靜電場邊值問題

第三章靜電場的邊值問題

主要內(nèi)容電位微分方程、鏡像法、分離變量法。1.電位微分方程 2.鏡像法 3.直角坐標系中的分離變量法4.圓柱坐標系中的分離變量法

5.球坐標系中的分離變量法

1.電位微分方程已知電位

與電場強度E

的關系為

對上式兩邊取散度，得對于線性各向同性的均勻介質(zhì)，電場強度E

的散度為

那么，電位滿足的微分方程式為

泊松方程

拉普拉斯方程對于無源區(qū)，，上式變?yōu)?/p>

已知分布在V

中的電荷在無限大的自由空間產(chǎn)生的電位為上式為泊松方程在自由空間的特解。

利用格林函數(shù)可以求出泊松方程在有限空間的通解。

靜電場與時間無關，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。定解條件初始條件邊界條件數(shù)學物理方程描述物理量隨時間和空間的變化特性。根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點的電位就是靜電場的邊值問題。此處邊界條件實際上是指給定的邊值，它不同于前一章描述靜電場的邊界上場量變化的邊界條件。邊界條件有三種類型：

第二類邊界條件是給定邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊值問題又稱為諾依曼問題。

第三類邊界條件是給定一部分邊界上的物理量及另一部分邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊界條件又稱為混合邊界條件。

第一類邊界條件給定的是邊界上的物理量，這種邊值問題又稱為狄里赫利問題。解的存在、穩(wěn)定及惟一性問題。泊松方程及拉普拉斯方程解的穩(wěn)定性在數(shù)學中已經(jīng)得到證明。

惟一性是指在給定的定解條件下所求得的解是否是惟一的。

穩(wěn)定性是指當定解條件發(fā)生微小變化時，所求得的解是否變化很大。存在是指在給定的定解條件下，方程是否有解。靜電場是客觀存在的，因此電位微分方程解的存在確信無疑?？梢宰C明電位微分方程解具有惟一性。

若靜電場的邊界為導體，此時給定導體上的電位就是第一類邊界。已知

因此，對于導體邊界，當邊界上的電位，或電位的法向?qū)?shù)給定時，或?qū)w表面電荷給定時，空間的靜電場即被惟一地確定。這個結論稱為靜電場惟一性定理?？梢姡砻骐姾山o定等于給定了電位的法向?qū)?shù)值。因此，若給定導體表面上的電荷量就是第二類邊界。

靜電場的邊值問題——

根據(jù)給定的邊界條件求解靜電場的電位分布。

對于線性各向同性的均勻介質(zhì)，有源區(qū)中的電位滿足泊松方程方程在無源區(qū)，電位滿足拉普拉斯方程利用格林函數(shù)，可以求解泊松方程。利用分離變量法可以求解拉普拉斯方程。求解靜電場邊值問題的另一種簡單方法是鏡像法。2.鏡像法

實質(zhì):以一個或幾個等效電荷代替邊界的影響，將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計算過程大為簡化。

這些等效電荷通常處于原電荷的鏡像位置，因此稱為鏡像電荷，而這種方法稱為鏡像法。依據(jù)：惟一性定理。等效電荷的引入不能改變原來的邊界條件。關鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。

局限性：僅僅對于某些特殊的邊界以及特殊的電荷分布才有可能確定其鏡像電荷。

鏡像法所得結果僅適用于原電荷所在的區(qū)域，稱為有效區(qū)域。對于鏡像電荷所在的區(qū)域，所得結果是不適用的，該區(qū)域稱為無效區(qū)域。（1）點電荷與無限大的導體平面

介質(zhì)

導體

qrP

介質(zhì)q

rP

hh

介質(zhì)

以一個鏡像點電荷q'代替邊界的影響，使整個空間變成均勻的介電常數(shù)為

的空間，則空間任一點P的電位由q

及q'

共同產(chǎn)生，即

無限大導體平面的電位為零（1）點電荷與無限大的導體平面

介質(zhì)

導體

qrP

介質(zhì)q

rP

hh

介質(zhì)

以一個鏡像點電荷q'代替邊界的影響，使整個空間變成均勻的介電常數(shù)為

的空間，則空間任一點P的電位由q

及q'

共同產(chǎn)生，即

無限大導體平面的電位為零

電場線與等位面的分布特性與電偶極子的上半部分完全相同。電場線等位線

z

*根據(jù)電荷守恒定律，鏡像點電荷的電荷量應該等于導體表面上感應電荷的總電荷量。（怎么去證明）*上述等效性僅對于導體平面的上半空間成立，因為在上半空間中，源及邊界條件未變。

介質(zhì)

導體

qrP

介質(zhì)q

rP

hh

介質(zhì)

q

對于半無限大導體平面形成的劈形邊界也可應用鏡像法。但是為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個鏡像電荷。例如，夾角為的導電劈需引入

5

個鏡像電荷。

/3

/3q

僅當這種導體劈的夾角等于

的整數(shù)分之一時，才可求出其鏡像電荷。為什么？鏡像電荷的依據(jù)是電位滿足的方程和邊界條件，為了不改變電位所滿足的方程，鏡像電荷不能放在所求電位的區(qū)域（或稱為有效區(qū)）內(nèi)。電位所滿足的方程一般來說，只要滿足2

/a=偶數(shù)，（a為角度）都可以用鏡像法求解。鏡像電荷=2

/a-1，這些點電荷都在過原點電荷與兩導體面的交線垂直面內(nèi)，且都以此面與交線的交點為中心，交點到原點電荷的距離為半徑。

位于無限大的導體平面附近的線電荷，根據(jù)疊加原理得知，同樣可以應用鏡像法求解。(求電容）

l

l–l

例：求單導線的對地電容。一根極長的單導線與地面平行，導線的半徑為a，離地高度為h，求單位長度單導線的對地電容。

介質(zhì)

接地

qrP

介質(zhì)q

rP

hh

介質(zhì)

單位長度單導線對地的電容：因為接地，Phi（0）=0，因此只需求Phi(m）單位長度單導線空間電場分布為：

介質(zhì)

接地

qrP

介質(zhì)q

rP

hh

介質(zhì)

P點的電位：令h>>a,電荷均勻分布在導體表面，不會對另一個導體表面電荷分布產(chǎn)生影響。r,r’分別是原導線和鏡像導線到P點的垂直距離：所以有：（2）點電荷與導體球

若導體球接地，導體球的電位為零。令鏡像點電荷q

位于球心與點電荷q的連線上，那么球面上任一點電位為

為了保證球面上任一點電位為零，必須選擇鏡像電荷為qfOPadrq

r

為了使鏡像電荷具有一個確定的值，必須要求比值對于球面上任一點均具有同一數(shù)值。

若△OPq~△

OqP

，則鏡像電荷離球心的距離d應為

求得鏡像電荷為qfOPadrq

r

利用球面和軸相交的點（A，B）電位相等，直接求d和q‘方法2：B點電位：A點電位：聯(lián)立解二個方程得到：球面感應電荷面密度和感應電荷總量P點電位：由余弦定理得：對應的感應電荷密度為：感應電荷則對整個金屬球表面積分(取y軸為極軸）：y感應電荷說明感應電荷恰好為鏡像電荷q’。由于用q’代替接地導體球后，導體球外的電場、電位分布不發(fā)生任何改變，因此，緊靠導體球（但是在球外）做一個封閉面，那么，不論閉合面的是鏡像前還是鏡像后的變化情況，通過閉合面的總的通量都是相等的。即接地球面上的感應電荷量與鏡像電荷量相等

若導體球不接地，則其電位不為零。q

的位置和量值應該如何?由q

及q

在球面邊界上形成的電位為零，因此必須再引入一個鏡像電荷q

以產(chǎn)生一定的電位。q以保證導體球表面上總電荷量為零值。

為了保證球面邊界是一個等位面，鏡像電荷q

必須位于球心。

為了滿足電荷守恒定律，第二個鏡像電荷q

必須為導體球的電位?qq"q'qh求電容？無窮鏡像問題分析：兩個邊界條件：一個是金屬球為等位面，但電位不為零，而是地面為零電位面。如果僅為孤立球體，可將電荷q集中與球心來代替金屬球面的分布電荷，這樣就滿足了原金屬球面為電位面的邊界條件。但是現(xiàn)在有了地面的影響，還應滿足地面電位為零的邊界條件。。。。。

l（3）線電荷與帶電的導體圓柱

在圓柱軸線與線電荷之間，離軸線的距離d處，平行放置一根鏡像線電荷

。因此，離線電荷r

處，以為參考點的電位為

Pafdr–

lO已知無限長線電荷產(chǎn)生的電場強度為，

若令鏡像線電荷產(chǎn)生的電位也取相同的作為參考點，則及在圓柱面上P點共同產(chǎn)生的電位為已知導體圓柱是一個等位體，必須要求比值與前同理，可令（3）求雙圓柱導線的電容（自己計算）（3）求雙圓柱導線的電容

（4）點電荷與無限大的介質(zhì)平面

E

1

1

qr0E'EtEnq'

2

2

q"E"

1

2qeten=+

對于上半空間，可用鏡像電荷q'

等效邊界上束縛電荷的作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為

1的均勻空間。

對于下半空間，可用位于原點電荷處的q"

等效原來的點電荷q與邊界上束縛電荷的共同作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為

2

的均勻空間。

必須迫使所求得的場符合邊界條件，即電場切向分量和電通密度的法向分量應該保持連續(xù)，即

已知各個點電荷產(chǎn)生的電場強度分別為代入上述邊界條件，求得鏡像電荷如下：五.兩個接地無限大導電半平面,其夾角為90度,點電荷Q位于這個雙面角的平分線上A點,求該點電荷在真空中P(a,a/2)點產(chǎn)生的電位。

例已知同軸線的內(nèi)導體半徑為a，電壓為U，外導體接地，其內(nèi)半徑為b。試求內(nèi)外導體之間的電位分布函數(shù)以及電場強度。

解對于該邊值問題，鏡像法不適用，只好求解電位方程。求得UbaO

選用圓柱坐標系。由于場量僅與坐標r

有關，因此，電位所滿足的拉普拉斯方程變?yōu)槔眠吔鐥l件：最后求得求得第二種求解方式：聯(lián)立可以求出電位分布：根據(jù)電場求電位，然后利用邊界條件，求出唯一解。

為了利用給定的邊界條件，選擇適當?shù)淖鴺讼凳欠浅Ｖ匾摹τ谏鲜鲆痪S微分方程，可以采用直接積分方法。

分離變量法是將原先的三維偏微分方程通過變量分離簡化為三個獨立的常微分方程，從而簡化求解過程。為了求解三維拉普拉斯方程，一種有效的方法就是分離變量法。分離變量法對于11種坐標系都是行之有效的。3.直角坐標系中的分離變量法

在直角坐標系中，拉普拉斯方程展開式為

令式中的左邊各項僅與一個變量有關。因此，將上式對變量x

求導，第二項及第三項均為零，求得第一項對x

的導數(shù)為零，說明了第一項等于常數(shù)。代入上式，兩邊再除以，得

同理，再分別對變量y

及z

求導，得知第二項及第三項也分別等于常數(shù)。令各項的常數(shù)分別為，求得式中，kx，ky，kz

稱為分離常數(shù)，它們可以是實數(shù)或虛數(shù)。三個分離常數(shù)不是獨立的，必須滿足下列方程由上可見，經(jīng)過變量分離后，三維偏微分方程式被簡化為三個一維常微分方程。常微分方程的求解較為簡便，而且三個常微分方程又具有同一結構，因此它們解的形式也一定相同。例如，含變量x

的常微分方程的通解為例兩個相互平行的半無限大接地導體平面，間距為d

，其有限端被電位為

0

的導電平面封閉，且與半無限大接地導體平面絕緣，如圖所示。試求三個導體平面形成的槽中電位分布。Odxy

=0

=0

=

0電位滿足的拉普拉斯方程變?yōu)榻膺x取直角坐標系。槽中電位分布與z無關，這是一個二維場的問題。應用分離變量法，令為了滿足及，Y(y)

的解應為槽中電位滿足的邊界條件為因為y=0

時，電位

=0，因此上式中常數(shù)B=0。為了滿足，分離常數(shù)

ky

應為

Odxy

=0

=0

=

0求得已知，求得可見，分離常數(shù)kx為虛數(shù)，故X(x)

的解應為式中的常數(shù)C

應為零？那么式中的常數(shù)C=AD

。求得因x=0

時，電位

=

0

，得上式右端為變量，但左端為常量，因此不能成立。這就表明此式不能滿足給定的邊界條件。因此，必須取上式的線性組合（即無窮級數(shù)）作為電位方程的解。為了滿足x=0，

=

0

，由上式得

即該公式右端為傅里葉級數(shù)。從數(shù)學可以證明，如果把余弦項級數(shù)也包含進去，就構成了一個完全的函數(shù)組。他表明任何一個邊界條件都能用一個無窮級數(shù)之和所滿足。求出系數(shù)Cn為Odxy

=0

=0

=

0求得槽中電位分布函數(shù)為

電場線等位面4.圓柱坐標系中的分離變量法在圓柱坐標系中，電位微分方程展開式為

令求得上式中只有第二項為變量

的函數(shù)，因此將上式對

求導，得知第二項對

的導數(shù)為零，可見第二項應為常數(shù)。令即式中的k

為分離常數(shù)，它可以是實數(shù)或虛數(shù)。令，m為整數(shù)，則上式的解為考慮到，以及上式，則前述方程可表示為變量

的變化范圍為，因此，上式的解一定是三角函數(shù)，且常數(shù)k

一定為整數(shù)。上式第一項僅為變量r

的函數(shù)，第二項僅為變量z

的函數(shù)，因此，它們應為常數(shù)。式中的分離常數(shù)kz

可為實數(shù)或虛數(shù)，其解可為三角函數(shù)、雙曲函數(shù)或指數(shù)函數(shù)。式中的C,D

為待定常數(shù)。當kz為實數(shù)時，可令令將變量z的方程代入前式，得

若令，則上式變?yōu)?/p>

上式為標準的貝塞爾方程，其解為貝塞爾函數(shù)，即

式中，為m階第一類貝塞爾函數(shù)；為m階第二類貝塞爾函數(shù)。當r=0

時，。因此，當場區(qū)包括r=0

時，只能取第一類貝塞爾函數(shù)。

J2(x)J1(x)J3(x)J0(x)第一類貝塞爾函數(shù)xN3(x)N1(x)N0(x)N2(x)第二類貝塞爾函數(shù)x

至此，我們分別求出了R(r)

,

(

)

,Z(z)

的解，而電位微分方程的通解應為三者乘積，或取其線性組合。

若靜電場與變量z無關，則。那么電位微分方程變?yōu)榇朔匠痰慕鉃橹笖?shù)函數(shù)，即

若又與變量

無關，則m=0。那么，電位微分方程的解為

例：求均勻電場E0的空間電位分布解：要求空間任一點P的電位，可選擇任一點O作為坐標原點，有均勻電場的電位不能選取無窮遠處作為電位參考點，所以選擇O點做為電位參考點，即：在球坐標系中，設E0沿極軸z，即：同理可求得在圓柱坐標系統(tǒng)中：在圓柱坐標系中，設E0沿極軸x，即：例設一根無限長的導體圓柱位于均勻靜電場中，電場強度方向垂直于導體圓柱。試求導體圓柱外的電場強度。

x

yaE0O

解選取圓柱坐標系。令z

軸為圓柱軸線，電場強度的方向與x軸一致，即

當導體圓柱處于靜電平衡時，圓柱內(nèi)的電場強度為零，圓柱為等位體，圓柱表面電場強度切向分量為零，且柱外的電位分布函數(shù)應與z無關。x

yaE0O解的形式可取前述一般形式，但應滿足兩個邊界條件。①圓柱表面電場強度的切向分量為零。求得②無限遠處的電場未受到擾動。此式表明，無限遠處電位函數(shù)僅為cos

的函數(shù)。即因此為了滿足②，系數(shù)，且m=1。因此電位函數(shù)應為那么，根據(jù)邊界條件即可求得系數(shù)B1，D1

應為代入前式，求得圓柱外電位分布函數(shù)為

則圓柱外電場強度為

x

yaE0O圓柱外電場線、等位面以及圓柱表面的電荷分布電場線等位面

假如導體球換成介質(zhì)球，怎么去求圓柱內(nèi)外的電位和電場分布？習題3-22.令代入上式，得5.球坐標系中的分離變量法

在球坐標系中，電位微分方程的展開式為其解應為令若靜電場與變量

無關，則m=0

。將代入上式，得可見，上式中第一項僅為r

的函數(shù)，第二項與r無關。因此，第一項應為常數(shù)。這是歐拉方程，其通解為

為了便于進一步求解，令即,n

為整數(shù)令，則上式變?yōu)樯鲜綖檫B帶勒讓德方程，其通解為第一類連帶勒讓德函數(shù)與第二類連帶勒讓德函數(shù)之和，這里m<n

。

當n是整數(shù)時，及為有限項多項式。將上述結果代入前式，得當場區(qū)包括或

時，此時只能取第一類連帶勒讓德函數(shù)作為方程的解。那么，電位微分方程的通解取下列線性組合

若靜電場與變量

無關，則m=0，稱為第一類勒讓德函數(shù)。此時，電位微分方程的通解為通常令例設半徑為a