第19講 弧長(zhǎng)及扇形的面積（解析版）

第19課弧長(zhǎng)及扇形的面積目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式，并學(xué)會(huì)運(yùn)用公式解決問(wèn)題；2.會(huì)求不規(guī)則圖形的面積.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01弧長(zhǎng)公式半徑為R的圓中

360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)(圓的周長(zhǎng))公式：

n°的圓心角所對(duì)的圓的弧長(zhǎng)公式：(弧是圓的一部分)

注意：

(1)對(duì)于弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數(shù)，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；

(3)弧長(zhǎng)公式所涉及的三個(gè)量：弧長(zhǎng)、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.知識(shí)點(diǎn)02扇形面積公式1.扇形的定義

由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形.

2.扇形面積公式

半徑為R的圓中

360°的圓心角所對(duì)的扇形面積(圓面積)公式：

n°的圓心角所對(duì)的扇形面積公式：

注意：

(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類(lèi)似，可類(lèi)比記憶；

(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.能力拓展能力拓展考法01利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行有關(guān)計(jì)算【典例1】圓心角為，半徑為1的弧長(zhǎng)為()A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：圓心角為，半徑為1的弧長(zhǎng)=．故答案為：D．【即學(xué)即練】半徑為6的圓弧的度數(shù)為，則它的弧長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵圓弧的半徑為6，圓心角的度數(shù)為，∴圓弧的弧長(zhǎng)為：；故選：B．【典例2】把長(zhǎng)度為的一根鐵絲彎成圓心角是的一條弧，那么這條弧所在圓的半徑是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】解：設(shè)半徑為R．由題意，，∴，故選：C．【即學(xué)即練】已知一個(gè)扇形的面積是，弧長(zhǎng)是，則這個(gè)扇形的半徑為（

）A．12 B． C．24 D．【答案】C【詳解】由題得解得故選：C考法02求規(guī)則與不規(guī)則圖形的面積【典例3】如圖，在中，，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解；∵，∴，∴，故選A．【即學(xué)即練】如圖是某商品的標(biāo)志圖案，與是⊙O的兩條直徑，首尾順次連接點(diǎn)得到四邊形．若，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：與是的兩條直徑，，四邊形是矩形，與的面積的和與的面積的和，圖中陰影部分的面積，，，，圖中陰影部分的面積（）．故選：B．【典例4】如圖，正六邊形內(nèi)接于，若的半徑等于2，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵正六邊形內(nèi)接于，∴，∴，∴圖中陰影部分的面積，故選：C．【即學(xué)即練】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，分別以為圓心，2為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵正方形的邊長(zhǎng)為4，∴正方形的面積為16，又四個(gè)四分之一圓的面積等于一個(gè)半徑為2的圓的面積為，∴陰影部分的面積．故選：A．考法03動(dòng)態(tài)路線問(wèn)題【典例5】如圖，在中，，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，使A，B，三點(diǎn)在同一直線上，則點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：在，，∴，∴，∴將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，旋轉(zhuǎn)角為∵，∴，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可得，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為，故選A．【即學(xué)即練】一塊等邊三角形的木板，邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾（如圖），那么點(diǎn)從開(kāi)始至結(jié)束所走過(guò)的路徑長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意可知點(diǎn)從開(kāi)始至結(jié)束所走過(guò)的路徑為兩個(gè)圓心角為，半徑為1的扇形弧長(zhǎng)，所以點(diǎn)從開(kāi)始至結(jié)束所走過(guò)的路徑長(zhǎng)度為：．故選C．【典例6】如圖，有圓錐形糧堆，其正視圖是邊長(zhǎng)為6的正三角形，糧堆母線的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，此時(shí)，小貓正在處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處，捕捉老鼠，則小貓所經(jīng)過(guò)的最短路程是（

）A．3 B． C． D．4【答案】B【詳解】解：圓錐的底面周長(zhǎng)是，則，，即圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是180度．則在圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中，，度．在圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中．故小貓經(jīng)過(guò)的最短距離是．故選：．【即學(xué)即練】如圖，圓錐的底面半徑R＝3，母線l＝5dm，AB為底面直徑，C為底面圓周上一點(diǎn)，∠COB＝150°，D為VB上一點(diǎn)，VD＝．現(xiàn)有一只螞蟻，沿圓錐表面從點(diǎn)C爬到D．則螞蟻爬行的最短路程是（）A．3 B．4 C． D．2【答案】B【詳解】解：如圖:∵，∴設(shè)弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為n，∴，解得，∴，∴．故選：B．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．下列圖形中，稱為扇形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：根據(jù)扇形的定義由圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形可知選項(xiàng)是扇形，其它選項(xiàng)不是扇形．故選：B．2．圓錐的底面半徑為4，母線長(zhǎng)為9，則該圓錐的側(cè)面積為（）A．36π B．48π C．72π D．144π【答案】A【詳解】解：圓錐的側(cè)面積．故選：A．3．已知半徑為的扇形的圓心角為，則該扇形的面積為（

）A．4 B．6 C．4π D．6π【答案】D【詳解】解：半徑為的扇形的圓心角為，，故選：D．4．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)．以C為圓心，為半徑作圓弧，再分別以E，F(xiàn)為圓心，為半徑作圓弧，，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：連接，，如圖，∵正方形的邊長(zhǎng)為2，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，由題意可得：，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，且．∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，∴，∴，．∴弓形弓形．∴陰影部分的面積等于弓形的面積．∴．故選：C．5．道路施工部門(mén)在鋪設(shè)如圖所示的管道時(shí)，需要先按照其中心線計(jì)算長(zhǎng)度后再備料．圖中的管道中心線的長(zhǎng)為（單位：m）（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：依題意，，故選：B．6．【閱讀理解】在求陰影部分面積時(shí)，常常會(huì)把原圖形的一部分割下來(lái)補(bǔ)在圖形中的另一部分，使其成為基本規(guī)則圖形，從而使問(wèn)題得到解決，這種方法稱為割補(bǔ)法．如圖1，C是半圓O的中點(diǎn)，欲求陰影部分面積，只需把弓形BC割下來(lái)，補(bǔ)在弓形處，則．【拓展應(yīng)用】如圖2，以為直徑作半圓O，C為的中點(diǎn)，連接，以為直徑作半圓P，交于點(diǎn)D．若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：連接、是小圓直徑故選：B7．一段弧所在的圓的半徑為60，這段弧的長(zhǎng)是157，那么這弧所對(duì)的圓心角是_________度．【答案】【詳解】解：設(shè)圓心角為n度，根據(jù)公式，得∶．故答案為∶1508．如圖，是的直徑，弦交于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，，，則陰影部分面積為_(kāi)_____．【答案】【詳解】是的直徑，且是的中點(diǎn)，，，，，由圓周角定理得，，，在中，，由勾股定理得，解得：，陰影部分面積為．故答案為：．9．如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是，其中水面高，求截面上有水部分的面積．【答案】【詳解】解：根據(jù)題意得：，∴，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴截面上有水部分的面積為．10．如圖，在Rt中，，是邊上一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與相交于點(diǎn)，連接，且．(1)求證：是⊙的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：連接．∵，∴，∵，∴．∵，∴．∴．∴．又∵是⊙的半徑，∴是⊙的切線．（2）∵，，∴是等邊三角形．∴．∴．在Rt中，．∵，，∴．∴．∴的長(zhǎng)．題組B能力提升練1．如圖，現(xiàn)有一把折扇和一把圓扇．已知折扇的骨柄長(zhǎng)等于圓扇的直徑，折扇扇面的寬度是骨柄長(zhǎng)的，折扇張開(kāi)的角度為120°，則兩把扇子扇面面積較大的是（）A．折扇 B．圓扇 C．一樣大 D．無(wú)法判斷【答案】A【詳解】解：折扇的扇面面積為為：圓扇扇面的面積為∵∴折扇的扇面面積大．故選A．2．如圖，四個(gè)三角形拼成一個(gè)風(fēng)車(chē)圖形，若，當(dāng)風(fēng)車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，風(fēng)車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)，，故選：D．3．如圖，半徑為10的扇形中，，C為弧AB上一點(diǎn)，，垂足分別為D，E．若圖中陰影部分的面積為，則＝（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：連接，∵，∴四邊形CDOE是矩形，∴，在與中，，∴，∴圖中陰影部分的面積＝扇形的面積＝，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故選：B．4．在單位長(zhǎng)度為1米的平面直角坐標(biāo)系中，曲線是由半徑為2米，圓心角為120°的弧多次復(fù)制并首尾連接而成，現(xiàn)有一點(diǎn)P從A（A為坐標(biāo)原點(diǎn)）出發(fā)，以每秒米的速度沿曲線向右運(yùn)動(dòng)，則在第2023秒時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為（）A．1 B．0 C． D．-2【答案】C【詳解】解：的長(zhǎng)為：，（秒），如圖，作于E，與交于點(diǎn)D．在中，，，∴，∴，∴，∴第1秒時(shí)點(diǎn)P縱坐標(biāo)為1；第2秒時(shí)點(diǎn)P縱坐標(biāo)為0；第3秒時(shí)點(diǎn)P縱坐標(biāo)為；第4秒時(shí)點(diǎn)P縱坐標(biāo)為0；第5秒時(shí)點(diǎn)P縱坐標(biāo)為1；…，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)以1，0，，0四個(gè)數(shù)為一個(gè)周期依次循環(huán)，，故在第2023秒時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，故選：C．5．如圖，有一圓錐形糧堆，其主視圖是邊長(zhǎng)為的正三角形，母線的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，小貓從B處沿圓錐表面去偷襲老鼠，則小貓經(jīng)過(guò)的最短路程是（）．A． B．4 C． D．6【答案】C【詳解】解：圓錐主視圖是邊長(zhǎng)為的正三角形，圓錐的底面周長(zhǎng)是，則，，即圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是180度．如圖，在圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中，，度．在圓錐側(cè)面展開(kāi)圖中．故小貓經(jīng)過(guò)的最短距離是．故選：C．6．如圖，與外切于點(diǎn)，它們的半徑分別為和，直線與它們都相切，切點(diǎn)分別為，，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：連接，過(guò)點(diǎn)作，∵與外切于點(diǎn)，它們的半徑分別為和，直線與，都相切，∴，四邊形為矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴梯形的面積是：；扇形的面積為：；扇形的面積為；則陰影部分的面積梯形的面積扇形的面積扇形的面積；故選D．7．如圖，已知圓錐的底面半徑為3，圓錐的母線與高的夾角θ為30°，則圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積是_____．【答案】【詳解】解：∵圓錐的母線與高的夾角θ為30°，底面半徑為3，∴圓錐的母線長(zhǎng)為6，∴圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積．故答案為:．8．如圖，扇形的半徑，，分別以、的中點(diǎn)C、D為圓心，、為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)________平方厘米．【答案】【詳解】解：設(shè)與交于點(diǎn)，連接、，如圖所示，由題意可得：四邊形為正方形，且，=平方厘米，故答案為：9．已知C、D兩點(diǎn)在以AB為直徑的半圓周上且把半圓三等分，若已知AB長(zhǎng)為10，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留）【答案】【詳解】解：陰影部分的面積、把半圓弧三等份，，、等底等高，陰影面積．答：陰影部分面積是．10．如圖，在中，，，以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓交于點(diǎn)C，交于點(diǎn)D．(1)若，則弧的度數(shù)為_(kāi)_____，弧的長(zhǎng)度為_(kāi)_____；(2)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）解：連接．，，，，，，弧的度數(shù)為，∵，∴弧的長(zhǎng)度為故答案為，．（2）解：如圖，作于．在中，，，，，，，，，，．題組C培優(yōu)拔尖練1．圖1是一把扇形書(shū)法紙扇，圖2是其完全打開(kāi)后的示意圖，外側(cè)兩竹條和的夾角為，的長(zhǎng)為，貼紙部分的寬為，則弧的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：的長(zhǎng)為，貼紙部分的寬為，∴，又∵和的夾角為，的長(zhǎng)為：．故選：B．2．如圖，在扇形中，，，若以點(diǎn)C為圓心，為半徑畫(huà)弧，與交于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積和是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：連接，∵以點(diǎn)C為圓心，為半徑畫(huà)弧，與交于點(diǎn)D，，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴陰影部分的面積．故選：C．3．我們研究過(guò)的圖形中，圓的任何一對(duì)平行切線的距離總是相等的，所以圓是“等寬曲線”．除了圓以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線”，如勒洛三角形（如圖1），它是分別以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間畫(huà)一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形．圖2是等寬的勒洛三角形和圓形滾木的截面圖．有如下四個(gè)結(jié)論：①勒洛三角形是中心對(duì)稱圖形；②在圖1中，等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，則勒洛三角形的周長(zhǎng)為；③在圖2中，勒洛三角形的周長(zhǎng)與圓的周長(zhǎng)相等；④使用截面是勒洛三角形的滾木來(lái)搬運(yùn)東西，不會(huì)發(fā)生上下抖動(dòng)；上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【答案】D【詳解】解：①勒洛三角形不是中心對(duì)稱圖形，故①錯(cuò)誤，不符合題意；②在圖1中，等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，則勒洛三角形的周長(zhǎng)為，故②正確，符合題意；③在圖2中，設(shè)勒洛三角形中等邊三角形的邊長(zhǎng)為，則圓的直徑為，所以勒洛三角形的周長(zhǎng)為，圓的周長(zhǎng)為，故在圖2中，勒洛三角形的周長(zhǎng)與圓的周長(zhǎng)相等，故③正確，符合題意；④夾在平行線之間的勒洛三角形無(wú)論怎么滾動(dòng)，平行線間的距離始終不變，如在圖1中，點(diǎn)到上任意一點(diǎn)的距離都相等，故使用截面是勒洛三角形的滾木來(lái)搬運(yùn)東西，不會(huì)發(fā)生上下抖動(dòng)，故④正確，符合題意；故上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是：②③④；故選：D．4．如圖．將扇形翻折，使點(diǎn)A與圓心O重合，展開(kāi)后折痕所在直線l與交于點(diǎn)C，連接．若，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：如圖，由翻折的性質(zhì)可知，，，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，故選：C．5．如圖，在中，，，斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別在相互垂直的射線和上滑動(dòng)，給定下列命題，其中正確命題的序號(hào)是（）．①若、兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，則；②、兩點(diǎn)距離的最大值為；③若平分，則；④斜邊的中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為．A．①③④ B．②③④ C．①④ D．①②【答案】D【詳解】在中，，，∴，．①若C、O兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，如圖1，∴是的垂直平分線，則；所以①正確；②如圖1，取的中點(diǎn)為E，連接、，∵，∴．∵，∴當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，最大，且C、O兩點(diǎn)距離的最大值為4；所以②正確；③如圖2，當(dāng)時(shí)，，∴四邊形是矩形，∴與互相平分，但AB與的夾銳角為60°，不垂直；所以③不正確；④如圖3，斜邊的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑是：以O(shè)為圓心，以2為半徑的圓周的，則其弧長(zhǎng)為：．所以④不正確；綜上所述，本題正確的有：①②；故選：D．6．如圖，在銳角三角形中，分別以三邊為直徑作圓，記三角形外的陰影面積為，三角形內(nèi)的陰影面積為，在以下四個(gè)選項(xiàng)的條件中，不一定能求出的是（

）A．已知的三條中位線的長(zhǎng)度B．已知的面積C．已知的長(zhǎng)度及D．已知的長(zhǎng)度，以及的長(zhǎng)度和【答案】D【詳解】解：∵，∴，∴．A、若已知的三條中位線的長(zhǎng)度，即可得到三邊的長(zhǎng)度，利用海倫公式是三角形的三邊，，可求得三角形的面積，即可得到的值，故本選項(xiàng)不符合題意；B、已知的面積，即可求得的值，故本選項(xiàng)不符合題意；C、如解圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D．∵，在和中，∴，∴，據(jù)此即可求得的值，故本選項(xiàng)不符合題意；D、∵已知兩邊長(zhǎng)度和，∴的長(zhǎng)度不確定，∴的面積也不確定，∴不一定能求出的值，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．7．如圖，把一個(gè)含30°的直角三角板的斜邊AB放在定直線l上，按順時(shí)針?lè)较蛟趌上轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，使它轉(zhuǎn)到位置．設(shè)，則頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置時(shí)，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線與直線l所圍成的面積是___________．【答案】【詳解】解：∵