隨機(jī)事件及其概率

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

隨機(jī)事件及其概率

教學(xué)參考課件1.第一章隨機(jī)事件及其概率本章教學(xué)目的與要求了解：概率論研究的對象及實(shí)際意義；隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件的根本定義及特征；樣本空間、樣本點(diǎn)的關(guān)系及特點(diǎn)。理解：頻率、概率的含義和根本性質(zhì)，及二者區(qū)別與聯(lián)系；等可能概率模型的特點(diǎn)及判定方法；條件概率、事件獨(dú)立性的定義；掌握：隨機(jī)事件之間的關(guān)系及運(yùn)算法那么；概率古典型定義及根本性質(zhì)，會(huì)使用概率的加法公式及乘法公式計(jì)算根本的等可能概率問題；全概率公式、貝葉斯(逆概率)公式及其應(yīng)用。2.第一章隨機(jī)事件及其概率第二節(jié)樣本空間、隨機(jī)事件第三節(jié)頻率與概率第六節(jié)獨(dú)立性第四節(jié)等可能概型(古典概型)第五節(jié)條件概率第一節(jié)隨機(jī)事件本章內(nèi)容目錄3.

隨機(jī)現(xiàn)象

小結(jié)

概率論的誕生及應(yīng)用

隨機(jī)試驗(yàn)第一節(jié)隨機(jī)事件4.1654年,一個(gè)名叫梅累的騎士就“兩個(gè)賭徒約定賭假設(shè)干局,且誰先贏c局便算贏家,假設(shè)在一賭徒勝a局(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時(shí)便終止賭博,問應(yīng)如何分賭本〞為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問題,于1654年共同建立了概率論的第一個(gè)根本概念數(shù)學(xué)期望.一、概率論的誕生及應(yīng)用1.概率論的誕生5.2.概率論的應(yīng)用概率論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律，概率論的應(yīng)用幾乎普及所有的科學(xué)領(lǐng)域，例如天氣預(yù)報(bào)、地震預(yù)報(bào)、產(chǎn)品的抽樣調(diào)查，在通訊工程中概率論可用以提高信號(hào)的抗干擾性、分辨率等等.6.在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.“太陽不會(huì)從西邊升起〞,1.確定性現(xiàn)象

“同性電荷必然互斥〞,“水從高處流向低處〞,實(shí)例自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象二、隨機(jī)現(xiàn)象

7.在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.實(shí)例1

在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現(xiàn)的情況.2.隨機(jī)現(xiàn)象“函數(shù)在間斷點(diǎn)處不存在導(dǎo)數(shù)〞等.結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.確定性現(xiàn)象的特征

條件完全決定結(jié)果8.結(jié)果有可能為:1,2,3,4,5或6.

實(shí)例3

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).

實(shí)例2

用同一門炮向同一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀察彈落點(diǎn)的情況.結(jié)果:彈落點(diǎn)會(huì)各不相同.9.實(shí)例4

從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)產(chǎn)品.其結(jié)果可能為:

正品

、次品.實(shí)例5

過馬路交叉口時(shí),可能遇上各種顏色的交通指揮燈.10.實(shí)例6

出生的嬰兒可能是男,也可能是女.實(shí)例7

明天的天氣可能是晴

,也可能是多云或雨.隨機(jī)現(xiàn)象的特征概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.條件不能完全決定結(jié)果11.2.隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量試驗(yàn)或觀察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象這種本質(zhì)規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的.問題什么是隨機(jī)試驗(yàn)?如何來研究隨機(jī)現(xiàn)象?說明1.隨機(jī)現(xiàn)象揭示了條件和結(jié)果之間的非確定性聯(lián)系

,其數(shù)量關(guān)系無法用函數(shù)加以描述.12.1.可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;2.每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;3.進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).

在概率論中,把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn).定義三、隨機(jī)試驗(yàn)13.說明1.隨機(jī)試驗(yàn)簡稱為試驗(yàn),是一個(gè)廣泛的術(shù)語.它包括各種各樣的科學(xué)實(shí)驗(yàn),也包括對客觀事物進(jìn)行的“調(diào)查〞、“觀察〞或“測量〞等.實(shí)例“拋擲一枚硬幣,觀察字面,花面出現(xiàn)的情況〞.分析

2.隨機(jī)試驗(yàn)通常用E來表示.(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;14.1.拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).2.從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的件數(shù).同理可知以下試驗(yàn)都為隨機(jī)試驗(yàn).(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果:字面、花面;(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).

故為隨機(jī)試驗(yàn).15.3.記錄某公共汽車站某日上午某時(shí)刻的等車人數(shù).4.考察某地區(qū)10月份的平均氣溫.5.從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.16.四、小結(jié)

隨機(jī)現(xiàn)象的特征:1.概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.條件不能完全決定結(jié)果.2.隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的.(1)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).隨機(jī)試驗(yàn)返回本章目錄17.樣本空間樣本點(diǎn)隨機(jī)事件間的關(guān)系及運(yùn)算隨機(jī)事件的概念小結(jié)第二節(jié)樣本空間、隨機(jī)事件18.樣本點(diǎn)e.

S

現(xiàn)代集合論為表述隨機(jī)試驗(yàn)提供了一個(gè)方便的工具.一、樣本空間19.

實(shí)例1將一枚硬幣拋擲兩次,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況:

S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}第1次第2次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):

在每次試驗(yàn)中必有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)且僅有一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn).那么樣本空間20.實(shí)例2

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).實(shí)例3

記錄某公共汽車站某日上午某時(shí)刻的等車人數(shù).21.實(shí)例4

從一批燈泡中任取一只,測試其壽命.實(shí)例5記錄某城市120急救臺(tái)一晝夜接到的呼喚次數(shù).22.2.同一試驗(yàn),假設(shè)試驗(yàn)?zāi)康牟煌?那么對應(yīng)的樣本空間也不同.例如對于同一試驗(yàn):“將一枚硬幣拋擲三次〞.假設(shè)觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況,那么樣本空間為假設(shè)觀察出現(xiàn)正面的次數(shù),那么樣本空間為說明

1.試驗(yàn)不同,對應(yīng)的樣本空間也不同.23.說明3.建立樣本空間,事實(shí)上就是建立隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.因此,一個(gè)樣本空間可以概括許多內(nèi)容大不相同的實(shí)際問題.例如只包含兩個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面的模型,也可以作為產(chǎn)品檢驗(yàn)中合格與不合格的模型,又能用于排隊(duì)現(xiàn)象中有人排隊(duì)與無人排隊(duì)的模型等.24.

所以在具體問題的研究中

,描述隨機(jī)現(xiàn)象的第一步就是建立樣本空間.25.隨機(jī)事件

隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間S的子集稱為E的隨機(jī)事件,簡稱事件.通常以大寫英文字母A,B,C,

來表示事件。試驗(yàn)中,骰子“出現(xiàn)1點(diǎn)〞,“出現(xiàn)2點(diǎn)〞,…,“出現(xiàn)6點(diǎn)〞,“點(diǎn)數(shù)不大于4〞,“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)〞等都為隨機(jī)事件.

實(shí)例

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).1.根本概念二、隨機(jī)事件的概念26.實(shí)例上述試驗(yàn)中“點(diǎn)數(shù)不大于6〞就是必然事件.必然事件

隨機(jī)試驗(yàn)中必然會(huì)出現(xiàn)的結(jié)果.不可能事件

隨機(jī)試驗(yàn)中不可能出現(xiàn)的結(jié)果.

實(shí)例上述試驗(yàn)中“點(diǎn)數(shù)大于6〞就是不可能事件.實(shí)例“出現(xiàn)1點(diǎn)〞,“出現(xiàn)2點(diǎn)〞,…,“出現(xiàn)6點(diǎn)〞.根本領(lǐng)件由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集.(相對于觀察目的不可再分解的事件)27.

〔1〕當(dāng)且僅當(dāng)集合A中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),稱事件A發(fā)生.如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù).事件B={擲出奇數(shù)點(diǎn)}B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)B中的樣本點(diǎn)1,3,5中的某一個(gè)出現(xiàn).2.幾點(diǎn)說明28.(2)隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系

每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相應(yīng)地有一個(gè)樣本空間,樣本空間的子集就是隨機(jī)事件.隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間子集隨機(jī)事件隨機(jī)事件根本領(lǐng)件

必然事件不可能事件復(fù)合事件兩個(gè)特殊事件29.

1.包含關(guān)系假設(shè)事件A出現(xiàn),必然導(dǎo)致B出現(xiàn),那么稱事件B包含事件A,記作實(shí)例“長度不合格〞必然導(dǎo)致“產(chǎn)品不合格〞所以“產(chǎn)品不合格〞包含“長度不合格〞.圖示

B包含

A.SBA三、隨機(jī)事件間的關(guān)系及運(yùn)算30.2.A等于B假設(shè)事件A包含事件B，而且事件B包含事件A，那么稱事件A與事件B相等，記作A=B.3.事件

A與

B的并(和事件)實(shí)例某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品不合格〞是“長度不合格〞與“直徑不合格〞的并.圖示事件

A與

B的并.

SBA31.4.事件

A與

B的交

(積事件)32.圖示事件A與B

的積事件.SABAB實(shí)例某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長度與直徑是否合格所決定,因此“產(chǎn)品合格〞是“長度合格〞與“直徑合格〞的交或積事件.33.和事件與積事件的運(yùn)算性質(zhì)34.5.事件

A與

B互不相容(互斥)假設(shè)事件A的出現(xiàn)必然導(dǎo)致事件B不出現(xiàn),B出現(xiàn)也必然導(dǎo)致A不出現(xiàn),那么稱事件A與B互不相容,即實(shí)例拋擲一枚硬幣,“出現(xiàn)花面〞與“出現(xiàn)字面〞是互不相容的兩個(gè)事件.35.“骰子出現(xiàn)1點(diǎn)〞“骰子出現(xiàn)2點(diǎn)〞圖示A與B互斥.SAB互斥實(shí)例拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).

36.6.事件

A與

B的差

由事件A出現(xiàn)而事件B不出現(xiàn)所組成的事件稱為事件A與B的差.記作A-B.圖示A與B的差.SABSAB實(shí)例“長度合格但直徑不合格〞是“長度合格〞與“直徑合格〞的差.37.設(shè)A表示“事件A出現(xiàn)〞,那么“事件A不出現(xiàn)〞稱為事件A的對立事件或逆事件.記作實(shí)例“骰子出現(xiàn)1點(diǎn)〞“骰子不出現(xiàn)1點(diǎn)〞圖示A與B的對立.SB假設(shè)A與B互逆,那么有A7.事件

A的對立事件對立38.對立事件與互斥事件的區(qū)別SSABABA、B對立A、B互斥互斥對立39.事件間的運(yùn)算規(guī)律40.例1

設(shè)A,B,C表示三個(gè)隨機(jī)事件,試將下列事件用A,B,C表示出來.(1)A出現(xiàn),B,C不出現(xiàn);(5)三個(gè)事件都不出現(xiàn);(2)A,B都出現(xiàn),C不出現(xiàn);(3)三個(gè)事件都出現(xiàn);(4)三個(gè)事件至少有一個(gè)出現(xiàn);(6)不多于一個(gè)事件出現(xiàn);41.(7)不多于兩個(gè)事件出現(xiàn);(8)三個(gè)事件至少有兩個(gè)出現(xiàn);(9)A,B至少有一個(gè)出現(xiàn),C不出現(xiàn);(10)A,B,C中恰好有兩個(gè)出現(xiàn).解42.43.(1)沒有一個(gè)是次品;(2)至少有一個(gè)是次品;(3)只有一個(gè)是次品;(4)至少有三個(gè)不是次品;(5)恰好有三個(gè)是次品;(6)至多有一個(gè)是次品.解44.45.46.例3假設(shè)用事件A表示“甲產(chǎn)品暢銷，乙產(chǎn)品滯銷〞，那么事件表示〔〕。A．甲產(chǎn)品滯銷，乙產(chǎn)品暢銷;

B.甲、乙兩產(chǎn)品均暢銷;

Ｃ.甲產(chǎn)品滯銷;

Ｄ．甲產(chǎn)品滯銷或乙產(chǎn)品暢銷.47.由（1）（2）知：A與B互為逆事件。

（2）例4、若，則A與B互為逆事件。

證明：如果

而矛盾，從而：

（1）48.隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間子集隨機(jī)事件隨機(jī)事件基本事件必然事件不可能事件復(fù)合事件四、小結(jié)1.隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系49.2.概率論與集合論之間的對應(yīng)關(guān)系記號(hào)概率論集合論樣本空間，必然事件空間不可能事件空集基本事件元素隨機(jī)事件子集A的對立事件A的補(bǔ)集A出現(xiàn)必然導(dǎo)致B出現(xiàn)A是B的子集事件A與事件B相等集合A與集合B相等50.事件A與事件B的差A(yù)與B兩集合的差集事件A與B互不相容A與B兩集合中沒有相同的元素事件A與事件B的和集合A與集合B的并集

事件A與事件B的積事件集合A與集合B的交集返回本章目錄51.頻率的定義與性質(zhì)概率的定義與性質(zhì)小結(jié)第三節(jié)頻率與概率52.1.定義一、頻率的定義與性質(zhì)53.2.性質(zhì)設(shè)A是隨機(jī)試驗(yàn)E的任一事件,那么54.試驗(yàn)序號(hào)12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502實(shí)例將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做

7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.波動(dòng)最小隨n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性55.實(shí)驗(yàn)者德摩根蒲豐204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.500556.

可見,在大量重復(fù)的試驗(yàn)中,隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率具有穩(wěn)定性.即通常所說的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性..57.例

DeweyG.統(tǒng)計(jì)了約438023個(gè)英語單詞中各字母出現(xiàn)的頻率,發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn)的頻率不同：A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.000658.1933年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)，給出了概率的嚴(yán)格定義，使概率論有了迅速的開展.二、概率的定義與性質(zhì)59.1、概率的定義60.證明由概率的可列可加性得2.概率的性質(zhì)61.概率的有限可加性證明由概率的可列可加性得62.證明63.證明證明64.證明由圖可得又由性質(zhì)3得因此得65.推廣三個(gè)事件和的情況n個(gè)事件和的情況66.解67.SABAB68.69.

例3

某工廠職工可以訂閱兩種讀物—報(bào)紙和雜志，其中訂閱報(bào)紙的概率為0.7，訂閱雜志的概率為0.2,兩種都訂閱的概率為0.1.求解事件A,B分別表示“訂閱報(bào)紙和訂閱雜志〞(1)(1)訂閱報(bào)紙而不訂閱雜志的概率;(2)至少訂閱一種讀物的概率;(3)兩種讀物都不訂閱的概率.(2)(3)70.

例4設(shè)A,B滿足P(A)=0.8,P(B)=0.7,在何條件下，

P(AB)取得最大(小)值？最大(小)值是多少？解最小值在時(shí)取得.

----------最小值----------最大值最大值在時(shí)取得.

71.例5、

72.例6、設(shè)同時(shí)發(fā)生時(shí)，C必然發(fā)生，則：

解：而：73.1.頻率(波動(dòng))概率(穩(wěn)定).2.概率的主要性質(zhì)三、小結(jié)返回本章目錄74.等可能概型典型例題幾何概率小結(jié)第四節(jié)等可能概型(古典概型)75.1.定義一、等可能概型(古典概型)76.設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間由n個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成，A為E的任意一個(gè)事件，且包含m個(gè)樣本點(diǎn)，那么事件A出現(xiàn)的概率記為:2.古典概型中事件概率的計(jì)算公式稱此為概率的古典定義.

77.【注】求解古典概型問題的關(guān)鍵是弄清樣本空間中的根本領(lǐng)件總數(shù)和對所求概率事件有利的事件個(gè)數(shù)．在考慮事件數(shù)的時(shí)候，必須分清研究的問題是組合問題還是排列問題，掌握以下關(guān)于排列組合的知識(shí)是有用的：(1)加法原理：設(shè)完成一件事有k類方法，每類又分別有m1,m2,,…,mk種方法，而完成這件事只需其中一種方法，那么完成這件事共有m1+m2,+…+mk種方法．(2)乘法原理：設(shè)完成一件事有n個(gè)步驟．第一步有m1種方法、第二步有m2種方法，…第n步有mn種方法，那么完成這件事共有m1×m2×…×mn種方法.78.

(3)、不同元素的選排列

從n個(gè)不相同的元素中無放回取k個(gè)的排列(k

＜n)，稱為從n個(gè)不同元素中取k個(gè)元素的選排列,共有種。當(dāng)n

＝k時(shí)，稱n個(gè)元素的全排列．共有n！種。

例如：從3個(gè)元素取出2個(gè)的排列總數(shù)有6種79.

(4)、不同元素的重復(fù)排列例如：從裝有4張卡片的盒中有放回地摸取3張3241n=4,k=3123第1張4123第2張4123第3張4共有4.4.4=43種可能取法從n個(gè)不同的元索中，有放回地取k個(gè)元素進(jìn)行的排列，共有種〔元素允許重復(fù)〕。80.

(5)、不全相異元素的排列在n個(gè)元素中，有m類不同元素、每類各有k1,k2,…km

個(gè)，將這n個(gè)元素作全排列，共有如下種方式：k1個(gè)元素k2個(gè)元素km個(gè)元素……n個(gè)元素因?yàn)?81.

(6)、環(huán)排列

從n個(gè)不同元素中，選出m個(gè)不同的元素排成一個(gè)圓圈的排列，共有：

(7)、組合從n個(gè)不同元素中取m個(gè)而不考慮其次序的排列（組合），共有種.4123412311242343每個(gè)排列重復(fù)了4次排列數(shù)為82.3.古典概型的根本模型:摸球模型(1)無放回地摸球問題1

設(shè)袋中有4只白球和

2只黑球,現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出2只球,求這2只球都是白球的概率.解根本領(lǐng)件總數(shù)為A所包含根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)為83.(2)有放回地摸球問題2

設(shè)袋中有4只紅球和6只黑球,現(xiàn)從袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到紅球的概率.解第1次摸球10種第2次摸球10種第3次摸球10種6種第1次摸到黑球6種第2次摸到黑球4種第3次摸到紅球84.根本領(lǐng)件總數(shù)為A所包含根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)為課堂練習(xí)1o號(hào)碼問題在7位數(shù)的號(hào)碼中,第一位不能為0，求數(shù)字0出現(xiàn)3次的概率.2o

骰子問題

擲3顆均勻骰子,求點(diǎn)數(shù)之和為4的概率.85.4.古典概型的根本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量無限問題1

把

4個(gè)球放到

3個(gè)杯子中去,求第1、2個(gè)杯子中各有兩個(gè)球的概率,其中假設(shè)每個(gè)杯子可放任意多個(gè)球.

4個(gè)球放到3個(gè)杯子的所有放法86.因此第1、2個(gè)杯子中各有兩個(gè)球的概率為87.(2)每個(gè)杯子只能放一個(gè)球問題2

把4個(gè)球放到10個(gè)杯子中去,每個(gè)杯子只能放一個(gè)球,求第1至第4個(gè)杯子各放一個(gè)球的概率.解第1至第4個(gè)杯子各放一個(gè)球的概率為88.2o

生日問題

某班有20個(gè)學(xué)生都是同一年出生的,求有10個(gè)學(xué)生生日是1月1日,另外10個(gè)學(xué)生生日是12月31日的概率.

課堂練習(xí)1o

分房問題

將張三、李四、王五3人等可能地分配到3間房中去,試求每個(gè)房間恰有1人的概率.89.解二、典型例題90.在N件產(chǎn)品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有于是所求的概率為解在N件產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有91.例3在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),問取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?設(shè)A為事件“取到的數(shù)能被6整除〞,B為事件“取到的數(shù)能被8整除〞，那么所求概率為解92.于是所求概率為93.例4將

15名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班級中去,這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.問(1)每一個(gè)班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(2)3名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級的概率是多少?解15名新生平均分配到三個(gè)班級中的分法總數(shù):(1)每一個(gè)班級各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有94.因此所求概率為(2)將3名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級的分法共有3種,對于每一種分法,其余12名新生的分法有因此3名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級的分法共有因此所求概率為95.例5某接待站在某一周曾接待過12次來訪,所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的,問是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的.

假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒有規(guī)定,且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777

故一周內(nèi)接待12次來訪共有96.小概率事件在實(shí)際中幾乎是不可能發(fā)生的,從而可知接待時(shí)間是有規(guī)定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四1234122222212次接待都是在周二和周四進(jìn)行的共有故12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的概率為97.例6

假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64個(gè)人中至少有2人生日相同的概率.64個(gè)人生日各不相同的概率為故64個(gè)人中至少有2人生日相同的概率為解98.說明99.我們利用軟件包進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.100.

例7、有n個(gè)人排隊(duì)，排成一圈，求甲、乙兩人相鄰的概率是多少?解：(2)排成一圈是環(huán)排列，n個(gè)人的環(huán)排列有(n－1)!種，甲、乙相鄰占一個(gè)位置的環(huán)排列有(n一2)!種，考慮互換性，有利事件有2×(n一2)!種．故：

更為簡單的想法是：設(shè)想一個(gè)圓周上：有n個(gè)位置，甲占了一個(gè)位置后，乙還有n一1個(gè)位置可選，其中與甲相鄰的位置有2個(gè)．所以:101.

例8、從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率是多少?

解：A

={4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙}={4只鞋子中沒兩只鞋子配成一雙}102.

例9、某人將三封寫好的信隨機(jī)裝入三個(gè)寫好地址的信封中，問沒有一封信裝對地址的概率是多少？這是一個(gè)配對問題103.解：設(shè)Ai={第i封信裝入第i個(gè)信封}i=1,2,3

A={沒有一封信裝對地址}直接計(jì)算P(A)不易，我們先來計(jì)算={至少有一封信裝對地址}那么其中：104.于是:推廣到n封信,用類似的方法可得:把n

封信隨機(jī)地裝入n個(gè)寫好地址的信封中,沒有一封信配對的概率為:105.例10

利用概率模型證明恒等式〔1〕〔2〕證〔1〕構(gòu)造概率模型：設(shè)一袋中有n個(gè)球，其中只有1個(gè)紅球，其余全是黑球，現(xiàn)從袋中無放回地摸出r個(gè)球。記事件A=“摸出的r個(gè)球中有紅球〞，那么由可得到等式〔1〕。106.〔2〕構(gòu)造概率模型：設(shè)一袋中有n個(gè)球，其中有m個(gè)紅球，n-m個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中無放回地摸出r個(gè)球。記事件Ai=“摸出的r個(gè)球中有i個(gè)紅球〞，那么而所以，即107.定義當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域，并且任意一點(diǎn)落在度量(長度、面積、體積)相同的子區(qū)域是等可能的，那么事件A的概率可定義為說明當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無窮多個(gè)時(shí),就歸結(jié)為幾何概型.三、幾何概型108.

那么

兩人會(huì)面的充要條件為例10

甲、乙兩人相約在0到T這段時(shí)間內(nèi),在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面.先到的人等候另一個(gè)人,經(jīng)過時(shí)間t(t<T)后離去.設(shè)每人在0到T這段時(shí)間內(nèi)各時(shí)刻到達(dá)該地是等可能的,且兩人到達(dá)的時(shí)刻互不牽連.求甲、乙兩人能會(huì)面的概率.會(huì)面問題解109.故所求的概率為假設(shè)以x,y表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo),那么有110.最簡單的隨機(jī)現(xiàn)象古典概型

古典概率幾何概型試驗(yàn)結(jié)果連續(xù)無窮四、小結(jié)返回本章目錄111.條件概率乘法定理全概率公式與貝葉斯公式小結(jié)第五節(jié)條件概率112.將一枚硬幣拋擲兩次,觀察其出現(xiàn)正反兩面的情況,設(shè)事件A為“至少有一次為正面〞,事件B為“兩次擲出同一面〞.現(xiàn)在來求事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率.分析事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率,記為1.引例一、條件概率113.同理可得為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.2.定義114.3.性質(zhì)115.二、乘法定理116.例1在標(biāo)有1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字的卡片里,無放回地抽取兩次,一次一張,求(1)第一次取到奇數(shù)卡片的概率;(2)第一次取到偶數(shù),求第二次取到奇數(shù)卡片的概率;(3)第二次才取到奇數(shù)卡片的概率.

解

設(shè)A,B分別表示第一次和第二次取到奇數(shù)卡片這兩個(gè)事件,則P(A)=

117.例2

某種動(dòng)物由出生算起活20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物,問它能活到25歲以上的概率是多少?設(shè)A表示“能活20歲以上〞的事件，B表示“能活25歲以上〞的事件,那么有解118.例4五個(gè)鬮,其中兩個(gè)鬮內(nèi)寫著“有〞字，三個(gè)鬮內(nèi)不寫字，五人依次抓取,問各人抓到“有〞字鬮的概率是否相同?解那么有抓鬮是否與次序有關(guān)?119.120.依此類推故抓鬮與次序無關(guān).121.

例5

一個(gè)罐子中包含b個(gè)白球和r個(gè)紅球.隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)進(jìn)行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.

波里亞罐子模型b個(gè)白球,r個(gè)紅球122.于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個(gè)球，第一、第二個(gè)是白球，第三、四個(gè)是紅球.〞b個(gè)白球,r個(gè)紅球

隨機(jī)取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.

解設(shè)Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是紅球}，j=1,2,3,4123.用乘法公式容易求出

當(dāng)c>0時(shí)，由于每次取出球后會(huì)增加下一次也取到同色球的概率.這是一個(gè)傳染病模型.每次發(fā)現(xiàn)一個(gè)傳染病患者，都會(huì)增加再傳染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)124.例6設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,假設(shè)第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為7/10,假設(shè)前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.解以B表示事件“透鏡落下三次而未打破〞.所以125.1.樣本空間的劃分三、全概率公式與貝葉斯公式126.2.全概率公式全概率公式127.圖示證明化整為零各個(gè)擊破128.說明全概率公式的主要用處在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題,分解為假設(shè)干個(gè)簡單事件的概率計(jì)算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.129.例7有一批同一型號(hào)的產(chǎn)品，其中由一廠生產(chǎn)的占30%，二廠生產(chǎn)的占50%，三廠生產(chǎn)的占20%，又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2%，1%，1%，問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?設(shè)事件A為“任取一件為次品〞,解130.由全概率公式得30%20%50%2%1%1%131.稱此為貝葉斯公式.

3.貝葉斯公式132.證明133.例8134.解135.(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得136.137.解例9138.

由貝葉斯公式得所求概率為139.

上題中概率0.95是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的,叫做先驗(yàn)概率.

而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97叫做后驗(yàn)概率.先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率140.解例10141.由貝葉斯公式得所求概率為即平均1000個(gè)具有陽性反響的人中大約只有87人患有癌癥.142.1.條件概率全概率公式貝葉斯公式四、小結(jié)乘法定理143.返回本章目錄144.第六節(jié)獨(dú)立性兩個(gè)事件的獨(dú)立性多個(gè)事件的獨(dú)立性獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用小結(jié)145.顯然P(A|B)=P(A)這就是說,事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時(shí)稱事件A、B獨(dú)立.一、兩事件的獨(dú)立性A={第二次擲出6點(diǎn)}，B={第一次擲出6點(diǎn)}，先看一個(gè)例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)146.

由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨(dú)立時(shí)，有

P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨(dú)立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約.147.假設(shè)兩事件A、B滿足P(AB)=P(A)P(B)(1)那么稱A、B相互獨(dú)立，簡稱A、B獨(dú)立.兩事件獨(dú)立的定義148.149.

例1

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可見,P(AB)=P(A)P(B)由于P(A)=4/52=1/13,故事件A、B獨(dú)立.問事件A、B是否獨(dú)立？解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,150.

前面我們是根據(jù)兩事件獨(dú)立的定義作出結(jié)論的，也可以通過計(jì)算條件概率去做:

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的},

在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立.

可見P(A)=P(A|B),即事件A、B獨(dú)立.那么P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13151.

在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立.由于“甲命中〞并不影響“乙命中〞的概率，故認(rèn)為A、B獨(dú)立.甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊,記A={甲命中},B={乙命中}，A與B是否獨(dú)立？例如〔即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率〕152.一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè)

Ai={第i件是合格品}i=1,2假設(shè)抽取是有放回的,那么A1與A2獨(dú)立.因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到第一次抽取的影響.又如：因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果不受第一次抽取的影響.假設(shè)抽取是無放回的，那么A1與A2不獨(dú)立.153.兩事件相互獨(dú)立兩事件互斥例如由此可見兩事件相互獨(dú)立，但兩事件不互斥.兩事件相互獨(dú)立與兩事件互斥的關(guān)系.請同學(xué)們思考二者之間沒有必然聯(lián)系154.由此可見兩事件互斥但不獨(dú)立.155.設(shè)A、B為互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的選項(xiàng)是：

前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)設(shè)A、B為獨(dú)立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的選項(xiàng)是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再請你做個(gè)小練習(xí).156.=P(A)[1-P(B)]=P(A)-P(AB)P(A)=P(A-A

B)A、B獨(dú)立概率的性質(zhì)=P(A)-P(A)P(B)僅證A與獨(dú)立定理2假設(shè)兩事件A、B獨(dú)立,那么也相互獨(dú)立.證明=P(A)P()故A與獨(dú)立157.二、多個(gè)事件的獨(dú)立性158.159.

對于三個(gè)事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四個(gè)等式同時(shí)成立,那么稱事件A、B、C相互獨(dú)立.160.請注意多個(gè)事件兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別與聯(lián)系兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立對n(n>2)個(gè)事件?161.對獨(dú)立事件