新教材高中數(shù)第8章立體幾何初步86直線與直線垂直案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE1-8.6空間直線、平面的垂直8.學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．了解空間中兩條直線的三種位置關(guān)系，理解異面直線的定義，會用平面襯托來畫異面直線．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．會用異面直線所成的角的定義找出或作出異面直線所成的角，會在直角三角形中求簡單異面直線所成的角．(重點(diǎn)、易錯點(diǎn))1．通過實(shí)物觀察、抽象出空間兩直線位置關(guān)系、異面直線概念及夾角的定義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．2．借助異面直線所成角及垂直關(guān)系的證明，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng)．觀察下面兩個圖形．問題：(1)教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線的位置關(guān)系是什么？(2)六角螺母中直線AB與CD的位置關(guān)系是什么？CD與BE的位置關(guān)系是什么？知識點(diǎn)異面直線所成的角1．定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．2．異面直線所成的角θ的取值范圍：0°<θ≤90°．3．當(dāng)θ＝90°時(shí)，a與b互相垂直，記作a⊥b．異面直線垂直與平面內(nèi)兩條直線垂直有何異同？[提示]相同點(diǎn)是所成的角都是90°，不同點(diǎn)是異面直線垂直沒有交點(diǎn)，平面內(nèi)兩條直線垂直有公共點(diǎn)．1．若空間兩條直線a和b沒有公共點(diǎn)，則a與b的位置關(guān)系是()A．共面 B．平行C．異面 D．平行或異面D[若直線a和b共面，則由題意可知a∥b；若a和b不共面，則由題意可知a與b是異面直線．]2．已知正方體ABCD-A′B′C′D′中：(1)BC′與CD′所成的角為________；(2)AD與BC′所成的角為________．(1)60°(2)45°[(1)連接BA′，則BA′∥CD′，連接A′C′，則∠A′BC′就是BC′與CD′所成的角．由△A′BC′為正三角形，知∠A′BC′＝60°，(2)由AD∥BC，知AD與BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．]類型1異面直線所成的角【例1】如圖，已知正方體ABCD-A′B′C′D′．(1)哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線？(2)直線BA′和CC′的夾角是多少？(3)哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？1．在平面內(nèi)，兩條直線相交成四個角，其中不大于90度的角稱為它們的夾角，用以刻畫兩直線的錯開程度，如圖在正方體ABCD-EFGH中，異面直線AB與HF的錯開程度怎樣來刻畫？這種刻畫應(yīng)用的是什么數(shù)學(xué)思想？[提示]平移轉(zhuǎn)化成相交直線所成的角，由于AB∥EF，可用EF與HF的夾角來刻畫．應(yīng)用的是數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)換思想，即化空間圖形問題為平面圖形問題．2．異面直線所成角的范圍如何？什么是異面直線垂直？[提示]異面直線所成角的范圍為(0°，90°]，如果兩條異面直線a，b所成的角為直角，我們就稱這兩條直線互相垂直，記為a⊥b．[解](1)由異面直線的定義可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′，B′C′所在直線分別與直線BA′是異面直線．(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′為異面直線BA′與CC′的夾角，∠B′BA′＝45°，所以直線BA′和CC′的夾角為45°．(3)直線AB，BC，CD，DA，A′B′，B′C′，C′D′，D′A′分別與直線AA′垂直．求異面直線所成角的方法步驟是什么？[提示](1)作：利用三角形的中位線、長方體中相對應(yīng)的線段，平行四邊形的對邊等平移兩異面直線使之相交于一個點(diǎn)，并說明相應(yīng)的角為異面直線所成的角或其補(bǔ)角．(2)求：求出三角形的邊，利用余弦定理求出角的余弦，進(jìn)而求出角；如果是特殊三角形，如等邊三角形、直角三角形等，則利用相應(yīng)三角形的性質(zhì)求角．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．如圖，已知在長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝2eq\r(3)，AD＝2eq\r(3)，AA′＝2．(1)BC和A′C′所成的角為________；(2)AA′和BC′所成的角為________．(1)45°(2)60°[(1)因?yàn)锽C∥B′C′，所以∠B′C′A′是異面直線A′C′與BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2eq\r(3)，B′C′＝2eq\r(3)，所以∠B′C′A′＝45°．(2)因?yàn)锳A′∥BB′，所以∠B′BC′是異面直線AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2eq\r(3)，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°．因此，異面直線AA′與BC′所成的角為60°．]2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB的中點(diǎn)，則DB1與CMeq\f(\r(15),15)[將正方體ABCD-A1B1C1D1補(bǔ)上一個棱長相等的正方體，構(gòu)成一個如圖所示的長方體，連接CE1，ME1．因?yàn)镈B1∥CE1，所以∠MCE1是異面直線DB1與CM所成角(或其補(bǔ)角)，設(shè)正方體的棱長為a．在三角形MCE1中，CM＝eq\f(\r(5),2)a，CE1＝eq\r(3)a，ME1＝eq\f(\r(13),2)a，那么cos∠MCE1＝eq\f(\f(5,4)a2＋3a2－\f(13,4)a2,2×\f(\r(5),2)a×\r(3)a)＝eq\f(\r(15),15)．]類型2直線與直線垂直的證明【例2】(對接教材P147例2)如圖所示，在正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，求證：DB1⊥EF[證明]法一：如圖所示，連接A1C1，B1D1，并設(shè)它們相交于點(diǎn)O，取DD1的中點(diǎn)G，連接OG，A1G，C則OG∥B1D，EF∥A1C1∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角．∵GA1＝GC1，O為A1C1∴GO⊥A1C1∴異面直線DB1與EF所成的角為90°．∴DB1⊥EF．法二：如圖所示，連接A1D，取A1D的中點(diǎn)H，連接HE，則HEeq\f(1,2)DB1．于是∠HEF為所求異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角．連接HF，設(shè)AA1＝1，則EF＝eq\f(\r(2),2)，HE＝eq\f(\r(3),2)，取A1D1的中點(diǎn)I，連接HI，IF，則HI⊥IF．∴HF2＝HI2＋I(xiàn)F2＝eq\f(5,4)．∴HF2＝EF2＋HE2．∴∠HEF＝90°．∴異面直線DB1與EF所成的角為90°．∴DB1⊥EF．證明兩條異面直線垂直的步驟(1)恰當(dāng)選點(diǎn)，用平移法構(gòu)造出一個相交角．(2)證明這個角就是異面直線所成的角(或其補(bǔ)角)．(3)把相交角放在平面圖形中，一般是放在三角形中，通過解三角形求出所構(gòu)造的角的度數(shù)．(4)給出結(jié)論：若求出的平面角為直角，垂直得證．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．空間四邊形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)G＝2，GE＝eq\r(5)，EF＝3．求證：AC⊥BD．[證明]∵點(diǎn)G，E分別是CD，BC的中點(diǎn)，∴GE∥BD，同理GF∥AC．∴∠FGE或∠FGE的補(bǔ)角是異面直線AC與BD所成的角．在△EFG中，∵FG＝2，GE＝eq\r(5)，EF＝3，滿足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°．即異面直線AC與BD所成的角是90°．∴AC⊥BD.1．分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是()A．異面 B．平行C．相交 D．以上都有可能D[當(dāng)兩個平面平行時(shí)，這兩條直線的位置關(guān)系為平行或異面，當(dāng)兩個平面相交時(shí)，這兩條直線的位置關(guān)系有可能相交或異面．]2．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，則異面直線EF與A．45° B．60°C．90° D．120°B[取A1B1中點(diǎn)I，連接IG，IH，則EFIG．易知IG，IH，HG相等，則△HGI為等邊三角形，則IG與GH所成的角為60°，即EF與GH所成的角為60°．]3．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC與BC160°[連接AD1，則AD1∥BC1．∴∠CAD1(或其補(bǔ)角)就是AC與BC1所成的角，連接CD1，在正方體ABCD-A1B1C1D1AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC與BC1所成的角為60°．]4．如圖所示，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，D，E分別是VB，VC的中點(diǎn)，則異面直線DE與AB所成角的大小為________．45°[因?yàn)镈，E分別是VB，VC的中點(diǎn)，所以BC∥