面平行的判定；平面與平面平行的性質(zhì)【解析】【解答】連接EG，EF，GF，A由題意可知：A1E∥DG，A1E=DG且A1D?平面EFG，EG?平面EFG，所以又因為DP∥平面EFG，A1D∩DP=D，所以平面且平面A1DP∩平面A1B1C1因為E，F(xiàn)分別是線段AB1，B1所以點D與滿足題意的點P構(gòu)成的平面截長方體所得截面的面積為△DA由題意可得：DA1=可得邊DA1上的高為所以所得截面的面積為12故答案為：32

【分析】根據(jù)線面平行、面面平行的判定定理可得平面A1DP∥平面EFG，結(jié)合面面平行的性質(zhì)可得A116．【答案】3【知識點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)；三角函數(shù)模型的其他應(yīng)用【解析】【解答】由題意可知：DE⊥l1，DE⊥l2，設(shè)∠BAE=θ，

1.當(dāng)點B，C位于直線DE同側(cè)時或直線DE上，則θ∈0，π3，因此△ABC的面積S△ABC=12×?1cosθ×?2cos(60°?θ)×32

=3?2.當(dāng)B，C位于直線DE兩側(cè)時，則θ∈π3，π2，∠CAD=θ?60°，

因此△ABC的面積S△ABC=12×?1cosθ×?2cos(θ?60°)×32

=3?1?24cosθ1故答案為：33

【分析】設(shè)∠BAE=θ，分類討論B，C與直線DE的位置關(guān)系，用θ表示AB，AC，利用面積公式結(jié)合三角恒等變換整理得S△ABC17．【答案】（1）解：∵x∈[0，π4因為tan(2x+π3解得x∈[0，（2）證明：函數(shù)g(x)=tan(2x+π3)圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，解析式變?yōu)?(x)=tan=1+故原等式成立.【知識點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；函數(shù)y=Atan（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)【解析】【分析】(1)以2x+π3為整體，結(jié)合正切函數(shù)運算求解；

(2)根據(jù)三角函數(shù)圖象變換可得18．【答案】（1）解：在△ACD中，∠ADC=∠BDA+∠BDC=105°，∠ACD=45°，所以∠CAD=30°，又CD=a，所以由CDsin30°=在△BCD中，∠BCD=∠ACB+∠ACD=105°，∠BDC=30°，所以∠CBD=45°，又sin105°=所以由BDsin105°=在△ABD中，∠BDA=75°，cos∠BDA=所以A=2a則AB=8+2（2）解：在△COD中，∠ACD=45°，∠BDC=30°，則∠COD=105°，由OCsin30°=ODsin所以在△AOD中，∠BDA=75°，sin75°=則S△AOD在△BOC中，∠BOC=180°?∠COD=75°，BO=BD?DO=3則S△BOC所以S1【知識點】兩角和與差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的幾何計算【解析】【分析】(1)在△ACD中，利用正弦定理可得AD=2a，在△BCD中，利用正弦定理可得BD=3+12a，在△ABD中，利用余弦定理運算求解；

(2)分別在19．【答案】（1）證明：取AB的中點D，連接PD，CD，

在△ABB1中，因為P，D分別為AB1，正三棱柱ABC?A1B因為Q為棱CC1的中點，所以CQ∥BB于是PD∥CQ，所以四邊形PDCQ為平行四邊形，從而PQ∥CD，又因為CD?平面ABC，PQ?平面ABC，所以（2）解：取BC的中點E，連接AE，因為AB＝AC，所以AE⊥BC，正三棱柱ABC?A1B1C1中，又BC∩BB1=B，BC，B點P為線段AB1的中點，則點P到平面BCC則多面體B1PCQ的體積【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)【解析】【分析】(1)根據(jù)題意可得PQ∥CD，進而結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；

(2)根據(jù)線面垂直的判定定理可得AE⊥平面BCC20．【答案】（1）解：設(shè)Ak=“一年內(nèi)需要維修k次”，k=0，因為一年內(nèi)需要維修1次的占15%，維修2次的占6%，維修3次的占4%，所以P(AP(P(（2）解：這2臺計算機保修期內(nèi)維修次數(shù)總和不超過2次，則兩臺均未維修或1臺維修0次另1臺維修1次，或1臺維修0次另1臺維修2次，或2臺各維修1次，所以，這2臺計算機保修期內(nèi)維修次數(shù)總和不超過2次的概率為P=0.【知識點】互斥事件與對立事件；互斥事件的概率加法公式；相互獨立事件的概率乘法公式；并（和）事件與交（積）事件【解析】【分析】(1)設(shè)Ak=“一年內(nèi)需要維修k次”，k=0，21．【答案】（1）證明：在四棱錐P?ABCD中，由正方形ABCD，得AD=BC，而PA=PB=2，∠PAD=∠PBC則△PAD≌△PBC，有PD=PC，又E為CD的中點，OD=OC，于是PE⊥CD，而PE∩OE=E，PE，OE?平面POE，因此CD⊥平面POE，又所以平面POE⊥平面ABCD.（2）解：在四棱錐P?ABCD中，延長EO交AB于F，連接PF，如圖，由于正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為CD的中點，則F為AB的中點，有EF⊥AB，PF⊥AB，于是∠PFE是側(cè)面PAB與底面ABCD所成二面角，令由（1）知CD⊥平面PFE，而CD?平面PCD，則平面PFE⊥平面PCD，在平面PFE內(nèi)過F作FH⊥PE于H，而平面PFE∩平面PCD=PE，于是FH⊥平面PCD，又AB//CD，CD?平面PCD，AB?平面PCD，則因此點A到平面PCD距離等于