大一高數(shù)筆記

導(dǎo)數(shù)與極限（一）極限1.概念（1）自變量趨向于有限值的函數(shù)極限定義（定義），，當(dāng)時(shí)，有。（2）單側(cè)極限左極限：，，當(dāng)時(shí)，有。右極限：，，當(dāng)時(shí)，有。（3）自變量趨向于無窮大的函數(shù)極限定義1：，當(dāng)，成立，則稱常數(shù)為函數(shù)在趨于無窮時(shí)的極限，記為。為曲線的水平漸近線。 定義2：，當(dāng)時(shí)，成立，則有。定義3：，當(dāng)時(shí)，成立，則有。運(yùn)算法則：1)

若，，則。2)

若，，則。3)

若，則。注：上述記號是指同一變化過程。（4）無窮小的定義，，當(dāng)時(shí)，有，則稱函數(shù)在時(shí)的無窮小（量），即。（5）無窮大的定義，，當(dāng)時(shí)，有，則稱函數(shù)在時(shí)的無窮大（量），記為。直線為曲線的垂直漸近線。

2．無窮小的性質(zhì)定理1有限多個(gè)無窮小的和仍是無窮小。定理2有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。推論1常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。推論2有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小。無窮小與無窮大的關(guān)系若，且不取零值，則是時(shí)的無窮小。3．極限存在的判別法（1）。。（2），其中是時(shí)的無窮小。（3）夾逼準(zhǔn)則：設(shè)在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有，且已知和，則必有。4．極限的性質(zhì)（1）極限的唯一性若且，則。（2）局部有界性若，則，在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有。（3）局部保號性（I）若，且（或），則必存在的某個(gè)去心鄰域，當(dāng)時(shí)，有（或）。（II）若在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有（或），且，則（或）。

5．極限的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算設(shè)是常數(shù)，則（1）（2）（3）（4）（5）則.

6．兩個(gè)重要極限（1）；（2）或。

7．無窮小的階的比較若和都是在同一自變量變化中的無窮小量，且0，則（1）若，則稱關(guān)于是高階無窮小量，記作；（2）若，則稱和是等價(jià)無窮小量，記作；（3）若，則稱和是同階無窮小量，記作；一般情況下，若存在常數(shù)，，使成立，就稱和是同階無窮小量。（4）若以作為時(shí)的基本無窮小量，則當(dāng)（為某一正數(shù)）時(shí)，稱是階無窮小量。先對函數(shù)求對數(shù)，再利用隱函數(shù)求導(dǎo)的方法。對數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指函數(shù)、連乘除函數(shù)。（6）參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程確定了一個(gè)函數(shù)，且均可導(dǎo)，則有。（7）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式（，）（，）5．高階導(dǎo)數(shù)（1）高階導(dǎo)數(shù)的概念：函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的二階導(dǎo)數(shù)，的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的三階導(dǎo)數(shù)，……，的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的階導(dǎo)數(shù)，分別記為，或。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)。（2）常用的階導(dǎo)數(shù)公式，，，，。（3）萊布尼茨公式設(shè)和都是次可微函數(shù)，則有。

復(fù)習(xí)指導(dǎo)

重點(diǎn)：求函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)。難點(diǎn)：討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限存在、連續(xù)性、可導(dǎo)性。1．求極限的方法：（1）利用定義（語言）證明。（2）利用極限的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求極限的方法求初等函數(shù)的極限。（3）初等函數(shù)在定義區(qū)間上求極限：。例：。（4）分解因式，約去使分母極限為零的公因式。例：。（5）利用兩個(gè)重要極限，此時(shí)需注意自變量的變化趨勢。例：但。（6）利用等價(jià)無窮小替換（條件：在乘積的條件下）。例：。（7）利用無窮大和無窮小的互為倒數(shù)關(guān)系。例：求。因?yàn)?，所以。?）冪指函數(shù)求極限：若，，則。（9）利用左右極限求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。

2．無窮?。海?）理解無窮小是自變量在趨向于某一點(diǎn)時(shí)函數(shù)極限趨向于零的過程，它與自變量的變化趨勢密切相關(guān)。（2）掌握利用求兩個(gè)無窮小的商的極限比較它們的階的方法。（3）注意在求極限時(shí)，如果兩個(gè)無窮小做加減法，則不能做等價(jià)無窮小的替換。

3．連續(xù)性的判斷：重點(diǎn)是分段函數(shù)在分段點(diǎn)處連續(xù)性的判斷，此時(shí)需利用左右連續(xù)的概念進(jìn)行判斷。

4．間斷點(diǎn)（1）掌握間斷點(diǎn)的分類規(guī)則，以及如何求解函數(shù)的間斷點(diǎn)并對其分類。對于初等函數(shù)，首先找出無定義的點(diǎn)，然后通過計(jì)算它的左右極限得出其類型。對于分段函數(shù)，還要討論它的分段點(diǎn)。（2）注意對于可去間斷點(diǎn)，可以通過重新定義該點(diǎn)的函數(shù)值使得函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。

5．閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)掌握利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)來證明某個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上滿足一些特殊性質(zhì)的方法。例如要證明某個(gè)函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上可以取到一個(gè)特定數(shù)值時(shí)，通常的方法是在這個(gè)閉區(qū)間內(nèi)找兩個(gè)函數(shù)值（一般是計(jì)算區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值或者假設(shè)出函數(shù)在該區(qū)間上的最大和最小值），使得它們一大一小，恰好分布在這個(gè)特殊值的兩邊，而后利用介值定理得出結(jié)論。當(dāng)要證明方程在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有根時(shí)，可以在此區(qū)間內(nèi)找兩個(gè)點(diǎn)，使得在這兩點(diǎn)的函數(shù)值一正一負(fù)，從而利用零點(diǎn)定理得出結(jié)論。5．可導(dǎo)、連續(xù)和極限三個(gè)概念的關(guān)系：在點(diǎn)可導(dǎo)在點(diǎn)連續(xù)在點(diǎn)有極限；但上述關(guān)系反之均不成立。

6．可導(dǎo)的判斷：（1）若函數(shù)在某一點(diǎn)不連續(xù)，則必不可導(dǎo)。（2）分段函數(shù)在分段點(diǎn)處是否可導(dǎo)的判斷，需利用左右導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行判斷。

7．求導(dǎo)數(shù)的方法：（1）利用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)。（2）利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（3）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t。（4）利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則。此時(shí)需注意若在方程中出現(xiàn)的函數(shù)項(xiàng)，則在對自變量求導(dǎo)時(shí)，對這一項(xiàng)需利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的法則。例：設(shè)，求。解：方程兩邊同時(shí)對求導(dǎo)，有，所以。（5）利用反函數(shù)求導(dǎo)法則。（6）利用參數(shù)方程求導(dǎo)法則。此時(shí)需注意得到的對的導(dǎo)數(shù)實(shí)際上仍然由一個(gè)參數(shù)方程所確定。（7）利用對數(shù)求導(dǎo)法則。它主要在如下兩種情況中應(yīng)用：（i）冪指函數(shù)求導(dǎo)；（ii）需求導(dǎo)的函數(shù)由許多因式利用乘除法結(jié)合得到。（8）分段函數(shù)在分段點(diǎn)處需利用左右導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)。

第3章微分學(xué)的基本定理

內(nèi)容提要

（一）微分1．概念微分的定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可微，給定自變量的增量，稱對應(yīng)的函數(shù)增量的線性主部為函數(shù)在點(diǎn)處的微分，記作或。

2．常用的微分公式（為常數(shù)）（，）（，）

3．微分運(yùn)算法則（1）四則運(yùn)算；；。（2）復(fù)合函數(shù)微分若，，則。4．微分形式的不變性若，，則有。

5．微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)很小時(shí)，有：，。

（二）微分中值定理1．羅爾定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，且，則必存在，使得。2．拉格朗日中值定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，則必存在，使得成立。推論1設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若對任意有則在上恒為常數(shù)。推論2若在內(nèi)恒有，則存在常數(shù)，使得，。3．柯西中值定理：設(shè)函數(shù)和均在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，且它們的導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零，又，則必存在，使得成立。4．有限增量公式若函數(shù)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，則，?；颍渲?，。（三）洛必達(dá)法則1．型的洛必達(dá)法則：若和滿足（1）；（2）和在內(nèi)可導(dǎo)，且；（3），則。（把改為等，法則仍然成立）。2．型的洛必達(dá)法則：若和滿足（1）；（2）和在內(nèi)可導(dǎo)，且；（3），則。（把改為等，法則仍然成立）。3．其他待定型：，，，，。復(fù)習(xí)指導(dǎo)重點(diǎn)：微分計(jì)算，中值定理的應(yīng)用，利用洛必達(dá)法則求極限，泰勒公式。難點(diǎn)：中值定理的應(yīng)用。

1．中值定理的應(yīng)用（1）注意中值定理的條件只是充分條件，不是必要條件。（2）中值定理的這些條件缺一不可。（3）中值定理經(jīng)常運(yùn)用在等式和不等式的證明中。例如在證明時(shí)，可以構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，將等式轉(zhuǎn)化為的形式，而后驗(yàn)證在某個(gè)閉區(qū)間上滿足中值定理的條件，從而得出結(jié)論。在證明一個(gè)不等式時(shí)，可以考慮將其和一個(gè)函數(shù)及此函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)上的函數(shù)值聯(lián)系起來，從而可以利用拉格朗日中值定理得出結(jié)論。

3．洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則是解決待定型極限問題時(shí)的一種簡便而有效的方法，但使用時(shí)注意以下幾點(diǎn)：（1）每次使用前必