類型八、平方差的幾何應(yīng)用

類型八、平方差的幾何應(yīng)用【解惑】方法：等積法【融會貫通】1．如圖，將圖1中的一個小長方形變換位置得到如圖2所示的圖形，根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積關(guān)系得到的等式是（

）A． B．C． D．2．在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（）．把余下的部分剪拼成一個矩形（如圖）．通過計算圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，則這個等式是（）A． B．C． D．3．如圖，在邊長為a的正方形中，剪去一個邊長為x的小正方形，將余下部分對稱剪開，拼成一個梯形，根據(jù)兩個圖形陰影部分面積的關(guān)系，可以得到一個關(guān)于a，x的恒等式是（

）A． B．C． D．4．如圖，有兩張正方形紙片和，圖將放置在內(nèi)部，測得陰影部分面積為，圖將正方形和正方形并列放置后構(gòu)造新正方形，測得陰影部分面積為，若將個正方形和個正方形并列放置后構(gòu)造新正方形如圖，圖，圖中正方形紙片均無重疊部分則圖陰影部分面積為（

）A． B． C． D．5．如圖，陰影部分是邊長是a的大正方形剪去一個邊長是b的小正方形后所得到的圖形，將陰影部分通過割、拼，形成新的圖形，給出下列4幅圖割拼方法：其中能夠驗證平方差公式有（

）A．①②③④ B．①③ C．①④ D．①③④【知不足】6．如圖1，在邊長為的大正方形中，剪去一個邊長為3的小正方形，將余下的部分按圖中的虛線剪開后，拼成如圖2所示的長方形．根據(jù)兩個圖形陰影部分面積相等的關(guān)系，可以列出的等式為_________．7．有邊長為的大正方形和邊長為的小正方形，現(xiàn)將放在內(nèi)部得到圖甲，將，并列放置后，構(gòu)造新的正方形得到圖乙，圖甲和圖乙陰影部分的面積分別是和，則（1）根據(jù)圖甲、乙中的面積關(guān)系，可以得到______，______．（2）若個正方形和個正方形按圖丙擺放，陰影部分的面積為______．8．兩個邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖1），其未疊合部分（陰影）面積為；若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個邊長為b的小正方形（如圖2），兩個小正方形疊合部分（陰影）面積為．當(dāng)+＝40時，則圖3中陰影部分的面積＝_____．9．如圖，大正方形與小正方形的面積之差是60，則陰影部分的面積是_____．10．從邊長為的正方形中剪掉一個邊長為的正方形（如圖），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖）．（1）探究：上述操作能驗證的等式是：__________；（請選擇正確的一個）A．B．C．（2）應(yīng)用：利用所選（1）中等式兩邊的等量關(guān)系，完成下面題目：若，，則的值為__________．【一覽眾山小】11．（1）如圖1，若大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，則陰影部分的面積是________；若將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成如圖2的一個長方形，則它的長為________；寬為________；面積為________．（2）由（1）可以得到一個公式：________．（3）利用你得到的公式計算：．12．閱讀理解，自主探究數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．例如：平方差公式“兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，就等于?兩個數(shù)的平方差”，即，平方差公式的幾何意義如下圖所示：圖甲陰影部分面積為，圖乙陰影部分面積為；由于陰影部分面積相同，所以有(1)解決問題：如下圖是完全平方公式的幾何意義，請寫出這個公式________．(2)學(xué)以致用：請解釋的幾何意義．(3)拓展延伸：請解釋的幾何意義，并寫出乘積的結(jié)果．13．如圖1，邊長為的大正方形剪去一個邊長為的小正方形，然后將圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗證的等式是______（用，表示）；(2)請利用你從（1）得出的等式，完成下列各題：①已知，，則______；②計算：．14．綜合與實踐如圖1所示，邊長為的正方形中有一個邊長為的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個長方形，設(shè)圖1中陰影部分面積為，圖2中陰影部分面積為．(1)請直接用含和的代數(shù)式表示__________，__________；寫出利用圖形的面積關(guān)系所得到的公式：__________（用式子表達(dá)）．(2)依據(jù)這個公式，康康展示了“計算：”的解題過程．解：原式．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要學(xué)會觀察，嘗試從不同角度分析問題，請仿照康康的解題過程計算：．(3)對數(shù)學(xué)知識要會舉一反三，請用（1）中的公式證明任意兩個相鄰奇數(shù)的平方差必是8的倍數(shù)．15．從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．(1)上述操作能驗證的等式是

．（請選擇正確的選項）A、B、C、(2)用你選的等式進(jìn)行簡便計算：；(3)用你選的等式進(jìn)行簡便計算：．16．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，借助圖形的直觀性，可以幫助解數(shù)學(xué)問題．(1)請寫出圖1，圖2，圖3陰影部分的面積分別能解釋的數(shù)學(xué)公式．圖1：______；圖2：______；圖3：______．其中，完全平方公式可以從“形”的角度進(jìn)行探究，通過圖形的轉(zhuǎn)化可以解決很多數(shù)學(xué)問題，在圖4中，已知，，求的值．解：∵，∴，又∵，∴，∴.即．類比遷移：(2)若，則______；(3)如圖5，點是線段上的一點，以，為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，陰影部分面積為______．17．?dāng)?shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的學(xué)科，同學(xué)們，我們就用數(shù)形結(jié)合思想來解決下面問題吧!(1)將圖①甲中陰影部分的小長方形變換到圖乙位置，你根據(jù)兩個圖形的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是_________．(2)將圖②甲中陰影部分的一個小長方形變換到圖乙位置，你根據(jù)兩個圖形的面積關(guān)系寫出一個等式：（________）_______．(3)圖③甲是一個長為，寬為的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖③乙那樣拼成一個正方形，則圖③乙中間空余的部分的面積是__________．(4)觀察圖③乙，請你寫出三個代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系是________．(5)根據(jù)（4）中等量關(guān)系解決如下問題：若，，求的值．18．（1）【知識生成】我們已經(jīng)知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如：從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形如圖1，然后將剩余部分拼成一個長方形如圖2．圖1中陰影部分面積為__________，圖2中陰影部分面積為__________，請寫出這個乘法公式__________．（2）【知識應(yīng)用】應(yīng)用（1）中的公式，完成下面任務(wù)：若m是不為0的有理數(shù)，已知，，比較P、Q大小．（3）【知識遷移】事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖3表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據(jù)圖3中圖形的變化關(guān)系，寫出一個代數(shù)恒等式：____________________．19．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，借助圖形的直觀性，可以幫助理解數(shù)學(xué)問題．圖1

圖2

圖3

圖4（1）請寫出圖1，圖2，圖3陰影部分的面積分別能解釋的數(shù)學(xué)公式．圖1：；圖2：；圖3：．其中，完全平方公式可以從“數(shù)”和“形”兩個角度進(jìn)行探究，并通過公式的變形或圖形的轉(zhuǎn)化可以解決很多數(shù)學(xué)問題．例如：如圖4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．方法一：從“數(shù)”的角度解：∵a+b＝3，

∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1

∴a2+b2＝7．方法二：從“形”的角度解：∵a+b＝3，

∴S大正方形=9，又∵ab＝1，

∴S2＝S3＝ab＝1，∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．類比遷移：（2）若（5﹣x）?（x﹣1）＝3，則（5﹣x）2+（x﹣1）2＝；（3）如圖，點C是線段AB上的一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB＝10，兩正方形的面積和S1+S2＝72，求圖中陰影部分面積．20．（1）將圖1中的甲圖從中間按如圖方式剪開，經(jīng)過重新拼接變換到圖乙，比較圖甲與圖乙，寫出得到的公式：；（2）將圖2中的甲圖從中間按如圖方式剪開，經(jīng)過重新拼接變換到圖乙，比較圖甲與圖乙，寫出得到的公式：；（3）根據(jù)圖1、圖2中得到的公式，解決下列問題：①計算：；②若，求的值．21．兩個邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖1），其未疊合部分（陰影）面積為；若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個邊長為b的小正方形（如圖2），兩個小正方形疊合部分（陰影）面積為．(1)用含a，b的代數(shù)式分別表示；(2)若，求的值；(3)當(dāng)時，求出圖3中陰影部分的面積．22．工廠接到訂單，需要邊長為（a+3）和3的兩種正方形卡紙．（1）倉庫只有邊長為（a+3）的正方形卡紙，現(xiàn)決定將部分邊長為（a+3）的正方形紙片，按圖甲所示裁剪得邊長為3的正方形．①如圖乙，求裁剪正方形后剩余部分的面積（用含a代數(shù)式來表示）；②