第01講 圓的基本概念和性質(zhì)（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）

第01講圓的基本概念和性質(zhì)在探索過程中認(rèn)識圓，理解圓的本質(zhì)屬性；經(jīng)歷探索點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的過程，會運(yùn)用點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；2.了解圓及其有關(guān)概念，理解弦、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、同心圓、等圓、等弧等與圓有關(guān)的概念，理解概念之間的區(qū)別和聯(lián)系；3.通過圓的學(xué)習(xí)養(yǎng)成學(xué)生之間合作的習(xí)慣.知識點(diǎn)1：圓的定義及性質(zhì)圓的定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓。這個固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。圓的表示方法：以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。圓的特點(diǎn)：在一個平面內(nèi)，所有到一個定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)組成的圖形。確定圓的條件：1）圓心；2）半徑。備注：圓心確定圓的位置，半徑長度確定圓的大小。【補(bǔ)充】1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；2）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；3）半徑相等的圓叫做等圓。圓的對稱性：1）圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸；2）圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。知識點(diǎn)2：圓的有關(guān)概念弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦(例如：右圖中的AB)。直徑的概念：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。備注：1）直徑是同一圓中最長的弦。2）直徑長度等于半徑長度的2倍。弧的概念：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作圓弧A等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。優(yōu)弧的概念：在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧。【題型1圓的定義及性質(zhì)】【典例1】（2021秋?大同區(qū)校級期末）能決定圓的位置的是（）A．圓心 B．半徑 C．直徑 D．周長【答案】A【解答】解：根據(jù)圓的定義可知，能決定圓的位置的是圓心，故選A．【變式1-1】（2022秋?椒江區(qū)校級月考）下列圖形為圓的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：根據(jù)題意得，A圖形為圓．故答案為：A．【變式1-2】（2022春?廣饒縣期末）畫圓時圓規(guī)兩腳間可叉開的距離是圓的（）A．直徑 B．半徑 C．周長 D．面積【答案】B【解答】解：畫圓時圓規(guī)兩腳間可叉開的距離是圓的半徑．故選：B．【變式1-3】（2022秋?巴東縣期中）一個圓的面積為πcm2，則它的半徑為（）cm．A．±1 B．π C．0 D．1【答案】D【解答】解：設(shè)圓的半徑為rcm，根據(jù)題意得：πr2＝π，解得：r＝1，故選：D．【變式1-4】（2022秋?涪城區(qū)期中）下列結(jié)論正確的是（）A．半徑相等的兩條弧是等弧 B．半圓是弧 C．半徑是弦 D．弧是半圓【答案】B【解答】解：A、在等圓或同圓中，半徑相等的兩條弧是等弧，原結(jié)論不正確；B、半圓是弧，原結(jié)論正確；C、半徑只有一個端點(diǎn)位于圓上，不是弦，原結(jié)論不正確；D、根據(jù)半圓的定義可知，半圓是弧，但弧不一定是半圓，原結(jié)論不正確；故選：B．【典例2】（2022秋?朝陽區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．若∠A＝25°，求∠DCE的度數(shù)．【答案】40°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝65°，∵∠CDB＝∠DCE+∠A，∴∠DCE＝65°﹣25°＝40°．【變式2-1】（海口模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，且點(diǎn)C、D在AB的異側(cè)，連接AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，則∠AOD的度數(shù)為（）A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】D【解答】解：∵AD∥OC，∴∠AOC＝∠DAO＝70°，又∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO＝70°，∴∠AOD＝180﹣70°﹣70°＝40°．故選：D．【變式2-2】（崆峒區(qū)期末）如圖，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)A在DC的延長線上，∠A＝20°，AE交⊙O于點(diǎn)B，且AB＝OC．（1）求∠AOB的度數(shù)．（2）求∠EOD的度數(shù)．【答案】（1）20°（2）60°【解答】解：（1）連OB，如圖，∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝BO，∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；（2）∵∠2＝∠A+∠1，∴∠2＝2∠A，∵OB＝OE，∴∠2＝∠E，∴∠E＝2∠A，∴∠DOE＝∠A+∠E＝3∠A＝60°．【典例3】（2022秋?公安縣月考）已知⊙O的半徑是4cm，則⊙O中最長的弦長是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C【解答】解：∵⊙O的半徑是4cm，∴⊙O中最長的弦，即直徑的長為8cm．故選：C．【變式3-1】（2021秋?互助縣期末）已知⊙O的直徑為10cm，則⊙O的弦不可能是（）A．4cm B．5cm C．9cm D．12cm【答案】D【解答】解：∵⊙O的直徑為10cm，則⊙O的弦不可能大于10cm．觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【變式3-2】（2021秋?玉林期末）如圖，從A地到B地有兩條路可走，一條路是大半圓，另一條路是4個小半圓．有一天，一只貓和一只老鼠同時從A地到B地．老鼠見貓沿著大半圓行走，它不敢與貓同行（怕被貓吃掉），就沿著4個小半圓行走．假設(shè)貓和老鼠行走的速度相同，那么下列結(jié)論正確的是（）A．貓先到達(dá)B地 B．老鼠先到達(dá)B地 C．貓和老鼠同時到達(dá)B地 D．無法確定【答案】C【解答】解：以AB為直徑的半圓的長是：π?AB；設(shè)四個小半圓的直徑分別是a，b，c，d，則a+b+c+d＝AB．則老鼠行走的路徑長是：a+πb+πc+πd＝π（a+b+c+d）＝π?AB．故貓和老鼠行走的路徑長相同．故選：C．【題型2圓的有關(guān)概念】【典例4】（2022秋?長順縣月考）下列4個說法中，正確的有（）①直徑是弦②弦是直徑③任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸④弧是半圓A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：①直徑是最長的弦，故本小題說法正確；②弦不一定是直徑，故本小題說法錯誤；③經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸，故本小題說法正確；④半圓是弧，但弧不一定是半圓，故本小題說法錯誤．故選：B．【變式4-1】（2022秋?巧家縣期中）下列說法中，正確的是（）A．過圓心的直線是圓的直徑 B．直徑是圓中最長的弦 C．相等長度的兩條弧是等弧 D．頂點(diǎn)在圓上的角是圓周角【答案】B【解答】解：A、過圓心的弦是圓的直徑，故A不符合題意；B、直徑是圓中最長的弦，故B符合題意；C、在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧，故C不符合題意；D、頂點(diǎn)在圓上，兩邊分別與圓還有另一個交點(diǎn)的角是圓周角，故D不符合題意；故選：B．【變式4-2】（2022秋?下城區(qū)校級月考）下列說法正確的是（）A．劣弧一定比優(yōu)弧短 B．面積相等的圓是等圓 C．長度相等的弧是等弧 D．如果兩個圓心角相等，那么它們所對的弧也相等【答案】B【解答】解：A、在同圓或等圓中，劣弧一定比優(yōu)弧短．故本選項(xiàng)錯誤；B、面積相等的圓是等圓；故本選項(xiàng)正確；C、能完全重合的弧才是等弧，故本選項(xiàng)錯誤；D、必須在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故本選項(xiàng)錯誤．故選：B【變式4-3】（2022春?莘縣期末）下列說法：①直徑是弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個半圓是等弧；④長度相等的兩條弧是等弧；⑤半圓是弧，但弧不一定是半圓．正確的說法有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解答】解：①直徑是弦，正確，符合題意；②弦不一定是直徑，錯誤，不符合題意；③半徑相等的兩個半圓是等弧，正確，符合題意；④能夠完全重合的兩條弧是等弧，故原命題錯誤，不符合題意；⑤根據(jù)半圓的定義可知，半圓是弧，但弧不一定是半圓，正確，符合題意，正確的有3個，故選：C．1．（2023?懷寧縣一模）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD的延長線交于點(diǎn)E，若DE＝OB，∠AOC＝87°，則∠E等于（）A．42° B．29° C．21° D．20°【答案】B【解答】解：連接OD，如圖，∵OB＝DE，OB＝OD，∴DO＝DE，∴∠E＝∠DOE，∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，而OC＝OD，∴∠C＝∠1，∴∠C＝2∠E，∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，∴∠E＝∠AOC＝×87°＝29°．故選：B．2．（2023?增城區(qū)一模）如圖，在半圓所對應(yīng)圓的直徑上作4個正三角形，如這半圓周長為C1，這4個正三角形的周長和為C2，則C1和C2的大小關(guān)系是（）A．C1＞C2 B．C1＜C2 C．C1＝C2 D．不能確定【答案】B【解答】解：設(shè)半圓的直徑為a，則半圓周長C1為：aπ+a，4個正三角形的周長和C2為：3a，∵aπ+a＜3a，∴C1＜C2故選：B．3．（2022?南山區(qū)校級模擬）數(shù)學(xué)知識在生產(chǎn)和生活中被廣泛應(yīng)用，下列實(shí)例所應(yīng)用的最主要的幾何知識，說法正確的是（）A．學(xué)校門口的伸縮門由菱形而不是其他四邊形組成，應(yīng)用了“菱形的對角線互相垂直平分” B．車輪做成圓形，應(yīng)用了“圓是中心對稱圖形” C．射擊時，瞄準(zhǔn)具的缺口、準(zhǔn)星和射擊目標(biāo)在同一直線上，應(yīng)用了“兩點(diǎn)確定一條直線” D．地板磚可以做成矩形，應(yīng)用了“矩形對邊相等”【答案】C【解答】解：A．學(xué)校門口的伸縮門由菱形而不是其他四邊形組成，應(yīng)用了“四邊形的不穩(wěn)定性”，故本選項(xiàng)錯誤，不合題意；B．車輪做成圓形，應(yīng)用了“圓上各點(diǎn)到圓心的距離相等”，故本選項(xiàng)錯誤，不合題意；C．射擊時，瞄準(zhǔn)具的缺口、準(zhǔn)星和射擊目標(biāo)在同一直線上，應(yīng)用了“兩點(diǎn)確定一條直線”，故本選項(xiàng)正確，符合題意D．地板磚可以做成矩形，應(yīng)用了“矩形四個內(nèi)角都是直角”的性質(zhì)，故本選項(xiàng)錯誤，不合題意．故選：C．4．（2022?路南區(qū)三模）在平面內(nèi)與點(diǎn)P的距離為1cm的點(diǎn)的個數(shù)為（）A．無數(shù)個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【解答】解：在平面內(nèi)與點(diǎn)P的距離為1cm的點(diǎn)的個數(shù)為：所有到定點(diǎn)P的距離等于1cm的點(diǎn)的集合，故選：A．5．（2022?潮安區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．若以點(diǎn)C為圓心，CA長為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D，則⊙C的半徑為（）A． B．8 C．6 D．5【答案】D【解答】解：如圖，連結(jié)CD，∵CD是直角三角形斜邊上的中線，∴CD＝AB＝×10＝5．故選：D．6．（2022?廣陵區(qū)二模）如圖，在扇形AOB中，D為上的點(diǎn)，連接AD并延長與OB的延長線交于點(diǎn)C，若CD＝OA，∠O＝75°，則∠A的度數(shù)為（）A．35° B．52.5° C．70° D．72°【答案】C【解答】解：連接OD，如圖，設(shè)∠C的度數(shù)為n，∵CD＝OA＝OD，∴∠C＝∠DOC＝n，∴∠ADO＝∠DOC+∠C＝2n，∴OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2n，∵∠AOC+∠C+∠A＝180°，∠AOC＝75°，∴75°+n+2n＝180°，解得n＝35°，∴∠A＝2n＝70°．故選：C．7．（2022?金沙縣一模）下列說法中，不正確的是（）A．圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 B．圓有無數(shù)條對稱軸 C．圓的每一條直徑都是它的對稱軸 D．圓的對稱中心是它的圓心【答案】C【解答】解：A．圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，正確；B．圓有無數(shù)條對稱軸，正確；C．圓的每一條直徑所在直線都是它的對稱軸，此選項(xiàng)錯誤；D．圓的對稱中心是它的圓心，正確；故選：C．8．（2022?南山區(qū)模擬）一個點(diǎn)到圓的最小距離為3cm，最大距離為6cm，則該圓的直徑是（）A．1.5cm B．1.5cm或4.5cm C．4.5cm D．3cm或9cm【答案】D【解答】解：當(dāng)點(diǎn)在圓外，則該圓的直徑＝6cm﹣3cm＝3cm；當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)，則該圓的直徑＝6cm+3cm＝9cm，即該圓的直徑為3cm或9cm．故選：D．9．（2023?南關(guān)區(qū)一模）如圖，已知空間站A與星球B距離為a，信號飛船C在星球B附近沿圓形軌道行駛，B，C之間的距離為b．?dāng)?shù)據(jù)S表示飛船C與空間站A的實(shí)時距離，那么S的最大值是（）A．a(chǎn) B．b C．a(chǎn)+b D．a(chǎn)﹣b【答案】C【解答】解：空間站A與星球B、飛船C在同一直線上時，S取到最大值a+b．故選：C．1．（2021秋?涼州區(qū)期末）過圓上一點(diǎn)可以作出圓的最長的弦有（）條．A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)條【答案】D【解答】解：過圓上一點(diǎn)的最長弦為過這點(diǎn)的直徑，有無數(shù)條．故選：D．2．（2022秋?長安區(qū)校級月考）下列說法中，不正確的是（）A．過圓心的弦是圓的直徑 B．等弧的長度一定相等 C．周長相等的兩個圓是等圓 D．直徑是弦，半圓不是弧【答案】D【解答】解：A．直徑是通過圓心且兩個端點(diǎn)都在圓上的線段，故正確；B．能重合的弧叫等弧，長度相等，故正確；C．周長相等的圓其半徑也相等，為等圓，故正確．D．直徑是弦，半圓是弧，故錯誤．故選：D．3．（2022?西藏）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC＝OD，則∠ABD的度數(shù)為（）A．90° B．95° C．100° D．105°【答案】D【解答】解：如圖：連接OB，則OB＝OD，∵OC＝OD，∴OC＝OB，∵OC⊥AB，∴∠OBC＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠OBC＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∠ABD＝30°+75°＝105°．故選：D．4．（本溪二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，AD∥OC且∠ODA＝55°，則∠BOC等于（）A．105° B．115° C．125° D．135°【答案】C【解答】解：如圖，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝55°，∵AD∥OC，∴∠COD＝180°﹣∠ODA＝125°，∠AOC＝∠OAD＝55°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝125°．故選：C．5．（2022?元寶山區(qū)一模）生活中經(jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進(jìn)井里去，這是因?yàn)椋ǎ〢．圓的直徑是半徑的2倍 B．同一個圓所有的直徑都相等 C．圓的周長是直徑的π倍 D．圓是軸對稱圖形【答案】B【解答】解：生活中經(jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進(jìn)井里，這是因?yàn)橥粋€圓里所有的直徑都相等．故選：B．6．（2022?禮縣模擬）如圖，⊙O的直徑BA的延長線與弦DC的延長線交于點(diǎn)E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，則∠E等于（）A．36° B．30° C．18° D．24°【答案】D【解答】解：如圖：CE＝OB＝CO，得∠E＝∠1．由∠2是△EOC的外角，得∠2＝∠E+∠1＝2∠E．由OC＝OD，得∠D＝∠2＝2∠E．由∠3是三角形△ODE的外角，得∠3＝E+∠D＝∠E+2∠E＝3∠E．由∠3＝72°，得3∠E＝72°．解得∠E＝24°．故選：D．7．（2022?興化市模擬）如圖所示，MN為⊙O的弦，∠N＝52°，則∠MON的度數(shù)為（）A．38° B．52° C．76° D．104°【答案】C【解答】解：∵OM＝ON，∴∠M＝∠N＝52°，∴∠MON＝180°﹣2×52°＝76°．故選：C．8．（2021秋?信都區(qū)月考）如圖所示，點(diǎn)M是⊙O上的任意一點(diǎn)，下列結(jié)論：①以M為端點(diǎn)的弦只有一條；②以M為端點(diǎn)的直徑只有一條；③以M