八年級(jí)數(shù)學(xué)全冊知識(shí)點(diǎn)

14.1全等三角形[全等形]能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.[全等三角形]能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.重合的頂點(diǎn)叫做對應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對應(yīng)邊，重合的角叫做對應(yīng)角.[全等三角形的性質(zhì)]全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等[找對應(yīng)邊、對應(yīng)角的方法]（1）公共邊是對應(yīng)邊，公共角是對應(yīng)角（2）對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角（3）對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角（4）最長（最短）邊是對應(yīng)邊，最大（最小）角是對應(yīng)角（5）平行邊是對應(yīng)邊，對頂角是對應(yīng)角14.2三角形全等的條件[邊邊邊]三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（SSS）[邊角邊]兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．(SAS)[角邊角]兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（ASA）[角角邊]兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（AAS）[斜邊、直角邊]斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．（HL）14.3角平分線的性質(zhì)[角平分線的作法]教科書第113頁[角平分線的性質(zhì)]在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.∵OP平分∠AOB，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，∴PM=PN[角平分線的判定]到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.∵PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=PN∴OP平分∠AOB[三角形的角平分線的性質(zhì)]三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等．15.1軸對稱[軸對稱圖形]如果一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸．有的軸對稱圖形的對稱軸不止一條，如圓就有無數(shù)條對稱軸．[軸對稱]有一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)．兩個(gè)圖形關(guān)于直線對稱也叫做軸對稱．

[圖形軸對稱的性質(zhì)]如果兩個(gè)圖形成軸對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．[軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別]軸對稱是指兩個(gè)圖形之間的形狀與位置關(guān)系，成軸對稱的兩個(gè)圖形是全等形；軸對稱圖形是一個(gè)具有特殊形狀的圖形，把一個(gè)軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形是全等形，并且成軸對稱．[線段的垂直平分線]（1）經(jīng)過線段的中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）．（2）線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．因此線段的垂直平分線可以看成與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合．[軸對稱變換]由一個(gè)平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換．成軸對稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)可以看著由另一個(gè)圖形經(jīng)過軸對稱變換后得到．[軸對稱變換的性質(zhì)]（1）經(jīng)過軸對稱變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣（2）經(jīng)過軸對稱變換得到的圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)．（3）連接任意一對對應(yīng)點(diǎn)的線段被對稱軸垂直平分．[作一個(gè)圖形關(guān)于某條直線的軸對稱圖形]（1）作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對稱點(diǎn)．（2）按原圖形的連接方式連接所得到的對稱點(diǎn)，即得到原圖形的軸對稱圖形．[關(guān)于坐標(biāo)軸對稱]點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，-y）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x，y）[關(guān)于原點(diǎn)對稱]點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x，-y）[關(guān)于坐標(biāo)軸夾角平分線對稱]點(diǎn)P（x，y）關(guān)于第一、三象限坐標(biāo)軸夾角平分線y=x對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（y，x）點(diǎn)P（x，y）關(guān)于第二、四象限坐標(biāo)軸夾角平分線y=-x對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-y，-x）[關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線對稱]點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線x=m對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2m-x，y）；點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線y=n對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，2n-y）；[等腰三角形]有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊．兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角．[三角形按邊分類]三角形[等腰三角形的性質(zhì)]性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡寫成“等邊對等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合．特別的：（1）等腰三角形是軸對稱圖形.（2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對應(yīng)相等.[等腰三角形的判定定理]如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）．特別的：（1）有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形．（2）有兩邊上的角平分線對應(yīng)相等的三角形是等腰三角形．（3）有兩邊上的中線對應(yīng)相等的三角形是等腰三角形．（4）有兩邊上的高線對應(yīng)相等的三角形是等腰三角形．[利用“三角形奠基法”作圖]根據(jù)已知條件先作出一個(gè)與所求圖形相關(guān)的三角形，然后再以這個(gè)圖形為基礎(chǔ)，作出所求的三角形.[等邊三角形]三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形．[等邊三角形的性質(zhì)]等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°[等邊三角形的判定方法]（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．[直角三角形的性質(zhì)]在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．[三角形中的邊角不等關(guān)系]（1）在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不等，那么它們所對的角也不等，大邊所對的角較大.（簡稱為：大邊對大角）（2）在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不等，那么它們所對的邊也不等，大角所對的邊較大.（簡稱為：大角對大邊）[添加輔助線口訣]幾何證明難不難，關(guān)鍵常在輔助線；知中點(diǎn)、作中線，倍長中線把線連.線段垂直平分線，常向兩端來連線.線段和差及倍分，延長截取全等現(xiàn)；公共角、公共邊，隱含條件要挖掘；平移對稱加旋轉(zhuǎn)，全等圖形多變換.角平分線取一點(diǎn)，可向兩邊作垂線；

也可將圖對折看，對稱之后關(guān)系現(xiàn)；

角平分線加平行，等腰三角形來添；

角平分線伴垂直，三線合一試試看。12.1變量與函數(shù)[變量和常量]在一個(gè)變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量，我們稱之為變量，而數(shù)值始終保持不變的量，我們稱之為常量。[函數(shù)]一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量與，并且對于的每一個(gè)確定的值，都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說是自變量，是的函數(shù)。如果當(dāng)時(shí)，那么叫做當(dāng)自變量的值為時(shí)的函數(shù)值。[自變量取值范圍的確定方法]自變量的取值范圍必須使解析式有意義。當(dāng)解析式為整式時(shí)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；當(dāng)解析式為分?jǐn)?shù)形式時(shí)，自變量的取值范圍是使分母不為0的所有實(shí)數(shù)；當(dāng)解析式中含有二次根式時(shí)，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)大于等于0的所有實(shí)數(shù)。2、自變量的取值范圍必須使實(shí)際問題有意義。[函數(shù)的圖像]一般來說，對于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象．[描點(diǎn)法畫函數(shù)圖形的一般步驟]第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值）；第二步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點(diǎn)）；第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來）。[函數(shù)的表示方法]列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律。解析式法：簡單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。12.2.1變量與函數(shù)[正比例函數(shù)]一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)（proportionalfunction），其中k叫做比例系數(shù)．[正比例函數(shù)圖象和性質(zhì)]一般地，正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)和（1，k）的直線．我們稱它為直線y=kx.當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當(dāng)k<0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減?。馕鍪剑簓=kx（k是常數(shù)，k≠0）必過點(diǎn)：（0，0）、（1，k）走向：k>0時(shí)，圖像經(jīng)過一、三象限；k<0時(shí)，圖像經(jīng)過二、四象限增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸[正比例函數(shù)解析式的確定]——待定系數(shù)法設(shè)出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx（k≠0）把已知條件（一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)）代入解析式，得到關(guān)于k的一元一次方程解方程，求出系數(shù)k將k的值代回解析式12.2.2一次函數(shù)[一次函數(shù)]一般地，形如y=kx+b(k、b是常數(shù)，k0)函數(shù)，叫做一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，y=kx＋b即y=kx，所以正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)．[一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)]一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過（0，b）和（-，0）兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長度得到.（當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k、b是常數(shù)，k0)（2）必過點(diǎn)：（0，b）和（-，0）（3）走向：k>0，圖象經(jīng)過第一、三象限；k<0，圖象經(jīng)過第二、四象限b>0，圖象經(jīng)過第一、二象限；b<0，圖象經(jīng)過第三、四象限直線經(jīng)過第一、二、三象限直線經(jīng)過第一、三、四象限直線經(jīng)過第一、二、四象限直線經(jīng)過第二、三、四象限（4）增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸.（6）圖像的平移：當(dāng)b>0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位；當(dāng)b<0時(shí)，將直線y=kx的圖象向下平移b個(gè)單位.[直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關(guān)系]（1）兩直線平行：k1=k2且b1b2（2）兩直線相交：k1k2（3）兩直線重合：k1=k2且b1=b2[確定一次函數(shù)解析式的方法]（1）根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式；（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)解析式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；（3）解方程得出未知系數(shù)的值；（4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)解析式中得出結(jié)果.[一次函數(shù)建模]函數(shù)建模的關(guān)鍵是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，從而解決最佳方案、最佳策略等問題.建立一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題，就是要從實(shí)際問題中抽象出兩個(gè)變量，再尋求出兩個(gè)變量之間的關(guān)系，構(gòu)建函數(shù)模型，從而利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題.正比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象在賦予實(shí)際意義時(shí)，其圖象大多為線段或射線.這是因?yàn)樵趯?shí)際問題中，自變量的取值范圍是有一定的限制條件的，即自變量必須使實(shí)際問題有意義.從圖象中獲取的信息一般是：（1）從函數(shù)圖象的形狀判定函數(shù)的類型；（2）從橫、縱軸的實(shí)際意義理解圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義.解決含有多個(gè)變量的問題時(shí)，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中某個(gè)變量作為自變量，再根據(jù)問題的條件尋求可以反映實(shí)際問題的函數(shù).12.3用函數(shù)觀點(diǎn)看方程（組）與不等式[一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系]任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值.從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.[一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系]任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大（?。┯?時(shí)，求自變量的取值范圍.[一次函數(shù)與二元一次方程組]（1）以二元一次方程ax+by=c的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y=的圖象相同.（2）二元一次方程組的解可以看作是兩個(gè)一次函數(shù)y=和y=的圖象交點(diǎn).13.1．1整式[單項(xiàng)式]數(shù)或字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式．單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式．[單項(xiàng)式的系數(shù)]單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)．[單項(xiàng)式的次數(shù)]一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)．[多項(xiàng)式]幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式．多項(xiàng)式中每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫常數(shù)項(xiàng)．[多項(xiàng)式的次數(shù)]多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)即這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．[整式]單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式．13.1.2整式的加減[同類項(xiàng)]所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)．[合并同類項(xiàng)]把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，即把它們的系數(shù)相加作為新的系數(shù)，而字母部分不變，叫做合并同類項(xiàng)．幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括起來，再用加減號(hào)連接；然后去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)．13.2整式的乘法[同底數(shù)冪的乘法]am·an=am+n（m、n都是正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．[冪的乘方](am)n＝amn(m，n都是正整數(shù))冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.[積的乘方](ab)n＝anbn(n是正整數(shù))積的乘方等于把積的每個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.[單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式]單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同的字母分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．[單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式]單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．[多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式]多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．13.3.1平方差公式[平方差公式](a＋b)(a－b)＝a2－b2兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等與這兩個(gè)數(shù)的平方差.公式的結(jié)構(gòu)特征：⑴左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩個(gè)二項(xiàng)式中，有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù).⑵右邊是這兩個(gè)數(shù)的平方差，即完全相同的項(xiàng)與互為相反數(shù)的項(xiàng)的平方差（同號(hào)項(xiàng)2－異號(hào)項(xiàng)2）.公式的應(yīng)用：⑴公式中的字母，可以表示具體的數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以用此公式進(jìn)行計(jì)算.⑵公式中的是不可顛倒的，注意是同號(hào)項(xiàng)的平方減去異號(hào)項(xiàng)的平方，還要注意字母的系數(shù)和指數(shù).⑶為了避免錯(cuò)誤，初學(xué)時(shí)，可將結(jié)果用“括號(hào)”的平方差表示，再往括號(hào)內(nèi)填上這兩個(gè)數(shù).如：(a+b)(a-b)=a2－b2↓↓↓↓↓↓計(jì)算：(1+2x)(1-2x)=(1)2－(2x)2=1-4x213.3.2完全平方公式[完全平方公式](a+b)2=a2+2ab+