專題10 雙曲線中的最值問題(解析版)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項重難點突破練（新高考專用）

第第頁專題10雙曲線中的最值問題限時：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，動點在雙曲線的右支上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】因為動點在雙曲線的右支上，由雙曲線定義可得：，所以，因為，，所以，，所以，將代入得：.故選：B．2．過橢圓右焦點F的圓與圓外切，該圓直徑的端點Q的軌跡記為曲線C，若P為曲線C上的一動點，則長度最小值為（

）A．0 B． C．1 D．2【解析】橢圓，，所以.設(shè)以為直徑的圓圓心為，如圖所示：因為圓與圓外切，所以，因為，，所以，所以的軌跡為：以為焦點，的雙曲線的右支.即，曲線.所以為曲線上的一動點，則長度最小值為.故選：C3．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在的左支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】由題意得，故，如圖所示：到漸近線的距離,則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線時取等號，∴的最小值為.故選：D4．已知點A在雙曲線C：（b>0）上，且雙曲線C的上?下焦點分別為F1，F(xiàn)2，點B在∠F1AF2的平分線上，BF2⊥AB，若點D在直線l：，則|BD|的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】作出圖形如圖所示，設(shè)A為雙曲線C下支上的一點，延長F2B與AF1交于點M，連接OB，由BF2⊥AB，且∠F1AB=∠F2AB，可得，故，故，則點B落在圓上,因為點O到直線l：的距離為，故的最小值為，故選：D5．已知雙曲線的右焦點為F，，直線MF與y軸交于點N，點P為雙曲線上一動點，且，直線MP與以MN為直徑的圓交于點M?Q，則的最大值為（

）A．48 B．49 C．50 D．42【解析】由雙曲線方程知：右焦點，在雙曲線上，直線方程為，令，解得：，；以為直徑的圓的圓心為，且．連接，在以為直徑的圓上，，，；為雙曲線上一點，且，，；故選：A6．已知直線與雙曲線相交于兩點，為坐標(biāo)原點，若，則的最小值為（

）A．20 B．22 C．24 D．25【解析】依題意得直線與的斜率都存在且不為0，不妨設(shè)直線的方程為，則直線的方程為．設(shè)，，聯(lián)立，得，則，，，同理可得，，所以即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故選：C7．雙曲線右焦點為，離心率為，，以為圓心，長為半徑的圓與雙曲線有公共點，則最小值為（

）A． B． C． D．【解析】由題意，右焦點，又，則，，以為圓心，為半徑的圓的方程為，聯(lián)立方程組，得，由圓與雙曲線有公共點，所以，即，結(jié)合，化簡為，由方程兩根為：，，所以不等式的解為，或，由已知，得所以，當(dāng)時，取得最小值.故選：A8．設(shè)雙曲線：的離心率為，過左焦點作傾斜角為的直線依次交的左右兩支于，，則有．若，為的中點，則直線斜率的最小值是（

）A． B． C． D．【解析】因為，所以，又，所以，則，所以，設(shè)，，則，，所以，即，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即直線斜率的最小值是.

故選：C二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合題目要求的.9．已知雙曲線C的方程為，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線C的漸近線方程為B．雙曲線C的實軸長為8C．雙曲線C的焦點到漸近線的距離為3D．雙曲線C上的點到焦點的距離的最小值為【解析】由雙曲線C的方程為，得：，，對于A：雙曲線C的漸近線方程為，故A正確；對于B：雙曲線C的實軸長為，故B正確；對于C：取焦點，則焦點到漸近線的距離，故C正確；對于D：雙曲線C上的點到焦點距離的最小值為，故D錯誤；故選：ABC.10．已知雙曲線，過其右焦點的直線與雙曲線交于兩點，，則（

）A．若在雙曲線右支上，則的最短長度為1B．若，同在雙曲線右支上，則的斜率大于C．的最短長度為6D．滿足的直線有4條【解析】由雙曲線可得，，所以，對于A：若在雙曲線右支上，則的最短長度為，故選項A正確；對于B：雙曲線的漸近線方程為：，若，同在雙曲線右支上，則的斜率大于或小于，故選項B不正確；對于C：當(dāng)，同在雙曲線右支上時，軸時，最短，將代入可得，此時，當(dāng)，在雙曲線兩支上時，最短為實軸長，所以的最短長度為，故選項C不正確；對于D：當(dāng)，同在雙曲線右支上時，，當(dāng)，在雙曲線兩支上時，，根據(jù)雙曲線對稱性可知：滿足的直線有4條，故選項D正確；故選：AD.11．已知為坐標(biāo)原點，雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，離心率為2，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點，且的最小值為6，則（

）A．該雙曲線的方程為 B．若，則直線的斜率為C．的最小值為25 D．面積的最小值為12【解析】對于A，依題意可知，，，結(jié)合，得，，所以雙曲線的方程為，故A正確；對于B，易知，拋物線漸近線的斜率為，設(shè)，，直線，由直線與雙曲線的右支交于兩點，所以，從而，聯(lián)立，得，則，，，若，則，即，解得，不滿足，故B錯誤；對于C，由，則，，所以因為，所以，故C正確；對于D，，設(shè)，則，，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，故D正確，故選：ACD．12．已知動點是雙曲線上的點，點是的左、右焦點，是雙曲線的左、右頂點，下列結(jié)論正確的是（）A．雙曲線的離心率為B．點在雙曲線的左支時，的最大值為C．點到兩漸近線的距離之積為定值D．若是△的面積，則為定值【解析】對A：因為雙曲線，故可得，則離心率，故A正確；對B：因為，故可得，則，因為，則，令，故，，故當(dāng)時，取得最大值.故B錯誤；對C：設(shè)點，則，又雙曲線漸近線為，故到兩漸近線的距離之積為.故C正確；對D：不妨設(shè)點在軸上方，則，則，又，，故，又，故；當(dāng)點在軸下方時，同理可得.故D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知雙曲線C的方程為，，，雙曲線C上存在一點P，使得，則實數(shù)a的最大值為.【解析】設(shè)點，由得：，所以，化簡得：，即滿足條件的點在圓上運動，又點存在于上，故雙曲線與圓有交點，則,即實數(shù)a的最大值為2，14．雙曲線：的左，右頂點分別是，，是上任意一點，直線，分別與直線：交于，，則的最小值是．【解析】由雙曲線的對稱性可知，只需研究在右支上時，取最小值的情況.由上可得，，根據(jù)雙曲線方程可得，所以設(shè)直線的斜率分別為，則．的方程為，令，解得，的方程為，令，解得，所以，(當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立)．故答案為：.15．已知點，若雙曲線的右支上存在兩動點，，使得，則的最小值為.【解析】設(shè)，則，即.因為，所以，則.因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即的最小值是.16．已知雙曲線，過雙曲線C上任意一點P作兩條漸近線的垂線，垂足分別為M，N，則的最小值為.【解析】因為雙曲線，所以雙曲線的漸近線方程為，設(shè)是雙曲線上任意一點，則，所以，則，由點線距離公式得，兩邊平方得，所以，即的最小值為.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知雙曲線的實軸長為，離心率為.動點P是雙曲線C上任意一點.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點，求線段的中點Q的軌跡方程；(3)已知點，求的最小值.【解析】（1）依題意，，又離心率為，即，則.所以，雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)動點，點，由線段的中點為Q，則，代入雙曲線C的方程得，所以Q的軌跡方程.（3）動點P是雙曲線C上任意一點，設(shè)，則，則，，或，，當(dāng)時，取最小值，最小值為.18．在平面內(nèi)，動點M（x，y）與定點F（2，0）的距離和它到定直線的距離比是常數(shù)2.(1)求動點的軌跡方程；(2)若直線與動點的軌跡交于P，Q兩點，且（為坐標(biāo)原點），求的最小值.【解析】（1）由已知可得：，整理化簡可得：，即,所以動點的軌跡方程為：；（2）由可設(shè)直線OP的方程為，直線OQ的方程為，由，可得，所以，同理可得，又由且，可得，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為6.19．已知雙曲線過點，左?右頂點分別是，右焦點到漸近線的距離為，動直線與以為直徑的圓相切，且與的左?右兩支分別交于兩點.(1)求雙曲線C的方程；(2)記直線的斜率分別為，求的最小值.【解析】（1）因為點在雙曲線上，故，即，而雙曲線的漸近線方程為，到一條漸近線的距離為，所以，解得，又，

所以，故所求雙曲線的方程為；（2）因為雙曲線的方程為，所以，故以為直徑的圓為，而直線是其切線，所以應(yīng)滿足，得，而坐標(biāo)滿足，消去得，求得，而，故，由此可得（*），由于分別在的左?右兩支，故，因此，所以，將代入整理得，又，故，顯然，由題意得，故，

所以，將及代入，求得，而，故，又，故，即.20．設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，且E的漸近線方程為．(1)求E的方程；(2)過作兩條相互垂直的直線和，與E的右支分別交于A，C兩點和B，D兩點，求四邊形ABCD面積的最小值．【解析】（1）由題意，得的漸近線方程為，因為雙曲線的漸近線方程為，所以，即，又因為，所以，則，故的方程為．（2）根據(jù)題意，直線，的斜率都存在且不為0，設(shè)直線，，其中，因為，均與的右支有兩個交點，所以，，所以，將的方程與聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以，用替換，可得，所以．令，所以，則，當(dāng)，即時，等號成立，故四邊形面積的最小值為．

21．已知雙曲線，（，）的實軸長為2，且過點，其中為雙曲線的離心率．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點且斜率不為0的直線與的左、右兩支分別交于點，點在線段上，且，為線段的中點，記直線，（為坐標(biāo)原點）的斜率分別為，，求的最小值．【解析】（1）因為雙曲線的實軸長為2，則，由雙曲線過點，且，則，即，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線，，，由題意可知，聯(lián)立方程，整理得，由題意可得，解得或，則，．可得，，則，所以．因為，則，整理得，則，即，則．所以，即．∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時，等號成立，此時或，均滿足與的左、右兩支分別相交．∴的最小值為6．22．已知雙曲線Γ：經(jīng)過點，且其中一焦點到一條漸近線的距離為1.(1)求雙曲線Γ的方程；(2)過點P作兩條相互垂直的直線PA，PB分別交雙曲線Γ于A，B兩點，求點P到直線AB距離的最大