2022年全國甲卷數(shù)學（理科）高考真題文檔版（答案）

絕密★啟用前

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(全國甲卷)

理科數(shù)學

參考答案

注意事項：

1.答卷前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位

號填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號

及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標

號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，

將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.C2.B.3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.11

14.—

3

16.V3-l##-l+V3

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?

21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)

要求作答.

(-)必考題：共60分.

25

17.(1)解：因為——+n=2cin+1,即2S〃++〃①，

n

當〃22時，②，

22

①一②得，+72-2S?_1-(n-1)=2/14Z??+?-2(^-1)^-(n-l),

即2a〃+2〃-l=2w〃-2(〃-1)+1,

即=2(〃-1),所以a“-a,i=l,且“eN*,

所以｛a,,｝是以1為公差的等差數(shù)列.

(2)-78.

18.(1)證明：在四邊形4BCD中，作。ELAfi于E,于尸，

因為CO//AB,AD=CO=C8=1,AB=2,

所以四邊形ABC。為等腰梯形，

所以AE=BF=L,

2

G__________

故。石=〒，BD=1DE2+BE2=G,

所以4。2+8。2=他2，

所以AD_LBD，

因為PD_L平面ABC。，BDu平面ABC。，

所以

又PDcAD=D，

所以8。，平面PA。，

又因B4u平面PAD,

所以

⑵好.

5

19.(1)0.6；

(2)分布列見解析,E(X)=13.

【解析】依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,所以，

p(X=0)=().5X0.4x0.8=0.16,

P(X=10)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P(X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

p(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列為

X0102030

p0.160.440.340.06

期望E(X)=0x0.16+10x0.44+2()x0.34+30x0.06=13.

20.⑴/=以；

(2)AB;x=y/2y+4.

21.已知函數(shù)/(x)=---lnx+x-a.

(1)(-oo,e+l]

(2)由題知,/(x)一個零點小于1,一個零點大于1

不妨設為<1<々

1

要證不工2<1,即證x<一

'2

1(1、

因為％,一G(0，1),即證/(內)〉/-

X2kX27

1、

因為/(xj=/(i)，即證/(%2)>/—

e"-1

即證----Inx+x-xer-Inx——>0,XG(l,+oo)

XX

e*-

即證——xe*—2

X

下面證明尤>1時,

、ex-

設g(x)=---xex,x>1,

X

(n1

y1—ev-e^

lX)

x—\

設夕(x)=一(x>—x>0

Xx~

所以夕(x)>°(l)=e,而e：<e

所以史-拉>0,所以gU)>。

X

所以g(x)在(1,4W)單調遞增

p—

即g(x)>g(l)=O,所以J—xe，>0

x

1

令/z(x)=x,x>1

X

hf(x)=—

x

所以/z(x)在(1,+c。)單調遞減

即〃(無)<人(1)=0,所以1nx-<0；

2(x)

八，e*1,1(1)

綜上，----xe'—2nInx—x—>0,所以MW<。

x2xJ

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,

則按所做的第一題計分.

［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

22.(1)/=6x-2(y>0)；

(2)G，G的交點坐標為(1,2),G，02的交點坐標為［一；,一1］，(-1,-2).

［選修4-5：不等式選講］

23.(1)證明：由柯西不等式有［。2+尸+(242］02+12+］2)44+6+2(；)2,

所以a+Z?+2c、<3,

當且僅當。=Z?=2c=l時，取等號，

所以Q+Z?+2C<3；

(2)證明：因為力=2c,a>0,b>0,c>0,由(1)得a+〃+2c=a+4c<3,

即0<a+4c<3,所以‘一2」，