專題05 以三角形為載體的幾何綜合問題（原卷版）【浙江專用】

決勝2020年中考數(shù)學壓軸題全揭秘（浙江專用）專題05以三角形為載體的幾何綜合問題【考點1】關(guān)于三角形角度計算與證明的綜合問題【例1】（2019?衢州）“三等分角”大約是在公元前五世紀由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點相連并可繞O轉(zhuǎn)動、C點固定，OC＝CD＝DE，點D、E可在槽中滑動．若∠BDE＝75°，則∠CDE的度數(shù)是（）A．60° B．65° C．75° D．80°【例2】（2019?杭州）如圖，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點P，連接AP，求證：∠APC＝2∠B．（2）以點B為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，與BC邊交于點Q，連接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度數(shù)．【考點2】關(guān)于三角形的線段計算綜合問題【例3】（2019?紹興）如圖1，長、寬均為3，高為8的長方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高為6，繞底面一棱進行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣，圖2是此時的示意圖，則圖2中水面高度為（）A．245 B．325 C．123417【例4】（2020?浙江自主招生）如圖，等邊三角形ABC中，AO是∠BAC的平分線，D為AO上一點，以CD為一邊且在CD下方作等邊三角形CDE，連結(jié)BE，延長BE至點Q，P為BQ上一點，連結(jié)CP，CQ，使CP＝CQ＝5，若BC＝8時，則PQ的長為．【考點3】全等三角形的計算與證明【例5】（2019?溫州）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AB邊上一點，過點C作CF∥AB交ED的延長線于點F．（1）求證：△BDE≌△CDF．（2）當AD⊥BC，AE＝1，CF＝2時，求AC的長．【考點4】三角形與旋轉(zhuǎn)變換綜合問題【例6】（2019?紹興）如圖1是實驗室中的一種擺動裝置，BC在地面上，支架ABC是底邊為BC的等腰直角三角形，擺動臂AD可繞點A旋轉(zhuǎn)，擺動臂DM可繞點D旋轉(zhuǎn)，AD＝30，DM＝10．（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，①當A，D，M三點在同一直線上時，求AM的長．②當A，D，M三點為同一直角三角形的頂點時，求AM的長．（2）若擺動臂AD順時針旋轉(zhuǎn)90°，點D的位置由△ABC外的點D1轉(zhuǎn)到其內(nèi)的點D2處，連結(jié)D1D2，如圖2，此時∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的長．【考點5】以三角形為載體的幾何綜合探究問題【例7】（2018?舟山）已知，△ABC中，∠B＝∠C，P是BC邊上一點，作∠CPE＝∠BPF，分別交邊AC，AB于點E，F(xiàn)．（1）若∠CPE＝∠C（如圖1），求證：PE+PF＝AB．（2）若∠CPE≠∠C，過點B作∠CBD＝∠CPE，交CA（或CA的延長線）于點D．試猜想：線段PE，PF和BD之間的數(shù)量關(guān)系，并就∠CPE＞∠C情形（如圖2）說明理由．（3）若點F與A重合（如圖3），∠C＝27°，且PA＝AE．①求∠CPE的度數(shù)；②設(shè)PB＝a，PA＝b，AB＝c，試證明：b=a【例8】（2018?臺州）如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D，E分別在AC，BC上，且CD＝CE．（1）如圖1，求證：∠CAE＝∠CBD；（2）如圖2，F(xiàn)是BD的中點，求證：AE⊥CF；（3）如圖3，F(xiàn)，G分別是BD，AE的中點，若AC＝22，CE＝1，求△CGF的面積．【考點6】以三角形為載體的幾何閱讀創(chuàng)新題【例9】（2018?紹興）數(shù)學課上，張老師舉了下面的例題：例1等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度數(shù)．（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度數(shù)，（答案：40°或70°或100°）張老師啟發(fā)同學們進行變式，小敏編了如下一題：變式等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度數(shù)．（1）請你解答以上的變式題．（2）解（1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，∠A的度數(shù)不同，得到∠B的度數(shù)的個數(shù)也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，設(shè)∠A＝x°，當∠B有三個不同的度數(shù)時，請你探索x的取值范圍．一．選擇題（共5小題）1．（2020?衢州模擬）在我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》“勾股”章中有一題：“今有開門去閫（kǔn）一尺，不合二寸，問門廣幾何？”大意是說：如圖，推開雙門（AD和BC），門邊緣D，C兩點到門檻AB的距離為1尺（1尺＝10寸），雙門間的縫隙CD為2寸，那么門的寬度（兩扇門的和）AB為（）A．103寸 B．102寸 C．101寸 D．100寸2．（2020?拱墅區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC邊上一點，∠ADC＝3∠BAD，BD＝4，DC＝3．則AB的值為（）A．5+32 B．2+215 C．72 D．1133．（2020?溫州模擬）如圖，已知∠ACB＝∠DBC，添加以下條件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠ABC＝∠DCB B．∠ABD＝∠DCA C．AC＝DB D．AB＝DC4．（2019?周村區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，分別以點A和點C為圓心，大于12AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN交BC于點D，連接AD，則∠BADA．50° B．60° C．70° D．80°5．（2020?黃巖區(qū)模擬）如圖所示，在△ABC中，內(nèi)角∠BAC與外角∠CBE的平分線相交于點P，BE＝BC，PB與CE交于點H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，連接CP．下列結(jié)論：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．填空題（共4小題）6．（2020?溫州模擬）如圖，已知OP平分∠AOB，CP∥OA，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E．CP=254，PD＝6．如果點M是OP的中點，則DM的長是7．（2020?溫嶺市校級一模）在半徑為2的⊙O中，弦AB＝22，連接OA，OB．在直線OB上取一點K，使tan∠BAK=12，則△OAK的面積為8．（2020?蕭山區(qū)一模）如圖，CE、BF分別是△ABC的高線，連接EF，EF＝6，BC＝10，D、G分別是EF、BC的中點，則DG的長為．9．（2019?海寧市二模）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于點E，EA平分∠BED．（1）CD的長是；（2）當點F是AC中點時，四邊形ABCD的周長是．三．解答題（共11小題）10．（2020?拱墅區(qū)校級一模）在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，點D在AC上．（1）如圖1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求證：∠ECB＝∠A；（2）如圖2，設(shè)BC與DE交于點F．當∠ABC＝∠DBE＝45°時，求證：CE∥AB；（3）在（2）的條件下，若tan∠DEC=12時，求11．（2020?天臺縣模擬）某校組織數(shù)學興趣探究活動，愛思考的小實同學在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時發(fā)現(xiàn)，兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖1、圖2、圖3中，AF、BE是△ABC的中線，AF⊥BE于點P，像△ABC這樣的三角形均稱為“中垂三角形”．【特例探究】（1）如圖1，當∠PAB＝45°，AB＝62時，AC＝，BC＝；如圖2，當sin∠PAB=12，AB＝4時，AC＝，BC＝【歸納證明】（2）請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想AB2、BC2、AC2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結(jié)論．【拓展證明】（3）如圖4，在△ABC中，AB＝43，BC＝25，D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點，連結(jié)DE并延長至G，使得GE＝DE，連結(jié)BG，當BG⊥AC于點M時，求GF的長．12．（2020?拱墅區(qū)校級模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AF為BC邊上的中線，DE經(jīng)過△ABC的重心G，且∠ADE＝∠C．（1）問：線段AG是△ADE的高線還是中線？請說明理由．（2）若AB＝6，AC＝8，求AD的長．13．（2020?溫州模擬）如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，點D在BC所在的直線上，點E在射線AC上，且AD＝AE，連接DE．（1）如圖①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度數(shù)；（2）如圖②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度數(shù)；（3）當點D在直線BC上（不與點B、C重合）運動時，試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．14．（2020?上城區(qū)模擬）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運動，設(shè)運動時間為t秒（t＞0）．（1）若點P在AC上，且滿足PA＝PB時，求出此時t的值；（2）若點P恰好在∠BAC的角平分線上，求t的值；（3）在運動過程中，直接寫出當t為何值時，△BCP為等腰三角形．15．（2019?杭州模擬）定義：若一個三角形一條邊上的高等于這條邊長的一半，則稱該三角形為“半高”三角形，這條高稱為“半高”．（1）如圖1，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，點P在AB上，PD⊥AC于點D，PE⊥BC于點E，連接BD，DE求證：△BDE是“半高”三角形；（2）如圖2，△ABC是“半高”三角形，且BC邊上的高是“半高”，點P在AB上，PQ∥BC交AC于點Q，PM⊥BC于點M，QN⊥BC于點N．①請?zhí)骄緽M，PM，CN之間的等量關(guān)系，并說明理由；②若△ABC的面積等于16，求MQ的最小值．16．（2019?南潯區(qū)二模）（1）嘗試探究如圖1，等腰Rt△ABC的兩個頂點B，C在直線MN上，點D是直線MN上一個動點（點D在點C的右邊），BC＝3，BD＝m，在△ABC同側(cè)作等腰Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，EF⊥MN于點F，連接CE．①求DF的長；②在判斷AC⊥CE是否成立時，小明同學發(fā)現(xiàn)可以由以下兩種思路解決此問題：思路一：先證CF＝EF，求出∠ECF＝45°，從而證得結(jié)論成立．思路二：先求DF，EF的長，再求CF的長，然后證AC2+CE2＝AE2，從而證得結(jié)論成立．請你任選一種思路，完整地書寫本小題的證明過程．（如用兩種方法作答，則以第一種方法評分）（2）拓展探究將（1）中的兩個等腰直角三角形都改為有一個角為30°的直角三角形，如圖2，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°，BC＝3，BD＝m，當4≤m≤6時，求CE長的范圍．17．（2019?瑞安市三模）如圖，在等腰△ABC中，AB＝BC，點D是AC邊的中點，延長BD至點E，使得DE＝BD，連結(jié)CE．（1）求證：△ABD≌△CED．（2）當BC＝5，CD＝3時，求△BCE的周長．18．（2019?黃巖區(qū)二模）如圖，△ABC和△ADE是兩個不全等的等腰直角三角形，其中點B與點D是直角頂點，現(xiàn)固定△ABC，而將△ADE繞點A在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，當點D在CA延長線上時，點M為EC的中點，求證：△DMB是等腰三角形．（2）如圖2，當點E在CA延長線上時