專題10.3 三元一次方程組【七大題型】（舉一反三）（蘇科版）（解析版）

專題10.3三元一次方程組【七大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1三元一次方程（組）的解】 1【題型2用消元法解三元一次方程組】 3【題型3用換元法解三元一次方程組】 6【題型4構(gòu)建三元一次方程組解題】 8【題型5運(yùn)用整體思想求值】 10【題型6三元一次方程組中的數(shù)字問題】 13【題型7三元一次方程組的應(yīng)用】 18【知識點(diǎn)1三元一次方程組及解法】1．三元一次方程組中的方程不一定都是三元一次方程組，并且有時(shí)需對方程化簡后再根據(jù)三元一次方程組的的定義進(jìn)行判斷．2．解三元一次方程組的基本思想是消元，通過代入或加減消，使三元化為二元或一元，轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)熟悉的問題．3．當(dāng)三元一次方程組中出現(xiàn)比例式時(shí)，可采用換元法解方程組．【題型1三元一次方程（組）的解】【例1】（2022·河南南陽·七年級期中）我們探究得方程x+y=2的正整數(shù)解只有1組，方程x+y=3的正整數(shù)解只有2組，方程x+y=4的正整數(shù)解只有3組，……，那么方程x+y+z=9的正整數(shù)解的組數(shù)是（

）A．27 B．28 C．29 D．30【答案】B【分析】先把x+y看作整體t，得到t+x=9的正整數(shù)解有7組；再分析x十y分別等于2、3、4、……、9時(shí)對應(yīng)的正整數(shù)解組數(shù)；把所有組數(shù)相加即為總的解組數(shù)．【詳解】解：令x+y=t（t≥2），則t+z=9的正整數(shù)解有7組（t=2，1=3，t=4，……，t=8）其中t=x+y=2的正整數(shù)解有1組，t=x+y=3的正整數(shù)解有2組，t=x+y=4的正整數(shù)解有3組……，t=x+y=8的正整數(shù)解有7組，總的正整數(shù)解組數(shù)為：1+2+3+…+7=28．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的解和三元一次方程的解，可將三元方程里的兩個(gè)未知數(shù)看作一個(gè)整休，再分別計(jì)算．【變式1-1】（2022·浙江·杭州市實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校七年級期中）已知x=1y=2z=3是方程組ax+by=2by+cz=3cx+az=7的解，則A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】把x=1y=2【詳解】解：根據(jù)題意，把x=1y=2z=3代入方程組，得由①+②+③，得4a+4b+4c=12，∴a+b+c=3；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了方程組的解，加減消元法解方程組，解題的關(guān)鍵是掌握解方程組的方法進(jìn)行計(jì)算【變式1-2】（2022·全國·八年級專題練習(xí)）方程x+2y+3z=14x<y<z的正整數(shù)解是________【答案】x=1【分析】由x+2y+3z=14x<y<z，可得出x<73，z>7【詳解】解：∵x<y<z，∴2x<2y∴6x<x+2y+3z=14∴x<7同理可得：z>又∵x,y,z均為正整數(shù)∴滿足條件的解有且只有一組，即x=1故答案為：x=1【點(diǎn)睛】本題考查三元一次方程的變式，牢記相關(guān)的知識點(diǎn)并能夠靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2022·全國·九年級專題練習(xí)）三元一次方程x＋y＋z＝1999的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)有（

）A．20001999個(gè) B．19992000個(gè) C．2001000個(gè) D．2001999個(gè)【答案】C【分析】先設(shè)x＝0，y+z＝1999，y分別取0，1，2…，1999時(shí)，z取1999，1998，…，0，有2000個(gè)整數(shù)解；當(dāng)x＝1時(shí)，y+z＝1998，有1999個(gè)整數(shù)解；…當(dāng)x＝1999時(shí)，y+z＝0，只有1組整數(shù)解，依此類推，然后把個(gè)數(shù)加起來即可得到答案．【詳解】當(dāng)x＝0時(shí)，y+z＝1999，y分別取0，1，2…，1999時(shí)，z取1999，1998，…，0，有2000個(gè)整數(shù)解；當(dāng)x＝1時(shí)，y+z＝1998，有1999個(gè)整數(shù)解；當(dāng)x＝2時(shí)，y+z＝1997，有1998個(gè)整數(shù)解；…當(dāng)x＝1999時(shí)，y+z＝0，只有1組整數(shù)解；∴非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)有2000+1999+1998+…+3+2+1＝2001×20002＝故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程、三元一次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程、三元一次方程、有理數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，從而完成求解【題型2用消元法解三元一次方程組】【例2】（2022·貴州·銅仁市第十一中學(xué)七年級階段練習(xí)）方程組2x+3y-z=183x-2y+z=8x+2y+z=24的解【答案】x=4【分析】利用消元法解三元一次方程組即可得．【詳解】解：2x+3y-z=18①由①+②得：5x+y=26④，由①+③得：3x+5y=42⑤，由④×5-⑤得：25x-3x=130-42，解得x=4，將x=4代入④得：20+y=26，解得y=6，將x=4，y=6代入③得：4+12+z=24，解得z=8，則方程組的解為x=4y=6故答案為：x=4y=6【點(diǎn)睛】本題考查了解三元一次方程組，熟練掌握消元法是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2022·全國·八年級單元測試）已知2x+3y=z3x+4y=2z+6且x＋y＝3，則z的值為(A．9 B．－3 C．12 D．不確定【答案】B【分析】先利用x＋y＝3，得2x+2y=6,3x+3y=9,進(jìn)而將方程組進(jìn)行化簡整理,再用代入消元法即可求解.【詳解】解：∵x＋y＝3，將其代入方程組得6+y=z(1)9由（1）得y=z-6,將其代入（2）得z=-3,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了三元一次方程組的求解,中等難度,熟悉代入消元的方法和對原方程組進(jìn)行化簡是解題關(guān)鍵.【變式2-2】（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）解下列三元一次方程組：（1）y=2x-75x+3y+2z=23x-4z=4；（2）【答案】（1）x=2y=-3z=12；（【分析】（1）把①代入②消去y，和③組成關(guān)于x、z二元一次方程組求解；（2）①?3×②消去y組成關(guān)于x、z二元一次方程組求解．【詳解】解：（1）y=2x-7①5x+3y+2z=2②把①代入②得11x＋2z＝23④，③、④組成方程組得3x-4z=411x+2z=23解得x＝2z＝12，代入所以原方程組的解為x=2y=-3（4）4x+9y=12①①?3×②得4x＋6z＝9④，④、③組成方程組得4x+6z＝解得x=-34z=2，代入①得y所以原方程組的解為x=-3【點(diǎn)睛】此題考查三元一次方程組的解法，代入消元法和加減消元法是常用的方法，加減消元法是比較簡潔的方法．【變式2-3】（2022·湖北武漢·七年級期中）《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)專著，其“方程”章中給出了“遍乘直除”的算法解方程組．比如對于方程組3x+2y+z=392x+3y+z=34x+2y+3z=26，將其中數(shù)字排成長方形形式，然后執(zhí)行如下步驟（如圖）；第一步，將第二行的數(shù)乘以3，然后不斷地減第一行，直到第二行第一個(gè)數(shù)變?yōu)?；第二步，對第三行做同樣的操作，其余步驟都類似．其本質(zhì)就是在消元．那么其中的a，b的值分別是（

A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0【答案】A【分析】根據(jù)題意所給步驟解方程即可求解．【詳解】解：3x+2y+z=39由②×3，得6x+9y+3z=102④，由④-①，得3x+7y+2z=63⑤，由⑤-①，得5y+z=24，∴a=24，由③×3，得3x+6y+9z=78⑥，由⑥-①，得4y+8z=39，∴b=4，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解三元一次方程組，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題干信息將方程組中的數(shù)字與圖一一對應(yīng)．【題型3用換元法解三元一次方程組】【例3】（2022·全國·七年級課時(shí)練習(xí)）方程組x:y:z=1:2:3x+y+z=36的解是x=【答案】6，12，18【分析】由于x：y：z=1：2：3，則可設(shè)x=t，y=2t，z=3t，再把它們代入第二個(gè)方程得到關(guān)于t的一次方程，求出t即可得到x、y、z的值．【詳解】解：設(shè)x=t，則y=2t，z=3t，所以t+2t+3t=36，解得t=6，所以x=6，y=12，z=18．故答案為6，12，18．【點(diǎn)睛】本題考查了解三元一次方程組：利用加減消元或代入消元把解三元一次方程組的問題轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組．【變式3-1】（2022·全國·七年級單元測試）已知方程組x2=y3=z【答案】2【詳解】分析：求出x=2k，y=3k，z=4k，代入詳解：設(shè)x2=y3=z4=k,則x=2k代入5x?2y+z=16得：10k?6k+4k=16，解得：k=2，故答案為2.點(diǎn)睛：考查解三元一次方程組，根據(jù)x2=y3=z4=k,得出x=2k，【變式3-2】（2022·內(nèi)蒙古·烏海市第二中學(xué)七年級期中）探索創(chuàng)新完成下面的探索過程：給定方程組1x+1y=11y+1z=21z+1解出這個(gè)新方程組（要求寫出解新方程組的過程），得出A，B，C的值，從而得到：x=______；y=______；z=______．【答案】A+B=1B+C=2C+A=5；解方程組過程見解析；12；【分析】根據(jù)換元法可以將原方程組化為A+B=1①B+C=2②C+A=5③，①+②+③得出A+B+C=4然后分別求出A【詳解】解：令1x=A，1y=B，1z=C，則方程組1①+②+③得A+B+C=4④④-①得：④-②得：④-③得：∴1x解得：x=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了換元法解方程組，根據(jù)題意得出A+B+C=4，是解題的關(guān)鍵.【變式3-3】（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）若x＋y＋z≠0且2y+zx=2x+yz=【答案】3【詳解】∵2y+zx∴2y+z=kx，∴2y+z+2x+y+2z+x=kx+ky+kz，即3(x+y+z)=k(x+y+z).又∵x+y+z≠0，∴k=3.【題型4構(gòu)建三元一次方程組解題】【例4】（2022·四川省榮縣中學(xué)校七年級期中）對于實(shí)數(shù)x，y定義新運(yùn)算：x?y=ax+by+c，其中a，b，c均為常數(shù)，且已知3?5=15，4?7=28，則2?3的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算得出3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②【詳解】∵x?y=ax+by+c，∴3a+5b+c=15①由①×2-②，得2a+3b+c=2，∴2?3=2a+3b+c=2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算和三元一次方程組，熟練掌握有理數(shù)的加減混合運(yùn)算順序，解三元一次方程組的方法是解題關(guān)鍵．【變式4-1】（2022·全國·單元測試）已知（x+y-3)2+|y+z-5|+（z+x-4)4=0，則x+y+z的值是______．【答案】6【詳解】由題意得{x+y-3=0y+z-5=0z+x-4=0,解得{【變式4-2】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）在式子y=ax2+bx+c中，當(dāng)x=0時(shí)，y=1；當(dāng)x=1時(shí)，y=0；當(dāng)x=-1時(shí)，y=4，則a，b，c【答案】1,-2，1【詳解】分析：將已知三對值代入已知等式，得到關(guān)于a，b，c的方程組，求出方程組的解即可得到a，b，c的值．詳解：將已知三對值分別代入y=ax2+bx+c得：c＝將①代入②得：a+b+1=0，即a+b=-1④；將①代入③得：a-b+1=4，即a-b=3⑤，④+⑤得：2a=2，即a=1，④-⑤得：2b=-4，即b=-2，則a=1，b=-2，c=1．點(diǎn)睛：此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·浙江·七年級期末）對于實(shí)數(shù)x，y定義新運(yùn)算x?y=ax+by+cxy其中a，b，c為常數(shù)，若1?2=3,2?3=4，且有一個(gè)非零常數(shù)d，使得對于任意的x，恒有x?d=x，則d的值是____．【答案】4【分析】由新定義的運(yùn)算x?y=ax+by+cxy，及1?2=3，2?3=4，構(gòu)造方程組，不難得到參數(shù)a，b，c之間的關(guān)系．又由有一個(gè)非零實(shí)數(shù)d，使得對于任意實(shí)數(shù)x，都有x?d=x，可以得到一個(gè)關(guān)于d的方程，解方程即可求出滿足條件的d的值．【詳解】解：∵x?y=ax+by+cxy，由1?2=3，2?3=4，即a+2b+2c=32a+3b+6c=4∴b=2+2c，a=-1-6c．又由x?m=ax+bm+cmx=x對于任意實(shí)數(shù)x恒成立，∴a+cd=1bd=0∵d為非零實(shí)數(shù)，∴b=0=2+2c，∴c=-1．∴(-1-6c)+cd=1．∴-1+6-d=1．∴d=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題屬于新定義的題目，根據(jù)新運(yùn)算的定義，將已知中的數(shù)據(jù)代入進(jìn)行運(yùn)算是關(guān)鍵，同時(shí)考查了學(xué)生合情推理的能力，屬于中檔題．【題型5運(yùn)用整體思想求值】【例5】（2022·湖北·十堰市北京路中學(xué)七年級期中）已知實(shí)數(shù)x，y滿足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4y和7x+5y的值．本題常規(guī)思路是先將①，②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①-②可得x-4y=-2，由①+②×2可得7x+5y=19．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．解決問題：(1)已知二元一次方程組2x+y=7x+2y=8，則x-y=__________，x+y=_________(2)對于實(shí)數(shù)x、y，定義新運(yùn)算：x*y=ax+by+c，其中a、b、c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知3*5=15，4*7=28，求1*1的值．【答案】(1)-1，5(2)-11【分析】（1）利用①-②可得x-y的值，利用13（①+②）可得x+y（2）根據(jù)新運(yùn)算的定義可得出a、b、c的三元一次方程組，由3×①-2×②可得出a+b+c（1）2x+y=7①由①-②可得：x-y=-1，由13（①+②）可得：x+y=5故答案為：-1，5；（2）依題意得：3a+5b+c=15①由3×①-2×②可得：a+b+即1*1=a+b+c=-11．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及三元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出方程的關(guān)系并運(yùn)用“整體思想”解方程．【變式5-1】（2022·山東日照·七年級期末）已知方程組x+y=2y+z=-1z+x=3，則x+y+z的值是（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】將三個(gè)方程相加計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)閤+y=2y+z=-1將三個(gè)方程相加，得2（x+y+z）=2-1+3，解得x+y+z=2，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三元一次方程組的解法，熟練掌握整體思想計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2022·吉林長春·七年級期末）【數(shù)學(xué)問題】解方程組x+y=3【思路分析】榕觀察后發(fā)現(xiàn)方程①的左邊是x+y，而方程②的括號里也是x+y，她想到可以把x+y視為一個(gè)整體，把方程①直接代入到方程②中，這樣，就可以將方程②直接轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而達(dá)到“消元”的目的．（1）【完成解答】請你按照榕榕的思路，完成解方程組的過程．解：把①代入②，得（2）【遷移運(yùn)用】請你按照上述方法，解方程組a+b=5【答案】【完成解答】x=2y=1；【遷移運(yùn)用】【分析】（1）【完成解答】把①代入②求出x的值，再把x的值代入①即可求解；（2）【遷移運(yùn)用】把①代入③求出c的值，把c的值代入②求出a的值，再把a(bǔ)的值代入①即可求解．【詳解】解：（1）【完成解答】把①代入②，得5x-9=1，解得x=2，把x=2代入①，可得y=1，∴方程組的解為x=2y=1（2）【遷移運(yùn)用】把①代入③，得5-c=1，解得c=4，把c=4代入②，得2a+12=16，解得a=2，把a(bǔ)=2代入①，得b=3，∴方程組的解為a=2b=3【點(diǎn)睛】本題考查解三元一次方程組、解二元一次方程組，掌握整體思想是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2022·江蘇泰州·七年級階段練習(xí)）閱讀：善于思考的小明在解方程組4x+10y=6????①8x+22y=10????②解：將方程②變形為8x+20y+2y=10，即24x+10y+2y=10③，把方程①代入③得，2×6+2y=10，則y=-1；把y=-1代入①得，x試用小明的“整體代換”的方法解決以下問題：（1）試求方程組的解2x-3y=7（2）已知x?y?z，滿足3x-2z+12y=52x+z+8y=8，求z【答案】（1）x=-1y=-3；（2）z【分析】（1）方程組利用“整體代換”思想求出解即可；（2）方程組兩方程變形后，利用“整體代換”思路求出z的值即可．【詳解】解：（1）2x-3y=7①6x-5y=9②由②得32x-3y+4y=9把方程①代入③得，3×7+4y=9，解得：y=-3，代入①得，x=-1，所以方程組的解為：x=-1y=-3（2）3x-2z+12y=5①2x+z+8y=8②由①得3x+4y-2z=5由②得2x+4y+z=8③×2-④×3得z=2．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵，用了整體代入思想．【題型6三元一次方程組中的數(shù)字問題】【例6】（2022·浙江·八年級開學(xué)考試）一個(gè)三位數(shù)，百位上的數(shù)與十位上的數(shù)之差是2，如果交換十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的位置，那么所得的數(shù)就比原來小36，則百位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)之差為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】設(shè)這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為c，然后根據(jù)交換后所得的數(shù)就比原來小36，百位上的數(shù)與十位上的數(shù)之差是2，列出方程組求解即可【詳解】解：設(shè)這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為c，∴這個(gè)三位數(shù)為100a+10b+c，交換后的三位數(shù)為100a+10c+b，∵交換后所得的數(shù)就比原來小36，百位上的數(shù)與十位上的數(shù)之差是2，∴100a+10b+c=100a+10c+b+36∴9b-9c=36a=b+2∴a-c=6，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三元一次方程組的應(yīng)用，正確理解題意列出方程組求解是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2022·江蘇宿遷·七年級期末）在3×3正方形網(wǎng)格中有9個(gè)數(shù)，若各行、各列及對角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，則稱此圖為“九宮圖”．(1)圖（甲）就是一個(gè)九宮圖的一部分，請你求出x，y的值；(2)已知圖（乙）和圖（丙）都是不完整的九宮圖．填空：a=______，b=______，c=______；d=______，e=______，f=______．【答案】(1)x=-1，y=1(2)0，-1，5；5，4，10【分析】（1）根據(jù)題意列方程組求解即可；（2）設(shè)圖乙中三個(gè)空格中的數(shù)分別為x，y，z，列方程組可求出a，b，c的值；設(shè)圖丙中三個(gè)空格中的數(shù)分別為d，e，f的值．(1)由題意得2x+3+2=2-3+4y2x+3+2=2x+y+4y解得x=-1y=1(2)設(shè)圖乙中三個(gè)空格中的數(shù)分別為x，y，z，由題意得a+c+x=x+3+2a+b+z=z+2-3整理得a+c=5a+b=-1解得a=0b=-1故答案為：0，-1，5；設(shè)圖丙中三個(gè)空格中的數(shù)分別為m，n，h，由題意得d+f+h=h+8+7整理得d+f=15d+e=9解得d=5e=4故答案為：5，4，10．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組和三元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·重慶巴南·七年級期末）對于個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字不相同的兩位自然數(shù)m，把個(gè)位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字交換后得到的新兩位自然數(shù)記為m1，同時(shí)記F(m)=m-m19若F（m）能被4整除，則稱這樣的兩位自然數(shù)m為“四季數(shù)”．例如：15是“四季數(shù)”，因?yàn)閮晌蛔匀粩?shù)15的個(gè)位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字交換后得到的新兩位自然數(shù)為51，同時(shí)F(15)=15-519=4，而4能被4整除，所以15是“四季數(shù)”；74不是“四季數(shù)”，因?yàn)閮晌蛔匀粩?shù)74的個(gè)位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字交換后得到的新兩位自然數(shù)為47，同時(shí)F(74)=74-479=3（1）判斷29、48是否是“四季數(shù)”？并說明理由；（2）已知兩位自然數(shù)m是“四季數(shù)”，m的十位上的數(shù)字為a，個(gè)位上的數(shù)字為c．在m的中間插入一個(gè)數(shù)b，得到一個(gè)三位數(shù)n．若n比m的9倍少8，求出所有符合題意的n值【答案】（1）29不是“四季數(shù)”，見解析；48是“四季數(shù)”，見解析；（2）n=226【分析】（1）根據(jù)“四季數(shù)”的定義即可計(jì)算判斷；（2）先根據(jù)“四季數(shù)”的定義找到a、c的關(guān)系，再根據(jù)n比m的9倍少8，得到關(guān)于a，b，c的方程故可求解．【詳解】解：（1）29不是“四季數(shù)”，因?yàn)閮晌蛔匀粩?shù)29的個(gè)位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字交換后得到的新兩位自然數(shù)為92，F(xiàn)(29)=|29-92|9=7，同時(shí)7所以29不是“四季數(shù)”，48是“四季數(shù)”，因?yàn)閮晌蛔匀粩?shù)29的個(gè)位上的數(shù)字和十位上的數(shù)字交換后得到的新兩位自然數(shù)為92，F(xiàn)(48)=|48-84|9=4，同時(shí)，4所以48是“四季數(shù)”；（2）依題意可得m=10a+c，m1=10c+a∴F(m)=m-m∴a-c=4①或a-c=8②n=100a+10b+c=9(10a+c)-8化簡得5a+5b-4c+4=0③聯(lián)立①③解得a=2b=2聯(lián)立②③無符合條件的正整數(shù)解，故n=226．【點(diǎn)睛】此題主要考查代數(shù)式計(jì)算及方程組的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到數(shù)量關(guān)系列方程求解．【變式6-3】（2022·重慶綦江·八年級期末）對于一個(gè)三位數(shù)n,如果n滿足：它的百位數(shù)字、十位數(shù)字之和與個(gè)位數(shù)字的差等于7,那么稱這個(gè)數(shù)n為“幸福數(shù)”．例如：n1=935,∵9+3-5=7,∴935是“幸福數(shù)”；n2=701,∵7+0-1=6,∴701不是（1）判斷845,734是否為“幸福數(shù)”？并說明理由；（2）若將一個(gè)“幸福數(shù)”m的個(gè)位數(shù)的2倍放到十位,原來的百位數(shù)變成個(gè)位數(shù),原來的十位數(shù)變成百位數(shù),得到一個(gè)新的三位數(shù)t（例如：若m=654,則t=586）,若t也是一個(gè)“幸福數(shù)”,求滿足條件的所有m的值．【答案】（1）845是“幸福數(shù)”,734不是“幸福數(shù)”,見解析;（2）滿足條件的所有m的值為:362,654【分析】根據(jù)題意可知:（1）要判斷一個(gè)數(shù)是否是“幸福數(shù)”,首先要看n是否滿足：它的百位數(shù)字、十位數(shù)字之和與個(gè)位數(shù)字的差等于7,即可得出答案．（2）若新的三位數(shù)t是“幸福數(shù)”,需要先設(shè)設(shè)這個(gè)“幸福數(shù)”m=abc,則t=b(2c)a（1≤a≤9,1≤b≤9,0≤c≤4,且a,b,c為整數(shù)）,根據(jù)a,b,【詳解】解：（1）845是“幸福數(shù)”,734不是“幸福數(shù)”∵8+4-5=7,∴845是“幸福數(shù)”；∵7+3-4=6,∴734不是“幸福數(shù)”∴845是“幸福數(shù)”,734不是“幸福數(shù)”．（2）設(shè)這個(gè)“幸福數(shù)”m=abc,則t=b(2c)a（1≤a≤9,1≤b≤9,0≤c≤4,且a,b,根據(jù)題意得:{解得：{∵0≤c≤4,且c為整數(shù),∴{a=3b=6∴滿足條件的所有m的值為:362,654．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算,解三元一次方程組以及學(xué)生的運(yùn)算能力,解題的關(guān)鍵是熟練掌握實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算法則,三元一次方程組的的解法．【題型7三元一次方程組的應(yīng)用】【例7】（2022·湖北黃岡·七年級階段練習(xí)）購買鉛筆7支，作業(yè)本3本，圓珠筆1支共需3元；購買鉛筆10支，作業(yè)本4本，圓珠筆1支共需4元，則購買鉛筆11支，作業(yè)本5本，圓珠筆2支共需（

）A．4.5元 B．5元 C．6元 D．6.5元【答案】B【分析】設(shè)鉛筆的單價(jià)是x元，作業(yè)本的單價(jià)是y元，圓珠筆的單價(jià)是z元．購買鉛筆11支，作業(yè)本5本，圓珠筆2支共需a元，然后根據(jù)題意列方程組求出a的值即可果．【詳解】解：設(shè)鉛筆的單價(jià)是x元，作業(yè)本的單價(jià)是y元，圓珠筆的單價(jià)是z元．購買鉛筆11支，作業(yè)本5本，圓珠筆2支共需a元．則由題意得{由②-①得3x+y=1由②+①得17x+7y+2z=7由⑤-④∴a=5．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是列出方程組以及用加減消元法求出方程組的解．【變式7-1】（2022·山東·煙臺(tái)市福山區(qū)教學(xué)研究中心八年級期中）盲盒為消費(fèi)市場注入了活力，既能夠營造消費(fèi)者購物過程中的趣味體驗(yàn)，也為商家實(shí)現(xiàn)銷售額提升拓展了途徑．某商家將藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤、迷你音箱共22個(gè)，搭配為A，B，C三種盲盒各一個(gè)，其中A盒中有2個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤，1個(gè)迷你音箱；B盒中藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之和等于多接口優(yōu)盤的數(shù)量，藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之比為3：2；C盒中有1個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤，2個(gè)迷你音箱．經(jīng)核算，A盒的成本為145元，B盒的成本為245元（每種盲盒的成本為該盒中藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤、迷你音箱的成本之和），則C盒的成本為（

）元．A．135 B．155 C．185 D．225【答案】B【分析】根據(jù)題意確定B盲盒各種物品的數(shù)量，設(shè)出三種物品的價(jià)格列出代數(shù)式，解代數(shù)式即可．【詳解】解：∵藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤、迷你音箱共22個(gè)，A盒中有2個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤，1個(gè)迷你音箱；C盒中有1個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤，2個(gè)迷你音箱；∴B盒中藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤、迷你音箱共22?2?3?1?1?3?2＝10（個(gè)），∵B盒中藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之和等于多接口優(yōu)盤的數(shù)量，藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之比為3：2，∴B盒中有多接口優(yōu)盤10×12=5（個(gè)），藍(lán)牙耳機(jī)有5×32+3設(shè)藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤、迷你音箱的成本價(jià)分別為a元，b元，c元，由題知：2a+3b+c=145①∵①×2?②得：a+b=45，②×2?①×3得：b+c=55，∴C盒的成本為：a+3b+2c=a+b故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查列代數(shù)式和代數(shù)式的運(yùn)算，利用A、B盒中的價(jià)格關(guān)系求出C盒的價(jià)格是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2022·重慶八中八年級階段練習(xí)）某工廠A，B，C型生產(chǎn)線進(jìn)行產(chǎn)品加工，每條生產(chǎn)線每天的產(chǎn)量之比為1：2：3，現(xiàn)甲、乙兩公司計(jì)劃各自租用該工廠8條生產(chǎn)線同時(shí)進(jìn)行產(chǎn)品加工，且每種類型的生產(chǎn)線均租用，甲公司用6天恰好能加工完所需產(chǎn)品，乙公司用3天恰好能加工完所需產(chǎn)品，乙公司租用的B型生產(chǎn)線數(shù)量與甲公司相同，甲公司租用的A型生產(chǎn)線條數(shù)與乙公司租用的C型生產(chǎn)線條數(shù)相同，乙公司需加工的產(chǎn)品總量比甲公司少16，則乙公司B型生產(chǎn)線有________【答案】2【分析】設(shè)甲租用A,B,C型生產(chǎn)線分別為x,b,c條，則乙租用A,B,C型生產(chǎn)線分別為a,b,x條，每條生產(chǎn)線每天的產(chǎn)量分別為k,2k,3k，則甲租用的生產(chǎn)線每天的產(chǎn)量為xk+2bk+3ck，乙租用的生產(chǎn)線每天的產(chǎn)量為ak+2bk+3xk，根據(jù)題意列出方程，可得a=c，由乙公司需加工的產(chǎn)品總量比甲公司少16，可得6×xk+2bk+3ck×1-16=3ak+2bk+3xk，得出【詳解】設(shè)甲租用A,B,C型生產(chǎn)線分別為x,b,c條，則乙租用A,B,C型生產(chǎn)線分別為a,b,x條，每條生產(chǎn)線每天的產(chǎn)量分別為k,2k,3k，則甲租用的生產(chǎn)線每天的產(chǎn)量為xk+2bk+3ck，乙租用的生產(chǎn)線每天的產(chǎn)量為ak+2bk+3xk，根據(jù)題意得：∵x+b+c=8,a+b+x=8，a,b,c,x是正整數(shù)，∴a=c，∵乙公司需加工的產(chǎn)品總量比甲公司少16∴6×xk+2bk+3ck即x=b+3a.∵a+b+x=8，∴b+3a=8-a-b，∴b=4-2a，∵a,b,c,x是正整數(shù)，∴a=1∴b=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組