專題25圓的有關(guān)位置關(guān)系（共70題）-2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編【有答案】【全國通用】（第01期）

2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編【全國通用】（第01期）專題25圓的有關(guān)位置關(guān)系（共70題）一、單選題1．（2021·浙江嘉興市·中考真題）已知平面內(nèi)有和點(diǎn)，，若半徑為，線段，，則直線與的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵⊙O的半徑為2cm，線段OA=3cm，線段OB=2cm，即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，∴點(diǎn)A在⊙O外．點(diǎn)B在⊙O上，∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．2．（2021·四川涼山彝族自治州·中考真題）下列命題中，假命題是（）A．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半B．等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合C．若，則點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)D．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做這個三角形的外心【答案】C【分析】根據(jù)中點(diǎn)的定義，直角三角形的性質(zhì)，三線合一以及外心的定義分別判斷即可．【詳解】解：A、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，故為真命題；B、等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合，故為真命題；C、若在同一條直線上AB=BC，則點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，故為假命題；D、三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做這個三角形的外心，故為真命題；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)的定義，直角三角形的性質(zhì)，三線合一以及外心的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)知識，要熟練掌握．3．（2021·山東泰安市·中考真題）如圖，在中，，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓與邊相切于點(diǎn)D，與，分別交于點(diǎn)E和點(diǎn)G，點(diǎn)F是優(yōu)弧上一點(diǎn)，，則的度數(shù)是（）A．50° B．48° C．45° D．36°【答案】B【分析】連接AD，由切線性質(zhì)可得∠ADB=∠ADC=90°，根據(jù)AB=2AD及銳角的三角函數(shù)可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，則∠GAC=96°，根據(jù)圓周角定理即可求得∠GFE的度數(shù)．【詳解】解：連接AD，則AD=AG=3，∵BC與圓A相切于點(diǎn)D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADB中，AB=6，則cos∠BAD==，∴∠BAD=60°，∵∠CDE=18°，∴∠ADE=90°﹣18°=72°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=72°，∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，∴∠GAC=36°+60°=96°，∴∠GFE=∠GAC=48°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查切線性質(zhì)、銳角的三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、圓周角定理，熟練掌握切線性質(zhì)和圓周角定理，利用特殊角的三角函數(shù)值求得∠BAD=60°是解答的關(guān)鍵．4．（2021·浙江金華市·中考真題）如圖，在中，，以該三角形的三條邊為邊向形外作正方形，正方形的頂點(diǎn)都在同一個圓上．記該圓面積為，面積為，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先確定圓的圓心在直角三角形斜邊的中點(diǎn)，然后利用全等三角形的判定和性質(zhì)確定△ABC是等腰直角三角形，再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，再由勾股定理解得，解得，據(jù)此解題即可．【詳解】解：如圖所示，正方形的頂點(diǎn)都在同一個圓上，圓心在線段的中垂線的交點(diǎn)上，即在斜邊的中點(diǎn)，且AC=MC，BC=CG，∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，∴AG=BM，又∵OG=OM，OA=OB，∴△AOG≌△BOM，∴∠CAB=∠CBA，∵∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)、圓的面積、三角形的面積等知識，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．5．（2021·浙江中考真題）如圖，已知點(diǎn)是的外心，∠，連結(jié)，，則的度數(shù)是（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合題意，根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)，作；再根據(jù)圓周角和圓心角的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】的外接圓如下圖∵∠∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外接圓、圓周角、圓心角的性質(zhì)，從而完成求解．6．（2021·四川瀘州市·）如圖，⊙O的直徑AB=8，AM，BN是它的兩條切線，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，并與AM，BN分別相交于D，C兩點(diǎn)，BD，OC相交于點(diǎn)F，若CD=10，則BF的長是A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，延長CO交DA的延長線于點(diǎn)H，根據(jù)勾股定理求得，即可得AD=BG=2，BC=8，再證明△HAO≌△BCO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AH=BC=8，即可求得HD=10；在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理可得；證明△DHF∽△BCF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，由此即可求得．【詳解】過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，延長CO交DA的延長線于點(diǎn)H，∵AM，BN是它的兩條切線，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，∴AD=DE，BC=CE，∠DAB=∠ABC=90°，∵DG⊥BC，∴四邊形ABGD為矩形，∴AD=BG，AB=DG=8，在Rt△DGC中，CD=10，∴，∵AD=DE，BC=CE，CD=10，∴CD=DE+CE=AD+BC=10，∴AD+BG+GC=10，∴AD=BG=2，BC=CG+BG=8，∵∠DAB=∠ABC=90°，∴AD∥BC，∴∠AHO=∠BCO，∠HAO=∠CBO，∵OA=OB，∴△HAO≌△BCO，∴AH=BC=8，∵AD=2，∴HD=AH+AD=10；在Rt△ABD中，AD=2，AB=8，∴，∵AD∥BC，∴△DHF∽△BCF，∴，∴，解得，．故選A．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了切線長定理、勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定于性質(zhì)，熟練運(yùn)用相關(guān)知識是解決問題的關(guān)鍵．7．（2021·四川眉山市·中考真題）如圖，在矩形中，對角線，相交于點(diǎn)，，，點(diǎn)在線段上從點(diǎn)至點(diǎn)運(yùn)動，連接，以為邊作等邊三角形，點(diǎn)和點(diǎn)分別位于兩側(cè)，下列結(jié)論：①；②；③；④點(diǎn)運(yùn)動的路程是，其中正確結(jié)論的序號為（）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④【答案】B【分析】連接OE并延長交DC于點(diǎn)H，先證△ADO為等邊三角形，得出∠2=∠DAF=60°，再根據(jù)△DEF為等邊三角形，得出①正確；證出△DOE≌△COE，得到ED=EC，得出②正確；證出∠ADF=∠3，看得出③正確；根據(jù)△DOE≌△COE，得出點(diǎn)E在OH上運(yùn)動，可得④正確．【詳解】解：連接OE并延長交DC于點(diǎn)H，∵矩形ABCD，∴OA=OD=OC，∵∠DAC=60°，∴△ADO為等邊三角形，∴∠2=∠DAF=60°，∵△DEF為等邊三角形，∴∠1=60°=∠5，∴∠1=∠2，∴D、F、O、E四點(diǎn)共圓，∴∠3=∠4，①正確；∴∠5=∠6=60°，∴∠7=∠6=60°，∵OD=OC，OE=OE，∴△DOE≌△COE，∴∠3=∠8，∴∠CDE=∠DCE，∴ED=EC，②正確；∵∠ADO=∠FDE=60°，∴∠ADF=∠3，∴∠ADF=∠8，即∠ADF=∠ECF，③正確；∵△DOE≌△COE，∴點(diǎn)E在∠DOC的角平分線上與CD的交點(diǎn)為H，即點(diǎn)E在OH上運(yùn)動，∴OH=BC，∴OH=，④錯誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)．8．（2021·湖北十堰市·中考真題）如圖，內(nèi)接于是的直徑，若，則（）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】首先過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，由垂徑定理可得BF＝CF＝BC，然后由∠BAC＝120°，AB＝AC，利用等邊對等角與三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠C與∠BAC的度數(shù)，由BD為⊙O的直徑，即可求得∠BAD與∠D的度數(shù)，又由AD＝3，即可求得BD的長，繼而求得BC的長．【詳解】解：過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，∴BF＝CF＝BC，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝∠ABC＝（180°?∠BAC）÷2＝30°，∵∠C與∠D是同弧所對的圓周角，∴∠D＝∠C＝30°，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°，∴∠ABD＝60°，∴∠OBC＝∠ABD?∠ABC＝30°，∵AD＝3，∴BD＝AD÷cos30°＝3÷=2，∴OB＝BD＝，∴BF＝OB?cos30°＝×＝，∴BC＝3．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意準(zhǔn)確作出輔助線．9．（2021·湖南懷化市·中考真題）如圖，在中，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N；再分別以M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；連結(jié)AP并延長交BC于點(diǎn)D．則下列說法正確的是（）

A． B．AD一定經(jīng)過的重心C． D．AD一定經(jīng)過的外心【答案】C【分析】根據(jù)題意易得AD平分∠BAC，然后根據(jù)三角形的重心、外心及三邊關(guān)系可排除選項(xiàng)．【詳解】解：∵AD平分∠BAC，∴，故C正確；在△ABD中，由三角形三邊關(guān)系可得，故A錯誤；由三角形的重心可知是由三角形三條中線的交點(diǎn)，所以AD不一定經(jīng)過的重心，故B選項(xiàng)錯誤；由三角形的外心可知是由三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)，所以AD不一定經(jīng)過的外心，故D選項(xiàng)錯誤；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的重心、外心及角平分線的尺規(guī)作圖，熟練掌握三角形的重心、外心及角平分線的尺規(guī)作圖是解題的關(guān)鍵．10．（2021·山東臨沂市·中考真題）如圖，、分別與相切于、，，為上一點(diǎn)，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由切線的性質(zhì)得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四邊形內(nèi)角和可求∠AOB=110°，再利用圓周角定理可求∠ADB=55°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)可求∠ACB．【詳解】解：如圖所示，連接OA，OB，在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)D，連接AD，BD，∵AP、BP是切線，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，∴∠ADB=55°，又∵圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是連接OA、OB，求出∠AOB．11．（2021·湖北鄂州市·中考真題）如圖，中，，，．點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)?shù)拈L度最小時，的面積是（）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】由題意知，又長度一定，則點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是以中點(diǎn)O為圓心，長為半徑的圓弧，所以當(dāng)B、P、O三點(diǎn)共線時，BP最短；在中，利用勾股定理可求BO的長，并得到點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)，由線段長度即可得到是等邊三角形，利用特殊三邊關(guān)系即可求解．【詳解】解：取中點(diǎn)O，并以O(shè)為圓心，長為半徑畫圓由題意知：當(dāng)B、P、O三點(diǎn)共線時，BP最短點(diǎn)P是BO的中點(diǎn)在中，是等邊三角形在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考察動點(diǎn)的線段最值問題、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系和隱形圓問題，屬于動態(tài)幾何綜合題型，中檔難度．解題的關(guān)鍵是找到動點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡，即隱形圓．12．（2021·四川廣元市·中考真題）如圖，在邊長為2的正方形中，是以為直徑的半圓的切線，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】取BC的中點(diǎn)O，設(shè)AE與⊙O的相切的切點(diǎn)為F，連接OF、OE、OA，由題意可得OB=OC=OA=1，∠OFA=∠OFE=90°，由切線長定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根據(jù)割補(bǔ)法進(jìn)行求解陰影部分的面積即可．【詳解】解：取BC的中點(diǎn)O，設(shè)AE與⊙O的相切的切點(diǎn)為F，連接OF、OE、OA，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，且邊長為2，∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，∵是以為直徑的半圓的切線，∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，∴AB=AF=2，CE=CF，∵OA=OA，∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），同理可證△OCE≌△OFE，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)定理、切線長定理、正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握切線的性質(zhì)定理、切線長定理、正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．13．（2021·江蘇連云港市·中考真題）如圖，正方形內(nèi)接于，線段在對角線上運(yùn)動，若的面積為，，則周長的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】利用將軍飲馬之造橋選址的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行計(jì)算．【詳解】如圖所示，（1）為上一動點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于線段的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，則，過點(diǎn)作的平行線，過點(diǎn)作的平行線，兩平行線相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)M．四邊形是平行四邊形則（2）找一點(diǎn)，連接，則，過點(diǎn)作的平行線，連接則．此時（1）中周長取到最小值四邊形是平行四邊形四邊形是正方形，又，，又是等腰三角形，則圓的半徑，故選：B．【點(diǎn)睛】本題難度較大，需要具備一定的幾何分析方法．關(guān)鍵是要找到周長取最小值時的位置．14．（2021·貴州貴陽市·中考真題）如圖，與正五邊形的兩邊相切于兩點(diǎn)，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，結(jié)合正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為108°，即可求解．【詳解】解：∵AE、CD切⊙O于點(diǎn)A、C，∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，∴正五邊形ABCDE的每個內(nèi)角的度數(shù)為：，∴∠AOC＝540°?90°?90°?108°?108°＝144°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用，以及切線的性質(zhì)定理，掌握正多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．15．（2021·廣東中考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B為拋物線上的兩個動點(diǎn)，且．連接點(diǎn)A、B，過O作于點(diǎn)C，則點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值（）A． B． C． D．1【答案】A【分析】設(shè)A(a，a2)，B(b，b2)，求出AB的解析式為，進(jìn)而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C點(diǎn)在以O(shè)D的中點(diǎn)E為圓心，以為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)CH為圓E半徑時最大，由此即可求解．【詳解】解：如下圖所示：過C點(diǎn)作y軸垂線，垂足為H，AB與x軸的交點(diǎn)為D，設(shè)A(a，a2)，B(b，b2)，其中a≠0，b≠0，∵OA⊥OB，∴，∴，即，，設(shè)AB的解析式為：，代入A(a，a2)，解得：，∴，∵，即，∴C點(diǎn)在以O(shè)D的中點(diǎn)E為圓心，以為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)CH為圓E的半徑時，此時CH的長度最大，故CH的最大值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，圓的相關(guān)知識等，本題的關(guān)鍵是求出AB與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)始終為1，結(jié)合，由此確定點(diǎn)E的軌跡為圓進(jìn)而求解．16．（2021·湖南婁底市·中考真題）如圖，直角坐標(biāo)系中，以5為半徑的動圓的圓心A沿x軸移動，當(dāng)⊙與直線只有一個公共點(diǎn)時，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】當(dāng)⊙與直線只有一個公共點(diǎn)時，則此時⊙A與直線相切，（需考慮左右兩側(cè)相切的情況）；設(shè)切點(diǎn)為，此時點(diǎn)同時在⊙A與直線上，故可以表示出點(diǎn)坐標(biāo)，過點(diǎn)作，則此時，利用相似三角形的性質(zhì)算出長度，最終得出結(jié)論．【詳解】如下圖所示，連接，過點(diǎn)作，

此時點(diǎn)坐標(biāo)可表示為，∴，，在中，，又∵半徑為5，∴，∵，∴，則，∴，∴，∵左右兩側(cè)都有相切的可能，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．17．（2021·福建中考真題）如圖，為的直徑，點(diǎn)P在的延長線上，與相切，切點(diǎn)分別為C，D．若，則等于（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】連接OC，CP，DP是⊙O的切線，根據(jù)定理可知∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，利用三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角的和可求∠CAD=∠COP，在Rt△OCP中求出即可．【詳解】解：連接OC，

CP，DP是⊙O的切線，則∠OCP＝90°，∠CAP＝∠PAD，∴∠CAD=2∠CAP，∵OA=OC∴∠OAC＝∠ACO，∴∠COP＝2∠CAO∴∠COP＝∠CAD∵∴OC=3在Rt△COP中，OC=3，PC=4∴OP=5．∴==故選：D．【點(diǎn)睛】本題利用了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系求解．18．（2021·山西中考真題）如圖，在中，切于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．若，則為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)與相切易得，在中，已知，可以求出的度數(shù)，根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半得出的度數(shù)，最后根據(jù)可得．【詳解】如下圖，連接，∵切于點(diǎn)，∴，在中，∵，∴，∴，又∵，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考察了切線的性質(zhì)，圓周角定理以及平行線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．19．（2021·吉林長春市·中考真題）如圖，AB是的直徑，BC是的切線，若，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，得∠ABC=90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵AB是的直徑，BC是的切線，∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，∵，∴=90°-35°=55°，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，掌握圓的切線的性質(zhì)定理，是解題的關(guān)鍵．20．（2021·上海中考真題）如圖，已知長方形中，，圓B的半徑為1，圓A與圓B內(nèi)切，則點(diǎn)與圓A的位置關(guān)系是（）

A．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A內(nèi) B．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A外C．點(diǎn)C在圓A上，點(diǎn)D在圓A內(nèi) D．點(diǎn)C在圓A內(nèi)，點(diǎn)D在圓A外【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)切得出圓A的半徑，再判斷點(diǎn)D、點(diǎn)E到圓心的距離即可【詳解】

∵圓A與圓B內(nèi)切，，圓B的半徑為1∴圓A的半徑為5∵<5∴點(diǎn)D在圓A內(nèi)在Rt△ABC中，∴點(diǎn)C在圓A上故選：C【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系、勾股定理，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是關(guān)鍵二、填空題21．（2021·湖南常德市·中考真題）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠BOD=80°，則∠BCD的度數(shù)是_____．【答案】140°．【詳解】試題分析：∵∠BOD=80°，∴∠A=40°，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD=180°-40°=140°，故答案為140°．考點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理22．（2021·四川涼山彝族自治州·中考真題）如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，的半徑為，P為AB邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為________．【答案】3【分析】連接OC和PC，利用切線的性質(zhì)得到CQ⊥PQ，可得當(dāng)CP最小時，PQ最小，此時CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．【詳解】解：連接QC和PC，∵PQ和圓C相切，∴CQ⊥PQ，即△CPQ始終為直角三角形，CQ為定值，∴當(dāng)CP最小時，PQ最小，∵△ABC是等邊三角形，∴當(dāng)CP⊥AB時，CP最小，此時CP⊥AB，∵AB=BC=AC=4，∴AP=BP=2，∴CP==，∵圓C的半徑CQ=，∴PQ==3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意得到當(dāng)PC⊥AB時，線段PQ最短是關(guān)鍵．23．（2021·浙江杭州市·中考真題）如圖，已知的半徑為1，點(diǎn)是外一點(diǎn)，且．若是的切線，為切點(diǎn)，連接，則_____．【答案】【分析】根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，得，根據(jù)圓的性質(zhì)，得，再通過勾股定理計(jì)算，即可得到答案．【詳解】∵是的切線，為切點(diǎn)∴∴∵的半徑為1∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓、勾股定理的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓、圓的切線、勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．24．（2021·陜西中考真題）如圖，正方形的邊長為4，的半徑為1．若在正方形內(nèi)平移（可以與該正方形的邊相切），則點(diǎn)A到上的點(diǎn)的距離的最大值為______．【答案】【分析】由題意易得當(dāng)與BC、CD相切時，切點(diǎn)分別為F、G，點(diǎn)A到上的點(diǎn)的距離取得最大，進(jìn)而根據(jù)題意作圖，則連接AC，交于點(diǎn)E，然后可得AE的長即為點(diǎn)A到上的點(diǎn)的距離為最大，由題意易得，則有△OFC是等腰直角三角形，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，最后問題可求解．【詳解】解：由題意得當(dāng)與BC、CD相切時，切點(diǎn)分別為F、G，點(diǎn)A到上的點(diǎn)的距離取得最大，如圖所示：連接AC，OF，AC交于點(diǎn)E，此時AE的長即為點(diǎn)A到上的點(diǎn)的距離為最大，如圖所示，∵四邊形是正方形，且邊長為4，∴，∴△OFC是等腰直角三角形，，∵的半徑為1，∴，∴，∴，∴，即點(diǎn)A到上的點(diǎn)的距離的最大值為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、切點(diǎn)的性質(zhì)定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)、切點(diǎn)的性質(zhì)定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．25．（2021·青海中考真題）點(diǎn)是非圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)到上的點(diǎn)的最小距離是，最大距離是，則的半徑是______．【答案】或【分析】分點(diǎn)在外和內(nèi)兩種情況分析；設(shè)的半徑為，根據(jù)圓的性質(zhì)列一元一次方程并求解，即可得到答案．【詳解】設(shè)的半徑為當(dāng)點(diǎn)在外時，根據(jù)題意得：∴當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)時，根據(jù)題意得：∴故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了圓、一元一次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的性質(zhì)，從而完成求解．26．（2021·北京中考真題）如圖，是的切線，是切點(diǎn)．若，則______________．【答案】130°【分析】由題意易得，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和可求解．【詳解】解：∵是的切線，∴，∴由四邊形內(nèi)角和可得：，∵，∴；故答案為130°．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)及四邊形內(nèi)角和，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．（2021·四川廣元市·中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)O是對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，連接并延長交于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)F，連接、，交于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②；③；④為定值；⑤．以上結(jié)論正確的有________（填入正確的序號即可）．【答案】①②③⑤【分析】由題意易得∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，對于①：易知點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，然后可得∠AFP=∠ABD=45°，則問題可判定；對于②：把△AED繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，則有DE=BH，∠DAE=∠BAH，然后易得△AEF≌△AHF，則有HF=EF，則可判定；對于③：連接AC，在BP上截取BM=DP，連接AM，易得OB=OD，OP=OM，然后易證△AOP∽△ABF，進(jìn)而問題可求解；對于④：過點(diǎn)A作AN⊥EF于點(diǎn)N，則由題意可得AN=AB，若△AEF的面積為定值，則EF為定值，進(jìn)而問題可求解；對于⑤由③可得，進(jìn)而可得△APG∽△AFE，然后可得相似比為，最后根據(jù)相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，∴∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，①∵，∴由四邊形內(nèi)角和可得，∴點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，∴∠AFP=∠ABD=45°，∴△APF是等腰直角三角形，∴，故①正確；②把△AED繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，如圖所示：∴DE=BH，∠DAE=∠BAH，∠HAE=90°，AH=AE，∴，∵AF=AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴HF=EF，∵，∴，故②正確；③連接AC，在BP上截取BM=DP，連接AM，如圖所示：∵點(diǎn)O是對角線的中點(diǎn)，∴OB=OD，，∴OP=OM，△AOB是等腰直角三角形，∴，由①可得點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴△AOP∽△ABF，∴，∴，∵，∴，故③正確；④過點(diǎn)A作AN⊥EF于點(diǎn)N，如圖所示：由②可得∠AFB=∠AFN，∵∠ABF=∠ANF=90°，AF=AF，∴△ABF≌△ANF（AAS），∴AN=AB，若△AEF的面積為定值，則EF為定值，∵點(diǎn)P在線段上，∴的長不可能為定值，故④錯誤；⑤由③可得，∵∠AFB=∠AFN=∠APG，∠FAE=∠PAG，∴△APG∽△AFE，∴，∴，∴，∴，故⑤正確；綜上所述：以上結(jié)論正確的有①②③⑤；故答案為①②③⑤．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．28．（2021·浙江寧波市·中考真題）抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一．如示意圖，分別與相切于點(diǎn)C，D，延長交于點(diǎn)P．若，的半徑為，則圖中的長為________．（結(jié)果保留）【答案】【分析】連接OC、OD，利用切線的性質(zhì)得到，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求得，再利用弧長公式求得答案．【詳解】連接OC、OD，∵分別與相切于點(diǎn)C，D，∴，∵，，∴，∴的長=（cm），故答案為：．．【點(diǎn)睛】此題考查圓的切線的性質(zhì)定理，四邊形的內(nèi)角和，弧長的計(jì)算公式，熟記圓的切線的性質(zhì)定理及弧長的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．29．（2021·浙江溫州市·中考真題）如圖，與的邊相切，切點(diǎn)為．將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在上，邊交線段于點(diǎn)．若，則______度．【答案】85【分析】連結(jié)OO′，先證△BOO′為等邊三角形，求出∠AOB=∠OBO′=60°，由與的邊相切，可求∠CBO==30°，利用三角形內(nèi)角和公式即可求解．【詳解】解：連結(jié)OO′，∵將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴BO′=BO=OO′，∴△BOO′為等邊三角形，∴∠OBO′=60°，∵與的邊相切，∴∠OBA=∠O′BA′=90°，∴∠CBO=90°-∠OBO′=90°-60°=30°，∵∠A′=25°∴∠A′O′B=90°-∠A′=90°-25°=65°∴∠AOB=∠A′O′B=65°，∴∠OCB=180°-∠COB-∠OBC=180°-65°-30°=85°．故答案為85．【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，切線性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，掌握圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，切線性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．30．（2021·江蘇揚(yáng)州市·中考真題）在一次數(shù)學(xué)探究活動中，李老師設(shè)計(jì)了一份活動單：已知線段，使用作圖工具作，嘗試操作后思考：（1）這樣的點(diǎn)A唯一嗎？（2）點(diǎn)A的位置有什么特征？你有什么感悟？“追夢”學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報：點(diǎn)A的位置不唯一，它在以為弦的圓弧上（點(diǎn)B、C除外），……．小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓?。ㄈ鐖D1）．（1）小華同學(xué)提出了下列問題，請你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長為___________；②面積的最大值為_________；（2）經(jīng)過比對發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點(diǎn)不在小華所畫的圓弧上，而在如圖1所示的弓形內(nèi)部，我們記為，請你利用圖1證明；（3）請你運(yùn)用所學(xué)知識，結(jié)合以上活動經(jīng)驗(yàn)，解決問題：如圖2，已知矩形的邊長，，點(diǎn)P在直線的左側(cè)，且．①線段長的最小值為_______；②若，則線段長為________．【答案】（1）①2；②；（2）見解析；（3）①；②【分析】（1）①設(shè)O為圓心，連接BO，CO，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=60°，證明△OBC是等邊三角形，可得半徑；②過點(diǎn)O作BC的垂線，垂足為E，延長EO，交圓于D，以BC為底，則當(dāng)A與D重合時，△ABC的面積最大，求出OE，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；（2）延長BA′，交圓于點(diǎn)D，連接CD，利用三角形外角的性質(zhì)和圓周角定理證明即可；（3）①根據(jù)，連接PD，設(shè)點(diǎn)Q為PD中點(diǎn)，以點(diǎn)Q為圓心，PD為半徑畫圓，可得點(diǎn)P在優(yōu)弧CPD上，連接BQ，與圓Q交于P′，可得BP′即為BP的最小值，再計(jì)算出BQ和圓Q的半徑，相減即可得到BP′；②根據(jù)AD，CD和推出點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，從而找到點(diǎn)P的位置，過點(diǎn)C作CF⊥PD，垂足為F，解直角三角形即可求出DP．【詳解】解：（1）①設(shè)O為圓心，連接BO，CO，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°，又OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OB=OC=BC=2，即半徑為2；②∵△ABC以BC為底邊，BC=2，∴當(dāng)點(diǎn)A到BC的距離最大時，△ABC的面積最大，如圖，過點(diǎn)O作BC的垂線，垂足為E，延長EO，交圓于D，∴BE=CE=1，DO=BO=2，∴OE==，∴DE=，∴△ABC的最大面積為=；（2）如圖，延長BA′，交圓于點(diǎn)D，連接CD，∵點(diǎn)D在圓上，∴∠BDC=∠BAC，∵∠BA′C=∠BDC+∠A′CD，∴∠BA′C＞∠BDC，∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在BC上，且PC=時，∵∠PCD=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，∴tan∠DPC==，為定值，連接PD，設(shè)點(diǎn)Q為PD中點(diǎn)，以點(diǎn)Q為圓心，PD為半徑畫圓，∴當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧CPD上時，tan∠DPC=，連接BQ，與圓Q交于P′，此時BP′即為BP的最小值，過點(diǎn)Q作QE⊥BE，垂足為E，∵點(diǎn)Q是PD中點(diǎn)，∴點(diǎn)E為PC中點(diǎn)，即QE=CD=1，PE=CE=PC=，∴BE=BC-CE=3-=，∴BQ==，∵PD==，∴圓Q的半徑為，∴BP′=BQ-P′Q=，即BP的最小值為；②∵AD=3，CD=2，，則，∴△PAD中AD邊上的高=△PCD中CD邊上的高，即點(diǎn)P到AD的距離和點(diǎn)P到CD的距離相等，則點(diǎn)P到AD和CD的距離相等，即點(diǎn)P在∠ADC的平分線上，如圖，過點(diǎn)C作CF⊥PD，垂足為F，∵PD平分∠ADC，∴∠ADP=∠CDP=45°，∴△CDF為等腰直角三角形，又CD=2，∴CF=DF==，∵tan∠DPC==，∴PF=，∴PD=DF+PF==．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，三角形的面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，最值問題，解直角三角形，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理，知識點(diǎn)較多，難度較大，解題時要根據(jù)已知條件找到點(diǎn)P的軌跡．31．（2021·湖北荊州市·中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，于，連接，過點(diǎn)作交于，過點(diǎn)的切線交的延長線于．若，，則_____________．【答案】【分析】證明求得AC，利用勾股定理求得CB的長，再利用求得BE．【詳解】解：如圖所示，連接BC∵是的直徑，于∴又∴∴∴又∵∴∴∴∴又∵∴∴或（舍去）又為切線∴又∵∴∴即∴【點(diǎn)睛】本題考查圓的相關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)．直徑所對的圓周角是直角，圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．相似三角形的對應(yīng)線段成比例．32．（2021·四川宜賓市·中考真題）如圖，⊙O的直徑AB＝4，P為⊙O上的動點(diǎn)，連結(jié)AP，Q為AP的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在圓上運(yùn)動一周，則點(diǎn)Q經(jīng)過的路徑長是______．【答案】【分析】連接OQ，以O(shè)A為直徑作⊙C，確定出點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑即可求得路徑長．【詳解】解：連接OQ．在⊙O中，∵AQ=PQ，OQ經(jīng)過圓心O，∴OQ⊥AP．∴∠AQO=90°．∴點(diǎn)Q在以O(shè)A為直徑的⊙C上．∴當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動一周時，點(diǎn)Q在⊙C上運(yùn)動一周．∵AB=4，∴OA=2．∴⊙C的周長為．∴點(diǎn)Q經(jīng)過的路徑長為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論、圓周角定理的推論、圓周長的計(jì)算等知識點(diǎn)，熟知相關(guān)定理及其推論是解題的基礎(chǔ)，確定點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑是解題的關(guān)鍵．33．（2021·江蘇鹽城市·中考真題）如圖，在⊙O內(nèi)接四邊形中，若，則________．【答案】80【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算出即可．【詳解】解：∵ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ABC＝100°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．34．（2021·河南中考真題）如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為，點(diǎn)，，均在小正方形的頂點(diǎn)上，且點(diǎn)，在上，，則的長為__________．

【答案】【分析】先找到的圓心O，得到∠BOC=45°，利用弧長公式即可求解．【詳解】解：連接AD，作線段AB、AD的垂直平分線，交點(diǎn)即為的圓心O，從圖中可得：的半徑為OB=5，連接OC，∵∠BAC=22.5°，∴∠BOC=222.5°=45°，的長為．．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式，找到的圓心是解題的關(guān)鍵．35．（2021·黑龍江鶴崗市·中考真題）如圖，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，3為半徑的，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的頂點(diǎn)，則的最小值為_____．【答案】【分析】延長CO，交于一點(diǎn)E，連接PE，由題意易得，，則有，CP=PE，然后可得，，要使的值為最小，即的值為最小，進(jìn)而可得當(dāng)D、P、E三點(diǎn)共線時最小，最后求解即可．【詳解】解：延長CO，交于一點(diǎn)E，連接PE，如圖所示：∵，以點(diǎn)為圓心，3為半徑的，∴，∵，，∴，∴，CP=PE，∴，∴，∵，∴，∵CP=PE，∴，則要使的值為最小，即的值為最小，∴當(dāng)D、P、E三點(diǎn)共線時最小，即，如圖所示：∴在Rt△DCE中，，∴的最小值為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．36．（2021·湖北黃石市·中考真題）如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）若正方形的邊長為2，則的周長是______．（2）下列結(jié)論：①；②若是的中點(diǎn)，則；③連接，則為等腰直角三角形．其中正確結(jié)論的序號是______（把你認(rèn)為所有正確的都填上）．【答案】4①③【分析】(1)將AF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，F(xiàn)點(diǎn)落在G點(diǎn)處，證明，，進(jìn)而得到，即可求出的周長；(2)對于①：將AM繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，M點(diǎn)落在H點(diǎn)處，證明，即可判斷；對于②：設(shè)正方形邊長為2，BE=x，則EF=x+1，CE=2-x，在Rt△EFC中使用勾股定理求出x，在利用∠AEF=∠AEB即可求解；對于③：證明A、M、F、D四點(diǎn)共圓，得到∠AFM=∠ADM=45°進(jìn)而求解．【詳解】解：(1)將AF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，F(xiàn)點(diǎn)落在G點(diǎn)處，如下圖所示：∵，且∴，在和中：，∴，∴，又∠1+∠2=45°，∠3+∠2=45°，∴∠1=∠3，∵ABCD為正方形，∴AD=AB，在和中：，∴，∴∴，∴、、三點(diǎn)共線，∴，∴，故答案為：；(2)對于①：將AM繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，M點(diǎn)落在H點(diǎn)處，如下圖所示：∵∠1+∠2=45°，∠1+∠4=∠EAH-∠EAF=45°，∴∠2=∠4，在和中：,∴，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得：，在和中：,∴，∴，∴，故①正確；對于②：由(1)中可知：EF=BE+DF，設(shè)正方形邊長為2，當(dāng)F為CD中點(diǎn)時，GB=DF=1，CF=1，設(shè)BE=x，則EF=x+1，CE=2-x，在Rt△EFC中，由勾股定理：，∴，解得，即，∴,故②錯誤；對于③：如下圖所示：∵∠EAF=∠BDC=45°，∴A、M、F、D四點(diǎn)共圓，∴∠AFM=∠ADM=45°，∴△AMF為等腰直角三角形，故③正確；故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的證明，四點(diǎn)共圓的判定方法等，屬于綜合題，具有一定難度，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．37．（2021·貴州貴陽市·中考真題）在綜合實(shí)踐課上，老師要求同學(xué)用正方形紙片剪出正三角形且正三角形的頂點(diǎn)都在正方形邊上．小紅利用兩張邊長為2的正方形紙片，按要求剪出了一個面積最大的正三角形和一個面積最小的正三角形．則這兩個正三角形的邊長分別是______．【答案】，2．【分析】設(shè)為正方形ABCD的一個內(nèi)接正三角形，不妨假設(shè)F、G分別在AB，CD上，E在AD上，作的高EK，可得點(diǎn)E，K，G，D四點(diǎn)共圓，從而得點(diǎn)K為一個定點(diǎn)，當(dāng)GF最大時，的面積最大，當(dāng)GF最小時，的面積最小，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：設(shè)為正方形ABCD的一個內(nèi)接正三角形，不妨假設(shè)F、G分別在AB，CD上，E在AD上，如圖，作的高EK，∵∠EKG=∠EDG=90°，∴點(diǎn)E，K，G，D四點(diǎn)共圓，∴∠KDE=∠KGE=60°，同理：∠KAE=∠KFE=60°，∴是一個正三角形，點(diǎn)K為一個定點(diǎn)，∵正三角形的面積取決于它的邊長，∴當(dāng)GF最大時，的面積最大，當(dāng)GF最小時，的面積最小，∴當(dāng)KF⊥AB時，F(xiàn)G最小，即FG最小，此時，F(xiàn)G=AD=2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時，KF最大，即FG最大，此時的面積最大，過點(diǎn)K作AB的平行線交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，∴MK為的高，∴MK=DKsin60°=ADsin60°=，∴KN=AB-MK=，∵K為BG的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，∴CG=2KN=，∴FG=．

故答案是：，2．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形和等邊三角形的性質(zhì)以及四邊形外接圓的性質(zhì)和判定，解直角三角形，根據(jù)題意畫出圖形，證明正方形的內(nèi)接正三角形的一邊中點(diǎn)是一個定點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．三、解答題38．（2021·四川自貢市·中考真題）如圖，點(diǎn)D在以AB為直徑的⊙O上，過D作⊙O的切線交AB延長線于點(diǎn)C，于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AD，F(xiàn)D．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，求EF的長．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）EF．【分析】（1）連接OD，BD，由圓的切線的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理可求得∠EDA=∠ABD，再利用等角的余角相等，可證明結(jié)論；（2）如圖，連接BD、BF，利用平行線的性質(zhì)以及圓周角定理證得∠C=∠ADF，根據(jù)（1）的結(jié)論可證明△ADF△ACD，可證明結(jié)論；（3）設(shè)OA=OD=x，利用三角函數(shù)的定義和勾股定理得到OC=4x，CD，AC=5x，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：連接OD，BD，∵ED是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，∴OD⊥ED，∴∠ODA+∠EDA=90°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ODA+∠ODB=90°，∴∠ODB=∠EDA，∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD，∴∠EDA=∠ABD，∵，∴∠E=90°，∴(等角的余角相等)；（2）如圖，連接BD、BF，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AFB=90°，∴BF∥CF，∴∠C=∠ABF=∠ADF，由（2）得，∴△ADF△ACD，∴,∴；（3）過D作DH⊥AB于H，連接OD，BD，設(shè)OA=OD=x，在Rt△ODC中，，∴OC=4x，則CD=，AC=OA+OC=5x，由（2）得，即，∵∠C+∠DOC=90°，∠ODH+∠DOH=90°，∴∠ODH=∠C，在Rt△ODH中，，∴OH=，∴DH=，由（1）得，DH=DE=，∵∠EFD=∠ABD(圓內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對角)，由（1）得∠EDA=∠ABD，∴∠EFD=∠EDA，∴△EAD△EDF，∴，即，∴EF，在Rt△DEF中，，即，解得：，∴EF．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)定理，也考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．39．（2021·四川瀘州市·）如圖，ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，過點(diǎn)C作⊙O的切線交BA的延長線于點(diǎn)F，AE是⊙O的直徑，連接EC（1）求證：；（2）若，于點(diǎn)，，，求的值【答案】（1）證明見詳解；（2）18．【分析】（1）連接，根據(jù)是⊙O的切線，AE是⊙O的直徑，可得，利用，得到，根據(jù)圓周角定理可得，則可證得；（2）由（1）可知，易得，則有,則可得，并可求得，連接，易證，則有，可得．【詳解】解：（1）連接∵是⊙O的切線，AE是⊙O的直徑，∴，∴∴又∵∴根據(jù)圓周角定理可得：∴，∴；（2）由（1）可知，∵∴∴∴,∵，，∴∴∴又∵中，∴，如圖示，連接∵，∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．40．（2021·四川涼山彝族自治州·中考真題）如圖，在中，，AE平分交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AB上，．是的外接圓，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：BC是的切線；（2）若的半徑為5，，求．【答案】（1）見解析；（2）20【分析】（1）連接OE，由OA=OE，利用等邊對等角得到一對角相等，再由AE為角平分線得到一對角相等，等量代換得到一對內(nèi)錯角相等，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行，得到AC與OE平行，再根據(jù)兩直線平行同位角相等及∠C為直角，得到OE與BC垂直，可得出BC為圓O的切線；（2）過E作EG垂直于OD，利用AAS得出△ACE≌△AGE，得到AC=AG=8，從而可得OG，利用勾股定理求出EG，再利用三角形面積公式可得結(jié)果．【詳解】解：（1）證明：連接OE，∵OA=OE，∴∠1=∠3，∵AE平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴OE∥AC，∴∠OEB=∠C=90°，則BC為圓O的切線；（2）過E作EG⊥AB于點(diǎn)G，在△ACE和△AGE中，，∴△ACE≌△AGE（AAS），∴AC=AG=8，∵圓O的半徑為5，∴AD=OA+OD=10，∴OG=3，∴EG==4，∴△ADE的面積==20．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定與性質(zhì)，切線的判定方法有兩種：有點(diǎn)連接證垂直；無點(diǎn)作垂線，證明垂線段等于半徑．41．（2021·四川資陽市·中考真題）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，交的延長線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．（1）求證：是的切線；（2）若，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）要證明DE是的切線，只要證明即可．連接OD，根據(jù)條件證明，則可推導(dǎo)出．（2）根據(jù)條件，在中，求出OE的長，然后證明，從而根據(jù)相似比求解即可．【詳解】（1）證明：如下圖，連接OD，∵,，∴,，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴DE是的切線．（2）解：∵AC=6，∴，在中，，∴，，∴，又∵，∴，∴,即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)、三角形的相似，勾股定理等相關(guān)知識點(diǎn)，根據(jù)題意數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.42．（2021·江蘇連云港市·中考真題）如圖，中，，以點(diǎn)C為圓心，為半徑作，D為上一點(diǎn)，連接、，，平分．（1）求證：是的切線；（2）延長、相交于點(diǎn)E，若，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）利用SAS證明，可得，即可得證；（2）由已知條件可得，可得出，進(jìn)而得出即可求得；【詳解】（1）∵平分，∴．∵，，∴．∴．∴，∴是的切線．（2）由（1）可知，，又，∴．∵，且，∴，∴．∵，∴．∵∴【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，正切的性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì)判定，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．43．（2021·山東泰安市·中考真題）如圖1，O為半圓的圓心，C、D為半圓上的兩點(diǎn)，且．連接并延長，與的延長線相交于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）與，分別交于點(diǎn)F，H．①若，如圖2，求證：；②若圓的半徑為2，，如圖3，求的值．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②【分析】（1）連接，根據(jù)，且，則，即可推導(dǎo)出；（2）①，則，又，，則，進(jìn)而推導(dǎo)出；②連接交于G，設(shè)，則，根據(jù)在和中列式，進(jìn)而求得x的值，再根據(jù)中位線定理求出AC的長．【詳解】證明：（1）連接，∵為直徑∴∵∴∴∴．（2）①∵∴又∵∴又∵∴∴∴∴∴②連接交于G．設(shè)，則∵∴又∵∴，在和中∴即∵∴是的中位線∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等弧對等角、相似三角形、等腰三角形、中位線等有關(guān)知識點(diǎn)，屬于綜合題型，借助輔助線是解決這類問題的關(guān)鍵．44．（2021·山東菏澤市·中考真題）如圖，在中，是直徑，弦，垂足為，為上一點(diǎn)，為弦延長線上一點(diǎn)，連接并延長交直徑的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為8，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OE，證明OE⊥EF即可；（2）由證得，運(yùn)用正弦的概念可得結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：連接OE，如圖，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA．∵EF=PF，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF，∴∠APH=∠EPF，∴∠AEF=∠APH．∵CD⊥AB，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE⊥EF．∵OE是的半徑∴EF是圓的切線，（2）∵CD⊥AB∴是直角三角形∵∴設(shè)，則由勾股定理得，由（1）得，是直角三角形∴∴，即∵∴解得，【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓的切線的判定，勾股定理和解直角三角形等知識，熟練掌握切線的判定是解答此題的關(guān)鍵．45．（2021·湖北宜昌市·中考真題）如圖，在菱形中，是對角線上一點(diǎn)（），，垂足為，以為半徑的分別交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若是的中點(diǎn)，，．①求的長；②求的長．【答案】（1）見解析；（2）①；②【分析】（１過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，證明出△OEB≌△OMB，得到對應(yīng)邊相等，對應(yīng)邊為圓的半徑，得出結(jié)論；（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，再由是的中點(diǎn)，，，根據(jù)，推出，，，再由弧長的計(jì)算公式得到結(jié)果；②先由平行相似，得到，對應(yīng)邊成比例求出，推出BN=3，OE=4，DN=6，再由勾股定理求出即可．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵是菱形的對角線，∴，∵，，∴∠OEB=∠OMB=90?，∵OB=OB，∴△OEB≌△OMB（AAS）∴，∴是的切線．（2）解：①如圖，∵是的中點(diǎn)，，∴．∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴由弧長公式，得到的長：．②方法一：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∴，∴，∵DG//NE，DN//GE，∠GEN=90?∴四邊形是矩形，∴，BN=3，OE=4，DN=6，在菱形中，AD=AB，在中，設(shè)，∴，∴．方法二：如圖，過作于點(diǎn)，∵，，，∴，，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線判定定理、菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵在于熟練掌握證明是圓的切線的方法、菱形的性質(zhì)以及三角形相似的證明與性質(zhì)的應(yīng)用，特別是菱形的性質(zhì)．46．（2021·湖南中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：直線與相切；（2）若的直徑是10，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）連接OD，由點(diǎn)D是的中點(diǎn)得OD⊥BC，由DE//BC得OD⊥DE，由OD是半徑可得DE是切線；（2）證明△ODE是等腰直角三角形，可求出OE的長，從而可求得結(jié)論．【詳解】解：（1）連接OD交BC于點(diǎn)F，如圖，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，∵DE//BC∴OD⊥DE∵OD是的半徑∴直線與相切；（2）∵AC是的直徑，且AB=10,∴∠ABC=90°，∵OD⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB∴∵∴∴由勾股定理得，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．47．（2021·四川廣安市·中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，延長、相交于點(diǎn)．

（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為5，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OE，由題意可證OE∥AD，且DE⊥AF，即OE⊥DE，則可證CD是⊙O的切線；（2）連接BE，證明△ADE∽△AEB，得到，根據(jù)tan∠EAD=，在△ABE中，利用勾股定理求出BE和AE，可得AD和DE，再證明△COE∽△CAD，得到，設(shè)BC=x，解方程即可求出BC．【詳解】解：（1）連接OE，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵AE平分∠BAF，∴∠OAE=∠DAE，∴∠OEA=∠EAD，∴OE∥AD，∵ED⊥AF，∴OE⊥DE，∴CD是⊙O的切線；

（2）連接BE，∵AB為直徑，∴∠AEB=90°=∠D，又∠DAE=∠BAE，∴△ADE∽△AEB，∴，又tan∠EAD=，∴，則AE=2BE，又AB=10，在△ABE中，AE2+BE2=AB2，即（2BE）2+BE2=102，解得：BE=，則AE=，∴，解得：AD=8，DE=4，∵OE∥AD，∴△COE∽△CAD，∴，設(shè)BC=x，∴，解得：x=，經(jīng)檢驗(yàn)：x=是原方程的解，故BC的長為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，作出輔助線，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．48．（2021·四川樂山市·中考真題）如圖，已知點(diǎn)是以為直徑的圓上一點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，連結(jié)，且．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接、，根據(jù)已知條件證明，即可得解；（2）由（1）可得，得到，令，根據(jù)正切的定義列式求解即可；【詳解】解：（1）證明：連結(jié)、．∵，，∴，．∵，∴，∴，，∴，∴，即是的切線．（2）由（1）知，，又，∴，∴，即．令，∴．即，即．∵，即，∴，解得或（舍），∴的半徑為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合運(yùn)用，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)、正切的定義求解是解題的關(guān)鍵．49．（2021·四川遂寧市·中考真題）如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A是⊙O的直徑BD延長線上的一點(diǎn)，C為⊙O上的一點(diǎn)，AD＝CD，∠A＝30°．（1）求證：直線AC是⊙O的切線；（2）求△ABC的面積；（3）點(diǎn)E在上運(yùn)動（不與B、D重合），過點(diǎn)C作CE的垂線，與EB的延長線交于點(diǎn)F．①當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到與點(diǎn)C關(guān)于直徑BD對稱時，求CF的長；②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時，CF取到最大值，并求出此時CF的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）①3；②【分析】（1）連接OC，利用切線的判定定理，證明OC⊥AC即可；（2）要求的面積，結(jié)合（1）題，底邊AB可求，只需再求出底邊上的高CH即可；（3）根據(jù)垂徑定理可求CE的長，再利用銳角三角函數(shù)，可求CF的長；由可知，點(diǎn)E在運(yùn)動過程中，始終有，所以，求出CE的最大值，即可得到CF的最大值．【詳解】（1）證明：連結(jié)OC，如圖所示．∵AD＝CD，∠A＝30°，∴∠ACD＝∠A=30°．∴∠CDB＝60°．∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC=60°．∴∠ACO＝∠ACD＋∠OCD＝30°+60°=90°．∴OC⊥AC．∴直線AC是⊙O的切線．（2）過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，如圖所示．∵OD=OC，∠ODC=60°，∴是等邊三角形．∴．∴在中，．∵AB＝AD＋BD＝3，∴．（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到與點(diǎn)關(guān)于直徑BD對稱時，如圖所示．此時，CE⊥AB，設(shè)垂足為K．由（2）可知，．∵BD為圓的直徑，CE⊥AB，∴CE＝2CK＝．∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°．∵，∴∠E=∠CDB＝60°．在中，∵，∴．如圖所示：由可知，在中，∵，∴．∴當(dāng)點(diǎn)E在上運(yùn)動時，始終有．∴當(dāng)CE最大時，CF取得最大值．∴當(dāng)CE為直徑，即CE=2時，CF最大，最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、圓周角定理的推論、銳角三角函數(shù)、求線段的最值等知識點(diǎn)，熟知切線的判定方法、垂徑定理、圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．50．（2021·浙江麗水市·中考真題）如圖，在中，，以為直徑的半圓O交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作半圓O的切線，交于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）若，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連結(jié)，利用圓的切線性質(zhì)，間接證明：，再根據(jù)條件中：且，即能證明：；（2）由（1）可以證明：為直角三角形，由勾股定求出的長，求出，可得到的度數(shù)，從而說明為等邊三角形，再根據(jù)邊之間的關(guān)系及弦長所對應(yīng)的圓周角及圓心角之間的關(guān)系，求出，半徑,最后根據(jù)弧長公式即可求解．【詳解】解：（1）證明：如圖，連結(jié)．與相切，．是圓的直徑，．．．．．（2）由（1）可知，，，，，是等邊三角形．,，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、圓心角和圓周角之間的關(guān)系、弧長公式等知識點(diǎn)，解本題第二問的關(guān)鍵是：熟練掌握等邊三角形判定與性質(zhì).51．（2021·江蘇揚(yáng)州市·中考真題）如圖，四邊形中，，，，連接，以點(diǎn)B為圓心，長為半徑作，交于點(diǎn)E．（1）試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）相切，理由見解析；（2）【分析】（1）過點(diǎn)B作BF⊥CD，證明△ABD≌△FBD，得到BF=BA，即可證明CD與圓B相切；（2）先證明△BCD是等邊三角形，根據(jù)三線合一得到∠ABD=30°，求出AD，再利用S△ABD-S扇形ABE求出陰影部分面積．【詳解】解：（1）過點(diǎn)B作BF⊥CD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD≌△FBD（AAS），∴BF=BA，則點(diǎn)F在圓B上，∴CD與圓B相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD，∴△BCD是等邊三角形，∴∠CBD=60°∵BF⊥CD，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=，∴AD=DF==2，∴陰影部分的面積=S△ABD-S扇形ABE==．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積，三角函數(shù)的定義，題目的綜合性較強(qiáng)，難度不小，解題的關(guān)鍵是正確做出輔助線．52．（2021·甘肅武威市·中考真題）如圖，內(nèi)接于是的直徑的延長線上一點(diǎn)，．過圓心作的平行線交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，求的半徑及的值；【答案】（1）見解析；（2）半徑為3，【分析】（1）證明是的半徑，即證明，結(jié)合直徑所對圓周角是、等腰△OAC和已知即可求解；（2）由（1）中結(jié)論和可知，，再由CD、CE和平行線分線段成比例，即可找到BD、OB、BC、OE的關(guān)系，最后利用三邊的勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，，，，是的直徑，，，，即，，又是的半徑，是的切線．（2），即，∴設(shè)，則，，解得，，．即的半徑為3，，在中，，．【點(diǎn)睛】本題考查圓切線的證明、平行線分線段成比例、勾股定理和銳角三角函數(shù)，屬于中檔幾何綜合題，解題的關(guān)鍵在于直徑所對圓周角是直角和方程思想．53．（2021·云南中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)C是上異于A、B的點(diǎn)，連接、，點(diǎn)D在的延長線上，且，點(diǎn)E在的延長線上，且．（1）求證：是的切線：（2）若，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)等量代換得到∠DCO=90°，即可證明DC是圓O的切線；（2）根據(jù)已知得到OA=2DA，證明△DCO∽△DEB，得到，可得DA=EB，即可求出DA的長．【詳解】解：（1）如圖，連接OC，由題意可知：∠ACB是直徑AB所對的圓周角，∴∠ACB=90°，∵OC，OB是圓O的半徑，∴OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA=∠OCB，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC⊥DC，又∵OC是圓O的半徑，∴DC是圓O的切線；（2）∵，∴，化簡得OA=2DA，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE⊥DC，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB，∴OC∥BE，∴△DCO∽△DEB，∴，即，∴DA=EB，∵BE=3，∴DA=EB=，經(jīng)檢驗(yàn)：DA=是分式方程的解，∴DA=．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，正確的作出輔助線，證明切線，得到相似三角形是解題的關(guān)鍵．54．（2021·內(nèi)蒙古通遼市·中考真題）如圖，是⊙O的直徑，過點(diǎn)A作⊙O的切線，點(diǎn)P是射線上的動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B作，交⊙O于點(diǎn)D，連接．（1）求證：是⊙O的切線（2）當(dāng)四邊形是平行四邊形時，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OD，證明即可；（2）證明四邊形是正方形，即可求解．【詳解】（1）如圖，連接OD，則是⊙O的切線又在和中是⊙O的切線．（2）如圖，連接OD四邊形是平行四邊形,四邊形是平行四邊形又四邊形是菱形四邊形是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，三角形全等的證明，平行四邊形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，圓的切線的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．55．（2021·湖南張家界市·中考真題）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，連接．（1）求證：為的切線；（2）若，求弧的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接OB，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠AOB=60°，再運(yùn)用平行線的性質(zhì)結(jié)合已知條件可得，再證明可得即可；（2）先求出∠COD，然后再運(yùn)用弧長公式計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：連接∵，∴又∵∴∴∴又∵∴∴又∵點(diǎn)在上∴是的切線；（2）∵∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的證明、弧長公式等知識點(diǎn)，掌握圓的切線的證明方法成為解答本題的關(guān)鍵．56．（2021·甘肅武威市·中考真題）在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個引理．如圖，已知是弦上一點(diǎn)，請你根據(jù)以下步驟完成這個引理的作圖過程．（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：①作線段的垂直平分線，分別交于點(diǎn)于點(diǎn)，連接；②以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)（兩點(diǎn)不重合），連接．（2）直接寫出引理的結(jié)論：線段的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）【分析】（1）①分別為圓心，大于為半徑畫弧，得到兩弧的交點(diǎn)，過兩弧的交點(diǎn)作直線即可得到答案，②按照語句依次作圖即可；（2）由作圖可得：再證明再證明從而可得結(jié)論．【詳解】解：（1）作出線段的垂直平分線，連接；以為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)，連接，如圖示：（2）結(jié)論：．理由如下：由作圖可得：是的垂直平分線，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用基礎(chǔ)知識解題是關(guān)鍵．57．（2021·浙江寧波市·中考真題）如圖1，四邊形內(nèi)接于，為直徑，上存在點(diǎn)E，滿足，連結(jié)并延長交的延長線于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)G．（1）若，請用含的代數(shù)式表列．（2）如圖2，連結(jié)．求證；．（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)，．①若，求的周長．②求的最小值．【答案】（1）；（2）見解析；（3）①；②【分析】（1）利用圓周角定理求得，再根據(jù)，求得，即可得到答案；（2）由，得到，從而推出，證得，由此得到結(jié)論；（3）①連結(jié)．利用已知求出，證得，得到，利用中，根據(jù)正弦求出，求出EF的長，再利用中，，求出EG及DE，再利用勾股定理求出DF即可得到答案；②過點(diǎn)C作于H，證明，得到，證明，得到，設(shè)，得到，利用勾股定理得到，求得，利用函數(shù)的最值解答即可．【詳解】解：（1）∵為的直徑，∴，∵，∴，∴．（2）∵為的直徑，∴，∴，∴，∵，∴．又∵，∴，∴．（3）①如圖，連結(jié)．∵為的直徑，∴．在中，，，∴．∵，∴，即，∴．∵，∴．∵在中，，∴，∴．∵在中，，∴．在中，，∴，∴的周長為．②如圖，過點(diǎn)C作于H．∵，∴．∵，∴．∴，∵，∴．∵，∴．∵，∴，∵，∴，∴．設(shè)，∴，∴．在中，，∴，當(dāng)時，的最小值為3，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】此題考查圓周角的定理，弧、弦和圓心角定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，相似三角形的判定，函數(shù)的最值問題，是一道綜合的幾何題型，綜合掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．58．（2021·北京中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對于點(diǎn)和線段，給出如下定義：若將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到的弦（分別是的對應(yīng)點(diǎn)），則稱線段是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”．（1）如圖，點(diǎn)的橫?縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線段中，的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是______________；（2）是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)，其中．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求的值；（3）在中，．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出的最小值和最大值，以及相應(yīng)的長．【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時，此時；當(dāng)時，此時．【分析】（1）以點(diǎn)A為圓心，分別以為半徑畫圓，進(jìn)而觀察是否與有交點(diǎn)即可；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等邊三角形，且是的弦，進(jìn)而畫出圖象，則根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解；（3）由是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知都在上，且，然后由題意可根據(jù)圖象來進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）由題意得：通過觀察圖象可得：線段能繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得到的“關(guān)聯(lián)線段”，都不能繞點(diǎn)A進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到；故答案為；（2）由題意可得：當(dāng)是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”時，則有是等邊三角形，且邊長也為1，當(dāng)點(diǎn)A在y軸的正半軸上時，如圖所示：設(shè)與y軸的交點(diǎn)為D，連接，易得軸，∴，∴，，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)A在y軸的正半軸上時，如圖所示：同理可得此時的，∴；（3）由是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知都在上，且，則有當(dāng)以為圓心，1為半徑作圓，然后以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作圓，即可得到點(diǎn)A的運(yùn)動軌跡，如圖所示：由運(yùn)動軌跡可得當(dāng)點(diǎn)A也在上時為最小，最小值為1，此時為的直徑，∴，∴，∴；由以上情況可知當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時，OA的值為最大，最大值為2，如圖所示：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)P，∴，設(shè)，則有，∴由勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴，在中，，∴；綜上所述：當(dāng)時，此時；當(dāng)時，此時．【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．59．（2021·四川南充市·中考真題）如圖，A，B是上兩點(diǎn)，且，連接OB并延長到點(diǎn)C，使，連接AC．（1）求證：AC是的切線．（2）點(diǎn)D，E分別是AC，OA的中點(diǎn)，DE所在直線交于點(diǎn)F，G，，求GF的長．【答案】（1）見解析；（2）2【分析】（1）先證得△AOB為等邊三角形，從而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性質(zhì)得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出結(jié)論；（2）過O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N，利用勾股定理得出AC=，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)得出DN=，再根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求出GF的長．【詳解】（1）證明：∵AB=OA，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB為等邊三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC是⊙O的切線；（2）∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC===∵D、E分別為AC、OA的中點(diǎn)，∴OE//BC，DC=過O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N則四邊形OMDN為矩形∴DN=OM在Rt△CDN中，∠C=30°，∴DN=DC=∴OM=連接OG，∵OM⊥GF∴GF=2MG=2==2【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵．60．（2021·四川廣元市·中考真題）如圖，在Rt中，，是的平分線，以為直徑的交邊于點(diǎn)E，連接，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)F．（1）求證：是的切線；（2）若，，求線段的長．【答案】（1）證明見詳解；（2）．【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理、角平分線定義、平行線性質(zhì)證明∠EAD=∠FDE，再根據(jù)AD為直徑，得到∠ADE+∠DAE=90°，進(jìn)而得到AD⊥FD，問題得證；（2）先求出DE=3，證明△AED≌△ACD，得到DE=DC=3，BC=BD+CD=8，解Rt中求出AC=6，進(jìn)而得到AE=6，求出,證明△ADE∽△AFD，得到，即可求出．【詳解】解：（1）證明：連接DE，∵∴∠CAD=∠CED，∵是的平分線，∴∠CAD=∠EAD，∴∠CED=∠EAD，∵，∴∠CED=∠FDE，∴∠EAD=∠FDE，∵AD為直徑，∴∠AED=∠ACD=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，∴∠ADE+∠FDE=90°，即AD⊥FD，又∵為直徑，∴是的切線；（2）∵∠AED=90°，∴∠BED=90°，∴,∵∠AED=∠ACD，∠DAE=∠DAC，AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴DE=DC=3，∴BC=BD+CD=8，在Rt中，∵，∴設(shè)AC=3x，AB=5x，∴，∵x＞0，∴x=2，∴AB=5x=10，AC=3x=6，∵△AED≌△ACD，∴AE=AC=6，∴在Rt△ADE中，,∵∠EAD=∠DAF，∠AED=∠ADF=90°，∴△ADE∽△AFD，∴，即,∴．【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合題，考查了切線的判定，圓的性質(zhì)，三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)題意添加輔助線，熟知圓的性質(zhì)，利用三角函數(shù)解直角三角形是解題關(guān)鍵．61．（2021·江蘇宿遷市·中考真題）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓交AB于點(diǎn)C，點(diǎn)D在邊OB上，且CD=BD．（1）判斷直線CD與圓O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）已知AB=40，求的半徑．【答案】（1）直線CD與圓O相切，理由見解析；（2）【分析】（1）連接證明可得從而可得答案；（2）由設(shè)則再求解再表示再利用列方程解方程，可得答案．【詳解】解：（1）直線CD與圓O相切，理由如下：如圖，連接為的半徑，是的切線．（2）設(shè)則（負(fù)根舍去）的半徑為：【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方