專題5.1認(rèn)識(shí)一元一次方程（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）-七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（北師大版）

專題5.1認(rèn)識(shí)一元一次方程（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)1】方程的有關(guān)概念1．定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程.要點(diǎn)提醒：判斷一個(gè)式子是不是方程，只需看兩點(diǎn)：一.是等式；二.是含有未知數(shù)．2．方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解.要點(diǎn)提醒：判斷一個(gè)數(shù)（或一組數(shù)）是否是某方程的解，只需看兩點(diǎn)：①.它（或它們）是方程中未知數(shù)的值；②將它（或它們）分別代入方程的左邊和右邊，若左邊等于右邊，則它們是方程的解，否則不是．3．解方程：求方程的解的過(guò)程叫做解方程.

4．方程的兩個(gè)特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必須含有字母（或未知數(shù)）.【知識(shí)點(diǎn)2】一元一次方程的有關(guān)概念定義：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程.要點(diǎn)提醒：“元”是指未知數(shù)，“次”是指未知數(shù)的次數(shù)，一元一次方程滿足條件：①首先是一個(gè)方程;②其次是必須只含有一個(gè)未知數(shù);③未知數(shù)的指數(shù)是1;④分母中不含有未知數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)3】方程的解使用方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解要點(diǎn)提醒：方程的解與解方程的關(guān)系（1）方程的解與解方程是兩個(gè)不同概念，方程的解是一個(gè)結(jié)果，是一個(gè)具體的數(shù)值，而解方程是變形的方程；（2）方程的解是通過(guò)解方程求得的。【知識(shí)點(diǎn)4】等式的性質(zhì)

1．等式的概念：用符號(hào)“=”來(lái)表示相等關(guān)系的式子叫做等式.

2．等式的性質(zhì)：

等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等.即：

如果，那么(c為一個(gè)數(shù)或一個(gè)式子).

等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要點(diǎn)提醒：根據(jù)等式的兩條性質(zhì)，對(duì)等式進(jìn)行變形，等式兩邊必須同時(shí)進(jìn)行完全相同的變形；等式性質(zhì)1中，強(qiáng)調(diào)的是整式，如果在等式兩邊同加的不是整式，那么變形后的等式不一定成立，

(3)等式的性質(zhì)2中等式兩邊都除以同一個(gè)數(shù)時(shí)，這個(gè)除數(shù)不能為零．【考點(diǎn)一】一元一次方程的識(shí)別【例1】（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)課堂例題）判斷下列各式是不是方程，不是方程的說(shuō)明理由．（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）．【答案】（1）不是方程，見(jiàn)分析；（2）是方程；（3）不是方程，見(jiàn)分析；（4）不是方程，見(jiàn)分析；（5）是方程；（6）不是方程，見(jiàn)分析【分析】（1）~（6）根據(jù)方程的定義（含有未知數(shù)的等式叫做方程）即可得；（1）解：不是方程，理由是：不含未知數(shù)．（2）解：是方程．（3）解：不是方程，理由是：不是等式．（4）解：不是方程，理由是：不是等式．（5）解：是方程．（6）解：不是方程，理由是：不含未知數(shù)．【點(diǎn)撥】本題考查了方程，熟記方程的概念是解題關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考階段練習(xí)）下列四個(gè)式子中，是方程的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)含有未知數(shù)的等式叫做方程，判斷選擇即可．解：A.，不是等式，不是方程，不符合題意；B.是方程，符合題意；C.不是等式，不符合題意；D.不含有未知數(shù)，不符合題意；故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了方程的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·上?！ち昙?jí)專題練習(xí)）下列各式是方程的有①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）；②＋y＝5；③x2﹣2x＝1；④x2﹣2x＝x﹣y；⑤a＋b＝b＋a（a、b為常數(shù)）【答案】②③④【分析】含有未知數(shù)的等式是方程，根據(jù)定義依次判斷．解：①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3），不含有未知數(shù)，不是方程；②＋y＝5，是方程；③x2﹣2x＝1，是方程；④x2﹣2x＝x﹣y，是方程；⑤a＋b＝b＋a（a、b為常數(shù)），不含有未知數(shù)，不是方程；故答案為：②③④．【點(diǎn)撥】此題考查方程的定義，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，理解方程的定義是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二】一元一次方程的參數(shù)問(wèn)題與求值【例2】（2023秋·安徽蕪湖·七年級(jí)?？计谀┤羰顷P(guān)于的一元一次方程.（1）求的值；（2）先化簡(jiǎn)，再求的值.【答案】（1）；（2），【分析】（1）根據(jù)一元一次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是次的整式方程；由此解答即可；（2）根據(jù)整式的加減運(yùn)算法則將原式化簡(jiǎn)，然后代入求值即可．（1）解：由題意，得，∴，又∵，∴，∴；（2）原式，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)撥】本題考查了一元一次方程的定義，整式的加減－化簡(jiǎn)求值，熟練掌握相關(guān)定義以及運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知a是方程的解，則代數(shù)式的值為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】把代入方程得到關(guān)于a的等式，然后整體代入計(jì)算即可．解：∵a是方程的一個(gè)解，，即∴．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元二次方程的解、代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，理解一元二次方程的解的定義是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知是關(guān)于的一元一次方程，則的值為．【答案】【分析】利用一元一次方程的定義求解即可．解：∵是關(guān)于的一元一次方程，∴且，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟記一元一次方程的定義及一次項(xiàng)系數(shù)不能為0．【考點(diǎn)三】方程的解【例3】（2021秋·安徽滁州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，若，關(guān)于x的方程2x+c=1的解為1．求代數(shù)式的值．【答案】34.【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)之和為0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都為0，解出a，b的值，然后將x=1代入方程求出c的值，最后將代數(shù)式化簡(jiǎn)，代入數(shù)據(jù)求值．解：因?yàn)椋╝+1）2≥0，所以a+1=0，b2=0解得：a=1，b=2因?yàn)殛P(guān)于x的方程2x+c=1的解為－1所以2×（1）+c=1，解得c=3因?yàn)?abc－2a2b－（4ab2－a2b）=8abc2a2b4ab2+a2b=8abca2b4ab2把a(bǔ)=1，b=2，c=3代入代數(shù)式8abca2b4ab2中，得8×（1）×2×3（1）2×24×（1）×22=482（16）=34.【點(diǎn)撥】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，一元一次方程的解，以及代數(shù)式化簡(jiǎn)求值，熟記非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2021春·上海松江·六年級(jí)?？茧A段練習(xí)）是下列哪個(gè)方程的解（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將代入各個(gè)選項(xiàng)，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案．解：A、把代入方程中，左邊，右邊，左邊右邊，∴不是方程的解；B、把代入方程中，左邊，右邊，左邊右邊，∴不是方程的解；C、把代入方程中，左邊，右邊，左邊右邊，∴不是方程的解；D、把代入方程中，左邊，右邊，左邊右邊，∴是方程的解．【點(diǎn)撥】本題考查一元一次方程的解，理解方程解的定義，將代入各個(gè)方程驗(yàn)證是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式2】（2023秋·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若是方程的解，則代數(shù)式的值為．【答案】【分析】先利用一元二次方程的解的定義得到，再把變形為，然后利用整體代入的方法計(jì)算．解：是方程的解，，即，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了求代數(shù)式的值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，整體思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四】等式的基本性質(zhì)的變形【例4】（2022秋·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）利用等式的性質(zhì)，說(shuō)明由如何變形得到．【分析】先根據(jù)等式的性質(zhì)兩邊同時(shí)乘以2去掉分母，然后等式兩邊同時(shí)加上2即可得到答案．解：等式兩邊同時(shí)乘以4得：，等式兩邊同時(shí)加上2得：，即．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等式的性質(zhì)，熟知等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵：等式兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)數(shù)或式子等式仍然成立；等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或式子等式兩邊仍然成立，等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)不為0的數(shù)或式子等式仍然成立．【變式1】（2022秋·山東菏澤·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列等式變形不正確的是（）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么x＝y(tǒng) D．如果，那么【答案】C【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)解答即可．解：A．如果，那么，等式變形正確，不符合題意；B．如果，那么，等式變形正確，不符合題意；C．如果，因?yàn)楫?dāng)時(shí)不成立，故符合題意；D．如果，那么，等式變形正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了等式的基本性質(zhì)，正確掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．等式的基本性質(zhì)1是等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)整式，所得的結(jié)果仍是等式；等式的基本性質(zhì)2是等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能為0），所得的結(jié)果仍是等式．【變式2】（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）在下列各題的橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)或整式，使所得結(jié)果仍是等式，并說(shuō)明根據(jù)是等式的哪一條性質(zhì)以及是怎樣變形的．（1）如果，那么，根據(jù)；（2）如果，那么，根據(jù)；（3）如果，那么，根據(jù)；（4）如果，那么，根據(jù)．【答案】等式的性質(zhì)2，兩邊都乘等式的性質(zhì)2，兩邊都乘；6等式的性質(zhì)2，兩邊都乘3x等式的性質(zhì)1，兩邊都減去3x【分析】（1）~（3）根據(jù)等式的性質(zhì)2：等式的兩邊同乘（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不為0）結(jié)果仍相等即可得出答案．（4）根據(jù)等式的性質(zhì)1：等式的兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍相等，即可得出答案．解：（1）如果，那么，根據(jù)等式的性質(zhì)2，兩邊都乘；（2）如果，那么，根據(jù)等式的性質(zhì)2，兩邊都除以；（3）如果，那么，等式的性質(zhì)2，兩邊都乘；（4）如果，那么，根據(jù)等式的性質(zhì)1，兩邊都減去3x．故答案為：，等式的性質(zhì)2，兩邊都乘；，等式的性質(zhì)2，兩邊都乘；6，等式的性質(zhì)2，兩邊都乘；3x，等式的性質(zhì)1，兩邊都減去3x．【點(diǎn)撥】本題考查等式的基本性質(zhì)．熟練掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五】利用等式的基本性質(zhì)解方程【例5】（2022秋·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？计谥校├玫仁叫再|(zhì)解下列方程：（1） （2） （3）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）首先在方程兩邊同加上1，再方程兩邊同除以，即可求得答案；（2）首先在方程兩邊同加上5，再方程兩邊同乘以，即可求得答案；（3）首先方程兩邊同減去2，再方程兩邊乘，即可求得答案．（1）解：，，即，，解得；（2）解：，，即，，解得；（3）解：，，，，解得．【點(diǎn)撥】本題考查了等式的基本性質(zhì)．注意等式性質(zhì)：1、等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0數(shù)或字母，等式仍成立．【變式1】（2023秋·安徽阜陽(yáng)·七年級(jí)?？紝ｎ}練習(xí)）求未知數(shù)的值（1） （2） （3）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）先根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把原式轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)等式的性質(zhì)解出即可；（2）先化簡(jiǎn)，再根據(jù)等式的性質(zhì)，在方程兩邊同時(shí)減去4，再乘上3來(lái)解；（3）先根據(jù)比例的基本性質(zhì)