四川省南充市閬中中學校高三一模數(shù)學（文）試題

閬中中學校高2021級2023年秋一模數(shù)學試題（文）（滿分：150分考試時間：120分鐘）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題.（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合B的描述，及集合A中元素，應用交運算寫出.【詳解】對于集合B，由時，由時．此外的取值都不在集合A內(nèi)，均不滿足交集結(jié)果．所以.故選：D2.已知，則在復平面內(nèi)對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由復數(shù)四則運算、共軛復數(shù)及復數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】由，得，則，故在復平面內(nèi)對應的點為，在第一象限．故選：A．3.已知，，若，則實數(shù)（）A. B.2 C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標運算即可求解.【詳解】由可得，即，故，故選：B4.已知，且，則的值是A.20 B. C. D.400【答案】B【解析】【詳解】由，得，化簡得有，所以.故選B.5.推動小流域綜合治理提質(zhì)增效，推進生態(tài)清潔小流域建設(shè)是助力鄉(xiāng)村振興和建設(shè)美麗中國的重要途徑之一．某鄉(xiāng)村落實該舉措后因地制宜，發(fā)展旅游業(yè)，預計2023年平均每戶將增加4000元收入，以后每年度平均每戶較上一年增長的收入是在前一年每戶增長收入的基礎(chǔ)上以10%的增速增長的，則該鄉(xiāng)村每年度平均每戶較上一年增加的收入開始超過12000元的年份大約是（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A.2033年 B.2034年 C.2035年 D.2036年【答案】C【解析】【分析】設(shè)經(jīng)過n年之后，每年度平均每戶收入增加y元，且，解不等式可得答案．【詳解】設(shè)經(jīng)過n年之后，每年度平均每戶收入增加y元，由題得，即，則，，又，則．所以所求年份大約是2035年．故選：C.6.如圖所示的程序框圖的輸出結(jié)果為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】運行程序，根據(jù)裂項求和法求得正確答案.【詳解】運行程序，，判斷否，，，判斷否，，……以此類推，，判斷是，輸出.故選：C7.已知等比數(shù)列的前項和為，公比為2，且成等差數(shù)列，則（）A.62 B.93 C.96 D.64【答案】B【解析】【分析】利用給定條件求出，進而求出，再利用等比數(shù)列前項和公式計算即得.【詳解】等比數(shù)列的公比為2，由成等差數(shù)列，得，即，解得，所以．故選：B8.已知，則（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由余弦二倍角公式和誘導公式計算．詳解】由題意，，所以，故選：A．9.數(shù)列滿足，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，列出數(shù)列的前幾項，得到數(shù)列為周期數(shù)列，然后根據(jù)周期性求.【詳解】因為數(shù)列滿足，所以，，，，則是以4為周期的周期函數(shù)，所以，故選：C.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到偶函數(shù)的圖象，則正實數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題圖可知，周期，則，所以，又點在的圖象上，求出，得到函數(shù)解析式，利用平移規(guī)律得的解析式，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得到答案．【詳解】由題圖可知，周期，則，所以，因為點在的圖象上，所以＝－2，所以，得，因為，所以，，所以，是偶函數(shù)，，，則當時，正實數(shù)取最小值.故選：C11.數(shù)列滿足（），則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求，再由已知仿寫作差得到，驗證是否符合，最后再用等差數(shù)列的求和公式求解.【詳解】由，，得，當時，，兩式相減得，則，顯然滿足上式，因此，所以.故選：A12.已知函數(shù)的定義域為，，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（）A.23 B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件求出函數(shù)的周期，再根據(jù)函數(shù)的周期性求值即可.【詳解】因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以，，令，則，所以，，所以，，則，所以的周期，因為，所以，，，，所以．故選：C．二、填空題.（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知向量滿足，的夾角為，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的模長公式直接代入求解即可.【詳解】，故答案為：.14.已知數(shù)列中，，若是遞減數(shù)列，則的取值范圍________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)是遞減數(shù)列得出恒成立，再求出最小值即可得出的范圍.【詳解】∵數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，∴當時，，∴，即，由于數(shù)列在時單調(diào)遞增，因此其最小值為3，∴,綜上可得：的取值范圍是.故答案為：.15.已知正三棱錐的底面邊長為3，側(cè)棱長為2，且頂點都在同一球面上，則該球的表面積為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，畫出大致圖像，確定球心在的延長線上，再結(jié)合幾何關(guān)系和勾股定理進行求解即可.【詳解】如圖設(shè)底面的中心為，連接，則球心在直線上，

由幾何關(guān)系可知，，先將三角形轉(zhuǎn)化成平面三角形，如圖：因為，由勾股定理可得，設(shè)球心為，則在的延長線上，且，則，由勾股定理可得，即，解得，所以球體的表面積．故答案為：．16.已知，若，，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)圖象，設(shè)，數(shù)形結(jié)合可知的范圍，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，利用導數(shù)求最值即可.【詳解】作函數(shù)圖象，如圖，設(shè)，則，，又，，，設(shè)，當時，，函數(shù)為增函數(shù)，，即實數(shù)取值范圍是故答案為：三、解答題.（共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）17.已知數(shù)列的前n項和為，且，數(shù)列為等差數(shù)列，，.（1）求，的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】（1）利用關(guān)系及等比數(shù)列定義求通項公式，利用等差數(shù)列的通項公式求基本量，即得的通項公式；（2）應用錯位相減、等比數(shù)列前n項和公式求.【小問1詳解】當時，，解得.當時，,，兩式相減得，即，所以是首項、公比均為2的等比數(shù)列，故.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，可得，又，所以，解得，故.【小問2詳解】令，由（1）知，則，①，②①—②，得，所以.18.已知向量，，函數(shù).（1）若，求的值；（2）已知為銳角三角形，，，為的內(nèi)角，，的對邊，，且，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量共線定理可得，再利用二倍角的余弦公式，結(jié)合齊次式的應用可得解；（2）根據(jù)向量數(shù)量積公式可得，進而可得，再利用正弦定理和面積公式可將三角形面積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域問題，確定自變量范圍，即可得解.【小問1詳解】，，則；；【小問2詳解】，又，所以，，得，即，因為，所以，所以，所以，解得，則故，即面積的取值范圍為.19.正四棱錐中，，，其中為底面中心，為上靠近的三等分點．（1）求證：平面；（2）求四面體的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，，則與交于點，由正四棱錐的性質(zhì)得到，平面，則，即可得證；（2）首先求出，再由為上靠近的三等分點，得到，所以.【小問1詳解】在正四棱錐中為底面中心，連接，，則與交于點，且，平面，平面，所以，又，平面，所以平面.【小問2詳解】因為，，所以，又為上靠近的三等分點，所以，則.20.已知橢圓的左?右焦點分別為，離心率為，點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點的直線與橢圓相交于，兩點，記的面積為，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于，，的方程即可求解；（2）設(shè)直線方程（有兩種方法，一種設(shè)；另一種設(shè)），與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理及基本不等式即可求出面積的最大值.【小問1詳解】因為，所以，則，所以的標準方程為，因為點在上，所以，解得，從而，.所以的標準方程為.【小問2詳解】易知點在的外部，則直線的斜率存在且不為0，設(shè)，，，聯(lián)立方程組消去得，由得，由根與系數(shù)的關(guān)系知所以，化簡得.設(shè)點到直線的距離為，則，所以的面積令，得，所以，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立.因為滿足，所以的最大值為.評分細則：第二問另解：（2）設(shè)，，，聯(lián)立方程組，消去得.由得，由根與系數(shù)的關(guān)系知.所以，化簡得設(shè)點到直線的距離為，則，所以的面積.令，得，所以，因為，所以，當且僅當，即時，等號成立.因為滿足，所以的最大值為.21.已知函數(shù)（1）當時，求在上的最小值；（2）若在上存在零點，求的取值范圍.【答案】21.0；22..【解析】【分析】（1）對函數(shù)式進行兩次求導分析即得；（2）對于含參數(shù)函數(shù)的零點問題，常?？紤]運用分析討論法，即對導函數(shù)中的參數(shù)進行分類逐個分析，找到符合題意的情況即得.【小問1詳解】當時，，，，令，，，則在上是增函數(shù)，則>0，所以，即在上是增函數(shù)，則.【小問2詳解】，，，令，，，（1）當時，，則在上是減函數(shù)，則，①若，易得，則在上是減函數(shù)，，不合題意；②若，因，，則根據(jù)零點存在定理，必，使，即，變化時，，的變化情況如下表：0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減則，故要使函數(shù)在上存在零點，需使，即；（2）當時，由（1）知在上是增函數(shù)，，不合題意；（3）當時，在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，則在上是增函數(shù)，，不合題意，綜上所述，的取值范圍是.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）分析討論法：對含參函數(shù)的導函數(shù)進行分類討論，逐個判斷求得；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）已知點的直角坐標為，曲線與直線交于，兩點，求的值．【答案】（1），（2）4【解析】【分析】（1）根據(jù)曲線的參數(shù)方程與直線的極坐標方程轉(zhuǎn)化為普通方程即可；（2）根據(jù)題意寫出直線的參數(shù)方程，再將其代入曲線的普通方程中，化簡后，利用參數(shù)的幾何意義即可求解．【小問1詳解】由，得，代入，得，所以曲線的普通方程為，由，得，即，所以直線的直角坐標方程為．【小問2詳解】由點在直線上，則設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入中，得，設(shè)點，對應