專(zhuān)題07 一元二次方程及其應(yīng)用（共30道）（解析版）

專(zhuān)題07一元二次方程及其應(yīng)用（30道）一、單選題1．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的方程的兩個(gè)根是﹣2和1，則的值為（）A．﹣8 B．8 C．16 D．﹣16【答案】C【詳解】解：∵關(guān)于x的方程的兩個(gè)根是﹣2和1，∴=﹣2+1=-1，=﹣2，∴，∴=（﹣4）2=16．故選：C．2．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式即可解答．【詳解】解：∵為一元二次方程，∴，∵該一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，解得，∴且，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義及根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟知當(dāng)判別式的值大于0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，同時(shí)要滿足二次項(xiàng)的系數(shù)不能是0．3．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．9【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴．解得：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對(duì)應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．4．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則（

）A．－2 B．2 C．－4 D．4【答案】A【分析】由一元二次方程根的情況可得，再代入式子即可求解．【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根∴∴，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）用配方法解方程時(shí)，配方后正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)配方法，先將常數(shù)項(xiàng)移到右邊，然后兩邊同時(shí)加上，即可求解．【詳解】解：移項(xiàng)得，兩邊同時(shí)加上，即∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．6．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根【答案】A【分析】對(duì)于，當(dāng),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng),方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，,方程沒(méi)有實(shí)根，根據(jù)原理作答即可．【詳解】解：∵，∴，所以原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關(guān)鍵．7．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在長(zhǎng)為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是（

）

A． B． C．或 D．【答案】A【分析】設(shè)小路寬為，則種植花草部分的面積等于長(zhǎng)為，寬為的矩形的面積，根據(jù)花草的種植面積為，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小路寬為，則種植花草部分的面積等于長(zhǎng)為，寬為的矩形的面積，依題意得：解得：，（不合題意，舍去），∴小路寬為．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題8．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）已知一元二次方程的一個(gè)根為．則另一個(gè)根．【答案】3【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：，求出即可．【詳解】解：則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：，解得：，即方程的另一個(gè)根為3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解和根與系數(shù)的關(guān)系，能熟記根與系數(shù)的關(guān)系的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：當(dāng)和是一元二次方程、、為常數(shù)，的兩個(gè)根時(shí)，那么，．9．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的值可以是（寫(xiě)出一個(gè)即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】由于方程有實(shí)數(shù)根，則其根的判別式，由此可以得到關(guān)于的不等式，解不等式就可以求出的取值范圍，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴，即，解得：，∴的值可以是．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與判別式的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．10．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張丘建算經(jīng)》中有這樣一題：一只公雞值5錢(qián)，一只母雞值3錢(qián)，3只小雞值1錢(qián)，現(xiàn)花錢(qián)買(mǎi)了只雞．若公雞有8只，設(shè)母雞有只，小雞有只，可列方程組為．【答案】【分析】根據(jù)“現(xiàn)花錢(qián)買(mǎi)了只雞”，列出方程組即可．【詳解】解：依題意得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用．明確題意，準(zhǔn)確列出方程組是解題的關(guān)鍵．11．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．【答案】【分析】若一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式，建立關(guān)于k的不等式，解不等式即可得出答案．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的根與的關(guān)系：?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．12．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程的兩根之和為．【答案】【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求值．【詳解】解：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握．13．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）若m是方程的根，則．【答案】6【分析】由m是方程的根，可得，把化為，再通分變形即可．【詳解】解：∵m是方程的根，∴，即，∴；【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解的含義，分式的化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確的把原分式變形，再求值是解本題的關(guān)鍵．14．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查根的判別式，熟練掌握，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，是解題的關(guān)鍵．15．（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的方程的一個(gè)根為1，則該方程的另一個(gè)根為．【答案】【分析】設(shè)方程的另一個(gè)根為m，根據(jù)兩根之積等于，得到關(guān)于m的一元一次方程，解之即可求解．【詳解】設(shè)方程的另一個(gè)根為m，根據(jù)題意得，，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知根與系數(shù)的關(guān)系．16．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是．【答案】/【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．17．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》被稱(chēng)為人類(lèi)科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”．書(shū)中記載：“今有戶(hù)不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短．橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出．問(wèn)戶(hù)高、廣、邪各幾何？”譯文：今有門(mén)，不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門(mén)寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門(mén)高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門(mén)對(duì)角線恰好相等．問(wèn)門(mén)高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少（如圖）？答：門(mén)高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)分別是尺．

【答案】8，6，10【分析】設(shè)竿的長(zhǎng)為x尺，則門(mén)高為尺，門(mén)寬為尺，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)竿的長(zhǎng)為x尺，則門(mén)高為尺，門(mén)寬為尺，根據(jù)題意可得：，解得：或（舍去），∴（尺），（尺），即門(mén)高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)分別是8，6，10尺，故答案為：8，6，10．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用和解一元二次方程，正確設(shè)未知數(shù)找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）張師傅去年開(kāi)了一家超市，今年2月份開(kāi)始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利達(dá)到7200元，從3月到5月，每月盈利的平均增長(zhǎng)率都相同，則每月盈利的平均增長(zhǎng)率是．【答案】【分析】設(shè)該超市的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)等量關(guān)系：三月份盈利額五月份的盈利額列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)每月盈利平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：．解得：，（不符合題意，舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，屬于增長(zhǎng)率的問(wèn)題，一般公式為原來(lái)的量后來(lái)的量，其中增長(zhǎng)用＋，減少用?，難度一般．19．（2023·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的方程的一個(gè)根是3，則此方程的另一個(gè)根是．【答案】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出方程的另一個(gè)根．【詳解】設(shè)另一個(gè)根為，根據(jù)題意：，解得，，即另一個(gè)根為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解、根與系數(shù)的關(guān)系，在利用根與系數(shù)、來(lái)計(jì)算時(shí)，要弄清楚、、的意義．20．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）《九章算術(shù)》中提出了如下問(wèn)題：今有戶(hù)不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問(wèn)戶(hù)高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門(mén)不知其高寬：有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門(mén)寬長(zhǎng)出4尺：豎放，竿比門(mén)高長(zhǎng)出2尺：斜放，竿與門(mén)對(duì)角線恰好相等．問(wèn)門(mén)高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少？則該問(wèn)題中的門(mén)高是尺．【答案】8【分析】設(shè)門(mén)高尺，則竿長(zhǎng)為尺，門(mén)的對(duì)角線長(zhǎng)為尺，門(mén)寬為尺，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：設(shè)門(mén)高尺，依題意，竿長(zhǎng)為尺，門(mén)的對(duì)角線長(zhǎng)為尺，門(mén)寬為尺，∴，解得：或（舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵．21．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根與判別式的關(guān)系可得，，求解即可．【詳解】解：關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根與判別式的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根與判別式的關(guān)系．22．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是.【答案】k<-【分析】根據(jù)一元二次方程跟的判別式，可得關(guān)于k的一元一次不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】根據(jù)題意得，，解得：k<-，故答案為：k<-.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟記方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，方程有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵.23．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）實(shí)數(shù)m，n分別滿足，且，則的值是．【答案】【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題可知，m和n是的兩個(gè)根，所以，所以；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握“若一元二次方程的兩個(gè)根分別為和，則”．24．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)根的判別式求出，再求出不等式的解集即可．【詳解】解：關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式和解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：已知一元二次方程為常數(shù)，，①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．25．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）若是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．【答案】/【分析】由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得，，，然后代入求解即可．【詳解】解：由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得，，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，滿足，．26．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】【分析】若一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式，建立關(guān)于k的不等式，解不等式即可得出答案．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了根的判別式．一元二次方程的根與有如下關(guān)系：（1）?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．27．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）已知一元二次方程的兩根為與，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，將分式通分，代入即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程，即，的兩根為與，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三、解答題28．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）解方程：．【答案】，【分析】首先將方程進(jìn)行因式分解，然后根據(jù)因式分解的結(jié)果求出方程的解．【詳解】解：∴或∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解法求解方程．29．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論m取何值時(shí)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a，b，若，求m的值．【