八年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考高分秘籍（人教版）：與三角形和多邊形有關(guān)角的綜合計(jì)算大題專練（解析版）

專題-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】專題2.2與三角形和多邊形有關(guān)角的綜合計(jì)算大題專練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）一、解答題1．（2019·安徽·蚌埠第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在△ABC中，∠A=40°，∠ABC和∠ACB的平分線交于P，則∠BPC的度數(shù)是______（2）類比探究：如圖2，在△ABC中，∠ABC的平分線和∠ACB的外角∠ACE的角平分線交于P，則∠BPC與∠A的關(guān)系是______，并說明理由．（3）類比延伸：如圖3，在△ABC中，∠ABC外角∠FBC的角平分線和∠ACB的外角∠BCE的角平分線交于P，請(qǐng)直接寫出∠BPC與∠A的關(guān)系是______．【答案】（1）110°；（2）∠BPC=12【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠ACE=∠ABC+∠A、∠PCE=∠PBC+∠BPC，根據(jù)角平分線的定義解答；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論然后用角分線的定義，計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°?40，∵∠ABC和∠ACB的平分線交于P，∴∠PBC=12∠ABC∴∠BPC=180°?故答案為110°（2）∠BPC=1證明：∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△PBC的外角，∴∠ACE=∠ABC+∠A∠PCE=∠PBC+∠BPC，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴∠PBC=1∴12∴∠BPC=1∴∠BPC=1故答案為：∠BPC=1（3）由（1）得，∠BPC=90°?1故答案為：∠BPC=90°?1【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用以及角平分線的定義，掌握三角形內(nèi)角和等于180°和三角形外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·遼寧·大連市第十七中學(xué)八年級(jí)期中）小明在學(xué)習(xí)三角形的知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下三個(gè)有趣的結(jié)論：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M為直線AC上一點(diǎn)，ME⊥BC，E為垂足，∠AME的平分線交直線AB于點(diǎn)F．(1)如圖，M為邊AC上一點(diǎn)，則BD，MF的位置關(guān)系是，并證明；(2)若M為邊AC反向延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，則（1）的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)畫出圖形說明理由．(3)若M為邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，則（1）的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)畫出圖形說明理由．【答案】(1)平行，理由見解析(2)不成立，理由見解析(3)不成立，理由見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義與四邊形的內(nèi)角和定理求出∠ABD+∠AMF＝90°，又∠AFM+∠AMF＝90°，然后證明得到∠ABD＝∠AFM，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得BD∥（2）先證明∠ABC＝∠AME，再根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD＝∠AMF，然后根據(jù)∠ABD+∠ADB＝90°得到∠AMF+∠ADB＝90°，從而得到BD⊥MF；（3）先證明∠ABC＝∠AME，再根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD＝∠AMF，然后根據(jù)∠AMF+∠F＝90°得到∠ABD+∠F＝90°，從而得到BD⊥MF．（1）解：BD∥理由如下：∵∠A＝90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠AME＝360°﹣90°×2＝180°，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD＝12∠ABC，∠AMF＝12∠∴∠ABD+∠AMF＝12（∠ABC+∠AME）＝90又∵∠AFM+∠AMF＝90°，∴∠ABD＝∠AFM，∴BD∥（2）解：不成立，BD⊥MF．如圖所示，理由如下：∵∠BAC＝90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠C＝∠AME+∠C＝90°，∴∠ABC＝∠AME，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD＝∠AMF，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠AMF+∠ADB＝90°，∴BD⊥MF；（3）解：不成立，BD⊥MF，如圖所示，理由如下：∵∠BAC＝90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠ACB＝∠AME+∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠AME，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD＝∠AMF，∵∠AMF+∠F＝90°，∴∠ABD+∠F＝90°，∴BD⊥MF．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，垂線的定義，平行線的判定，三角形的內(nèi)角和定理，本題規(guī)律性較強(qiáng)，準(zhǔn)確識(shí)圖，準(zhǔn)確找出角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2020·湖北荊門·八年級(jí)期中）生活中到處都存在著數(shù)學(xué)知識(shí)，只要同學(xué)們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，就會(huì)有許多意想不到的收獲，下面兩幅圖都是由同一副三角板拼合得到的：(1)如圖1，請(qǐng)你計(jì)算出的∠ABC的度數(shù)．(2)如圖2，若AE∥BC，請(qǐng)你計(jì)算出∠AFD的度數(shù)．【答案】(1)∠ABC＝75°(2)∠AFD＝75°【分析】（1）由∠F＝30°，∠EAC＝45°，即可求得∠ABF的度數(shù)，又由∠FBC＝90°，易得∠ABC的度數(shù)；（2）首先根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，求得∠C的度數(shù)，又由AE∥BC，即可求得∠CAE的值，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可求得∠AFD的度數(shù)．（1）∵∠F＝30°，∠EAC＝45°，∴∠ABF＝∠EAC－∠F＝45°－30°＝15°，∵∠FBC＝90°，∴∠ABC＝∠FBC－∠ABF＝90°－15°＝75°；（2）∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，∴∠C＝180°―∠B―∠BAC＝30°，∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠C＝30°，∴∠AFD＝∠CAE+∠E＝30°+45°＝75°【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識(shí)．題目難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．（2021·重慶梁平·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，AE是∠BAC的平分線，AD是高．(1)求∠BAE的度數(shù)；(2)求∠EAD的度數(shù)；(3)如圖，若∠C>∠B，直接寫出∠EAD、∠B、∠C的關(guān)系．【答案】(1)∠BAE=50°(2)∠EAD=10°(3)∠EAD=12(∠C-∠B【分析】（1）由∠B，∠C的度數(shù)利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線性質(zhì)即可求出∠BAE的度數(shù)；（2）由∠B，∠ADB的度數(shù)利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BAD的度數(shù)，再根據(jù)∠DAE=∠EAC﹣∠DAC代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；（3）猜想∠EAD=12(∠C-∠B)，重復(fù)（1）（2）的過程找出∠BAD和∠BAE（1）∵在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=100°；又∵AE是∠BAC的平分線，

∴∠BAE=12∠BAC（2）∵AD是邊BC上的高，∴∠ADC=90°，∴在△ADC中，∠C=50°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DAC=40°，由（1）知，∠BAE=∠CAE=50°，∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=50°﹣40°=10°，即∠EAD=10°．（3）∠EAD=12(∠C-∠B∵∠BAC=180-∠C-∠B且AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE=12∠BAC=90°-12(∠C-∠∵∠BAD=90°-∠B，∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=12(∠C-∠B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理角平分線的性質(zhì)以及角的計(jì)算，解決此題的關(guān)鍵是熟練的運(yùn)用上述性質(zhì)．5．（2021·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)期中）（1）如圖①，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)角的平分線BP與CP的交點(diǎn)，求證：∠BPC=90°+1（2）如圖②，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)角的平分線BP與外角平分線CP的交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出∠BPC與∠A的關(guān)系；（3）如圖③，點(diǎn)P是△ABC的外角平分線BP與CP的交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出∠BPC與∠A的關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）∠BPC=12【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理∠ABC+∠ACB=180°?∠A，根據(jù)角平分線的定義運(yùn)算即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的外角定理，得出∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠BPC+∠PBC，再根據(jù)角平分線的定義運(yùn)算即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)平角的定義和三角形內(nèi)角和定理推出，∠DBC+∠ECB的和，再根據(jù)角平分線的定義運(yùn)算即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵BP和CP分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∵∠ABC+∠ACB=180°?∠A∴∠PBC+∠PCB===90°?∴∠BPC=180°?(∠PBC+∠PCB)=180°?(90°?（2）∠BPC=1∵BP是∠ABC的平分線，CP是△ABC外角角平分線，∴∠PBC=12∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠BPC+∠PBC∴∠PCD==∴∠PCD?∠PBC=∵∠PCD?∠PBC=∠BPC∴∠BPC=（3）∠BPC=90°?1∵BP和CP是△ABC外角角平分線，∴∠PBC=12∵∠ABC+∠ACB=180°?∠A又∵∠DBC=180°?∠ABC，∠ECB=180°?∠ACB∴∠DBC+∠ECB=180°?∠ABC+180°?∠ACB=360°?(∠ABC+∠ACB)=360°?(180°?∠A)=180°+∠A∴∠PBC+∠PCB==∴∠BPC=180°?(∠PBC+∠PCB)=180°?(90°+【點(diǎn)睛】本題考查了雙內(nèi)角角平分線模型，內(nèi)外角角平分線模型，雙外角角平分線模型，主要運(yùn)用了三角形內(nèi)角定理，三角形外角定理和角平分線的定義，靈活運(yùn)用定理并準(zhǔn)確運(yùn)算是本題的關(guān)鍵．6．（2021·廣西·靖西市教學(xué)研究室八年級(jí)期中）如圖，已知：AD平分∠BAC，點(diǎn)F是AD反向延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝60°．求：∠B和∠F的度數(shù)．【答案】∠B＝40°；∠F＝10°【分析】根據(jù)AD平分∠BAC，可得∠BAC=80°，由三角形內(nèi)角和定理可得∠B＝40°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠EDF＝80°，然后根據(jù)EF⊥BC，即可求解．【詳解】解：∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝40°，∴∠DAC＝40°，即∠BAC=80°，∵∠C＝60°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣60°＝40°，∴∠EDF＝∠B+∠1=40°+40°＝80°，∵EF⊥BC，∴在Rt△EDF中，∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣80°＝10°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計(jì)算，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握有關(guān)角平分線的計(jì)算，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2018·江西·八年級(jí)期中）如圖1，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AC、BD，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．(1)求證：∠A+∠C=∠B+∠D；(2)如圖2，若∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，與CD、AB分別相交于點(diǎn)M、N．①以線段AC為邊的“8字型”有_______個(gè)，以點(diǎn)O為交點(diǎn)的“8字型”有________個(gè)：②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度數(shù)；③若角平分線中角的關(guān)系改為“∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP”，試探究∠P與∠B、∠C之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)①3，4；②110°；③3∠P=∠B+2∠C；【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等即可證明；（2）①根據(jù)“8字型”的定義判斷即可；②由（1）結(jié)論可得△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，兩式相加再由角平分線的定義即可解答；③根據(jù)∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP，由∠C+∠CAM=∠P+∠PDM可得3（∠C-∠P）=∠BDC-∠CAB，由∠B+∠BDN=∠P+∠PAN可得32（∠P-∠B）=∠BDC-∠CAB（1）解：△AOC中，∠A+∠C=180°-∠AOC，△BOD中，∠B+∠D=180°-∠BOD，∵∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+∠D；（2）解：①以線段AC為邊的“8字型”有：△ACM和△PDM，△ACO和△BOD，△ACO和△DNO，共3個(gè)；以點(diǎn)O為交點(diǎn)的“8字型”有：△ACO和△BDO，△ACO和△DNO，△AMO和△BDO，△AMO和△DNO，共4個(gè)；②△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，∴∠C+∠CAM+∠B+∠BDN=∠P+∠PDM+∠P+∠PAN，∵PA平分∠BAC，PD平分∠BDC，∴∠CAM=∠PAN，∠BDN=∠PDM，∴∠C+∠B=2∠P，∴120°+100°=2∠P，∴∠P=110°；③∵∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP，∴∠CAM=13∠CAB，∠PAN=23∠CAB，∠BDN=23∠BDC，∠PDM=1△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，∠C-∠P=∠PDM-∠CAM=13∠BDC-13∠3（∠C-∠P）=∠BDC-∠CAB，△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，∠P-∠B=∠BDN-∠PAN=23∠BDC-23∠32（∠P-∠B）=∠BDC-∠CAB∴3（∠C-∠P）=32（∠P-∠B2∠C-2∠P=∠P-∠B，3∠P=∠B+2∠C；【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等式的性質(zhì)，角平分線的定義，對(duì)頂角的性質(zhì)等知識(shí)；掌握等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2021·河北保定·八年級(jí)期中）在三角形紙片ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，將∠C沿DE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C落在邊BC上時(shí)，若∠ADC′=62°(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)部時(shí)，且∠BEC′=40°，∠AD(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)C落在△ABC外部時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠C'與∠BEC【答案】(1)31°(2)31°(3)∠【分析】（1）根據(jù)折疊可知，∠C=∠DC'C（2）根據(jù)∠BEC′=40°，∠ADC′=22°求出∠CDC'和∠CEC（3）用∠BEC′，∠ADC'分別表示出∠C'ED和∠(1)∵當(dāng)點(diǎn)C落在邊BC上時(shí)，∠ADC'是∴∠ADC根據(jù)折疊可知，∠C=∠DC'∵∠ADC∴∠C=1故答案為：31°；(2)∵∠BEC′=40°，∠ADC′=22°，∴∠CEC∠CDC根據(jù)折疊可知，∠C=∠C∴∠C===31°；(3)∵根據(jù)折疊可知，∠CDE=∠C'DE∴∠C∠C∴∠=180°?=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和與外角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和與外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2021·北京市海淀外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）在ΔABC中，∠A=70°(1)如圖1，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，則∠BOC=°；(2)如圖2，ΔABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線相交于點(diǎn)O′，則∠BO(3)探究如圖3，ΔABC的內(nèi)角∠ABC的平分線與其外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)O，設(shè)∠A=n°，則∠BOC的度數(shù)是．（用n【答案】(1)125°(2)55°(3)1【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再由角平分線的定義即可求得∠OBC+∠OCB的度數(shù)，從而由三角形內(nèi)角和定理可求得∠BOC的度數(shù)；（2）由三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可求得∠DBC+∠BCE，由角平分線的定義可求得∴∠O′BC+∠O′CB的度數(shù)，從而由三角形內(nèi)角和定理可求得∠BO（3）由角平分線的定義可得∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，由三角形外角的性質(zhì)即可得∠A=2∠BOC，從而可得∠BOC．(1)∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=110°．∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°?(∠OBC+∠OCB)=125°．故答案為：125°．(2)∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+70°=250°．∵BO′平分∠DBC，CO′平分∠BCE，∴∠O′BC=12∠DBC∴∠O′BC+∠O′CB=1∠BO′C=180°?(∠O′BC+∠O′CB)=180°?125°=55°．故答案為：55°．(3)∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，∴∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE．∵∠A=∠ACE?∠ABC，∴∠A=2∠OCE?2∠OBC=2(∠OCE?∠OBC)=2∠BOC．∴∠BOC=1故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，靈活運(yùn)用它們是解答本題的關(guān)鍵．10．（2021·重慶市榮昌初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度數(shù)；(2)證明：∠BAC＝∠B+2∠E．【答案】(1)∠BAC=85°；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠ECD，根據(jù)角平分線的定義求出∠ACE，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，證明結(jié)論．(1)解：∵∠B=35°，∠E=25°，∴∠ECD=∠B+∠E=60°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD=60°，∴∠BAC=∠ACE+∠E=85°；(2)證明：∵CE平分∠ACD，∴∠ECD=∠ACE．∵∠BAC=∠E+∠ACE，∴∠BAC=∠E+∠ECD，∵∠ECD=∠B+∠E，∴∠BAC=∠E+∠B+∠E，∴∠BAC=∠B+2∠E．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．11．（2021·廣西·百色市田陽(yáng)區(qū)第五初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）一個(gè)零件形狀如圖所示，按規(guī)定∠A應(yīng)等于75°，∠B和∠C應(yīng)分別是18°和22°，某質(zhì)檢員測(cè)得∠BDC=114°，就斷定這個(gè)零件不合格，請(qǐng)你運(yùn)用三角形的有關(guān)知識(shí)說明零件不合格的理由．【答案】不合格，理由見解析【分析】延長(zhǎng)BD與AC相交于點(diǎn)E．利用三角形的外角性質(zhì)，可得∠1=∠A+∠B，∠BDC=∠BEC+∠C，即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BD與AC相交于點(diǎn)E．∵∠1是△ABE的一個(gè)外角，∠A=75°，∠B=18°，∴∠1=∠A+∠B=75°+18°=93°，同理可得∠BDC=∠BEC+∠C=93°+22°=115°∵李師傅量得∠BDC=114°，不是115°，∴這個(gè)零件不合格．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．12．（2021·山東德州·八年級(jí)期中）閱讀填空，將三角尺（△MPN，∠MPN=90°）放置在△ABC上（點(diǎn)P在△ABC內(nèi)），如圖①所示，三角尺的兩邊PM、PN恰好經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C，我們來研究∠ABP與∠ACP是否存在某種數(shù)量關(guān)系．（1）特例探索：若∠A=50°，則∠PBC+∠PCB=度，∠ABP+∠ACP=度．（2）類比探索：∠ABP、∠ACP、∠A的關(guān)系是．（3）變式探索：如圖②所示，改變?nèi)浅叩奈恢?，使點(diǎn)P在△ABC外，三角尺的兩邊PM、PN仍恰好經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C，則∠ABP、∠ACP、∠A的關(guān)系是．【答案】（1）90，40；（2）∠ABP+∠ACP+∠A=90°；（3）∠A+∠ACP－∠ABP=90°．【分析】（1）由三角形內(nèi)角和為180°計(jì)算△BPC和△ABC中的角的關(guān)系即可．（2）由（1）所得即可得出∠ABP、∠ACP、∠A的關(guān)系為∠ABP+∠ACP+∠A=90°．（3）由三角形外角的性質(zhì)即可推出∠A+∠ACP－∠ABP=90°．【詳解】（1）在△BPC中∵∠MPN=90°∴∠PBC+∠PCB=180°-∠MPN=180°-90°=90°在△ABC中∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°又∵∠ABC=∠PBC+∠ABP，∠ACB=∠ACP+∠BCP∴∠A+∠PBC+∠ABP+∠ACP+∠BCP=180°∵∠PBC+∠PCB=90°，∠A=50°∴∠ABP+∠ACP=180°-90°-50°=40°（2）由（1）問可知∠A+∠PBC+∠ABP+∠ACP+∠BCP=180°又∵∠PBC+∠PCB=90°∴∠A+∠ABP+∠ACP=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-90°=90°（3）如圖所示，設(shè)PN與AB交于點(diǎn)H∵∠A+∠ACP=∠AHP又∵∠ABP+∠MPN=∠AHP∴∠A+∠ACP=∠ABP+∠MPN又∵∠MPN=90°∴∠A+∠ACP=90°+∠ABP∴∠A+∠ACP－∠ABP=90°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的性質(zhì)以及三角尺的角度計(jì)算問題，三角板的角度分別為90°，45°，45°；90°，60°，30°兩種直角三角尺，三角形內(nèi)角和是180°，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．13．（2021·安徽省六安皋城中學(xué)八年級(jí)期中）概念學(xué)習(xí)：已知△ABC，點(diǎn)P為其內(nèi)部一點(diǎn)，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個(gè)三角形，其內(nèi)角與△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別相等，那么就稱點(diǎn)P為△ABC的等角點(diǎn)．理解應(yīng)用（1）判斷以下兩個(gè)命題是否為真命題，若為真命題，則在相應(yīng)橫線內(nèi)寫：“真命題”；反之，則寫“假命題”①內(nèi)角分別為30°、60°、90°的三角形存在等角點(diǎn)；②任意的三角形都存在等角點(diǎn)．（2）如圖①中，點(diǎn)P是銳角三角形△ABC的等角點(diǎn)，若∠BAC=∠PBC，探究圖中么∠BPC、∠ABC、∠ACP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）①真命題；②假命題；（2）∠BPC=∠ABC+∠ACP【分析】（1）①根據(jù)等角點(diǎn)的定義，可知內(nèi)角分別為30°、60°、90°的三角形存在等角點(diǎn)，從而可作出判斷；②等邊三角形不存在等角點(diǎn)，故可作出判斷；（2）根據(jù)∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP以及∠BAC=∠PBC，即可得出三個(gè)角間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）①作內(nèi)角分別為30°、60°、90°的三角形斜邊的中線，取中線的中點(diǎn)，則此點(diǎn)就是此直角三角形的等角點(diǎn)，故為真命題；故答案為：真命題；②任意三角形都存在等角點(diǎn)是假命題，如等邊三角形不存在等角點(diǎn)，故為假命題；故答案為：假命題；（2）∠BPC=∠ABC+∠ACP理由如下：∵∠ABP+∠BAP=180°?∠BPA，∠ACP+∠CAP=180°?∠CPA∴∠ABP+∠BAP+∠ACP+∠CAP=180°?∠BPA+180°?∠CPA=360°?(∠BPA+∠CPA)即∠ABP+∠BAC+∠ACP=360°?(∠BPA+∠CPA)∴∠BPC=360°?(∠BPA+∠CPA)=∠ABP+∠BAC+∠ACP∵∠BAC=∠PBC∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=∠ABP+∠PBC+∠ACP=∠ABC+∠ACP∴∠BPC=∠ABC+∠ACP【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是理解等角的定義，根據(jù)等角的定義及三角形的內(nèi)角和得出角的關(guān)系．14．（2021·安徽·六安市輕工中學(xué)八年級(jí)期中）已知，如圖，在△ABC中，AH平分∠BAC交BC于點(diǎn)H，D、E分別在CA、BA的延長(zhǎng)線上，DB∥AH，∠D＝∠E．（1））求證：DB∥EC；（2）若∠ABD＝2∠ABC，∠DAB比∠AHC大5°．求∠D的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）50°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠D＝∠CAH，根據(jù)角平分線的定義可得∠BAH＝∠CAH，再根據(jù)已知條件和等量關(guān)系可得∠BAH＝∠E，再根據(jù)平行線的判定即可求解；（2）可設(shè)∠ABC＝x，則∠ABD＝2x，則∠BAH＝2x，可得∠DAB＝180°?4x，可得∠AHC＝175°?4x，可得175°?4x＝3x，解方程求得x，進(jìn)一步求得∠D的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵DB∥AH，∴∠D＝∠CAH，∵AH平分∠BAC，∴∠BAH＝∠CAH，∵∠D＝∠E，∴∠BAH＝∠E，∴AH∥EC，∴DB∥EC；（2）解：設(shè)∠ABC＝x，則∠ABD＝2x，∠BAH＝2x，∴∠DAB＝180°?4x，∵∠DAB比∠AHC大5°∴∠AHC＝175°?4x，∵DB∥AH，∴∠AHC=∠DBC即：175°?4x＝3x，解得x＝25°，則∠D＝∠CAH＝∠BAH＝∠ABD＝2x＝50°．【點(diǎn)睛】考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的判定與性質(zhì)，求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°”這一隱含的條件．15．（2021·北京房山·八年級(jí)期中）已知，△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，M是AE上一點(diǎn)，MN⊥BC于N．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)M與A重合時(shí)，若∠B＝40°，∠C＝80°，求∠EMN的度數(shù)；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)M在線段AE上（不與A，E重合），用等式表示∠EMN與∠B，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)M在線段AE的延長(zhǎng)線上，連接MC，過點(diǎn)A做MC的垂線，交MC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線上于點(diǎn)D．①依題意補(bǔ)全圖形；②若∠B＝α°，∠ACB＝β°，∠D＝γ°，則∠AMC＝°．（用含α，β，γ的式子表示）【答案】（1）∠EMN=20°；（2）∠EMN=【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠BAC＝180°－40°－80°＝60°．根據(jù)AE平分∠BAC，∠CAE＝12∠BAC＝30°，利用三角形內(nèi)角和∠C＝80°，∠MNC＝90°，得出∠CMN(2)∠EMN＝12(∠C－∠B)；證法1:如圖，作AD⊥BC于D．根據(jù)AE平分∠BAC，可得∠EAC＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠C)．根據(jù)AD⊥BC，Rt△DAC中，∠DAC＝90°－∠C，得出∠EAD＝∠EAC－∠DAC=12(∠C－∠B)．根據(jù)AD⊥BC，MN⊥BC，可得AD//MN，得出∠EMN＝∠EAD＝12(∠C－∠B)．證法2:根據(jù)AE平分∠BAC，得出∠EAC＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠C)，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠AEC＝180°－∠EAC－∠C(3)①依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)點(diǎn)M在線段AE的延長(zhǎng)線上，連接MC，過點(diǎn)A作AD⊥MC交MC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線上于點(diǎn)D，如圖；

②∠AMC＝γ?12β+12α．過A作AG⊥BC于G，MN⊥BC于N，可得MN∥AG，得出∠NME=∠GAE=12（∠ACB-∠B），根據(jù)MC⊥AD，得出∠CFD根據(jù)兩角差∠AMC=∠NMC-∠NME=∠D-∠NME=∠D-12∠ACB+12∠【詳解】解:(1)∵∠B＝40°，∠C＝80°，∴∠BAC＝180°－40°－80°＝60°．又∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝12∠BAC∵∠C＝80°，∠MNC＝90°，∴∠CMN＝10°，∴∠EMN＝∠CAE－∠CMN＝30°－10°＝20°；(2)∠EMN＝12(∠C－∠B)．

證法1:如圖，作AD⊥BC于D．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠∵AD⊥BC，∴Rt△DAC中，∠DAC＝90°－∠C，∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝12(180°－∠B－∠C)－(90°－∠C)＝12(∠C－∠∵AD⊥BC，MN⊥BC，∴AD//MN，∴∠EMN＝∠EAD＝12(∠C－∠B)．證法2:∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝12∠BAC＝12(180°－∠B－∠∴∠AEC＝180°－∠EAC－∠C＝90°－12(∠C－∠B∴∠EMN＝90°－∠AEC＝12(∠C－∠B(3)①依題意補(bǔ)全圖形，當(dāng)點(diǎn)M在線段AE的延長(zhǎng)線上，連接MC，過點(diǎn)A作AD⊥MC交MC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線上于點(diǎn)D．如圖；

②∠AMC＝γ?1過A作AG⊥BC于G，MN⊥BC于N，∴MN∥AG，∴∠NME=∠GAE=12（∠ACB-∠B∵M(jìn)C⊥AD，∴∠CFD=∠CNM=90°，∵∠FCD=∠NCM，∴∠NMC=180°-∠CNM-∠NCM=180°-∠CFD-∠FCD=∠D，∴∠AMC=∠NMC-∠NME=∠D-∠NME=∠D-12∠ACB+12∠∵∠B＝α°，∠ACB＝β°，∠D＝γ°，∴∠AMC=γ°-12β°+12【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和，角平分線定義，平行線性質(zhì)，角的和差，補(bǔ)全圖形，垂線定義，掌握三角形內(nèi)角和，角平分線定義，平行線性質(zhì)，角的和差，作圖語(yǔ)句，垂線定義是解題關(guān)鍵．16．（2021·廣西玉林·八年級(jí)期中）如圖：是一個(gè)大型模板，設(shè)計(jì)要求BA與CD相交成26°角，DA與CB相交成37°角，現(xiàn)小燕測(cè)得∠A=151°,∠B=66°,∠C=88°,∠D=55°，她就斷定這塊模板是合格的，這是為什么？【答案】合格，理由見解析【分析】延長(zhǎng)DA，CB相交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BA，CD相交于點(diǎn)E，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)DA，CB相交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BA，CD相交于點(diǎn)E，∵∠C+∠ADC=88°+55°=143°，

∴∠F=180°?∠C?∠ADC=37°，

∵∠C+∠ABC=88°+66°=154°，

∴∠E=180°?∠C?∠ABC=26°，

∴這塊模板是合格的．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握三角形內(nèi)角和定理．17．（2021·廣東陽(yáng)江·八年級(jí)期中）如圖，∠O＝30°，任意裁剪的直角三角形紙板ABC的兩條直角邊所在直線與∠O的兩邊分別交于D，E兩點(diǎn)．（1）如圖1，若直角頂點(diǎn)C在∠O的邊上，則∠ADO+∠OEB＝度；（2）如圖2，若直角頂點(diǎn)C在∠O的內(nèi)部，求∠ADO+∠OEB的度數(shù)；（3）如圖3，若直角頂點(diǎn)C在∠O的外部，求∠ADO+∠OEB的度數(shù)．【答案】（1）120；（2）120°；（3）120°【分析】（1）由三角形外角性質(zhì)可知∠OEB=∠ECO+∠O，即可得出∠ADO+∠OEB=∠ACB+∠O，即可求出答案；（2）連接OC，由三角形外角性質(zhì)可知∠ADO=∠ACO+∠DOC，∠OEB=∠EOC+∠ECO，即可得出∠ADO+∠OEB=∠ACO+∠DOC+∠EOC+∠ECO=∠ACE+∠DOE，即得出答案；（3）連接OC，由三角形外角性質(zhì)可知∠ADO=∠ACO?∠DOC，∠OEB=∠EOC+∠ECO，即可得出【詳解】解：（1）∵∠OEB=∠ECO+∠O，∴∠ADO+∠OEB=∠ACO+∠ECO+∠O=∠ACB+∠O=90°+30°=120°．故答案為：120．（2）如圖，連接OC，∵∠ADO=∠ACO+∠DOC，∠OEB=∠EOC+∠ECO，∠ACE=90°，∴∠ADO+∠OEB=∠ACO+∠DOC+∠EOC+∠ECO=(∠ACO+∠ECO)+(∠EOC+∠DOC)=∠ACE+∠DOE=90°+30°=120°（3）如圖，連接OC∵∠ADO=∠ACO?∠DOC∴∠ADO+∠OEB=∠ACO?∠DOC+∠EOC+∠ECO=(∠ACO+∠ECO)+(∠EOC?∠DOC)=∠ACE+∠DOE=90°+30°=120°【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，正確的連接輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．18．（2021·安徽省六安皋城中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為∠ABC的平分線BD上一點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)D作EF∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．（1）如圖1，若AD⊥BD于點(diǎn)D，∠BEF=120°，求∠BAD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABC=α，∠BDA=β，求∠FAD十∠C的度數(shù)（用含α和β的代數(shù)式表示）．【答案】（1）60°；（2）β-12α【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角的定義可得∠EBC=60°，∠AEF=60°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠EBD=∠BDE=∠DBC=30°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠BAD的度數(shù)；（2）過點(diǎn)A作AG∥BC，則∠BDA=∠DBC+∠DAG=∠DBC+∠FAD+∠FAG=∠DBC+∠FAD+∠C=β，依此即可求解．【詳解】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF=120°，∴∠EBC=60°，∠AEF=60°，又∵BD平分∠EBC，∴∠EBD=∠BDE=∠DBC=30°，又∵∠BDA=90°，∴∠EDA=60°，∴∠BAD=60°；（2）如圖2，過點(diǎn)A作AG∥BC，則∠BDA=∠DBC+∠DAG=∠DBC+∠FAD+∠FAG=∠DBC+∠FAD+∠C=β，則∠FAD+∠C=β-∠DBC=β-12∠ABC=β-12【點(diǎn)睛】考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．19．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖①，已知線段AB，CD相交于點(diǎn)O，連接AC，BD，我們把形如圖①的圖形稱之為“8字形”．如圖②，∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，并且與CD，AB分別相交于M，N．試解答下列問題：(1)在圖①中，寫出一個(gè)關(guān)于∠A、∠B、∠C、∠D的關(guān)系的等式．(2)在圖②中，若∠B＝96°，∠C＝100°，求∠P的度數(shù)；(3)在圖②中，若設(shè)∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝13∠CAB，∠CDP＝13∠CDB，試問∠P與∠C，∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（用α，β表示∠(4)如圖③，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數(shù)為．【答案】(1)∠A+∠C＝∠B+∠D，見解析(2)98°(3)∠P＝13（β+2α(4)360°【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理解決問題即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，兩等式相減得到∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=12（∠C+∠B），然后把∠C=100°，∠B（3）與（2）的證明方法一樣得到∠P=13（2∠C+∠B（4）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°可得答案．（1）解：結(jié)論：∠A+∠C=∠B+∠D．理由：如圖中，∠A+∠C+∠AOC=∠B+∠D+∠DOB=180°，∵∠AOC=∠DOB，∴∠A+∠C=∠B+∠D．故答案為：∠A+∠C=∠B+∠D；（2）解：∵∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，∴∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C-∠P=∠P-∠B，即∠P=12（∠C+∠B∵∠C=100°，∠B=96°，∴∠P=12（3）解：結(jié)論：∠P=13（β+2α理由：∵∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠∴∠BAP=23∠BAC，∠BDP=23∠∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C-∠P=13∠BDC-13∠BAC，∠P-∠B=23∠BDC-2∴2（∠C-∠P）=∠P-∠B，∴∠P=13（∠B+2∠C∵∠C=α，∠B=β，∴∠P=13（β+2α（4）解：∵∠B+∠A=∠1，∠C+∠D=∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D=∠1+∠2，∵∠1+∠2+∠F+∠E=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．故答案為：360°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，以及多邊形內(nèi)角和．也考查了角平分線的定義，關(guān)鍵是掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．20．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）當(dāng)光線經(jīng)過鏡面反射時(shí)，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對(duì)應(yīng)相等例如：在圖①、圖②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．設(shè)鏡子AB與BC的夾角∠ABC＝α．(1)如圖①，若α＝90°，判斷入射光線EF與反射光線GH的位置關(guān)系，并說明理由．(2)如圖②，若90°＜α＜180°，入射光線EF與反射光線GH的夾角∠FMH＝β．探索α與β的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖③，若α＝110°，設(shè)鏡子CD與BC的夾角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光線EF與鏡面AB的夾角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光線EF從鏡面AB開始反射，經(jīng)過n（n為正整數(shù)，且n≤3）次反射，當(dāng)?shù)趎次反射光線與入射光線EF平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出γ的度數(shù)．（可用含有m的代數(shù)式表示）【答案】(1)EF//GH，理由見解析；(2)2∠α?∠β=180(3)90°+m或【分析】（1）利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行加以證明；（2）利用三角形的外角性質(zhì)證明即可；（3）分兩種情況畫圖討論：①當(dāng)n=3時(shí)；②當(dāng)n=2時(shí)．（1）解：EF∥GH，理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α=180°，∵α=90°，∴∠2+∠3=90°，∵∠1+∠2+∠FEG=180°,∠3+∠4+∠EGH=180°,∠1=∠2,∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH=360°，∴∠FEG+∠EGH=180∴EF//GH；（2）解：β=2α?180°．理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α=180°，∴∠2+∠3=180°?α，∵∠1=∠2,∠1=∠MEB，∴∠2=∠MEB，∴∠MEG=2∠2，∵∠3=∠4,∠4=∠MGB，∴∠3=∠MGB，∴∠MGE=2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β=180°，∴β=180°?(∠MEG+∠MGE)===180°－（3）解：90°+m或150°．理由如下：①當(dāng)n=3時(shí)，如下圖所示，∵∠BEG=∠1=m，∴∠BGE=∠CGH=60°-m，∴∠FEG=180°-2∠1=180°-2m，∠EGH=180°-2∠BGE=180°-2(60°-m)=60°+2m，∵EF//HK，∴∠FEG+∠EGH+∠GHK=360°，∴∠GHK=360°-(180°-2m)-(60°+2m)=120°，∴∠GHC=120°÷2=30°，在△GCH中，γ=180°-(60°-m)-30°=90°+m．②當(dāng)n=2時(shí)，如果在BC邊反射后與EF平行，由（1）知α=90°，與題意不符；則只能在CD邊反射后與EF平行，如下圖所示，∵EF//HK，∴∠HEF+∠EHK=180°．∵∠1+∠BEH+∠HEF+∠DHK+∠EHK+∠CHE=360°，∴∠1+∠BEH+∠DHK+∠CHE=180°，∴∠BEH+∠CHE=90°．∵α+γ+∠BEH+∠CHE=360°，α＝110°，∴γ=160°．綜上所述：γ的度數(shù)為：90°+m或160°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定、多邊形的內(nèi)角和，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)，注意分類討論思想的利用．21．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，∠BCE與∠BEC互余，過點(diǎn)E作EF∥CD，交AD于點(diǎn)F．(1)若EF⊥CE，求證：∠AEF＝∠BCE；(2)如圖2，EG平分∠BEC交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∠BCD+∠ECD＝180°．點(diǎn)H在FD上，連接EH，CH，∠AHE+∠BCH＝90°．當(dāng)∠D+∠AEF＝2∠G時(shí)，判斷線段CH與CE的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)∠D＝∠BCG，理由見解析【分析】（1）根據(jù)EF⊥CE得出∠FEC=90°，進(jìn)而根據(jù)已知得出∠BCE+∠BEC=90°，從而求解；（2）先證明∠ECD=∠BCG，然后設(shè)∠ECD=∠BCG=x，表示出∠BCE=180°?2x，∠BEC=2x?90°，進(jìn)而表示出∠FEC=180°?∠ECD=180°?x，∠AEF=180°?∠FEC?∠BEC=90°?x，求出∠FEG=135°，∠G=45°，進(jìn)而求出∠D=x，得出∠D=∠BCG．（1）證明：∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF+∠BEC＝90°．∵∠BCE與∠BEC互余，∴∠BCE+∠BEC＝90°，∴∠AEF＝∠BCE；（2）解：∵∠BCD+∠ECD＝180°，∠BCD+∠BEG＝180°，∴∠ECD＝∠BCG．設(shè)∠ECD＝∠BCG＝x，∴∠BCE＝180°﹣2x，∠BEC＝2x﹣90°．∵EG平分∠BEC，∴∠BEG＝∠GEC＝x﹣45°．∵EF∥CD，∴∠FEC＝180°﹣∠ECD＝180°﹣x，∴∠AEF＝180°﹣∠FEC﹣∠BEC＝90°﹣x，∠FEG＝∠FEC+∠GEC＝180°﹣x+x﹣45°＝135°，∴∠G＝180°﹣CFEG＝45°．∵∠D+∠AEF＝2∠G，∴∠D＝2∠G﹣∠AEF＝90°﹣（90°﹣x）＝x，∴∠D＝∠BCG．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)．22．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在五邊形ABCDE中，∠A=130°，∠B=110(1)如圖①，畫出五邊形ABCDE的所有對(duì)角線；(2)如圖②，若∠C比∠D小40°，求出∠D的度數(shù)；(3)如圖③，若CP，DP分別平分∠BCD與∠CDE的外角，試求出∠CPD的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠D=120°(3)∠CPD=100°【分析】（1）根據(jù)對(duì)角線的定義作出所有對(duì)角線即可；（2）先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求得內(nèi)角和，再求出∠C+∠D的度數(shù)，最后∠D?∠C=40°求得∠D即可；（3）先根據(jù)多邊形內(nèi)角結(jié)合外角的定義求得∠DCF+∠CDG=160°，然后根據(jù)角平分線的定義、等量代換、角的和差解答即可．（1）解：如圖即為所求．（2）解：五邊形ABCDE的內(nèi)角和為5?2×180°=540°∵∠A=130°，∠B=110°，∠E=100°，∴∠C+∠D=540°?∠A?∠B?∠E=540°?130°?110°?100°=200°，又∵∠D?∠C=40°，∴∠D=120°．（3）解：五邊形ABCDE的內(nèi)角和為5?2×180°=540°∵∠A=130°，∠B=110°，∠E=100°，∴∠BCD+∠CDE=540°?∠A?∠B?∠E=540°?130°?110°?100°=200°，又∵∠BCD+∠DCF=180°，∠CDE+∠CDG=180°，∴∠DCF+∠CDG=360°?200°=160°，∵CP平分∠DCF，DP平分∠CDG，∴∠DCP=12∠DCF∴∠DCP+∠CDP=1又∵∠CPD+∠DCP+∠CDP=180°，∴∠CPD=180°?∠DCP?∠CDP=180°?80°=100°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和、多邊形的外角、對(duì)角線以及角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和定理成為解答本題的關(guān)鍵．23．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．(1)如圖1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度數(shù)；(2)如圖1，若BE與DF相交于點(diǎn)G，∠BGD＝45°，請(qǐng)直接寫出α，β所滿足的數(shù)量關(guān)系式；(3)如圖2，若α＝β，判斷BE，DF的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)105°(2)β-α=90°(3)BE∥DF，理由見解析【分析】（1）利用四邊形的內(nèi)角和和平角的定義推導(dǎo)即可；（2）利用角平分線的定義，四邊形的內(nèi)角和以及三角形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化即可；（3）利用角平分線的定義以及平行線的判定與性質(zhì)即可解答．（1）解：∵四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°，∴α+β=∠A+∠BCD=360°－（∠ABC+∠ADC），∵∠MBC和∠NDC是四邊形ABCD的外角，∴∠MBC=180°－∠ABC，∠NDC=180°－∠ADC，∴∠MBC+∠NDC=180°－∠ABC+180°－∠ADC=360°－（∠ABC+∠ADC），=α+β=105°；（2）解：β-α=90°（或α－β=-90°等均正確）．理由：如圖1，連接BD，由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=12∠∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12（∠MBC+∠NDC）=12（在△BCD中，∠BDC+∠CBD=180°-∠BCD=180°-β，在△BDG中，∠BGD＝45°，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°，∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD=180°，∴12（α+β）+180°-β∴β-α=90°．故答案為β-α=90°（或α－β=－90°等均正確）；（3）解：BE∥DF．理由：如圖2，過點(diǎn)C作CP∥BE，則∠EBC=∠BCP，∴∠DCP=∠BCD－∠BCP=β－∠EBC，由（1）知∠MBC+∠NDC=α+β，∵α=β，∴∠MBC+∠NDC=2β，又∵BE、DF分別平分∠MBC和∠NDC，∴∠EBC+∠FDC=12（∠MBC+∠NDC）=β∴∠FDC=β－∠EBC，又∵∠DCP=β－∠EBC，∴∠FDC=∠DCP，∴CP∥DF，又CP∥BE，∴BE∥DF．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)及其判定、平角的定義，四邊形的內(nèi)角和，三角形內(nèi)角和，角平分線的定義，用整體代換的思想是解本題的關(guān)鍵，整體思想是初中階段的一種重要思想，要多加強(qiáng)訓(xùn)練．24．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）探究一：我們知道，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系呢？(1)已知：如圖1，∠FDC與∠ECD分別為△ADC的兩個(gè)外角，試探究∠A與∠FDC＋∠ECD的數(shù)量關(guān)系．探究二：三角形的一個(gè)內(nèi)角與另兩個(gè)內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？(2)已知：如圖2，△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，試探究∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系．探究三：若將△ADC改為任意四邊形ABCD呢？(3)已知：如圖3，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究∠P與∠A＋∠B的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)∠FDC+∠ECD＝180°+∠A；(2)∠P＝90°+12∠A(3)∠P＝12（∠A+∠B【分析】（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理整理即可得解；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠（3）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．（1）解：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A，理由如下：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC，∵∠A+∠ADC+∠ACD=180°，∴∠FDC+∠ECD＝180°+∠A；（2）解：∠P＝90°+12∠A∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC＝12∠ADC，∠PCD＝12∠∵∠P+∠PCD+∠PDC=180°，∠A+∠ADC+∠ACD=180°，∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣12∠ADC﹣12＝180°﹣12（∠ADC+∠ACD＝180°﹣12（180°﹣∠A＝90°+12∠A（3）解：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC＝12∠ADC，∠PCD＝12∠∵∠P+∠PDC+∠PCD=180°，∠A+∠B+∠BCD+∠ADC=360°，∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD＝180°﹣12∠ADC﹣12＝180°﹣12（∠ADC+∠BCD＝180°﹣12（360°﹣∠A﹣∠B＝12（∠A+∠B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和定理，熟練掌握角平分線的定義及外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）問題發(fā)現(xiàn)：小紅在數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)了外角的相關(guān)知識(shí)后，她很容易地證明了三角形外角的性質(zhì)，即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，于是，愛思考的小紅在想，四邊形的外角是否也具有類似的性質(zhì)呢？如圖①，∠1，∠2是四邊形ABCD的兩個(gè)外角．∵四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，由此可得∠1，∠2與∠A，∠D的數(shù)量關(guān)系是_________________；（2）總結(jié)歸納：如果我們把∠1，∠2稱為四邊形的外角，那么請(qǐng)你用文字描述上述的關(guān)系式；（3）知識(shí)應(yīng)用：如圖②，已知四邊形ABCD，AE，DE分別是其外角∠NAD和∠MDA的平分線，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度數(shù)；（4）拓展提升：如圖③，四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的兩個(gè)外角，且∠CDP＝13∠CDN，∠CBP＝13∠CBM，求∠【答案】（1）∠1+∠2＝∠A+∠D；（2）四邊形的相鄰的兩個(gè)外角的和等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；（3）65°；（4）30°【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)等式，利用等式性質(zhì)得出∠1，∠2與∠A，∠D的數(shù)量關(guān)系；（2）仿照三角形的外角定理求解；（3）根據(jù)（1）結(jié)論，先確定∠MDA與∠DAN的和，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可以確定∠EDA與∠DAE的和，從而求∠E的度數(shù)；（4）先確定∠CDN與∠CBM之和，再確定∠CDP與∠CBP之和，進(jìn)而確定∠ADC與∠ABP之和，再根根四邊形內(nèi)角和，從而求∠P的度數(shù)．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，∴∠1+∠2＝∠A+∠D，故答案為：∠1+∠2＝∠A+∠D；（2）結(jié)論為：四邊形的相鄰的兩個(gè)外角的和等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；（3）由（1）知：∠MDA+∠DAN＝∠B+∠C＝230°，∵AE，DE分別是∠NAD和∠MDA的平分線，∴2∠EDA+2∠DAE＝230°，∴∠EDA+∠DAE＝115°，∴∠E＝180﹣（∠EDA+∠DAE）＝65°；（4）由（1）得：∠CDN+∠CBM＝∠A+∠C，∵∠A＝∠C＝90°，∴∠CDN+∠CBM＝180°，∵∠CDP＝13∠CDN，∠CBP＝13∠∴∠CDP+∠CBP＝13（∠CDN+∠CBM∵∠A＝∠C＝90°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠CDN+∠CBM+∠CDN+∠CBM＝180°+60°＝240°，即∠ADP+∠ABP＝240°，∵∠A＝90°，∴∠P＝360°﹣（∠ADP+∠ABP）﹣∠A＝30°．【點(diǎn)睛】本題考查考查了三角形的綜合題，閱讀題目，理解題意是解題的關(guān)鍵．26．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知MN//PQ，點(diǎn)B、C在MN上（B在C左側(cè)），A在PQ上，連接AB、AC，∠PAB=60°，∠ACB=40°，AE平分∠PAC，BE平分∠ABC，AE、BE交于點(diǎn)E．(1)求∠AEB的度數(shù)；(2)若將圖1中的線段AC沿PQ向右平移到DC如圖2所示位置，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，DE、BE交于點(diǎn)E，∠PAB=60°，∠DCB=40°，請(qǐng)你直接寫出∠DEB的度數(shù)：(3)若將圖1中的線段AC沿PQ向左平移到DC如圖3所示位置，其它條件與（2）相同，猜想此時(shí)∠DEB的度數(shù)又是多少．（不需要證明）【答案】(1)∠AEB=140°(2)∠DEB=140°(3)∠DEB=50°【分析】（1）先證明∠QAC=∠ACB=40°,∠ABC=∠PAB=60°,再求解∠PAE=12×140°＝70°，可得∠BAE=∠PAE?∠PAB=10°,再求解∠ABE（2）先證明∠ABC=60°,∠QDC=40°,∠DAB=120°,可得∠PDC=140°,由DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∠ADE=1（3）先證明∠ABC=60°,∠QDC=40°,結(jié)合角平分線的定義可得∠ADE=20°,∠ABE=∠EBC=30°,如圖，過E作EK∥PQ，證明∠ADE=∠DEK=20°,再證明∠KEB=∠EBC=30°,（1）解：∵PQ∥MN，∠PAB=60°，∴∠QAC=∠ACB=40°,∠ABC=∠PAB=60°,∴∠PAC=180°-40°=140°，而AE平分∠PAC，∴∠PAE=12∴∠BAE=∠PAE?∠PAB=70°?60°=10°,∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=30°，在△ABE中，∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE=180°-30°-10°=140°，（2）∵PQ∥MN，∠PAB=60°，∴∠ABC=60°,∠QDC=40°,∠DAB=120°,∴∠PDC=140°,∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∴∠ADE=1∴∠DEB=360°?120°?70°?30°=140°.（3）∵PQ∥MN，∠PAB=60°，∠ABC=60°,∠QDC=40°,∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∴∠ADE=如圖，過E作EK∥∴∠ADE=∠DEK=20°,∵M(jìn)N∥∴KE∥∴∠KEB=∠EBC=30°,∴∠DEB=∠DEK+∠KEB=20°+30°=50°.【點(diǎn)睛】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，四邊形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，角平分線的定義，熟練的利用平行線的性質(zhì)與多邊形的內(nèi)角和定理解決問題是解本題的關(guān)鍵．27．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀并解決下列問題：（1）如圖①，ΔABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，則∠BDC=（2）如圖②，五邊形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC=72°，求圖①

圖②【答案】（1）120°；（2）144°【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和及角平分線求出∠CBD+∠BCD=60°，然后再根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠BDC的度數(shù)即可．（2）首先根據(jù)AE∥BC得出∠A+∠B=180°，然后根據(jù)五邊形內(nèi)角和求出∠AED+∠BCD=288°，由角平分線的性質(zhì)進(jìn)而得出∠DEF+∠DCF=144°，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和即可求出【詳解】（1）∵BD，CD分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABD=∠CBD，∠ACD=∠BCD，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴60°+2∠CBD+2∠BCD=180°，∴∠CBD+∠BCD=60°，∵∠BDC+∠CBD+∠BCD=180°，∴∠BDC=120°．（2）∵EF平分∠AED，CF平分∠BCD，設(shè)∠AEF=∠DEF=α，∠BCF=∠DCF=β，∵AE∥BC∴∠A+∠B=180°，∵五邊形的內(nèi)角和為540°，∴∠AED+∠D+∠BCD=540°?180°=360°，即2α+72°+2β=360°，

∴α+β=144°，∵∠EDC=72°，

∴∠EFC=360°?∠D?α+β【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和、平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多邊形內(nèi)角和的求法及靈活運(yùn)用角平分線的性質(zhì)．28．（2022·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)期末）如圖1，已知∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，我們?nèi)菀鬃C明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？(1)嘗試探究：如圖2，已知：∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角，則∠DBC＋∠ECB－∠A180°．（橫線上填＜、＝或＞）(2)初步應(yīng)用：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)利用上面的結(jié)論直接寫出答案：∠P=．(3)解決問題：如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，請(qǐng)利用上面的結(jié)論探究∠P與∠BAD、∠CDA的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)＝(2)∠P＝90°－12∠(3)∠P＝180°－12∠BAD－12∠【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得：∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，兩式相加可得結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義得：∠CBP=12∠DBC，∠BCP=12∠ECB，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的結(jié)論：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，可得：∠P=90°?12（3）根據(jù)平角的定義得：∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，由角平分線得：∠3=12∠EBC=90°?12∠1，∠4=12∠FCB=90°?1(1)∠DBC+∠ECB-∠A=180°，理由是：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ACB+∠ABC=180°+∠A，∴∠DBC+∠ECB-∠A=180°，故答案為：=；(2)∠P=90°-12∠A理由是：∵BP