專題45：第8章幾何中的最值問題之四邊形的面積-備戰(zhàn)2021中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國(guó)通用）【有答案】

45第8章幾何中的最值問題之四邊形的面積一、單選題1．如圖，等邊△ABC

的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D在邊AC上，AD＝，線段PQ在邊BA上運(yùn)動(dòng)，PQ＝，有下列結(jié)論：①CP與QD可能相等；②△AQD與△BCP可能相似；③四邊形PCDQ面積的最大值為；④四邊形PCDQ周長(zhǎng)的最小值為．其中，正確結(jié)論的序號(hào)（）A．①④ B．②④ C．①③ D．②③【答案】D【分析】根據(jù)圖象法可判斷①；②當(dāng)∠ADQ=∠CPB時(shí)，△AQD與△BCP相似；③設(shè)AQ=x，則四邊形的面積=S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP，當(dāng)x取最大值時(shí)可得結(jié)論；④如圖，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D’，作D’F∥PQ，使得D’F=PQ，連接CF交AB于點(diǎn)P’，此時(shí)四邊形P’CD’Q’的周長(zhǎng)最小，求出CF的長(zhǎng)即可判斷.【解答】①利用圖象法可得PC＞DQ，故①錯(cuò)誤；②∵∠A=∠B=60°，∴當(dāng)∠ADQ=∠CPB時(shí)，△AQD與△BCP相似，故②正確；③設(shè)AQ=x，則S四邊形PCDQ=S△ABC﹣S△ADQ﹣S△BCP=，∵x的最大值為，∴四邊形PCDQ面積的最大值為，故③正確；④如圖，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D’，作D’F∥PQ，使得D’F=PQ，連接CF交AB于點(diǎn)P’，此時(shí)四邊形P’CD’Q’的周長(zhǎng)最小，過點(diǎn)C作CH⊥D’F交D’F的延長(zhǎng)線于H，交AB于J，由題意可得，DD’=2AD·sin60°=，,，∴，∴，∴，∴四邊形P’CD’Q’的周長(zhǎng)最小最值=，故④錯(cuò)誤.故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判斷與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，軸對(duì)稱最短路徑問題等，綜合性較強(qiáng)，屬于中考?？碱}，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).二、填空題2．已知，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD互相垂直，且AC+BD＝10，當(dāng)AC＝_______時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，最大值為__________．【答案】512.5【分析】根據(jù)已知設(shè)四邊形ABCD面積為S，AC為，則，進(jìn)而求出，再求出最值即可．【解答】解：設(shè)，四邊形ABCD面積為S，則，

則：，

∵，∴S有最大值，

當(dāng)時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，

即當(dāng)時(shí)，四邊形ABCD面積最大，，

故答案為：5，12.5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知正確得出二次函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．3．如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，已知D是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD、CD，若圓的半徑r＝2，則以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的最大面積為_____．【答案】4．【分析】連接BO并延長(zhǎng)交AC于E，交于D，根據(jù)垂徑定理得到點(diǎn)D到AC的距離最大，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解答】連接BO并延長(zhǎng)交AC于E，交于D，連接AD、CD，∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC，∴，∴OE⊥AC，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)D到AC的距離最大，∴△ADC的面積最大，即以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積最大，在Rt△BAD中，∠ABD＝30°，∴AD＝BD＝2，由勾股定理得，AB＝＝2，∴以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的最大面積＝×2×2×2＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心、等邊三角形的性質(zhì)，掌握垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．已知AB為半圓的直徑，AB＝2，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝1，BC＝3，點(diǎn)P為半圓上的動(dòng)點(diǎn)，則AD，AB，BC，CP，PD圍成的圖形的面積的最大值是_____．【答案】2+【分析】五邊形ABCDP的面積＝四邊形ABCD的面積﹣△CPD的面積只要求出△CDP面積的最小值，作EF//CD，且與⊙O相切于點(diǎn)P，連接OP延長(zhǎng)OP交AD于H，易知此時(shí)點(diǎn)P到CD的距離最小，此時(shí)△CDP的面積最小．【解答】解：∵五邊形ABCDP的面積＝四邊形ABCD的面積﹣△CPD的面積，∴只要求出△CDP面積的最小值，作EF//CD，且與⊙O相切于點(diǎn)P，連接OP延長(zhǎng)OP交AD于H，易知此時(shí)點(diǎn)P到CD的距離最小，此時(shí)△CDP的面積最小，易知AD＝2，∵四邊形ABCD的面積＝（1+3）×2＝4＝×1×1+?AD?OH+?1?3，∴OH＝，∴PH＝﹣11，∴△CAD的面積最小值為2﹣，∴五邊形ABCDP面積的最大值是4﹣（2﹣）＝2+．故答案為2+．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求解多邊形的面積知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的重要步驟．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)．拋物線與軸正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是該拋物線第一象限圖像上的一點(diǎn)，三點(diǎn)均在某一個(gè)正方形的邊上，且該正方形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．若這個(gè)正方形的面積最小，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】根據(jù)拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)A，得點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），可得最小正方形的邊長(zhǎng)為3，最小正方形的面積為9，根據(jù)題意可得A、B、C中任意兩個(gè)點(diǎn)不能重合，故此可以確定點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍．【解答】解：∵拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)A，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），如圖所示：當(dāng)A，B，C三點(diǎn)均在某一個(gè)正方形的邊上，且該正方形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），正方形的面積最小時(shí)，此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為3，∴過點(diǎn)A、B、C的正方形的面積最小值為9，∴S≥9．當(dāng)y=3時(shí)，解得∴當(dāng)2＜m≤3，時(shí)，正方形面積有最小值；當(dāng)m=-1時(shí)，正方形最小邊長(zhǎng)也為3，正方形面積也有最小值，∵C在第一象限，m＞0，綜上所述：點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m的取值范圍是：2＜m≤3．故答案為：2＜m≤3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的最值、正方形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合利用正方形和二次函數(shù)的知識(shí)．6．如圖，的半徑為1，點(diǎn)為外一點(diǎn)，過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，則四邊形面積的最小值是___________．【答案】【分析】由點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a-4），得到OP=，，由于PA，PB是⊙O的兩條切線，得到PA=PB，∠OAP=∠OBP，由于△OPA≌△OBP，在Rt△OAP中，根據(jù)勾股定理得到PA的長(zhǎng)度，于是得到四邊形PBOA面積=2×△OPA的面積=2×OA?PA=，即可得到結(jié)果．【解答】解：∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a-4），OP=∵PA，PB是⊙O的兩條切線，

∴PA=PB，∠OAP=∠OBP，

在△OPA與△OBP中，∴△OPA≌△OBP，

在Rt△OAP中，PA=，四邊形PBOA面積=2×△OPA的面積=2×OA?PA=∵2＞0

∴當(dāng)a=4時(shí)，四邊形PBOA面積最小，最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，最值問題，能求得四邊形PBOA面積=是解題的關(guān)鍵．7．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)E是A邊上一點(diǎn)，且AE＝，點(diǎn)F是邊BC上的任意一點(diǎn)，把△BEF沿EF翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，連接AG，CG，則四邊形AGCD的面積的最小值為_____．【答案】【分析】根據(jù)矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，可得AC＝5，由AE＝可得點(diǎn)F是邊BC上的任意位置時(shí)，點(diǎn)C始終在AC的下方，設(shè)點(diǎn)G到AC的距離為h，要使四邊形AGCD的面積的最小，即h最?。渣c(diǎn)G在以點(diǎn)E為圓心，BE為半徑的圓上，且在矩形ABCD的內(nèi)部．過點(diǎn)E作EH⊥AC，交圓E于點(diǎn)G，此時(shí)h最?。鶕?jù)銳角三角函數(shù)先求得h的值，再分別求得三角形ACD和三角形ACG的面積即可得結(jié)論．【解答】解：如圖，連接AC，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝∠D＝90°，∴AC＝5，∵AB＝3，AE＝，∴點(diǎn)F是邊BC上的任意位置時(shí)，點(diǎn)G始終在AC的下方，設(shè)點(diǎn)G到AC的距離為h，S四邊形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝3×4+×5h，＝6+h．要使四邊形AGCD的面積的最小，即h最?。唿c(diǎn)G在以點(diǎn)E為圓心，BE為半徑的圓上，且在矩形ABCD的內(nèi)部．過點(diǎn)E作EH⊥AC，交圓E于點(diǎn)G，此時(shí)h最?。赗t△ABC中，sin∠BAC＝，在Rt△AEH中，AE＝，sin∠BAC＝，解得EH＝AE＝，EG＝BE＝AB﹣AE＝3﹣，∴h＝EH﹣EG＝﹣（3﹣）＝﹣3．∴S四邊形AGCD＝6+×（﹣3）＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是確定滿足條件的點(diǎn)G的位置，運(yùn)用相似、銳角三角函數(shù)等知識(shí)解決問題．三、解答題8．[問題提出]（1）如圖①，在中，為上一點(diǎn)，則面積的最大值是

（2）如圖②，已知矩形的周長(zhǎng)為，求矩形面積的最大值

[實(shí)際應(yīng)用]（3）如圖③，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料，經(jīng)測(cè)量且木匠師傅從這塊余料中裁出了頂點(diǎn)在邊上且面積最大的矩形求該矩形的面積

【答案】（1）12；（2）9；（3）【分析】（1）過點(diǎn)A作AE⊥BC，則有，要使△ABC的面積最大，則需滿足AD=AE即可；（2）設(shè)AB=x，則有BC=6-x，然后根據(jù)題意可得函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)題意作圖，則由題意易得△BMQ≌△CNP，則有BM=CN，MN=PQ，設(shè)BM=x，則MN=PQ=80-2x，進(jìn)而可得，然后根據(jù)矩形的面積及二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．【解答】解：（1）過點(diǎn)A作AE⊥BC，如圖所示：

∴，∵D為BC上一點(diǎn)，∴，∴要使△ABC的面積最大，則需滿足AD=AE，∵BC=6，AD=4，∴△ABC的面積最大為：；故答案為12；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC，AD=BC，∵矩形ABCD的周長(zhǎng)是12，∴設(shè)AB=x，則有AD=6-x，矩形ABCD的面積為S，則有：，此函數(shù)為二次函數(shù)，由，二次函數(shù)的開口向下，∴當(dāng)x=3時(shí)，矩形ABCD的面積有最大值為：；（3）如圖所示：

∵四邊形PQMN是矩形，∴QM=PN，PQ=MN，∠QMN=∠PNM=90°，∵∠B=∠C=60°，∠QMB=∠PNC=90°，∴△BMQ≌△CNP，∴BM=NC，設(shè)BM=NC=x，則有MN=PQ=80-2x，∴，∴，此函數(shù)關(guān)系為二次函數(shù)，由可得開口向下，∴當(dāng)x=20時(shí)，矩形PQMN的面積有最大，即．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)與幾何的綜合及三角函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．9．如圖三角形ABC，BC＝12，AD是BC邊上的高AD＝10．P，N分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，Q，M是BC上的點(diǎn)，連接PQ，MN，PN交AD于E．求（1）若四邊形PQMN是矩形，且PQ：PN＝1：2．求PQ、PN的長(zhǎng)；（2）若四邊形PQMN是矩形，求當(dāng)矩形PQMN面積最大時(shí)，求最大面積和PQ、PN的長(zhǎng)．【答案】（1）PQ＝，PN＝；（2）PQ＝5，PN＝6．【分析】（1）設(shè)PQ＝y(tǒng)，則PN＝2y，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高的比＝相似比，構(gòu)建方程即可解決問題；（2）設(shè)AE＝x．利用相似三角形的性質(zhì)，用x表示PN，PQ，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．【解答】解：（1）設(shè)PQ＝y(tǒng)，則PN＝2y，∵四邊形PQMN是矩形，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∵AD⊥BC，∴AD⊥PN，∴＝，即＝，解得y＝，∴PQ＝，PN＝．（2）設(shè)AE＝x．∵四邊形PQMN是矩形，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∵AD⊥BC，∴AD⊥PN，∴＝，∴PN＝x，PQ＝DE＝10﹣x，∴S矩形PQMN＝x（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+30，∴當(dāng)x＝5時(shí)，S的最大值為30，∴當(dāng)AE＝5時(shí)，矩形PQMN的面積最大，最大面積是30，此時(shí)PQ＝5，PN＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建二次函數(shù)或方程解決問題，屬于中考?？碱}型．10．某公司對(duì)辦公大樓一塊墻面進(jìn)行如圖所示的圖案設(shè)計(jì)．這個(gè)圖案由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼接而成的大正方形，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)m，直角三角形較短邊長(zhǎng)n，且n＝2m﹣4，大正方形的面積為S．（1）求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．（2）若小正方形邊長(zhǎng)不大于3，當(dāng)大正方形面積最大時(shí)，求m的值．【答案】（1）S＝13m2﹣40m+32（m＞2）；（2）m＝3【分析】（1）根據(jù)小正方形的邊長(zhǎng)m，直角三角形較短邊長(zhǎng)n，即可得出直角三角形較長(zhǎng)邊長(zhǎng)為m+n，根據(jù)勾股定理即可得出函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和題意中的取值范圍即可得出S的最大值，從而可求的m．【解答】解：（1）∵小正方形的邊長(zhǎng)m，直角三角形較短邊長(zhǎng)n，∴直角三角形較長(zhǎng)邊長(zhǎng)為m+n，∴由勾股定理得：S＝（m+n）2+n2，∵n＝2m﹣4，∴S＝（m+2m﹣4）2+（2m﹣4）2，＝13m2﹣40m+32，∵n＝2m﹣4＞0，∴m＞2，∴S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為S＝13m2﹣40m+32（m＞2）；（2）∵S＝13m2﹣40m+32（2＜m≤3），∴S＝13(m-)2+∵m≥時(shí)，S隨x的增大而增大，∴m＝3時(shí)，S取最大．∴m＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，根據(jù)題意列出解析式是解題關(guān)鍵．11．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在菱形ABCD的四條邊上，BE=BF=DG=DH，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，得到四邊形EFGH．（1）求證：四邊形EFGH是矩形；（2）若AB=2，∠A=60°，當(dāng)BE為何值時(shí)，矩形EFGH的面積最大？【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)BE＝1時(shí)，矩形EFGH的面積最大．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角，以及平行線的性質(zhì)可以證得∠DGH＋∠CGH＝90°，則∠HGF＝90°，根據(jù)三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，即可證得；（2）設(shè)BE的長(zhǎng)是x，則利用x表示出矩形EFGH的面積，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】（1）證明：∵DG＝DH，∴∠DHG＝∠DGH＝，同理，∠CGF＝，∴∠DGH＋∠CGF＝，又∵在菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，∴∠DGH＋∠CGF＝90°，∴∠HGF＝90°，同理，∠GHE＝∠EFG＝90°，∴四邊形EFGH是矩形；（2）如圖，連接BD，∵四邊形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴AD＝AB，∴△ABD和△BCD是等邊三角形，∴BD＝AB＝2，∴S△BCD＝S△ABD＝AB2＝，則菱形ABCD的面積是2，設(shè)BE＝x，則AE＝2－x，∵BE＝DH，AB＝AD，∴AH＝AE，∵∠A＝60°，∴△AEH是等邊三角形，∴EH＝AE＝2－x在Rt△BME中，∠ABD＝60°，BE＝x，∴EM＝x∴EF＝2EM＝x則矩形EFGH的面積y＝HE×EF＝（2－x）×x＝－（x2－2x）＝－（x－1）2＋，∴當(dāng)x＝1時(shí)，矩形EFGH的面積最大，即當(dāng)BE＝1時(shí)，矩形EFGH的面積最大．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定以及二次函數(shù)的性質(zhì)，正確利用x表示出矩形EFGH的面積是關(guān)鍵．12．如圖，在中，，，，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與、重合），且，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，設(shè)．（1）是否存在一點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，并說明理由；（2）當(dāng)時(shí)，求的值；（3）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最大，并求出最大值．【答案】（1）存在，理由見解析；（2）；（3）時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為【分析】（1）根據(jù)對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答；

（2）證△BMQ∽△BCA得，據(jù)此知，解之可得．

（3）根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用x表示出QM、BM，根據(jù)梯形面積公式列出二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】（1）解：當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形，理由：∵，，∴四邊形為平行四邊形；（2）解：∵，∴，∴，∵，，，∴，∵，∴；∴，即∴．（3）解：∵，∴，即，解得，，，∵，∴，即，解得，，設(shè)四邊形的面積為則∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的綜合問題，主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定、二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC為⊙O的直徑，過點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作⊙O的切線交EC于點(diǎn)F．（1）求證：EF=FC；（2）填空：①當(dāng)∠ACD的度數(shù)為時(shí)，四邊ODFC為正方形；②若AD=4，DC=2，則四邊形ABCD的最大面積是．【答案】（1）見解析；（2）①45°；②9【分析】（1）根據(jù)已知和根據(jù)圓周角定理可得CE是⊙O的切線且∠ADC=∠EDC=90°，根據(jù)切線性質(zhì)可得DF=FC，進(jìn)而有∠CDF=∠DCF，再利用等角的余角相等證得∠E=∠EDF，則有DF=EF，即可得證；（2）①連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)、正方形的判定和圓周角定理即可解答；②根據(jù)圓周角定理可得∠ADC=∠ABC=90°，根據(jù)題意只需△ABC面積最大即可．【解答】（1）證明：∵AC為⊙O的直徑，AC⊥CE，∴CE為⊙O的切線，∠ADC=∠EDC=90°，又∵DF為⊙O的切線，∴DF=CF，∴∠CDF=∠DCF，∵∠EDF+∠CDF=90°，∠E+∠DCF=90°，∴∠E=∠EDF，∴DF=EF，∴EF=FC；（2）①當(dāng)∠ACD的度數(shù)為45°時(shí)，四邊ODFC為正方形，理由為：連接OD，∵DF為⊙O的切線，∴∠ODF=90°，∵∠ACD=45°，∴∠AOD=90°，即∠COD=90°，又AC⊥CF，∴∠OCF=∠ODF=∠COD=90°，又OD=OC，∴四邊形ODFC是正方形，故答案為：45°；②∵AC為⊙0的直徑，∴∠ADC=∠ABC=90°，∵AD=4，DC=2，∴AC=，S△ADC=，要使四邊形ABCD的面積最大，只需△ABC的面積最大，當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)，△ABC的面積最大，∴四邊形ABCD的最大面積為4+×2×=4+5=9，故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題是以圓為載體的綜合題，考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定、等角的余角相等、勾股定理等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．14．如圖，已知AB是⊙O中一條固定的弦，點(diǎn)C是優(yōu)弧AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C不與A，B重合)．（1）設(shè)∠ACB的角平分線與劣弧AB交于點(diǎn)P，試猜想點(diǎn)P在弧AB上的位置是否會(huì)隨點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由；（2）如圖②，設(shè)A′B′=8，⊙O的半徑為5，在（1）的條件下，四邊形ACBP的面積是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是定值，試確定四邊形A′C′B′P′的面積的取值范圍．【答案】（1）不變化，理由見詳解；（2）8<S四邊形A′C′B′P′≤40【分析】（1）由∠ACP=∠BCP得，P為的中點(diǎn)，P在弧AB上的位置不動(dòng)，p點(diǎn)不變化，（2）四邊形ACBP的面積不是定值，連接OA，OB，OP，OP交AB于D，由，OP為半徑，由垂經(jīng)定理知OP⊥AB，AB=BD，由勾股定理得OD=，進(jìn)而S△APB=，當(dāng)PC為直徑時(shí)，S△ABC最大=則0S△ABC32即可求出S四邊形ACBP=S△ABC+S△PAB=S△ABC+8的范圍，即S四邊形A′C′B′P′的范圍．【解答】（1）∵∠ACB的角平分線與劣弧AB交于點(diǎn)P，∴∠ACP=∠BCP，∴，∴P為的中點(diǎn)，∴P在弧AB上的位置不動(dòng)，為此不隨點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化，P點(diǎn)不變化．（2）四邊形ACBP的面積不是定值，連接OA，OB，OP，OP交AB于D，由，OP為半徑，∴OP⊥AB，AB=BD=4，OA=5，∴由勾股定理得OD=，∴DP=OP-OD=5-3=2，∴S△APB=，當(dāng)PC為直徑時(shí)，交AB于點(diǎn)D，則CD=PC-PD=10-2=8，S△ABC最大=，0S△ABC32，S四邊形ACBP=S△ABC+S△PAB=S△ABC+8，8S四邊形ACBP≤40，即8S四邊形A′C′B′P′≤40．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，三角形面積，勾股定理等內(nèi)容，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題關(guān)鍵．15．空地上有一段長(zhǎng)為am的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個(gè)矩形菜園ABCD，已知木欄總長(zhǎng)為120m．（1）已知a＝30，矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了120m木欄，且圍成的矩形菜園而積為1000m2．如圖1，求所利用舊墻AD的長(zhǎng)；（2）已知0＜a＜60，且空地足夠大，如圖2．請(qǐng)你合理利用舊墻及所給木欄設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使得所圍成的矩形菜園ABCD的面積最大，并求面積的最大值．【答案】（1）舊墻AD的長(zhǎng)為20米；（2）當(dāng)0＜a＜40時(shí)，圍成長(zhǎng)和寬均為米的矩形菜園面積最大，最大面積為平方米；當(dāng)40≤a＜60時(shí)，圍成長(zhǎng)為a米，寬為米的矩形菜園面積最大，最大面積為（60﹣）平方米．【分析】(1)按題意設(shè)出AD=x米，用x表示AB，再根據(jù)面積列出方程解答；(2)根據(jù)舊墻長(zhǎng)度a和AD長(zhǎng)度表示矩形菜園長(zhǎng)和寬，注意分類討論S與菜園邊長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：(1)設(shè)AD＝x米，則AB＝，依題意得，＝1000，解得x1＝100，x2＝20，∵a＝30，且x≤a，∴x＝100舍去，∴利用舊墻AD的長(zhǎng)為20米，故答案為20米；(2)設(shè)AD＝x米，矩形ABCD的面積為S平方米，①如果按圖1方案圍成矩形菜園，依題意得，S＝，∵0＜a＜60，∴x＜a＜60時(shí)，S隨x的增大而增大，當(dāng)x＝a時(shí)，S最大為；②如按圖2方案圍成矩形菜園，依題意得，S＝，當(dāng)a＜時(shí)，即0＜a＜40時(shí)，則x＝時(shí)，S最大為，當(dāng)，即40≤a＜60時(shí)，S隨x的增大而減小，∴x＝a時(shí)，S最大＝，綜合①②，當(dāng)0＜a＜40時(shí)，，此時(shí)，按圖2方案圍成矩形菜園面積最大，最大面積為平方米，當(dāng)40≤a＜60時(shí)，兩種方案圍成的矩形菜園面積最大值相等．∴當(dāng)0＜a＜40時(shí)，圍成長(zhǎng)和寬均為米的矩形菜園面積最大，最大面積為平方米；當(dāng)40≤a＜60時(shí)，圍成長(zhǎng)為a米，寬為米的矩形菜園面積最大，最大面積為平方米．【點(diǎn)評(píng)】本題以實(shí)際應(yīng)用為背景，考查了一元二次方程與二次函數(shù)最值的討論，解得時(shí)注意分類討論變量大小關(guān)系．16．如圖1，拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求一次函數(shù)（直線）的表達(dá)式和的面積；（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，作軸，交拋物線于點(diǎn)，求四邊形最大面積時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和最大面積．【答案】（1）；（2），面積為6；（3），最大值為【分析】（1）把，代入解方程即可求出解析式；（2）先由解析式求出，，再求AC解析式及的面積；（3）利用鉛錘法求出,當(dāng)最大時(shí)，最大此時(shí)四邊形面積最大．【解答】（1）把，代入，得，解，∴．（2）當(dāng)時(shí)，解得，，∴，，，過，，得，得，∴一次函數(shù)關(guān)系式為，．（3）設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，最大．當(dāng)最大時(shí)，最大，，此時(shí)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是利用鉛錘法解決二次函數(shù)面積最值問題，屬于中考?jí)狠S題．17．如圖，已知AB為半圓O的直徑，P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），以O(shè)P、OB為一組鄰邊作?POBQ，連接OQ、AP，設(shè)OQ、AP的中點(diǎn)分別為M、N，連接PM、ON．（1）試判斷四邊形OMPN的形狀，并說明理由．（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒15°的速度，繞點(diǎn)O在半圓上逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．①試求：當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OMPN的面積取得最大值？并判斷此時(shí)直線PQ與半圓O的位置關(guān)系（需說明理由）；②是否存在這樣的t，使得點(diǎn)Q落在半圓O內(nèi)？若存在，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）四邊形OMPN為矩形，理由見解析；（2）①當(dāng)t=6秒時(shí)，四邊形OMPN面積最大，此時(shí)，PQ與半圓O相切．理由見解析；②當(dāng)8＜t＜12時(shí)，點(diǎn)Q在半圓O內(nèi)．【分析】（1）先證四邊形PQOA為平行四邊形，再證四邊形OMPN為平行四邊形，根據(jù)等腰三角形三線合一，得ON⊥AP，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）①由題意得S矩形OMPN=S△AOP，從而得△AOP的AO邊上的高取得最大值，此時(shí)△AOP的面積取得最大值，進(jìn)而即可得到t的值，根據(jù)切線的判定定理，即可得到結(jié)論；②考慮兩個(gè)特殊情況：當(dāng)點(diǎn)Q在半圓O上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，分別求出t的值，進(jìn)而即可得到答案．【解答】（1）四邊形OMPN為矩形，理由如下：∵四邊形POBQ為平行四邊形，∴PQ∥OB，PQ=OB．又∵OB=OA，∴PQ=AO．又∵PQ∥OA，∴四邊形PQOA為平行四邊形，∴PA∥QO，PA=QO．又∵M(jìn)、N分別為OQ、AP的中點(diǎn)，∴OM=OQ，PN=AP，∴OM=PN，∴四邊形OMPN為平行四邊形．∵OP=OA，N是AP的中點(diǎn)，∴ON⊥AP，即∠ONP=90°，∴四邊形OMPN為矩形；（2）①∵四邊形OMPN為矩形，∴S矩形OMPN=ON·NP=ON·AP，即S矩形OMPN=S△AOP．∵△AOP的底AO為定值，∴當(dāng)P旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)90°（運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)）時(shí)，△AOP的AO邊上的高取得最大值，此時(shí)△AOP的面積取得最大值，∴t=90÷15=6秒，∴當(dāng)t=6秒時(shí)，四邊形OMPN面積最大．此時(shí)，PQ與半圓O相切．理由如下：∵此時(shí)∠POB=90°，PQ//OB，∴∠OPQ=90°，∴PQ與半圓O相切；②當(dāng)點(diǎn)Q在半圓O上時(shí)，∵四邊形POBQ為平行四邊形，且OB=OP，∴四邊形POBQ為菱形，∴OB=BQ=OQ=OP=PQ，∴∠POQ=∠BOQ=60°，即：∠BOP=120°，∴此時(shí)，t=120°÷15°=8秒，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，t=180°÷15°=12秒，綜上所述：當(dāng)8＜t＜12時(shí)，點(diǎn)Q在半圓O內(nèi)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形三線合一，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．18．如圖，點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，以線段AB為邊在第一象限作等邊△ABC，，且CA∥y軸．（1）若點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，求該反比例函數(shù)的解析式；（2）在（1）中的反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N，使四邊形ABCN是菱形，若存在請(qǐng)求出點(diǎn)N坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）點(diǎn)P在第一象限的反比例函數(shù)圖象上，當(dāng)四邊形OAPB的面積最小時(shí)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）y＝；（2）存在，N（2，1）；（3）P（，）．【分析】（1）如圖1中，作CD⊥y軸于D．首先證明四邊形OACD是矩形，利用反比例函數(shù)k的幾何意義解決問題即可．（2）如圖2中，作BD⊥AC于D，交反比例函數(shù)圖象于N，連接CN，AN．求出的坐標(biāo)，證明四邊形ABCN是菱形即可．（3）如圖3中，連接PB，PA，OP．設(shè)P（a，）．可得S四邊形OAPB＝S△POB+S△POA＝×1×a+××＝a+＝由此即可解決問題．【解答】解：（1）如圖1中，作CD⊥y軸于D．∵CA∥y軸，CD⊥y軸，∴CD∥OA，AC∥OD，∴四邊形OACD是平行四邊形，∵∠AOD＝90°，∴四邊形OACD是矩形，∴k＝S矩形OACD＝2S△ABC＝，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝．（2）如圖2中，作BD⊥AC于D，交反比例函數(shù)圖象于N，連接CN，AN．∵△ABC是等邊三角形，面積為，設(shè)CD＝AD＝m，則BD＝m，∴×2m×m＝，∴m＝1或﹣1（舍棄），∴B（0，1），C（，2），A（，0），∴N（2，1），∴BD＝DN，∵AC⊥BN，∴CB＝CN，AB＝AN，∵AB＝BC，∴AB＝BC＝CN＝AN，∴四邊形ABCN是菱形，∴N（2，1）．（3）如圖3中，連接PB，PA，OP．設(shè)P（a，）．S四邊形OAPB＝S△POB+S△POA＝×1×a+××＝a+＝∴當(dāng)a＝時(shí)，四邊形OAPB的面積最小，解得a＝或（舍棄），此時(shí)P（，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，由的幾何意義求的值，菱形的判定與性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算以及最值的求法，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．（1）如圖1，是上一動(dòng)點(diǎn)，是外一點(diǎn)，在圖中作出最小時(shí)的點(diǎn)．（2）如圖2，中，，，，以點(diǎn)為圓心的的半徑是，是上一動(dòng)點(diǎn)，在線段上確定點(diǎn)的位置，使的長(zhǎng)最小，并求出其最小值．（3）如圖3，矩形中，，，以為圓心，為半徑作，為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為直角邊作，，，試探究四邊形的面積是否有最大或最小值，如果有，請(qǐng)求出最大或最小值，否則，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）見詳解；（2）過做于，，交于，這時(shí)最短，最短為；（3）有最大值和最小值，四邊形面積最大值是，最小值是．【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接OP與圓交于一點(diǎn)，這點(diǎn)便是要求的A點(diǎn)；（2）如圖，過做于，，交于，這時(shí)最短，分別在線段，上任取點(diǎn)，點(diǎn)，連接，，根據(jù)垂線段最短，可得最短．然后利用勾股定理和面積相等求得PQ和BP的值；（3）如圖取AB的中點(diǎn)G，連接FG，F(xiàn)C，GC,由△FAG∽△EAD，推出FG:DE=AF:AE=1:3,因?yàn)镈E=3，可得FG=1,推出點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以G為圓心1為半徑的圓，當(dāng)GH⊥AC于H交⊙G于F?,GH的反向延長(zhǎng)線于⊙G交于F?,再利用(2)的結(jié)論可知，HF?或HF?為△AFC的AC邊上的高，HF?最小，HF?最大，由此可得△ACF?面積最小，推出四邊形?的面積最小，通過求解得出最小面積；同理可得△ACF?面積最大，推出四邊形?的最大面積，即可解決問題.【解答】（1）連接線段交于，點(diǎn)即為所求；證明:如圖1延長(zhǎng)PO交⊙O于點(diǎn)B,顯然PB>PA.

如圖2,在⊙O上任取一點(diǎn)C(與點(diǎn)A，B不重合),連結(jié)PC，OC.

∵PO<PC+OC,

且PO=PA+OA，0A=0C,∴PA<PC

∴PA長(zhǎng)是點(diǎn)P與⊙O上各點(diǎn)之間的最短距離.

由此可得：圓外一點(diǎn)與圓上各點(diǎn)之間的最短距離是這點(diǎn)到圓心的距離與半徑的差.（2）過做于，，交于，這時(shí)最短．理由：如圖3，分別在線段，上任取點(diǎn)，點(diǎn)，連接，，由于，根據(jù)垂線段最短，，，又，所以，即最短．在中，，，，這時(shí)．當(dāng)在點(diǎn)左側(cè)米處時(shí)，長(zhǎng)最短是．（3）的面積有最大和最小值．如圖4，取的中點(diǎn)，連接，．，，，，，又，，，，，，，，，點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，連接，則的面積過做于，交于，反向延長(zhǎng)線交于，①當(dāng)在時(shí)，面積最?。碛桑河桑?）知，當(dāng)在時(shí)，最短，這時(shí)的邊上的高最小，所以面積有最小值，在中，，在中，，面積有最小值是；四邊形面積最小值是；②當(dāng)在時(shí)，最大理由：在上任取異于點(diǎn)的點(diǎn)，作于，作于，連接，則四邊形是矩形，，在中，，，又，，即所以是的邊上的最大高，所以面積有最大值，面積有最大值是；四邊形面積最大值是綜上所述，四邊形面積最大值是，最小值是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何量的最值問題，幾何最值問題是近幾年來中考的熱點(diǎn)，常以動(dòng)點(diǎn)、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)為背景，解題時(shí)需要?jiǎng)討B(tài)思維，數(shù)形結(jié)合，特殊與一般相結(jié)合等思想方法．本題用到了相似三角形判定和性質(zhì)，以及勾股定理、三角形的面積公式等知識(shí)．20．如圖1，已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4），矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD，AB分別在x軸，y軸上，且AD=2，AB=3．（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N（如圖2所示）．①設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S，試問：S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．②當(dāng)t=1時(shí)，射線AB上存在點(diǎn)Q，使△QME為直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】（1）y=﹣x2+4x；（2）①以點(diǎn)P、N、C、D所構(gòu)成的多邊形的面積S有最大值，這個(gè)最大值為；②點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1（1，）或Q2（1，1）或Q3（1，3）．【分析】（1）用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式可求出解析式；（2）①根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P、動(dòng)直線AB的移動(dòng)規(guī)律，和拋物線的解析式，用含t的式子表示出點(diǎn)P、N坐標(biāo)，分為PN=0和PN≠0兩種情況，即以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形為三角形和梯形兩種情況討論，即可求出或用含t的式子表示S，求出S的最值；②設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，m），過點(diǎn)M作MG⊥AB于點(diǎn)G，作MH⊥x軸于點(diǎn)H，針對(duì)直角三角形的直角分三種情況討論，要使∠QME=90°，只需△MGQ∽△MHE；要使∠MQE=90°，只需△MGQ∽△QAE；要使∠QEM=90°，則點(diǎn)Q在BA的延長(zhǎng)線上，不符合題意．前兩種情況借助相似三角形的判定，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)線段成比例，列出關(guān)于m的方程，解出即可.【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=，把（0，0）代入解析式得：a=-1，∴拋物線解析式為y=，即：．（2）存在．①由題意得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（t，），∴PN=，當(dāng)PN=0，即t=0或t=3時(shí)，P、N、C、D所構(gòu)成的多邊形為三角形，此時(shí)S=3，當(dāng)PN≠0時(shí)，∵，AD⊥DC，∴S=（CD+PN）?AD=[3+()]×2，=∴當(dāng)t=時(shí)，S最大=＞3，∴以點(diǎn)P、N、C、D所構(gòu)成的多邊形的面積S有最大值，這個(gè)最大值為：；②過點(diǎn)M作MG⊥AB于點(diǎn)G，作MH⊥x軸于點(diǎn)H，則G（1,4），H（2,0）又∵M(jìn)（2，4），E（4，0），A（1,0）∴EH=2，MH=4，MG=1，AG=4，AE=3設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，m），（i）要使∠QME=90°，只需△MGQ∽△MHE，只需MG：GQ=MH：EH，即1：GQ=4：2，解得：GQ=，∴m=，∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（1，）；（ii）要使∠MQE=90°，只需△MGQ∽△QAE，只需MG：GQ=AQ：AE，∴1：（4﹣m）=m：3，解得：m=1或m=3，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q2（1，1）或Q3（1，3）；（iii）要使∠QEM=90°，則點(diǎn)Q在BA的延長(zhǎng)線上，不符合題意．綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1（1，）或Q2（1，1）或Q3（1，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)中雙動(dòng)點(diǎn)問題中多邊形面積最大值的問題，動(dòng)點(diǎn)問題中的直角三角形的存在性問題；此題把S表示成t的二次函數(shù)，通過作輔助線，把直角三角形問題轉(zhuǎn)化為相似三角形中線段成比例的問題，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題是解題的關(guān)鍵.21．如圖，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線為的直徑，過點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）填空：①當(dāng)?shù)亩葦?shù)為時(shí)，四邊形為正方形；②若，，則四邊形的最大面積是．【答案】（1）證明見解析；（2）①；②9．【分析】(1)根據(jù)已知條件得到CE是的切線．根據(jù)切線的性質(zhì)得到DF=CF,由圓周角定理得到∠ADC=90°，于是得到結(jié)論;(2)①連接OD,根據(jù)圓周角定理和正方形的判定定理即可得到結(jié)論;②根據(jù)圓周角定理得到∠ADC=∠ABC=90°，根據(jù)勾股定理得到根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵是的直徑，，∴是的切線．又∵是的切線，且交于點(diǎn)，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，，∴，∴，∴．(2)解:①當(dāng)∠ACD的度數(shù)為45°時(shí)，四邊形ODFC為正方形;理由:連接OD,∵AC為的直徑,∴∠ADC=90°,∵∠ACD=45°,∴∠DAC=45°,∴∠DOC=90°,∴∠DOC=∠ODF=∠OCF=90°,．∵OD=OC,∴四邊形ODFC為正方形;故答案為：45°②四邊形ABCD的最大面積是9,理由:∵AC為的直徑,∴∠ADC=∠ABC=90°,∵AD=4，DC=2,∴,∴要使四邊形ABCD的面積最大，則△ABC的面積最大,∴當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，△ABC的面積最大，∴四邊形ABCD的最大面積：故答案為：9【點(diǎn)評(píng)】本題以圓為載體，考查了圓的切線的性質(zhì)、平行線的判定、平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形全等的判定和45°角的直角三角形的性質(zhì)，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．如圖，拋物線y=ax2+bx+2交x軸于點(diǎn)A(-3，0)和點(diǎn)B(1，0)，交y軸于點(diǎn)C(1)求這個(gè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1，0)，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ADCP面積的最大值．(3)點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，問：在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使△MNO為等腰直角三角形，且∠MNO為直角？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y=-x2-x+2；(2)S的最大值為；(3)存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：(，)或(，)或(，)或(，)．【分析】(1)拋物線的表達(dá)式為：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，即-3a=2，即可求解；(2)S四邊形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC，即可求解；(3)分點(diǎn)N在x軸上方、點(diǎn)N在x軸下方兩種情況，分別求解．【解答】解：(1)拋物線的表達(dá)式為：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，即-3a=2，解得：a=-，故拋物線的表達(dá)式為：y=-x2-x+2，則點(diǎn)C(0，2)，函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=1；(2)連接OP，設(shè)點(diǎn)P(x，-x2-x+2)，則S=S四邊形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC=×AO×yP+×OC×|xP|-×CO×OD=(-x2-x+2)×2×(-x)-=-x2-3x+2，∵-1＜0，故S有最大值，當(dāng)x=-時(shí)，S的最大值為；(3)存在，理由：△MNO為等腰直角三角形，且∠MNO為直角時(shí)，點(diǎn)N的位置如下圖所示：①當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，點(diǎn)N的位置為N1、N2，N1的情況(△M1N1O)：設(shè)點(diǎn)N1的坐標(biāo)為(x，-x2-x+2)，則M1E=x+1，過點(diǎn)N1作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)M1作x軸的平行線交N1F于點(diǎn)E，∵∠FN1O+∠M1N1E=90°，∠M1N1E+∠EM1N1=90°，∴∠EM1N1=∠FN1O，∠M1N1E=∠N1OF=90°，ON1=M1N1，∴△M1N1E≌△N1OF(AAS)，∴M1E=N1F，即：x+1=-x2-x+2，解得：x=(舍去負(fù)值)，則點(diǎn)N1(，)；N2的情況(△M2N2O)：同理可得：點(diǎn)N2(，)；②當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，點(diǎn)N的位置為N3、N4，同理可得：點(diǎn)N3、N4的坐標(biāo)分別為：(，)、(，)；綜上，點(diǎn)