2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：28 離心率歸類訓(xùn)練（原卷版）

28離心率【題型一】判斷橫放豎放求參【典例分析】已知實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A． B．2 C．或2 D．或【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】依據(jù)橢圓和雙曲線定義好幾何性質(zhì)，對(duì)方程中含參判斷，要從以下幾方面：通過討論，確定焦點(diǎn)在x軸還是在y軸上判斷（即俗稱的橫放還是豎放）?！皺E圓”要注意避開倆分母相等這個(gè)計(jì)算坑【變式演練】1.已知雙曲線的離心率為2，則雙曲線M的漸近線方程是（）A． B． C． D．2.已知曲線C：的離心率，則實(shí)數(shù)m值為（）A．6 B．-6 C． D．3.設(shè)是橢圓的離心率，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【題型二】直接法【典例分析】橢圓上的點(diǎn)到橢圓的焦點(diǎn)的距離的最大值與橢圓的短軸長(zhǎng)相等，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】直接利用橢圓和雙曲線的定義和基礎(chǔ)性質(zhì)求離心率離心率的公式：橢圓；雙曲線【變式演練】1.已知雙曲線的右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為4，且焦距為10，則C的離心率為（）A． B． C． D．2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓上存在點(diǎn)P，使得，其中?分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率取值范圍是（）A． B． C． D．3.設(shè)雙曲線E：的離心率為，直線過點(diǎn)和雙曲線E的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線與圓相切，則（）A． B． C． D．【題型三】補(bǔ)連另一焦點(diǎn)利用定義【典例分析】已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)．其中M在第一象限．，則橢圓C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】橢圓和雙曲線，與一個(gè)焦點(diǎn)有關(guān)，思維上優(yōu)先連接另一焦點(diǎn)，分析是否能借助定義解決?！咀兪窖菥殹?.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為?，直線與交于A?兩點(diǎn)，若，，當(dāng)時(shí)，的離心率的最小值為（

）A． B． C． D．2.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，橢圓上的兩點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)你，且滿足，，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．3.設(shè)橢圓（）的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．過點(diǎn)F且斜率為的直線與C的一個(gè)交點(diǎn)為Q（點(diǎn)Q在x軸上方），且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【題型四】余弦定理1：基礎(chǔ)型【典例分析】已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線漸近線上一點(diǎn)，且(其中為坐標(biāo)原點(diǎn))，交雙曲線于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】一般情況下，焦點(diǎn)三角形，可以構(gòu)造余弦定理?！咀兪窖菥殹?.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在的右支上，與交于點(diǎn)，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．2.設(shè)點(diǎn)，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn).點(diǎn)，分別在雙曲線的左，右支上，若，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與雙曲線左右兩支交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓過，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【題型五】余弦定理2：勾股定理用兩次【典例分析】如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，F(xiàn)是E的右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)PO，PF分別交E于Q，R兩點(diǎn)，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】焦點(diǎn)三角形或者焦點(diǎn)弦，有垂直（或者在圓上）可以構(gòu)造勾股定理，特別是焦點(diǎn)弦，倆交點(diǎn)，可以構(gòu)造兩個(gè)勾股定理?！咀兪窖菥殹?.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交雙曲線C的左支于P，Q兩點(diǎn)，若，且的周長(zhǎng)為，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．2.已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是（

）A． B．2 C． D．3.已知，是雙曲線：的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)傾斜角為30°的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點(diǎn)，.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【題型六】余弦定理3：余弦定理用兩次【典例分析】已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線右支上且不與頂點(diǎn)重合，過作的角平分線的垂線，垂足為．若，則該雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】焦點(diǎn)弦倆交點(diǎn)，可以分開為兩次構(gòu)造余弦定理【變式演練】1.設(shè)分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2.已知梯形ABCD滿足AB∥CD，∠BAD＝45°，以A，D為焦點(diǎn)的雙曲線Γ經(jīng)過B，C兩點(diǎn).若CD＝7AB，則雙曲線Γ的離心率為（

）A． B． C． D．3.．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若且，則橢圓的離心率為（

）.A． B．C． D．【題型七】中點(diǎn)型【典例分析】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過作傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】中點(diǎn)型可以點(diǎn)差法，，點(diǎn)代入法計(jì)算【變式演練】1.已知О為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線C的漸近線交于A、B兩點(diǎn)，其中M為線段OB的中點(diǎn)．O、A、F、M四點(diǎn)共圓，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．22.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn).點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且.若，則雙曲線的離心率是（）A．2 B． C． D．3.已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．若橢圓上存在點(diǎn)，使得線段的垂直平分線恰好經(jīng)過焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【題型八】多曲線交點(diǎn)1：和拋物線【典例分析】已知點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上且滿足，若取最大值時(shí)，點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【變式演練】1.已知點(diǎn)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)Р為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以F，為焦點(diǎn)的橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．2.橢圓N的右焦點(diǎn)F，與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，，則橢圓N的離心率為（

）A． B． C． D．3.已知拋物線的焦點(diǎn)F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且該拋物線的準(zhǔn)線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若是正三角形，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【題型九】多曲線交點(diǎn)2：與圓【典例分析】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，以實(shí)軸為直徑的圓與其中一條漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為，若直線與另一條漸近線平行，則的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．【變式演練】1.如圖，已知，為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作直線，交雙曲線于，，，四點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，且以為直徑的圓過，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2.已知雙曲線與圓在第二象限相交于點(diǎn)分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為(

)A． B． C． D．23.已知，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為M，N，設(shè)四邊形的周長(zhǎng)C與面積S滿足則該雙曲線的離心率的平方為（

）A． B． C． D．【題型十】多曲線交點(diǎn)3：雙曲線和橢圓【典例分析】已知有相同焦點(diǎn)、的橢圓和雙曲線，則橢圓與雙曲線的離心率之積的范圍為（

）A． B． C． D．【變式演練】1.已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共交點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率倒數(shù)之和的最大值為A． B． C．2 D．2.橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，，它們的交點(diǎn)對(duì)兩公共焦點(diǎn)，張的角為.橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則A． B．C． D．3.已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，，，為左焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，P點(diǎn)為它們?cè)诘谝幌笙薜囊粋€(gè)交點(diǎn)，且，設(shè)，分別為橢圓雙曲線離心率，則的最大值為A． B． C． D．【題型十一】雙曲線特性1：漸近線【典例分析】已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別是，，在其漸近線上存在一點(diǎn)，滿足，則該雙曲線離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式演練】1.已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且平分，則的離心率為(

)A．2 B． C．3 D．2.已知雙曲線：（，）的左右焦點(diǎn)分別為、、A為雙曲線的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于、兩點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，若線段交雙曲線于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【題型十二】雙曲線特性2：內(nèi)心【典例分析】已知雙曲線，直線與C交于A、B兩點(diǎn)（A在B的上方），，點(diǎn)E在y軸上，且軸．若的內(nèi)心到y(tǒng)軸的距離為，則C的離心率為（

）.A． B． C． D．【變式演練】1.設(shè)分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上的一點(diǎn)，若的重心和內(nèi)心的連線與x軸垂直，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2.已知雙曲線，的左右焦點(diǎn)記為，，直線過且與該雙曲線的一條漸近線平行，記與雙曲線的交點(diǎn)為P，若所得的內(nèi)切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．3.如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過右焦點(diǎn)作平行于一條漸近線的直線交雙曲線于點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（

）A． B．C． D．【題型十三】難點(diǎn)1：借助向量構(gòu)造【典例分析】已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足，.若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【變式演練】1.已知橢圓的焦點(diǎn)為，，是橢圓上一點(diǎn)，且，若的內(nèi)切圓的半徑滿足，則橢圓的離心率為（

）2.橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交于，兩點(diǎn)，若，，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3.已知雙曲線的虛軸的一個(gè)頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值和最大值時(shí)，的面積分別為，，若，則雙曲線的離心率為（

）．A． B． C． D．【題型十四】難點(diǎn)2：小題大做型【典例分析】已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，A是該橢圓的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l（不與x軸重合）與該橢圓相交于點(diǎn)M，N．記，設(shè)該橢圓的離心率為e，下列結(jié)論正確的是（

）