2022版新高考數(shù)學(xué)人教A版一輪總復(fù)習(xí)集訓(xùn)：模塊卷（一）立體幾何

模塊卷（一）

時(shí)間：110分鐘分值135分

立體幾何

一、選擇題:本題共11小題,每小題5分，共55分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是（）

答案D由于該幾何體的正視圖和側(cè)視圖相同,且上部分是一個(gè)矩形，矩形中間無(wú)實(shí)線和虛線，因此俯視圖

不可能是D.

2.已知正三角形力史的邊長(zhǎng)為a,那么△/!比■的平面直觀圖八川夕右的面積為（）

答案D圖①②分別表示正三角形的實(shí)際圖形和直觀圖.

由斜二測(cè)畫(huà)法可知,4夕=48=2。匕'=；。仁=￥2

在圖②中作U'O'14'8于則C'D'^-O'C^a.

二￡4夕(7=豺夕,CD《xax絡(luò)a=^#.

方法總結(jié)平面圖形與其直觀圖的面積關(guān)系如下：

根據(jù)水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則即可得到平面圖形的面積是其直觀圖面積的2企倍.

3.如圖，長(zhǎng)方體力3848￡4的體積是36,點(diǎn)F在棱CG上，且U￡=2fG,則三棱錐&5C。的體積是

)

A.3B.4C.6D.12

答案B因?yàn)殚L(zhǎng)方體力的體積是36,

所以BC-CD-UG=36,又點(diǎn)￡在棱UG上，且CE=2EQ,

所以三棱錐后灰7。的體積是gx^xBCCD).EC

=|xgxBC-CD)-^CCi=^BC-CD-CG=1x36=4.

故選A

思路分析由錐體的體積公式可得三棱推的體積為CDUG,結(jié)合長(zhǎng)方體/8S4&G2的體積是

36可得結(jié)果.

4.如圖，在三棱柱中底面ABC.ABVBC,AA^AC^2,^4c與側(cè)面員8所成的角

為30：則該三棱柱的側(cè)面積為()

刀

A.4+4V2B.4+4V3C.12D.8+4或

答案A連接力18.因?yàn)锳4il底面/8C所以//1I8C又所以8c平面氏

所以直線4U與側(cè)面力4氏8所成的角為/Oh8=30。.又44二月回2,所以A\C=2五,BC二五又ABVBC,

所以二四，貝I」該三棱柱的側(cè)面積為2x72x2+2x2=4+472.

方法總結(jié)不同類型的幾何體表面積的求法.

求多面

體的表只需將它們沿著棱"剪開(kāi)"展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積

面積

求旋轉(zhuǎn)

可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其幾何特征入手，將其展開(kāi)后求表面積,但要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)

體的表

側(cè)面展開(kāi)圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系

面積

求不規(guī)

則幾何通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求

體的表和或作差,求出所給幾何體的表面積

面積

5.(2020上海普陀一模,15)已知兩個(gè)不同的平面劣￡和三條不重合的直線己力卻下列命題中正確的是

()

A.若a4"?！?6則a//b

B.若a,6在平面a內(nèi)，且c_La,c_Lb,則da

C.若是兩兩互相異面的直線，則只存在有限條直線與a,6,c者阱目交

D.若分別經(jīng)過(guò)兩異面直線a,b,且an￡=c則c必與a或6相交

答案D對(duì)于選項(xiàng)A,若aii/an￡=6,則直線a也可能與直線6異面，故錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)B,只有當(dāng)直線a和6為相交直線時(shí)，若cla,cl8則cla.故錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C,若a,6,c是兩兩互相異面的直線，則要么存在一條直線或不存在直線與a,6,c都相交.故錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)D,若a/分別經(jīng)過(guò)兩異面直線a,6且an￡=c則c必與a或6相交,正確.

故選D

6.(2020黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)復(fù)學(xué)考試,5)在正方體/18C24&G。!中，例/V分別是線段ZI8i,3G的中點(diǎn)，

以下結(jié)論:①直線8。一直線用2②直線例/V與直線?異面;③直線用平面3。。員;④例/V考44,其

中正確的個(gè)數(shù)是()

A.lB.2C.3D.4

答案C本題主要考查正方體的性質(zhì)，線面垂直的判定與性質(zhì)以及平行公理,考查的核心素養(yǎng)為邏輯推理

和直觀想象.

過(guò)用作ME1ABT￡過(guò)/V作NFLBC于￡連接￡￡由于例/V分別為的中點(diǎn)故

用田爐G耳眄口??四邊形例/V任為平行四邊形,.??例歷又EF：SAC,

..MN：：4C故結(jié)論②錯(cuò)誤;

??,ACLBD,AC1BBL8DCB;.ACL平面BDDiB^.ACl/EF.EFiiMN,：.ACiiMNr.MN]礴

8。。員，故結(jié)論③正確;由例/V」平面BD6區(qū)可知例/V」_8。故結(jié)論①正確;由正方體的性質(zhì)可知

〃=04〃.⑨2=4多0當(dāng)14,故結(jié)論④正確.綜上所述，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為3.故選C.

7.在棱長(zhǎng)均相等的四面體043C中，例/V分別是棱O48U的中點(diǎn)，則異面直線MN與所成角的大小為

（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

答案B取03的中點(diǎn)828的中點(diǎn)Q連接松戶/VUQOQ

由中位線定理可知MPHAB.PNiiOC.

則/必例:或其補(bǔ)角）為異面直線MN與48所成的角.

因?yàn)镸PiiAB.PNiiOCQQ[AB,CQ1_AB,

且CQr\。小Q所以481平面OCQ,

貝IJ48LOC所以"以，也

因?yàn)樗拿骟wO/3C的棱長(zhǎng)均相等，所以PM=PN,

所以△MPN為等腰直角三角形，

所以/PMN=45°,

故選8

名師點(diǎn)睛本題考查了異面直線所成角的求法，以及線面垂直的判定.

8.（2020四川遂寧三診,7）用六個(gè)完全相同的正方形圍成的立體圖形叫正六面體.已知正六面體

ABa>A\B\C\6的棱長(zhǎng)為4,則平面ABM與平面3G。間的距離為（）

A.V3B.當(dāng)C.竽D.2V3

答案C由題意知正六面體48s481G2是棱長(zhǎng)為4的正方體，

'AB\IIDCi,BiDiiiBD,AB\nBiDi=Bi,QDCBD=-D,

二平面ABiDi/I平面BCiD,

連接4c可得4cl平面4&44G平面BQD.

設(shè)垂足分別為￡￡則平面與平面8G。間的距離為樂(lè)的長(zhǎng).

正方體的體對(duì)角線4c的長(zhǎng)為V42+42+42=46.

在三棱錐A^-ABXDY中，由等體積法求得抖/”代嘩

興今X4J2X4/2X竽$

二平面四功與平面陷。間的距離為46-竽=孚

故選C.

9.(2020北京石景山一模,10)點(diǎn)例/V分別是棱長(zhǎng)為2的正方體45S4員G2中棱5CCG的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)

戶在正方形員工員(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng).若外1I平面力仞V則以1的長(zhǎng)度范圍是()

A.[2,V5]

B悸網(wǎng)

q挈,3]

D.[2,3]

答案B本題考查線面平行與空間向量的應(yīng)用，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決幾何問(wèn)題的能力,

滲透直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

如圖所示，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，則。(0,0,0),42,0,0),例：120),乂0,2,1),4(2,0,2).設(shè)f\m,2,欣ivmw2,0

<n<2).

故箱=(-120),麗=(-1,0,1),北=("2,2,"-2),

設(shè)平面/A4/V的法向量為n=(x,y,R.

y

:27no'令42則y^l,z=2.

所以77=(2,1,2),

因?yàn)镻AX平面4用/V所以審"=0.

故罰-n=(m-2,2,n-2)-(2,1,2)=0,S^m+n-3,

設(shè)線段&8、81G的中點(diǎn)分別為E、斤因而點(diǎn)P在線段用上，根據(jù)圖形對(duì)稱性(當(dāng)點(diǎn)戶與點(diǎn)￡或尸重合

時(shí),|〃h|max=點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P為線段爐的中點(diǎn)時(shí),|外1隔=挈，故選B.

解題關(guān)鍵建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算確定點(diǎn)。的軌跡是解題的關(guān)鍵.

10.(2020湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考二,12)如圖，已知四面體48。的各條棱長(zhǎng)均等于4,￡尸分別是棱AD、

8c的中點(diǎn).若用一個(gè)與直線用垂直，且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面a去截該四面體，由此得到一個(gè)多

邊形截面，則該多邊形截面面積的最大值為()

A.3V2B.4C.4V2D.6

答案B將正四面體補(bǔ)成正方體如圖,

可得平面BG且正方形C"8G的邊長(zhǎng)為2企，

由于EF\_a故截面為平行四邊形MNKL,且KL+KN=4,

又KLIIBC,KN!i4。且ADLBC,:.KN^KL,

.SMNKL=KN-心?”產(chǎn)了=4,當(dāng)且僅當(dāng)KL=KN=2時(shí)取等號(hào),所以該多邊形截面面積的最大值為4.

故選A

思路分析

不等式即可求出答案.

11.（2020湖南衡陽(yáng)八中適應(yīng)性考試,12）如圖所示，在△力員7中/8=BC=2Z>156=120=若平面/8C外的點(diǎn)

戶和線段上的點(diǎn)。滿足陽(yáng)ZM戶8=班,則四面體"BCO的體積的最大值為（

A.1B.|C.|D.l

答案B因?yàn)?8=8U=2,NXI5U=120：

所以AC=V22+22-2x2x2cosl20°=2V3,

NACB=/S8=30：

設(shè)O%則DP=x,DC-2\l3-x,

設(shè)P到平面8。的距離為力則h&PD=x,

貝!I5"=?80<"><5話/0=?2乂（2屈渴匚磬

貝！IV四面體PBCD=\^S\BCDX力蕓XXxx="i（X-V3）2+1,

33ZOL

所以當(dāng)mV5時(shí),四面體夕8。的體積取得最大值，為今

故選8

思路分析根據(jù)題意，設(shè)力慶％表示出△8。的面積，進(jìn)而表示出四面體外。的體積根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)

即可求得戶8。的體積的最大值.

二、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

12.將圓錐的側(cè)面展開(kāi)后得到一個(gè)半徑為2的半圓，則此圓錐的體積為.

答案骨

解+析設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為/高為方,則/=2,

由題意可知刀/=如由勾股定理得力=廬/=①

因此，該圓錐的體積為彳（西亭,12x75=乳

思路分析設(shè)圓推的底面半徑為/;母線長(zhǎng)為/高為九由題意得出/=2,根據(jù)圓錐底面圓周長(zhǎng)等于展開(kāi)后半圓

的弧長(zhǎng)得出。再由勾股定理得出力的值，最后利用推體的體積公式計(jì)算出圓錐的體積.

13.（2020山東濰坊臨胸一模,16）三棱推的4個(gè)頂點(diǎn)在半徑為近的球面上,24―平面ABC,ABC

邊長(zhǎng)為V5的正三角形，則點(diǎn)4到平面的距離為

答案I

解+析將三棱錐2/I8C補(bǔ)成三棱柱，如圖.上、下底面中心Q、Q所連線段的中點(diǎn)。為外接球的球心,

易知/W=?8=|〃./Q=|z/V=|xM=l,「.OQ=y5^57=VFT=L，%=2Oa=2,

設(shè)力到平面國(guó)U的距離為a

則由VA-PBC=16M8c得:/SKPB.3PA-S匕ABG

.弓竭8cxPN*PAgBCxAN,

?'^4/xix^/3xj=ix2xix^/3x2.-.（y=5/

故點(diǎn)力到平面外u的距離為名

思路分析補(bǔ)成三棱柱后找到外接球的球心，計(jì)算外，再利用等體積法可得.

14.（2020湖北襄陽(yáng)五中、夷陵中學(xué)4月聯(lián)考,16）三棱錐S-/8U中，點(diǎn)。是RtZ\4&7斜邊上一點(diǎn)，給出下

列四個(gè)命題：

①若91上平面則三棱錐548U的四個(gè)面都是直角三角形；

②若AC=BC=SC=2,SC_平面則三棱錐S-4"的外接球表面積為12n;

③若/C=3,5C=4,SC=V5,Sffi￥0上的射影是△/紀(jì)內(nèi)心廁三棱錐3c的體積為2;

④若AC^,BC=A,SA^3,SALW^4力則直線"S與平面S5C所成的最大角為45：

其中正確命題的序號(hào)是.（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

答案①②④

解+析對(duì)于①，因?yàn)橐砸黄矫鎆8C所以SALAC,SAVAB.SALBC,5i8cLzc所以平面夕I。所以

BQSC故四個(gè)面都是直角三角形〃?.①正確；

對(duì)于②，若ZU=8U=5C=2,5cl平面/8G?.三棱錐S-Z8U的外接球可以看作棱長(zhǎng)為2的正方體的外接

球」2/?=2百"?.外接球表面積為12n〃?.②正確；

對(duì)于③，設(shè)△/§右的內(nèi)心是。連接5。則5。一平面/sc連接。。則有sa+OC=SG又內(nèi)切圓半徑

々匏3+4-5）=1，所以"=四則S0=SC-Oe=5-2=3,故SO島.三棱錐的體積匕阻

ABC-SO；x：x3x4xg=2W.③不正確;

對(duì)于④二91=3,平面48C則直線0S與平面S8U所成的角最大時(shí)〃點(diǎn)與Z點(diǎn)重合，在RtA5C4中,tan

/ZSC4=L」"/ISU=45:即直線AS與平面55c所成的最大角為45。二④正確.

15.（2020山西太原4月模擬（一）,15）在如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，正方形框架的邊長(zhǎng)都是1,且平面ABCDLW-

面歷活動(dòng)彈子例/V分別在正方形對(duì)角線ZC8尸上移動(dòng)，若。儂8V則例/V長(zhǎng)度的最小值為.

答案烏

解+析本題主要考查面面垂直的性質(zhì),平行線分線段成比例的應(yīng)用，求二次函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)

生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)為邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.

過(guò)例作MQL項(xiàng)于Q連接QM..平面平面48歷且交線為/瓦.?.例Q,平面ABEF,又QNu平面

ABEF,:.MQLQN設(shè)3=82=疑＜a〈?廁AM=NF=&-a;:MQlAB,：.MQ*%嚶=管=怒又知

CM=BN,AM=NF,AC=BF,:黑=空=槳,:.QN§且Q/V=魘同理,Q例=1摹在Rt4MQN

nD/ICDrZZ

中,M/V=,QN2+QM2=］照a）+（1-孝a）=Ja2-Ha+l=j（a-苧）+去3=竽時(shí),例/V

取得最小值孝.即用2長(zhǎng)度的最小值為手.

解后反思解決本題的關(guān)鍵是把求最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值.

三、解答題:共60分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

16.（12分）如圖所示，已知P是。48C。所在平面外一點(diǎn),M、/V分別是48/很中點(diǎn)平面PAD^平面PBC=Z

Q）求證:///BC.

（2）例/V與平面4"是否平行?試證明你的結(jié)論.

解+析Q）證明:因?yàn)锽CAD,BQ平面PAD.ADc平面PAD,

所以8G平面PAD.

又因?yàn)槠矫鎽羝矫鍼Ag,

所以BCH/.

⑵平行證明如下:取戶。的中點(diǎn)￡連接力￡“￡可以證得NE/例且NE=AM.

可知四邊形為例/VE為平行四邊形.

所以MN：：力￡又因?yàn)镸N^平面APD.AEc平面力也所以MN；平面APD.

17.（12分）（2020福建南平質(zhì)檢一,19）如圖，在幾何體/8L431G中,四邊形為矩形,44#UG且

44=2CG,￡為力員的中點(diǎn).

（1）求證:8平面4氏G;

⑵若平面力8814人平面ABC.ABLBC,AB=BC=CG=2,求三棱錐E-ACC1的體積.

解+析⑴證明:如圖，取的中點(diǎn)￡連接EFFQ,

:E為ABT的中點(diǎn),.ifF,*4/且EF^AxA,

CCiS.AAi=2CCi,

??.EFNUG且仔三CG,即四邊形"GC為平行四邊形,

:gCiF.

.?UR平面4仇G,G丘平面48iG,

:.CEn平面48iG.

(2).?平面2%41平面28c交線為加且AAxlAB,

..44_L平面ABC,

:AA1；；CG,.?.y!_!_平面ABC,

:BBi1/CCi,BBid平面AiCiC,CCici平面4GC

%平面4GC

"^E-ACCi=2%「4CC]=2^B-ACCi^CfABC

111cc今2

=2X3X2X2X2X2=3-

思路分析(1)取48i的中點(diǎn)￡連接￡7/G,證明CEnG￡即可證明線面平行；

(2)根據(jù)二棱推的等積法得％-4CC[=4%]-4CCi=3%-4CCI即可求解.

18.(12分)(2020北京東城二模,16)如圖①，四邊形ABCD電AD*BC,CDLBC,BC=CA\,AA2,E為AD

中點(diǎn).將△48F沿跳折起到△48F的位置，如圖②.

(1)求證:平面4￡81平面Ag

⑵若/4￡。=90:求4c與平面48。所成角的正弦值.

A

解+析(1)證明:因?yàn)樗倪呅沃?。'BC,CD[BC,BC=1,A82,E為4。中點(diǎn)，所以BELAD.

故題圖②中,8￡上4￡8￡1DE.

又因?yàn)?FADE=EAEDEc平面AXED,

所以8F1平面4?！?/p>

又因?yàn)锽Ec平面AiEB,

所以平面平面A、ED.

(2)由/41￡。=90得

又A\EIBE,BE1DE,

因此，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz.

由A、E=CD=DE=\,

得A(0,0,l),5(l,0,0),qi,l,0),2X0,1,0),

則曜=(1,0,-1),砧=(0,L-l).

設(shè)平面45。的法向量為"=(%yZ,

則『史=0,即匕-;：,

{n-A1D=0,(y-z—0,

令介1,得ml,片L

所以〃=(LL1)是平面48〃的一個(gè)法向量.

易知砧=(1,1,-1),

設(shè)直線4c與平面45。所成角為a

所以sin比|cos<〃,碇>|=解=最

思路分析(1)在題圖①中證明b￡L/l?？傻迷陬}圖②中,8￡L4￡3￡L?！耆缓笞C明8￡1平面即可

證明平面AXEB__平面AiED.

(2)建立以F為原點(diǎn),￡氏￡41所在直線分別為x軸/軸,z軸的空間直角坐標(biāo)系求出平面43。的一

個(gè)法向量,結(jié)合卡=Q,L-1),利用空間向量的數(shù)量積即可求解直線4c與平面45。所成角的正弦值.

19.(12分)(2020貴州貴陽(yáng)一中月考一,17)如圖,多面體力8。斤中,四邊形48。是平行四邊形為

鈍角,四邊形力尸E。為直角梯形/￡)且AF=2,DE=4BF=2?AB=2,BC=2.

(1)求證4cL

(2)若點(diǎn)尸到平面。上的距離為國(guó),求直線尾與平面所成角的正弦值.

解+析(1)證明:在△48尸中/F=43=2,BF=2V2,

所以2尸+4所=8尸,所以48」一ZE

又因?yàn)锳F\_AD,ABr\AD=A,

所以平面力因?yàn)锳FiiDE,

所以O(shè)EL平面所以DEVAC,

在平行四邊形ABCD中/5=3c=2,所以平行四邊形力8。為菱形，

所以ACl8。又BDCDE=D,

所以4G平面BDE,又BEc平面5。￡所以AC1BE.

(2)如圖，設(shè)ZU與8。交于點(diǎn)O,

因?yàn)榱Α！昶矫?DE且垂足為。所以/CEO為直線紇與平面8DF所成角.

因?yàn)锳FiiDE.AF1平面CDE.DEc平面?！晁訟Fii平面CDE,

所以點(diǎn)尸到平面。立的距離等于點(diǎn)力到平面。上的距離.

由Q)知。一平面ABCD5L直紀(jì)平面ECD.

所以平面ABCD\平面37。且交線為CD.

過(guò)/作AHV則AHV平面ECD,

所以44=舊廁/4?！焙?/p>

易知ZBD*QC聾C加痘,

DEC中,EC^y/DC2+DE2=2低

所以sin/OEC=^=^^-.

所以直線尾?與平面坑?￡所成角的正弦值為嗜.

名師點(diǎn)睛本題考查了空間線線垂直的證法，考查線面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中

檔題.

思路分析（1）利用勾股定理的逆定理證得力8上結(jié)合/尸1_4。證得平面根據(jù)線線平行證得

。。平面43。由此證得OE1ZC判斷出四邊形4