新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題4.1導(dǎo)數(shù)的概念、運算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義（講）解析版

專題4.1導(dǎo)數(shù)的概念、運算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義新課程考試要求1.了解導(dǎo)數(shù)的概念與實際背景，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.會用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（限于形如)的導(dǎo)數(shù)）.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象（例11）、邏輯推理（例1）、數(shù)學(xué)建模、直觀想象（例5）、數(shù)學(xué)運算（多例）、數(shù)據(jù)分析等.考向預(yù)測（1）導(dǎo)數(shù)的運算將依然以工具的形式考查；（2）單獨考查導(dǎo)數(shù)的運算題目極少.對導(dǎo)數(shù)的運算的考查，主要通過考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用來體現(xiàn).（3）對導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查，主要有選擇題、填空題，也有作為解答題的第一問.常見的命題角度有：=1\*GB3①求切線斜率、傾斜角、切線方程．=2\*GB3②確定切點坐標(biāo)問題．=3\*GB3③已知切線問題求參數(shù)．=4\*GB3④切線的綜合應(yīng)用．【知識清單】知識點1．導(dǎo)數(shù)的概念1．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)定義：稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即.2．函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱函數(shù)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．知識點2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2．導(dǎo)數(shù)的運算法則（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3）(g(x)≠0)．(4)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積．知識點3．函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)幾何意義函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(x0，f(x0))處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù)s(t)對時間t的導(dǎo)數(shù))．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．【考點分類剖析】考點一導(dǎo)數(shù)的計算【典例1】（2021·河北石家莊市·高三二模）已知函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)．若存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0的最大值為__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可將SKIPIF1<0化為SKIPIF1<0，由此確定SKIPIF1<0的范圍；根據(jù)能成立的方程可構(gòu)造不等式組，解不等式組可求得SKIPIF1<0，從而利用三角函數(shù)值域的求解方法可求得所求最大值.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例2】（2021·內(nèi)蒙古包頭市·高三二模（文））設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【答案】2【解析】先對SKIPIF1<0求導(dǎo)，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0即可求解.【詳解】由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：2.【規(guī)律方法】1.求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一般原則如下：(1)遇到連乘積的形式，先展開化為多項式形式，再求導(dǎo)；(2)遇到根式形式，先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo)；(3)遇到復(fù)雜分式，先將分式化簡，再求導(dǎo).2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般是運用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，將問題轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解決.①分析清楚復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系是由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成的，適當(dāng)選定中間變量；②分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導(dǎo)，而其中特別要注意的是中間變量；③根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則，求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)；④復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練以后，中間步驟可以省略，不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程.【變式探究】1.（2021·四川攀枝花市·高三一模（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．6 D．14【答案】C【解析】求導(dǎo)，代入SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，然后將SKIPIF1<0代入原函數(shù)求得函數(shù)值.【詳解】SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故選：C2．（2021·江蘇常州市·高三一模）已知函數(shù)SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．【答案】1；SKIPIF1<0【解析】求出SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可求SKIPIF1<0；利用對數(shù)的運算性質(zhì)對SKIPIF1<0變形可求SKIPIF1<0.【詳解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：1；SKIPIF1<0.【總結(jié)提升】(1)若函數(shù)為根式形式，可先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo)．(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可進(jìn)行換元．高頻考點二求曲線的切線方程【典例3】（2019·全國高考真題（文））曲線y=2sinx+cosx在點(π，–1)處的切線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，，即點在曲線上．則在點處的切線方程為，即．故選C．【典例4】（2021·河北高三其他模擬）已知SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由奇函數(shù)的定義可得x＜0時f（x）的解析式，求得導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由點斜式方程可得所求切線方程．【詳解】由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，SKIPIF1<0,f（x）＝SKIPIF1<0f（﹣x）＝SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，f（﹣1）＝0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程為y﹣0＝（x+1），即x-y+1＝0，故答案為：SKIPIF1<0．【規(guī)律方法】導(dǎo)數(shù)運算及切線的理解應(yīng)注意的問題：一是利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點．曲線切線方程的求法：(1)以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．(2)如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(x0，y0)，解方程組得切點(x0，y0)，進(jìn)而確定切線方程．【變式探究】1.（2019·天津高考真題（文））曲線在點處的切線方程為__________.【答案】【解析】，當(dāng)時其值為，故所求的切線方程為，即。2.（2021·陜西西安市·交大附中高三其他模擬（理））曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程為__________.【答案】SKIPIF1<0【解析】根據(jù)求導(dǎo)法得出點SKIPIF1<0處切線的斜率，再根據(jù)點SKIPIF1<0的坐標(biāo)，由點斜式得到該切線方程.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所求的切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.【易錯提醒】導(dǎo)數(shù)運算及切線的理解應(yīng)注意的問題：一是利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點．高頻考點三：求切點坐標(biāo)【典例5】（2021·河北唐山市·唐山一中高三其他模擬）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0的焦點，SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點的圓的圓心為SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的坐標(biāo)是___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)出M的坐標(biāo)，求出切線斜率，利用斜率公式求出SKIPIF1<0的坐標(biāo)，根據(jù)圓的性質(zhì)建立方程進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，拋物線的焦點坐標(biāo)SKIPIF1<0，如圖，SKIPIF1<0過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點的圓的圓心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圓心SKIPIF1<0的縱坐標(biāo)為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0，即在SKIPIF1<0處的切線斜率SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【典例6】（2019·江蘇高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點（-e，-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標(biāo)是____.【答案】.【解析】設(shè)點，則.又，當(dāng)時，，點A在曲線上的切線為，即，代入點，得，即，考查函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，當(dāng)時，單調(diào)遞增，注意到，故存在唯一的實數(shù)根，此時，故點的坐標(biāo)為.【方法總結(jié)】已知斜率求切點：已知斜率k，求切點(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.【變式探究】1．（2021·重慶高三其他模擬）曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0SKIPIF1<0處的切線恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點，則SKIPIF1<0___________.【答案】1【解析】先求出SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)，則SKIPIF1<0，寫出切線方程，將原點坐標(biāo)代入切線方程，即可得出答案.【詳解】SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0則切線方程為SKIPIF1<0，代入原點可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（負(fù)根舍去）故答案為：12．設(shè)曲線y＝ex在點(0,1)處的切線與曲線上點P處的切線垂直，則點P的坐標(biāo)為．【答案】（1，1）【解析】∵函數(shù)y＝ex的導(dǎo)函數(shù)為y′＝ex.∴曲線y＝ex在點(0,1)處的切線的斜率k1＝e0＝1.設(shè)P(x0，y0)(x0＞0)，∵函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，∴曲線在點P處的切線的斜率，由題意知k1k2＝－1，即1·（）＝－1，解得xeq\o\al(2,0)＝1，又x0＞0，∴x0＝1.又∵點P在曲線上，∴y0＝1，故點P的坐標(biāo)為(1,1).高頻考點四：求參數(shù)的值(范圍)

【典例7】（2021·全國高三其他模擬（理））與曲線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都相切的直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直，則b的值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】先求出直線SKIPIF1<0的方程，再求出直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相切的切點坐標(biāo)即可得解.【詳解】因直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直，則直線SKIPIF1<0的斜率為3，設(shè)直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相切的切點SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0過點(1，0)，方程為y=3x-3，設(shè)直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相切的切點PSKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，從而有點SKIPIF1<0，而點P在直線SKIPIF1<0：y=3x-3上，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：D【典例8】（2020屆山東省青島市三模）【多選題】已知曲線上存在兩條斜率為3的不同切線，且切點的橫坐標(biāo)都大于零，則實數(shù)可能的取值（）A． B．3 C． D．【答案】AC【解析】由題可知，，則，可令切點的橫坐標(biāo)為，且，可得切線斜率，由題意，可得關(guān)于的方程有兩個不等的正根，且可知，則，即，解得：，的取值可能為，.故選：AC.【規(guī)律方法】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的值時，一般是利用切點P(x0，y0)既在曲線上又在切線上構(gòu)造方程組求解．【變式探究】1.（2018年全國卷Ⅲ理）曲線y=ax+1ex在點0?，【答案】?3【解析】y則f所以a=?3故答案為-3.2.（2020·山東省泰安市模擬）若曲線在點處的切線與直線平行，則_________.【答案】【解析】因為.所以,所以.因為曲線在點處的切線與直線平行,即.故答案為:.考點五：切線的斜率與傾斜角【典例9】（2021·山東濟(jì)南市·高三其他模擬）函數(shù)SKIPIF1<0的圖像的切線斜率可能為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷出導(dǎo)函數(shù)的范圍，即可得答案【詳解】解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的圖像的切線斜率大于SKIPIF1<0，故選：A【典例10】（2021·山東煙臺市·高三其他模擬）已知曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線的傾斜角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】利用導(dǎo)數(shù)求得SKIPIF1<0，然后利用二倍角的余弦公式以及弦化切可求得SKIPIF1<0的值.【詳解】SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式探究】1．（2021·福建省福州第一中學(xué)高三其他模擬）過SKIPIF1<0引拋物線SKIPIF1<0的切線，切點分別為A，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0的斜率等于2，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】C【解析】先設(shè)切點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，再代入點M，得到A，SKIPIF1<0均滿足得到一元二次方程，即得到直線SKIPIF1<0的方程和斜率，結(jié)合斜率為2解得參數(shù)即可.【詳解】拋物線SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則由切線斜率SKIPIF1<0，設(shè)切點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以切線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理切線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，兩切線均過點SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0均滿足方程SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0均在直線SKIPIF1<0上，即直線SKIPIF1<0的方程為S