第7章《銳角三角函數(shù)》知識(shí)講練（教師版）

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)章節(jié)知識(shí)講練知識(shí)點(diǎn)01：銳角三角函數(shù)

1.正弦、余弦、正切的定義

如右圖、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果銳角A確定：

(1)sinA=，這個(gè)比叫做∠A的正弦.

(2)cosA=，這個(gè)比叫做∠A的余弦.

(3)tanA=，這個(gè)比叫做∠A的正切.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)正弦、余弦、正切是在一個(gè)直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線(xiàn)段的比值，它只是一個(gè)數(shù)值，其大小只與銳角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形的大小無(wú)關(guān).

(2)sinA、cosA、tanA是一個(gè)整體符號(hào)，即表示∠A三個(gè)三角函數(shù)值，書(shū)寫(xiě)時(shí)習(xí)慣上省略符號(hào)“∠”，

但不能寫(xiě)成sin·A，對(duì)于用三個(gè)大寫(xiě)字母表示一個(gè)角時(shí)，其三角函數(shù)中符號(hào)“∠”不能省略，應(yīng)寫(xiě)成sin∠BAC，而不能寫(xiě)出sinBAC.

(3)sin2A表示(sinA)2，而不能寫(xiě)成sinA2.

(4)三角函數(shù)有時(shí)還可以表示成等.

2.銳角三角函數(shù)的定義

銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

1.函數(shù)值的取值范圍對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，所以sinA是∠A的函數(shù).同樣，cosA、tanA也是∠A的函數(shù)，其中∠A是自變量，sinA、cosA、tanA分別是對(duì)應(yīng)的函數(shù).其中自變量∠A的取值范圍是0°＜∠A＜90°，函數(shù)值的取值范圍是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.

2．銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：

余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；

同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2A＋cos2A=1；tanA=

3.30°、45°、60°角的三角函數(shù)值∠A30°45°60°sinAcosAtanA1

30°、45°、60°角的三角函數(shù)值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形為本章重中之重，是幾何計(jì)算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數(shù)值記熟練.

知識(shí)點(diǎn)02：解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形．

解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：

角角關(guān)系：兩銳角互余，即∠A+∠B=90°；

邊邊關(guān)系：勾股定理，即；

邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來(lái)只有下列兩種情形：

(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；

(2)已知一條邊和一個(gè)銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角)．這兩種情形的共同之處：有一條邊．因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．

知識(shí)點(diǎn)03：解直角三角形的應(yīng)用

解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵.1.解這類(lèi)問(wèn)題的一般過(guò)程

(1)弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過(guò)作垂線(xiàn)構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.

(4)得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問(wèn)題的解.

2.常見(jiàn)應(yīng)用問(wèn)題

(1)坡度：；坡角:.

(2)方位角：

(3)仰角與俯角：

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

1．解直角三角形的常見(jiàn)類(lèi)型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對(duì)邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，

2．用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本方法是：

把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題(解直角三角形)，就是要舍去實(shí)際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形(點(diǎn)、線(xiàn)、角等)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系．

借助生活常識(shí)以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題．

當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角三角形再求解?/p>

3．銳角三角函數(shù)的應(yīng)用

用相似三角形邊的比的計(jì)算具有一般性，適用于所有形狀的三角形，而三角函數(shù)的計(jì)算是在直角三角形中解決問(wèn)題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過(guò)程簡(jiǎn)潔。

如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函數(shù)值相等進(jìn)行代換很簡(jiǎn)單：

∵

∴

∵

∴

∵

∴一．選擇題（共10小題，滿(mǎn)分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?梁溪區(qū)校級(jí)二模）小明家的花灑的實(shí)景圖及其側(cè)面示意圖分別如圖1、圖2所示，花灑安裝在離地面高度160厘米的A處，花灑AD的長(zhǎng)度為20厘米．已知花灑與墻面所成的角∠BAD＝120°，當(dāng)花灑噴射出的水流CD與花灑AD成90°的角時(shí)，水流噴射到地面的位置點(diǎn)C與墻面的距離為（）A．厘米 B．200厘米 C．厘米 D．170厘米解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AB交CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，依題意得：∠BAD＝120°，∠D＝90°，AB⊥BC，AB＝160厘米，AD＝20厘米，∵AE⊥AB，EF⊥BC，AB⊥BC，∴四邊形ABFE為矩形，∴AE＝BF，AB＝EF＝160厘米，∠BAE＝∠AEF＝90°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠DAE﹣∠D＝60°，∴∠CEF＝180°﹣∠AED﹣∠AEF＝30°，在Rt△ADE中，AD＝20厘米，∠DAE＝30°，，∴（厘米），∴，在Rt△EFC中，∠CEF＝30°，EF＝160厘米，，∴（厘米），∴（厘米）．∴水流噴射到地面的位置點(diǎn)C與墻面的距離為厘米．故選：A．2．（2分）（2023?武進(jìn)區(qū)一模）10個(gè)全等的小正方形拼成如圖所示的圖形，點(diǎn)P、X、Y、S是小正方形的頂點(diǎn)，Q是邊XY上一點(diǎn)．T是PQ與SY的交點(diǎn)，若線(xiàn)段PQ恰好將這個(gè)圖形分成面積相等的兩個(gè)部分，則tan∠QTY的值為（）A． B． C． D．解：設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為1，QY＝x，則QM＝QY+MY＝x+1，∵線(xiàn)段PQ恰好將這個(gè)圖形分成面積相等的兩個(gè)部分，∴，∴，∴，∴，∴，∵TY∥PM，∴∠QTY＝∠QPM，∴，故選：B．3．（2分）（2023?儀征市模擬）如圖，?點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣2，1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，4），將線(xiàn)段AB繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)線(xiàn)段A′B′，若點(diǎn)A′恰好落在x軸上，則∠B'A′O的正弦值為（）A． B． C． D．解：如圖，連接OA，OB′，過(guò)點(diǎn)B′作B′H⊥x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AT⊥OB于點(diǎn)T．∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣2，1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，4），∴AT＝2，OT＝1，OB＝4，∴OA＝＝，BT＝OB﹣OT＝4﹣1＝3．∴OA＝OA′＝，AB＝＝．∵S△OA′B′＝S△OAB＝×4×2＝4，∴OA'?B'H＝4．∴B′H＝＝．又A'B'＝AB＝，∴sin∠B'A′O＝＝＝．故選：D．4．（2分）（2023?宜興市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)P（﹣a，a）（a＞0），連接AP交y軸于點(diǎn)B．若AB：BP＝2：1．則sin∠PAO的值是（）A． B． C． D．解：作PC⊥x軸于點(diǎn)C，∵點(diǎn)P（﹣a，a）（a＞0），∴OC＝a，PC＝a．∵AB：BP＝2：1，∴AB：AP＝2：3．∵BO⊥x軸，PC⊥x軸，∴BO∥PC，∴＝＝2，＝＝，∴AO＝2a，BO＝，∴AB＝＝a，∴sin∠PAO＝＝＝．故選：C．5．（2分）（2023?漣水縣一模）如圖，A，B，C是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，連接AC，AB，則tan∠BAC的值是（）A． B． C． D．解：如圖，作CE⊥AB于E，設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為1，則易證△BEC是等腰直角三角形，∴CE＝BE＝，AB＝＝3，∴AE＝AB﹣BE＝3﹣＝，在Rt△AEC中，tan∠EAC＝＝＝．∴tan∠BAC的值是．故選：D．6．（2分）（2023?姑蘇區(qū)校級(jí)二模）如圖，小明在點(diǎn)A處仰頭45°看到一架直升機(jī)正從點(diǎn)B處沿水平BC方向飛行，此刻望向樓頂D處的仰角為60°，于是他立即在原地用時(shí)2秒拿出手機(jī)開(kāi)始錄像．已知錄制開(kāi)始時(shí)直升機(jī)已駛至小明正上方點(diǎn)C處，若直升機(jī)繼續(xù)在同一水平高度上勻速飛行，那么它被大樓遮住之前，能錄像的時(shí)長(zhǎng)為（）A．2秒 B．秒 C．秒 D．條件不足，無(wú)法計(jì)算解：延長(zhǎng)BC交AD于E點(diǎn)，如圖，設(shè)直升機(jī)的飛行速度為x米/秒，直升機(jī)從C點(diǎn)飛到E點(diǎn)用了t秒根據(jù)題意得BC＝2x（米），CE＝xt（米），在Rt△ABC中，∵∠B＝45°，∴AC＝BC＝2x，在Rt△ACE中，∵∠CAE＝30°，∴AC＝CE，即2x＝xt，解得t＝，所以直升機(jī)被大樓遮住之前，能錄像的時(shí)長(zhǎng)為秒．故選：C．7．（2分）（2023?惠山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在點(diǎn)F處，看建筑物頂端D的仰角為32°，向前走了6米到達(dá)點(diǎn)E即EF＝6米，在點(diǎn)E處看點(diǎn)D的仰角為64°，則CD的長(zhǎng)用三角函數(shù)表示為（）A．6sin32° B．6tan64° C．6tan32° D．6sin64°解：∵∠F＝32°，∠DEC＝64°，∴∠EDF＝∠DEC﹣∠F＝32°，∴DE＝EF＝6，由題可知，△DCE為直角三角形，在Rt△DCE中，，即：，∴CD＝6?sin64°，故選：D．8．（2分）（2023?宿城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)A、B、C均在4x4的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tan∠BAC＝（）A． B． C． D．解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D．由格點(diǎn)三角形可知：AC＝＝4，AB＝＝2．∵S△ABC＝×4×4﹣×4×2＝8﹣4＝4，S△ABC＝AC?BD＝×4×BD＝2BD．∴2BD＝4，∴BD＝．∴AD＝＝＝3．∴tan∠BAC＝＝＝．故選：A．9．（2分）（2023?邗江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，D是AC的中點(diǎn)，AC＝8，，則sin∠DBA等于（）A． B． C． D．解：過(guò)D作DE⊥AB于E，∵D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD＝AC＝8＝4，，tanA＝＝，AC＝8，∴BC＝4，∵∠C＝90°，∴BD2＝CD2+BC2＝42+42＝32，∴BD＝4，∵tanA＝＝，∴令DE＝x，AE＝2x，∴AD＝＝x＝4，∴x＝，∴DE＝，∴sin∠ABD＝＝．故選：B．10．（2分）（2023?宿城區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，1＜AC＜5，tan∠ABC＝2．分別以點(diǎn)C，A為圓心，以2和3為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D（點(diǎn)D在A(yíng)C的左側(cè)），連接BD，則BD的最大值為（）A． B． C． D．解：tan∠ABC＝2，則，設(shè)BC＝a，AC＝2a，由AB2＝BC2+AC2，可得，則，作∠ADE＝90°，且，連接AE，BE，DE，由可知，，∵tan∠ABC＝2，即，∴，∴tan∠BAC＝tan∠DAE，即∠BAC＝∠DAE，則：∠BAC﹣∠CAE＝∠DAE﹣∠CAE，∴∠DAC＝∠EAB，∵∠BAC＝∠DAE，∴，即：，∴，∴△ADC∽△AEB，∴，∵DC＝2，∴，由題意可知，，當(dāng)B、E、D在同一直線(xiàn)上時(shí)取等號(hào)，即：BD的最大值為：，故選：C．二．填空題（共10小題，滿(mǎn)分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC＝．解：連接AC，由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，則BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案為：．12．（2分）（2023?建鄴區(qū)一模）如圖①，有一個(gè)圓柱形的玻璃杯，底面直徑AB是20cm，高30cm，杯內(nèi)裝有一些溶液．如圖2，將玻璃杯繞點(diǎn)B傾斜，液面恰好到達(dá)容器頂端時(shí)，AB與水平線(xiàn)l的夾角為30°．則圖①中液面距離容器頂端cm．解：圖②截面如圖：∵AB與水平線(xiàn)l的夾角∠PAB為30°，CD∥AB，∴∠PBC＝∠PBA+∠ABC＝30°+90°＝120°，∵CF∥PB，∴∠PBC+∠BCF＝180°，∴∠BCF＝60°，∴∠DCF＝30°，∵CD＝AB＝20cm，∴DF＝＝，∵玻璃杯高30cm，∴玻璃杯中液體體積為π×（）2×30﹣×π×（）2×＝3000π﹣π，設(shè)圖①中液面距離容器底端xcm，則距離頂端（30﹣x）cm，根據(jù)題意得：π×（）2?x＝3000π﹣π，解得：x＝30﹣，∴圖①中液面距離容器頂端30﹣（30﹣）＝cm；故答案為：．13．（2分）（2023?邗江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC＝6，點(diǎn)D、E、F分別在A(yíng)C、BC、AB邊上，且DE⊥EF，tan∠EDC＝2，則△DEF的面積最大值．解：由tan∠EDC＝2，設(shè)CD＝x，∴CE＝2x．∴DE＝x．如圖，作FH⊥BE，垂足為H，設(shè)EH＝y(tǒng)，∵DE⊥EF，∠C＝90o，∴∠FEH+∠DEC＝90°，∠EDC+∠DEC＝90°．∴∠FEH＝∠EDC．∴tan∠FEH＝tan∠EDC＝2．∴FH＝2y．∴EF＝y(tǒng)．∵∠FHB＝90°，∠B＝45°，∴FH＝BH＝2y．∵CE+EH+BH＝BC＝6，∴2x+y+2y＝6．∴y＝2﹣x．∴S△DEF＝＝﹣（x﹣）2+．∴當(dāng)x＝時(shí)，△DEF的面積有最大值為．故答案為：．14．（2分）（2023?南通二模）圖1為放在水平地面上的落地式話(huà)筒架實(shí)物圖，圖2為其示意圖，支撐桿AB垂直于地面l，活動(dòng)桿CD固定在支撐桿上的點(diǎn)E處，若∠AED＝48°，BE＝110cm，DE＝80cm，則活動(dòng)桿端點(diǎn)D離地面的高度DF＝164cm．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）?解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，則四邊形BFDG為矩形，∴BG＝DF，在Rt△DEG中，DE＝80cm，∠GED＝48°，∴EG＝DE?cos∠GED＝80×0.67≈53.6（cm），∴BG＝BE+EG＝110+53.6＝163.6≈164（cm），∴DF＝BG＝164cm．故答案為：164．15．（2分）（2023?惠山區(qū)三模）北京冬奧會(huì)雪上項(xiàng)目競(jìng)賽場(chǎng)地“首鋼滑雪大跳臺(tái)”巧妙地融入了敦煌壁畫(huà)“飛天”元素．如圖，賽道剖面圖的一部分可抽象為線(xiàn)段AB．已知坡AB的長(zhǎng)為30m，坡角∠ABH約為37°，則坡AB的鉛直高度AH約為18m．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）解：在Rt△ABH中，∠ABH＝37°，AB＝30m，∵sin∠ABH＝，∴AH＝AB?sin∠ABH≈30×0.60＝18（m），故答案為：18．16．（2分）（2023?鹽都區(qū)二模）如圖是某高鐵站扶梯的示意圖，扶梯AB的坡度i＝5：12．李老師乘扶梯從底端A以0.5m/s的速度用時(shí)40s到達(dá)頂端B，則李老師上升的垂直高度BC為．解：設(shè)BC＝5xm，∵扶梯AB的坡度i＝5：12，∴AC＝12xm，由題意得：AB＝0.5×40＝20（m），由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即（12x）2+（5x）2＝202，解得：x1＝，x2＝﹣（舍去），則BC＝5x＝（m），故答案為：．17．（2分）（2022秋?桐柏縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過(guò)點(diǎn)B作CD的垂線(xiàn)，交CD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．已知AC＝30，．則sin∠DBE的值為．解：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，在Rt△ABC中，AC＝30，，∴AB＝＝＝50，∴BC＝＝＝40，∵D是AB的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝25，∵△ABC的面積＝AB?CF＝AC?CB，∴AB?CF＝AC?CB，∴50CF＝30×40，∴CF＝24，在Rt△CDF中，DF＝＝＝7，∴sin∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴sin∠DBE＝sin∠DCF＝，故答案為：．18．（2分）（2023?崇川區(qū)校級(jí)三模）如圖，某學(xué)校數(shù)學(xué)探究小組利用無(wú)人機(jī)在操場(chǎng)上開(kāi)展測(cè)量教學(xué)樓高度的活動(dòng)，此時(shí)無(wú)人機(jī)在高地面30米的點(diǎn)D處，操控者站在點(diǎn)A處，無(wú)人機(jī)測(cè)得點(diǎn)A的俯角為30°．測(cè)得教學(xué)樓樓頂點(diǎn)C處的俯角為45°，操控者和教學(xué)樓BC的距離為60米，則教學(xué)樓BC的高度是（）米．解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE于F，由題意得AB＝60，DE＝30，∠DAB＝30°，∠DCF＝45°，在Rt△ADE中，tan∠DAE＝tan30°＝，∴，∴，∵CB⊥BE，F(xiàn)E⊥BE，CF⊥EF，∴四邊形BCFE為矩形，∴，在Rt△DFC中，∠DCF＝45°，∴∠CDF＝90°﹣∠DCF＝45°＝∠DCF，∴，∴（米）．∴教學(xué)樓BC的高度為米，故答案為：（）．19．（2分）（2023?海安市模擬）如圖，一艘輪船在A(yíng)處測(cè)得燈塔C在北偏西15°的方向上，該輪船又從A處向正東方向行駛100海里到達(dá)B處，測(cè)得燈塔C在北偏西60°的方向上，則輪船在B處時(shí)與燈塔C之間的距離（即BC的長(zhǎng)）為（50+50）海里．解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，由題意得：∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠CAB＝90°+15°＝105°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝45°，在Rt△ADB中，AB＝100海里，∴AD＝AB＝50（海里），BD＝AD＝50（海里），在Rt△ACD中，CD＝＝50（海里），∴BC＝BD+CD＝（50+50）海里，∴輪船在B處時(shí)與燈塔C之間的距離（即BC的長(zhǎng)）為（50+50）海里，故答案為：（50+50）．20．（2分）（2020?鼓樓區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝6，過(guò)點(diǎn)C的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，且CD＝BE，則OC的最小值為．解：連接OC，OE，OD，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于H．設(shè)CD＝BE＝x．∵∠DOE＝2∠ACB＝120°，OD＝OE＝OC，∴DE＝OC，∴當(dāng)DE最小時(shí)，OC的值最小，在Rt△CEH中，∠EHC＝90°，EC＝6﹣x，∠ECH＝60°，∴CH＝EC＝3﹣x，EH＝EC?sin60°＝3﹣x，∴DH＝CD﹣CH＝x﹣（3﹣x）＝x﹣3，∴DE＝＝＝＝，∵3＞0，∴x＝3時(shí)，DE的值最小，最小值為3，∴OC的最小值＝DE＝，故答案為：．三．解答題（共8小題，滿(mǎn)分60分）21．（6分）（2023春?興化市月考）隨著科技的發(fā)展，無(wú)人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)和生活，如代替人們?cè)诟呖諟y(cè)量距離和角度．某?！熬C合與實(shí)踐”活動(dòng)小組的同學(xué)要測(cè)量AB，CD兩座樓之間的距離，他們借助無(wú)人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：無(wú)人機(jī)在A(yíng)B，CD兩樓之間上方的點(diǎn)O處，點(diǎn)O距地面AC的高度為66m，此時(shí)觀(guān)測(cè)到樓AB底部點(diǎn)A處的俯角為70°，樓CD上點(diǎn)E處的俯角為30°，沿水平方向由點(diǎn)O飛行24m到達(dá)點(diǎn)F，測(cè)得點(diǎn)E處俯角為60°，其中點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，O均在同一豎直平面內(nèi)．（1）求EF的長(zhǎng)；（2）求樓AB與CD之間的距離AC的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73）．解：（1）延長(zhǎng)AB，CD分別與直線(xiàn)OF交于點(diǎn)G和點(diǎn)H，則AG＝66m，GH＝AC，∠AGO＝∠EHO＝90°，∵∠HFE是△OFE的一個(gè)外角，∴∠OEF＝∠HFE﹣∠FOE＝30°，∴∠FOE＝∠OEF＝30°，∴EF＝OF＝24m；（2）在Rt△AGO中，∠AOG＝70°，∴OG＝≈＝24（m），在Rt△EFH中，∠HFE＝60°，∴FH＝EF?cos60°＝24×＝12（m），∴AC＝GH＝OG+OF+FH＝24+24+12＝60（m），∴樓AB與CD之間的距離AC的長(zhǎng)約為60m．22．（6分）（2023?沛縣三模）科技改變生活，科技服務(wù)生活．如圖為一新型可調(diào)節(jié)洗手裝置側(cè)面示意圖，可滿(mǎn)足不同人的洗手習(xí)慣，AM為豎直的連接水管，當(dāng)出水裝置在A(yíng)處且水流AC與水平面夾角為63°時(shí)，水流落點(diǎn)正好為水盆的邊緣C處；將出水裝置水平移動(dòng)10cm至B處且水流與水平面夾角為30°時(shí)，水流落點(diǎn)正好為水盆的邊緣D處，MC＝AB．（1）求連接水管AM的長(zhǎng)．（結(jié)果保留整數(shù)）（2）求水盆兩邊緣C，D之間的距離．（結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0，≈1.73）解：（1）∵M(jìn)C＝AB＝10cm，∠ACM＝63°，∴AM＝MC?tan∠ACM＝MC?tan63°≈10×2.0＝20cm．答：連接水管AM的長(zhǎng)為20cm．（2）如圖，連接BC．∵AB∥MC，AB＝MC，∴四邊形ABCM為平行四邊形．∵∠AMC＝90°，∴四邊形ABCM為矩形，∴BC＝AM＝20cm，∠BCD＝90°．∵∠BDC＝30°，∴BD＝2BC＝40cm，∴．答：水盆兩邊緣C，D之間的距離為34.6cm．23．（8分）（2023?海陵區(qū)校級(jí)二模）某次科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，小王將某個(gè)棱長(zhǎng)為10cm正方體木塊固定于水平木板OM上，OB＝50cm，將木板OM繞一端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)40°至OM′（即∠MOM′＝40°）（如圖為該操作的截面示意圖）．（1）求點(diǎn)C到C′豎直方向上升高度（即過(guò)點(diǎn)C，C′水平線(xiàn)之間的距離）；（2）求點(diǎn)D到D′豎直方向上升高度（即過(guò)點(diǎn)D，D′水平線(xiàn)之間的距離）．（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，（1）（2）題中結(jié)果精確到個(gè)位）解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)C′作C′E⊥OM于E，根據(jù)題意可得OB＝50cm，BC＝10cm，∴OC＝OB+BC＝60cm，∵木板OM繞一端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)40°至OM′，∴OC′＝OC＝60cm，在Rt△C′EO中，C′E＝OC′?sin40°＝60×0.64≈38cm．答：點(diǎn)C到C′豎直方向上升高度為38cm．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D′作D′F⊥EC′的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，C′E交AD于點(diǎn)H，則四邊形AHBE為矩形，∴HE＝AB＝10cm，∵木板OM繞一端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)40°至OM′，∴C′D＝10cm，∠D′C′B′＝90°，∴∠D′C′F＝90°﹣∠OC′E＝∠C′OC＝40°，在Rt△D′FC′中，C′F＝C′D′?cos40°≈10×0.77＝7.7cm，∴FH＝C′F+（C′E﹣HE）≈7.7+38﹣10≈36cm．答：點(diǎn)D到D′豎直方向上升高度為36cm．24．（8分）（2023?射陽(yáng)縣校級(jí)模擬）生活中，我們經(jīng)常用平均速度的大小來(lái)描述物體的運(yùn)動(dòng)快慢．如圖為某校物理興趣小組利用小球在斜面上運(yùn)動(dòng)模擬汽車(chē)區(qū)間測(cè)速的裝置．先將木板CE墊成傾斜角為12°的斜面，讓小球從E點(diǎn)（此時(shí)小球的速度為0）沿斜面下滑到C點(diǎn)，測(cè)出這一過(guò)程中小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為2秒，再將同樣長(zhǎng)度的木板放置在A(yíng)B處，使點(diǎn)A在CE上，且B，C，D在同一水平線(xiàn)上，測(cè)得BC＝50厘米，此時(shí)傾斜角為8°，按照同樣的條件測(cè)得小球從A點(diǎn)沿斜面運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所用的時(shí)間為4秒．（1）設(shè)小球在EC上運(yùn)動(dòng)的平均速度為vEC，在A(yíng)B上運(yùn)動(dòng)的平均速度為vAB，則vEC＞vAB（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）求木板端點(diǎn)A到BD的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14，sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21）．解：（1）∵EC和AB兩塊木板長(zhǎng)度相同，而從E到C用時(shí)2秒，從A到B用時(shí)4秒，∴小球在EC上運(yùn)動(dòng)的平均速度為vEC＞小球在A(yíng)B上運(yùn)動(dòng)的平均速度為vAB，故答案為：＞；（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，如圖所示，設(shè)AF＝x厘米，在Rt△ACF中，tan∠ACF＝，∴CF＝＝，在Rt△ABF中，tan∠ABF＝，∴BF＝，∵BF﹣CF＝BC＝50厘米，∴，解得x＝21．答：木板端點(diǎn)A到BD的高度為21厘米．25．（8分）（2023?宿豫區(qū)三模）宿遷駱馬湖兩岸風(fēng)光如畫(huà)，大家都喜歡坐游船游覽觀(guān)光．如圖，在某兩段平行航道（不考慮其他因素），甲游船由西向東慢速航行，同時(shí)乙游船由東向西航行，喜愛(ài)數(shù)學(xué)的小華在甲游船到達(dá)點(diǎn)A處時(shí)測(cè)得C處的乙游船在甲游船的北偏東67.4°方向，向前行駛156m到點(diǎn)B處測(cè)得行駛到D處的乙游船在甲游船的北偏東37°方向，CD＝240m，求第二次測(cè)量時(shí)甲、乙兩游船之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F，由題意得：CD＝EF＝240m，DE＝CF，AB＝156m，設(shè)BE＝xm，∴AF＝AB+BE+EF＝（x+396）m，在Rt△BDE中，∠DBE＝90°﹣37°＝53°，∴DE＝BE?tan53°≈x（m），在Rt△ACF中，∠CAF＝90°﹣67.4°＝22.6°，∴CF＝AF?tan22.6°≈（x+396）m，∴x＝（x+396），解得：x＝180，∴BE＝180m，在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，∴BD＝≈＝300（m），∴第二次測(cè)量時(shí)甲、乙兩游船之間的距離約為300m．26．（8分）（2023?徐州二模）如圖，甲、乙兩位旅游愛(ài)好者都從點(diǎn)A出發(fā)，走不同路線(xiàn)探險(xiǎn)，并約定在點(diǎn)C處會(huì)合．甲從點(diǎn)A出發(fā)先沿著正東方向行走1400m到達(dá)點(diǎn)B處，再沿著正北方向行走到達(dá)點(diǎn)C；乙亦從點(diǎn)A出發(fā)，沿著東北方向行走到點(diǎn)D處，再由點(diǎn)D處沿著南偏東60°方向行走400m到達(dá)點(diǎn)C，與甲會(huì)合．（1）求點(diǎn)D到BC的距離；（2）為方便聯(lián)系，甲、乙兩人各攜帶一部對(duì)講機(jī)，對(duì)講機(jī)信號(hào)覆蓋半徑是1200米，當(dāng)甲在點(diǎn)B處，乙恰好在點(diǎn)D處，此時(shí)乙能否收到甲的對(duì)講機(jī)信號(hào)？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，在Rt△DCH中，∠CDH＝90°﹣60°＝30°，CD＝400m，∴DH＝CD?cos30°＝400×＝600（m），∴點(diǎn)D到BC的距離為600m；（2）此時(shí)乙能收到甲的對(duì)講機(jī)信號(hào)，理由：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，連接BD，由題意得：BG＝HD＝600m，∵AB＝1400m，∴AG＝AB﹣BG＝1400﹣6