第七章銳角三角函數(shù)（知識歸納題型突破）（原卷版）

第七章銳角三角函數(shù)（知識歸納+題型突破）一、銳角三角函數(shù)的基本概念在Rt△ABC中，∠C為直角，則銳角∠A的三角函數(shù)為（∠A可換成∠B）：定義表達(dá)式正弦余弦正切二、特殊角的三角函數(shù)值1、特殊角（30°、45°、60°）的三角函數(shù)值：三角函數(shù)30°45°60°12、銳角三角函數(shù)的有界性與增減性：（1）有界性：銳角三角函數(shù)值都為正值，即當(dāng)0°＜α＜90°時，有0＜sinα＜1，0＜cosα＜1，tanα＞0；（2）增減性：銳角的正弦、正切值隨角度的增大而增大，余弦值隨角度的增大而減?。?、同一個銳角的正弦、余弦和正切的關(guān)系：（1）sin2α＋cos2α＝1；（2）4、互為余角的兩個銳角的正弦、余弦和正切的關(guān)系：（1）sinα＝cos(90°－α)；（2）cosα＝sin(90°－α)；（3）三、解直角三角形1、直角三角形的性質(zhì)（C為直角頂點）：①邊與邊的關(guān)系：；②角與角的關(guān)系：∠A+∠B=90°；③邊與角的關(guān)系：；；．2、解直角三角形的四大類型：類型已知條件解法兩邊兩直角邊a、b，，一直角邊a，斜邊c，，一邊一銳角一直角邊a，銳角A，，斜邊c，銳角A，，題型一求正切值【例1】在中，，，，則的值是（

）．A． B． C． D．【例2】如圖，在邊長為的方格紙中，與交于點，其中、均為所在正方形小方格一邊的中點，則(

)A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現(xiàn)將如圖那樣折疊，使點與點重合，折痕為，則的值是（

）A． B． C． D．2．如圖，在的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點，的頂點都在格點上，則圖中的正切值是（

）A．2 B． C． D．題型二正切概念辨析【例3】在中，各邊的長度都縮小4倍，那么銳角A的余切值（

）A．?dāng)U大4倍 B．保持不變 C．縮小2倍 D．縮小4倍鞏固訓(xùn)練3．小明要測量公園里一棵古樹的高，被一條小溪擋住去路，采用計算方法，在點測得古樹頂?shù)难鼋菫椋蚯白吡?00米到點，測得古樹頂?shù)难鼋菫椋瑒t古樹的高度為米．4．如圖，在中，．（1）在邊上取一點D，使得，則和有什么大小關(guān)系？（2）在邊上取一點D，使得，則和有什么大小關(guān)系？（3）在邊上取一點D，使得，則和有什么大小關(guān)系？題型三已知正切求值【例4】如圖，在地面上的點A處測得樹頂B的仰角為a，米，則樹高為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【例5】在中，，，將繞點B旋轉(zhuǎn)后，點C落在射線上，點A落到點處，聯(lián)結(jié)．那么．【例6】如圖，已知是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，的平分線交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線交的延長線于點E．(1)求證：；(2)若，，求DE的長．鞏固訓(xùn)練5．如圖，已知，，，，的長為（

）A． B． C． D．6．有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為20m，斜坡的傾斜角是∠BAC，若tan∠BAC=，則此斜坡的水平距離AC=m7．如圖，在四邊形ABCD中，，AB=AD，對角線AC，BD交于點O，AC平分∠BAD，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若tan∠OAB=，BD=2，求CE的長．題型四正弦、余弦概念辨析【例7】如圖，在中，，于點D，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【例8】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，下列線段的比值等于cosA的值的有個（1）；（2）；（3）；（4）．【例9】如圖，在中，是斜邊上的高，，則下列比值中等于的是（

）．A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練8．已知：α是銳角，tanα＝，則sinα＝，cosα＝．9．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于的是（）A． B． C． D．題型五求角的正弦余弦值【例10】如圖，在上述網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，O都在格點上，則∠AOB的正弦值是．【例11】在中，、、對邊分別為、、，，若，則（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練10．已知一個不等臂蹺蹺板AB長3米，支撐柱OH垂直地面，當(dāng)AB的一端A著地時，AB與地面夾角的正弦值為，如圖1；當(dāng)AB的另一端B著地時，AB與地面夾角的正弦值為，如圖2，則支撐柱OH的高為（）米． C． 題型六特殊角三角函數(shù)值混合運(yùn)算【例12】計算：【例13】計算：．【例14】計算：鞏固訓(xùn)練11．計算：．12．計算：(1)(2)題型六求特殊角三角函數(shù)值（已知函數(shù)值求銳角）【例15】若，則是（）A．直角三角形B．等邊三角形C．含有的任意三角形D．頂角為鈍角的等腰三角形【例16】下列三角函數(shù)的值是的是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練13．在中，，，則（

）A． B． C． D．14．若銳角，則的值是（

）A．1 B． C． D．15．在中，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．題型七由三角函數(shù)值確定三角形形狀【例17】在中，若，則是．【例18】在中，、都是銳角，且，則的形狀是三角形（填“等腰”、“等邊”或“直角”）．鞏固訓(xùn)練16．已知a、b、c分別是的角A、B、C的對邊（），二次函數(shù)圖像的頂點在x軸上，且、是關(guān)于x的方程的兩個根．(1)判斷的形狀；(2)求m的值；(3)若這個三角形的外接圓面積為，求的內(nèi)接正方形的邊長．17．在中，、都是銳角，且，，則是（

）.A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形題型八互余兩角之間的三角函數(shù)關(guān)系【例19】在中，，已知，那么的值是（

）A． B． C． D．【例20】若的余角是，則的值是．鞏固訓(xùn)練18．已知，，則．19．在中，，，則．題型九判斷銳角取值范圍【例21】已知，則銳角的取值范圍是（）A． B． C． D．【例22】若銳角滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練20．已知，則銳角的取值范圍是（

）A． B．C． D．21．已知為銳角，且，則（

）A． B．C． D．22．若為銳角，且，則（

）A．小于30° B．大于30° C．大于45°且小于60° D．大于60°題型十解（非）直角三角形相關(guān)計算【例23】如圖，在中，，，，則的長為（

）A． B． C．4 D．5【例24】在中，，，，那么．【例25】已知：在中，，，．則的面積為（結(jié)果可保留根號）．【例26】如圖，在中，已知，，，求的長．鞏固訓(xùn)練23．已知在中，，，，則（）A． B． C． D．24．如圖，在中，，，，則的長為，的面積為．25．在中，，，，求的長．題型十二俯仰角問題【例27】小東同學(xué)學(xué)習(xí)了《銳角三角函數(shù)》一章后，決定運(yùn)用所學(xué)知識測算教室對面遠(yuǎn)處正在施工的塔吊（一種將重物吊到高處的建筑工具）的高度．小東現(xiàn)在所處的位置是四樓教室的點處，小東利用測角儀測得對面遠(yuǎn)處塔吊正在施工的六層（每層高）建筑物的頂部點的仰角為，測得被這幢六層建筑物遮住了一部分的塔吊的頂端點的仰角為．按照安全規(guī)定：此時塔吊的底部點距建筑物的底部點是．利用這些數(shù)據(jù)，小東經(jīng)過詳細(xì)的計算，得出塔吊的高度約為，但這個高度明顯違反了此種塔吊使用的安全規(guī)定（塔吊的最高高度與建筑物的最高高度差必須保持在），親愛的同學(xué)，你也來利用小東測得的數(shù)據(jù)，仔細(xì)算一算塔吊的高度，并判斷該塔吊是否違規(guī)操作．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，，）鞏固訓(xùn)練26、如圖，為了測量旗桿的高度，在離旗桿底部12米的A處，用高米的測角儀測得旗桿頂端C處的仰角α為．求旗桿的高．（精確到米）[參考數(shù)據(jù)：，，]題型十二方位角問題【例28】如圖，四邊形是某公園的休閑步道．經(jīng)測量，點B在A的正西方向，米，點D在A的正北方向，點C在B的西北方向，米，點C在D的南偏西方向上．(1)求步道的長度；（精確到個位數(shù)）；(2)小亮以90米/分的速度沿的方向步行，小明騎自行車以300米/分的速度沿的方向行駛．兩人能否在4分鐘內(nèi)相遇？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，）【例29】如圖，輪船甲和輪船乙同時離開海港O，輪船甲沿北偏東的方向航行，輪船乙沿東南方向航行，2小時后，輪船甲到達(dá)A處，輪船乙到達(dá)B處，此時輪船甲正好在輪船乙的正北方向．已知輪船甲的速度為每小時25海里，求輪船乙的速度．（結(jié)果保留根號）鞏固訓(xùn)練27．一艘輪船由西向東航行，行駛到A島時，測得燈塔B在它北偏東方向上，繼續(xù)向東航行到達(dá)C港，此時測得燈塔B在它北偏西方向上，求輪船在航行過程中與燈塔B的最短距離．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）．28．為了維護(hù)海洋權(quán)益，新組建的國家海洋局加強(qiáng)了海洋巡邏力度，如圖，一艘海監(jiān)船位于燈塔的南偏東方向，距離燈塔100海里的處，沿正北方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔的北偏東方向上的處．(1)在這段時間內(nèi)，海監(jiān)船與燈塔的最近距離是多少海里？(2)在這段時間內(nèi)，海監(jiān)船航行了多少海里？（結(jié)果保留根號）題型十二坡度問題【例30】某長500米的水庫大壩的橫截面是的四邊形，壩頂與壩底平行，已知壩高24米，背水坡的坡度．為提高大壩防洪能力，現(xiàn)需要在大壩的背水坡填筑土石方加固，加固后壩頂加寬6米（即米），．（參考數(shù)據(jù)：）(1)求壩底加寬的寬度；（保留根號）(2)據(jù)相關(guān)部門統(tǒng)計，現(xiàn)有填筑土石方83130立方米，請問是否足夠加固大壩所需？鞏固訓(xùn)練29．國家跳臺滑雪中心位于北京2022年冬奧會張家口